Esercizi Svolti di UNIVERSITÀ. prof. Anna Maria Perdon FACOLTÀ DI INGEGNERIA DIPARTIMENTO DI MATEMATICA DEGLI STUDI - ANCONA -

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1 Esercizi Svolti di UNIVERSITÀ DEGLI STUDI - ANCONA - CALCOLO NUMERICO FACOLTÀ DI INGEGNERIA prof. Anna Maria Perdon FACOLTÀ DI INGEGNERIA a cura del tutor Marco Orlandi DIPARTIMENTO DI MATEMATICA

2 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO Determinare X in modo che siano verificate le identità : = X Si ha X = * 7 + * * * * * = X6 Consideriamo separatamente la parte intera da quella frazionaria; Dividiamo la parte intera per la base nella quale convertire il numero (6 in questo caso); il resto costituisce l ultima cifra del numero cercato, mentre dividiamo nuovamente il quoziente per sei. Ad ogni passo conserviamo il resto e dividiamo il quoziente, finché esso non è nullo. Rovesciamo quindi l ordine dei resti ottenuti. 4 = 7 * = * 6 + = * 6 + Moltiplichiamo la parte frazionaria per la base; la parte intera così ottenuta costituisce il numero cercato, mentre moltiplichiamo nuovamente la parte frazionaria. Il ciclo termina quando la parte frazionaria è nulla o ho raggiunto un valore ottenuto precedentemente, e quindi il numero è periodico (come in questo caso)..4 * * * * * 6.4 Quindi X=,35 6

3 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO = X5 Per risolvere questo problema convertiamo in base, poi il numero così ottenuto in base = *6 + 3*6 + *6 - + * *6-3 + *6-4 = 9.75 Dividiamo la parte intera per la base nella quale convertire il numero (6 in questo caso); il resto costituisce l ultima cifra del numero cercato, mentre dividiamo nuovamente il quoziente per sei. Ad ogni passo conserviamo il resto e dividiamo il quoziente, finché esso non è nullo. Rovesciamo quindi l ordine dei resti ottenuti. 9 = * = * Moltiplichiamo la parte frazionaria per la base; la parte intera così ottenuta costituisce il numero cercato, mentre moltiplichiamo nuovamente la parte frazionaria. Il ciclo termina quando la parte frazionaria è nulla o ho raggiunto un valore ottenuto precedentemente, e quindi il numero è periodico (come in questo caso)..75 * * * * In questo caso X = Scrivere in base il seguente numero espresso in virgola mobile su 3 bit, con mantissa normalizzata ed esponente ad eccesso 64: BCDE7A Un numero viene espresso nella forma ±.p N±q ; in questo caso N=6 e : b b b b 3 b 4 b b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 b b b b 3 b 3 segno esponente q mantissa normalizzata p B C DE7A C Il segno indica che il numero è negativo; il valore dell esponente q = q* - 64 ; si ha q* =3C 6 =6 q =-4 la mantissa ha valore.de7a 6 = * * *6-4 +7*6-5 +* X = * 6-4 = * -6.

4 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 4 Dato il polinomio P(x) = x x +.8 x -.39 i) determinare la regione che contiene tutte le radici di P(x); Im +µ +λ Re Ogni radice α del polinomio soddisfa la diseguaglianza < α < + λ, quindi si trova nella corona circolare nel + µ piano complesso raffigurata a lato. a ( = max i ai λ =. 73 +λ =.73 e µ = max. 49 i=.. n a i=.. n a n / µ+.87 ). ii) costruire una successione di Sturm per P(x); Seguendo le regole descritte nel libro la successione di Sturm è la seguente p = + x x +.8 x -.39 p = -6 x +6.9 x -.8 p = + x +.55 p 3 = Rappresento le variazioni dei segni p = p = p = - - p 3 = w(x)= radice reale nell'intervallo [.87,.73] il polinomio ha radici complesse, due a due coniugate

5 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 5 iii) determinare tutte le radici di P(x) con 5 decimali esatti. Traccio un grafico approssimato della funzione P(x), poi applico vari metodi di ricerca degli zeri. y = x x +.8x Metodo di Newton-Raphson: f(x) =*x *x +.8*x -.39 f (x) = 6*x -6.9*x +.8 f (x) = *x -6.9 m f ( x) f ' ' ( x) [ f ' ( x) ] x.337 x = x = x=.6ε =.99 x = x=.53e-ε =.553e- x 3 = x=.636e-ε 3 =.34e- x 4 = x=.793e-5ε 4 =.365e-5

6 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 6 Metodo dicotomico ottengo la successione dei valori intermedi: Gli estremi iniziali che considero sono a = e b = ; x n m. della secante variabile Gli estremi iniziali che considero sono a = e b = ; x n+ = x n f ( x n ) x f ( x n n x ) n f ( x n ) x = x = x = x = x 3 = x 3 =.9548 x 4 = x 4 =.97336e- x 5 = x 5 = -.767e- x 6 = x 6 =.894e- x 7 = x 7 =.5896e-4 x 8 = x 8 = e-7 x =.7388

7 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 7 Dato il polinomio P(x) = x3 -.9 x -. x +.5 i) determinare la regione che contiene tutte le radici di P(x); Im +µ +λ Re Ogni radice α del polinomio soddisfa la diseguaglianza < α < + λ, quindi si trova nella corona circolare nel + µ piano complesso raffigurata a lato. a ( = max i ai λ =. 5 +λ = 3.5 e µ = max = i=.. n a i=.. n a n / µ+ =.5 ). ii) costruire una successione di Sturm per P(x); Seguendo le regole descritte nel libro la successione di Sturm è la seguente p = + x^3 -.9 x^ -. x +.5 p = -3 x^ +3.8 x +. p = + x -.4 p 3 = - Rappresento le variazioni dei segni p = - - p = p = p 3 = w(x)= 3 3 radice reale nell'intervallo [-3.5, -.568] radici reali nell'intervallo [.568, 3.5]

8 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 8 Cerco di dividere il secondo dei due intervalli in maniera tale da avere intervalli che contengono un unica radice ciascuno (la successione di Sturm ci garantisce che non esistono radici multiple). w(.5) = radice reale nell'intervallo [-3.5, -.568] radice reale nell'intervallo [.568,.5] radice reale nell'intervallo [.5, 3.5] iii) determinare tutte le radici di P(x) con 5 decimali esatti. Traccio un grafico approssimato della funzione P(x), poi applico vari metodi di ricerca degli zeri. y = x x -. x

9 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 9 Metodo di Newton-Raphson: f(x) = + x x -. x +.5 f (x) = 3 x -3.8 x -. f (x) = 6 x -3.8 x = - m f ( x) f ' ' ( x) [ f ' ( x) ] x.5 x = x=.4857ε =.4769 x = x=.45747e-ε =.4858e- x 3 = x=.6344e-3ε 3 =.5448e-4 x 4 = x=.445e-7ε 4 =.685e-8 x = -.8 x = m f ( x) f ' ' ( x) [ f ' ( x) ] x. x =. x=.ε =.564e- x =.36 x=.36e-ε =.8e- x 3 = x=.73e-ε 3 =.486e-3 x 4 = x=.45e-5ε 4 =.6e-5 x =.3783 x 3 = f ( x) m f ' ' ( x) [ f ' ( x) ] x.44 x 3 = x=.565ε =.433 x 3 = x=.48335e-ε =.375e- x 33 = x=.5793e-ε 3 =.3397e- x 43 = x=.55694e-4ε 4 =.379e-4 x 53 = x=.66779e-8ε 5 =.4459e-8 x 3 =.797

10 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO Metodo dicotomico ottengo la successione dei valori intermedi: Gli estremi iniziali che considero inizialmente sono a = - e b = -; gli estremi iniziali che considero ora sono a =.568 e b =.5; gli estremi iniziali che considero ora sono a =.5 e b = 3.5;

11 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO m. della secante variabile x n+ = x n f ( x n ) x f ( x n n x ) n f ( x n ) x =- x =- x = x = e- x 3 = x 3 = e- x 4 = x 4 =.67897e- x 5 = x 5 = e-3 x 6 = x 6 =-.4576e-5 x =.568 x =.5 x = x = x 3 = x 3 = x 4 = x 4 = x 5 = x 5 = x 6 = x 6 = x 7 = x 7 = x 8 = x 8 = x 3 =.5

12 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO x 3 =3.5 x 3 = x 3 = x 33 = x 33 = x 43 = x 43 = x 53 = x 53 = x 63 = x 63 = x 73 = x 73 = x 83 = x 83 = x 93 = x 93 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = x 33 = x 33 = x 43 = x 43 = x 53 = x 53 = x 63 = x 63 = x 73 = x 73 = x =-.8 x =.3783 x 3 =.797

13 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 3 Determinare gli eventuali zeri della funzione f(x) = x tg(x) nell intervallo [ -π/, π/ ] con 5 decimali esatti Da una prima analisi del grafico la soluzione x* è compresa tra e π/, e dato che la funzione è monotona la radice da cercare è unica m. di Newton-Raphson Questo metodo è un caso particolare del metodo di punto fisso, quindi l errore al passo n-esimo (una m volte soddisfatte le ipotesi ) può essere maggiorato come segue : x * xn xn xn. m Senza studiare approfonditamente Φ (x) in tutto l intervallo di studio,possiamo approssimare la costante m con Φ (x ), quindi m f ( x ) f ''( x ) [ f '( x) ] x f (x) = * x - - tg x f (x) = - * tg(x) * ( + tg (x) ) Considero come punti iniziali i valori x =.3,.35,.5 ; notare come cambiando la costante m risultano influenzate la velocità di convergenza e la relazione tra x e ε n. x =.3m.897 x = x =.9563 ε = x = x =.33ε =.358 x 3 = x = e-ε 3 =.885e- x 4 = x =.8434e-4ε 4 =.466e-3 x 5 = x =.38655e-7ε 5 =.886e-6

14 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 4 x =.35m.49 x = x =.3e- ε =..55e- x = x =.846e-ε =.4759e-3 x 3 = x =.8874e-4ε 3 =.4864e-5 x =.5m.87 x = x =.4496e- ε =.6 x = x =.4833e-ε =.67 x 3 = x =.359e-ε 3 =.37 x 4 = x =.749e-ε 4 =.33e- x 5 = x =.39e-3ε 5 =.443e- x 6 = x =.565e-6ε 6 =.534e-5 Provare x = come punto iniziale: ottengo x 3 = ( x =.9584e-7 ε 3 =.6e-6 ) perchè ad una iterazione il punto non si mantiene nell intervallo (non sono infatti soddisfatte le ipotesi del teor.di punto fisso (m.5). x = m. dicotomico o di bisezione consideriamo come intervallo iniziale il seguente [,.5]

15 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 5 m. della secante variabile x = x =.5 x = x = x 3 = x 3 = x 4 = x 4 = x 5 = x 5 = x 6 = x 6 = x 7 = x 7 = x 8 = x 8 = x 9 = x 9 = x = x = x = x = x = x = x 3 = x 3 = x 4 = x 4 = x 5 = x 5 = x 6 = x 6 = x 7 = x 7 = x 8 = x 8 = x 9 = x 9 = x = x = x = x = x = x = x 3 = x 3 = x 4 = x 4 = x 5 = x 5 = x 6 = x 6 = x 7 = x 7 = x 8 = x 8 = x 9 = x 9 = x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = Questo grafico in scala semilogaritmica visualizza l andamento di x all aumentare del numero di iterazioni

16 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 6 Determinare con 5 decimali esatti l intersezione delle curve y=cos(x) y=log x +e -x Poniamo f(x) = cos(x) - log(x) - e -x ; nel dominio ], + [ la f(x) è continua e derivabile; da una prima analisi del grafico la soluzione x* è compresa tra.8 e.4, e dato che la funzione è monotona la radice da cercare è unica m. di Newton-Raphson Questo metodo è un caso particolare del metodo di punto fisso, quindi l errore al passo n-esimo ( m una volte soddisfatte le ipotesi ) può essere maggiorato come segue : x * xn xn xn. m Senza studiare approfonditamente Φ (x) in tutto l intervallo di studio, possiamo approssimare la costante m con Φ (x ), quindi.f (x) = - sin(x) - / x + e -x f (x) = - cos(x) + / x - e -x m f ( x ) f ''( x ). [ f '( x) ] x Considero come punti iniziali i valori x =.8.4 ; notare come cambiando la costante m risultano influenzate la velocità di convergenza e la relazione tra x e ε n. x =.8m.85 x = x =.399ε =.88e- x = x =.7366e-ε =.6846e-3 x 3 = x =.686e-6ε 3 =.6335e-7 x =.4m.8 x = x =.848ε =.535e- x = x =.658e-ε =.996e-4 x 3 = x =.3646e-7ε 3 =.595e-9

17 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 7 m. dicotomico o di bisezione consideriamo come intervallo iniziale il seguente [.8,.4] m. della secante variabile x =.8 x =.4 x = x = x 3 = x 3 = x 4 = x 4 = x 5 = x 5 =-.83

18 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 8 Determinare la parabola y = α x+ α x + α che meglio approssima, nel senso dei minimi quadrati, i seguenti dati. x y Usando la stessa notazione del libro, possiamo scrivere A = b = Resta ora da determinare il vettore x dei coefficienti risolvendo il sistema (A t A) x = A t b, in quanto le colonne di A sono linearmente indipendenti; tale soluzione può essere determinata con uno qualunque dei metodi visti per sistemi con matrice dei coefficienti simmetrica e definita positiva, ad esempio Cholesky. A t A * x = A t b * α α α = Risolvendo x = La parabola cercata è quindi la seguente: y = x+.837 x Lo stesso risultato può essere ottenuto applicando la decomposizione QR alla matrice A, ed in questo caso dovrò minimizzare il vettore R x - b,dove A = Q R e Q t b = b b Infatti Ax - b = QR x - b = Q T (QRx -b ) = Rx - Q T b = R x - b b Dovendo minimizzare l ultimo vettore potrò lavorare solo sulla sua parte superiore, non potendo modificare b.

19 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 9 Effettuando la decomposizione ottengo: Q = R = b = In questo caso basta applicare la sostituzione all indietro ottenere il risultato voluto.

20 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO Risolvere il sistema lineare A x = b, dove 3 - A =.-.5. b = -.5. Per risolvere il sistema utilizziamo il metodo di Gauss e la decomposizione L U m. di Gauss I coefficienti della matrice sono confrontabili, quindi non c è bisogno del bilanciamento o del pivot. Applicando l algoritmo illustrato nel libro ottengo: k= A = b = k= A = b = k=3 A = b = Non resta ora che applicare la sostituzione all indietro, quindi ottengo: x=

21 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO decomposizione L U L = /3 /3 3/63 U =3-3/ /5 63/5 / 657/36 (notare che anche le matrici L ed U sono a banda) Il problema A x = b è quindi diventato (L U) x = b ossia L (U x) = b ; pongo quindi y = U x, risolvo il sistema L y = b, infine il sistema U x = y. Si ha : y = - /3 44/45-44/445 ex = -/3-34/337 9/433-7/9993 Calcolare l'indice di condizionamento di A, k(a)= A A-, dove A è la norma massima per righe. Stimare k(a). Avendo già decomposto A nel prodotto delle matrici L U t.c. A = L U, posso scrivere A - = U - L - ; U - L - A - = U - L A =. ; A - =.799 k(a) =

22 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO Dovendo stimare k(a), considero i seguenti vettori: y = y =.5-3 y 3 = - 4 z = z = z 3 = γ = max { y i / z i } dove y / z =. y / z =.5 y 3 / z 3 =.6557 γ =.6557 L indice di condizionamento così stimato è A * γ =

23 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 3 Risolvere con il metodo di Gauss il sistema Ax = b, dove A =.b = Data la particolare disposizione degli elementi di A opero dapprima una permutazione delle righe e poi applico il metodo di Gauss. Opero i seguenti scambi : riga 3 <---> riga ; riga <---> riga, ottengo A = b = k= A = b = Applicando la sostituzione all indietro ottengo la soluzione x =

24 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 4 Determinare i fattori triangolari L ed U tali che A=L U e risolvere il sistema A x = b con A =b = Determinare A-. La matrice A è a banda; posso quindi applicare l algoritmo di Thomas ottenendo: L = -/7 7/ U = 4-7 /7-4/ A x = b (L U) x = b L (U x) = b L y = b, dove y = U x. Risolvo y con sostituzione in avanti, infine trovo x con sostituzione all indietro. y = -/4 9/ 3/7-4/ x = -/ -/ 83/4-4/4 A - = U - * L - U - = 4/7-8/ -/5 -/7 / / 7/ 7/4 /4 L - = - -4/7 /7 4/ -/ -7/ A - = /5 /5-3/5 -/5 /5 -/ 3/ / -3/ 3/ /4 7/4 / -/ -7/4 /4 Infine ottengo la stessa soluzione valutando x = A - b.

25 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 5 Determinare la regione contenente tutti gli autovalori della matrice A, con -3 A=- --6 Calcolare inoltre il polinomio caratteristico di A, gli autovalori ed i corrispondenti autovettori. Per il teorema di Gershgorin la regione del piano complesso che contiene tutti gli autovalori della matrice è l intersezione delle seguenti due regioni: R={z C : z - < (++3) } {z C : z - < (+) } {z C : z - < } {z C : z - < (++6) } S = {z C: z - < } {z C: z - < (+) } { z C: z - < (++6) } {z C: z - < (3++) } In questo caso è semplice trovare la soluzione anche osservando semplicemente le restrizioni imposte a z; R = {z C : z - < 9 } = S, quindi la regione cercata è R. Per trovare il polinomio caratteristico p A (λ) possiamo o determinare il determinante della matrice (A- λ I) o utilizzare l algoritmo suggerito nel libro, applicato qui di seguito. Ipotizzando autovalori distinti prendo z = 4-3 z = A z = z = A z = z 3 = A z = z 4 = A z 3 = Il polinomio è quindi p A (λ) = λ 4 + β 3 λ 3 + β λ + β λ + β, in cui i coefficienti β i risolvono il sistema: [ z z z z 3 ] β β β β 3 = z β β β β 3 = Risolvendo il sistema con uno dei metodi noti ottengo: p A (λ) = λ 4-5 λ λ + λ -.

26 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 6 Per determinare gli autovalori della matrice A dobbiamo trovare le radici del polinomio caratteristico : ottengo λ = λ = λ 3 = - λ 4 =3; Cerco gli autovettori corrispondenti (essi sono linearmente indipendenti in quanto gli autovalori sono distinti); per determinare l autovettore corrispondente a λ = devo trovare il nucleo dell applicazione lineare A - λ I, risolvendo il sistema (A - I ) * u = x u - *u = - u u 4 osservo subito che u 3 = u u -- *u = u 4 -- u *u =-u 4 u u =-- *-u 4 =4u 4 Sostituendo ottengo il vettore u = 3 4 Gli altri autovettori si possono determinare con lo stesso procedimento, o utilizzando il comando MatLab eig ; ottengo u = u 3 = u 4 =

27 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 7 Determinare λ, l'autovalore dominante di A, e v, il corrispondente autovettore con 35-4 A = Per trovare l autovalore dominante, cioè quello di modulo massimo potremmo determinare la radice di modulo massimo del polinomio caratteristico, o più semplicemente iterare un opportuno vettore finché l autovalore dominante emerge con il numero di cifre decimali esatte. Considero il vettore iniziale z = Si ottiene: α =. α = α = α 3 = α 4 = α 5 = α 6 = α 7 = α 8 = α 9 = α = α = α = α 3 = α 4 = α 5 = α 6 = α 7 = α 8 = α 9 = σ = σ = σ = σ 3 = σ 4 = σ 5 = σ 6 = σ 7 = σ 8 = σ 9 = σ = σ = σ = σ 3 = σ 4 = σ 5 = σ 6 = σ 7 = σ 8 = σ 9 =, poi costruisco una successione di α k e σ k, dove α k = z k, y k = z k / α k, σ k = y k t * A * y k Il corrispondente autovettore v =

28 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 8 Dire se è risolubile con il metodo di Jacobi e di Seidel il sistema A x = b, con 6 A =-4b = 4-5 In caso affermativo, a partire da x =[ ]t determinare la soluzione con due decimali esatti. Jacobi Decomponendo A = L + D +U, la matrice di iterazione è E j = (I D - A) = -D - (L+U) ha raggio spettrale <, infatti E = -/3 -/6 /4 -/ -/4 -/4 /5 /5 ha, per il teorema di Gershgorin, gli autovalori sicuramente compresi nel cerchio di raggio unitario e centro l origine. Applicando lo schema iterativo x k+ = E j x k + D - b ottengo la soluzione con l approssimazione cercata al 4 passo; la successione x k è : x x x x 3 x Seidel Decomponendo A = L + D +U, la matrice di iterazione E s = I (L+D) - A = - (L+D) - U ha raggio spettrale <, con E s = -/3 -/6 /4 5/48 -/6 -/4 -/5

29 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 9 Applicando lo schema iterativo x k+ = E j x k + (L+D) - b ottengo la soluzione con l approssimazione cercata al 3 passo; la successione x k è : x x x x Lo schema di iterazione può essere realizzato anche in una maniera che sembrerebbe implicita, cioè x k+ = - D - ( L x k+ + U x k ) + D - b, ma non lo è se notiamo che nel calcolo della r-esima componente influiscono solo le r- componenti, in quanto L è tridiagonale bassa con elementi nulli sulla diagonale. Ottengo: x x x x 3 x

30 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 3 Dire se il sistema A x =b è risolubile con lo schema iterativo x k+ =E x k + q, dove - A =7-- b= E = q = In caso affermativo eseguire 4 passi dell'algoritmo a partire da x =[,,,]t.. Dare una stima dell'errore. Per vedere se il sistema sia risolubile con lo schema iterativo dato occorre innanzitutto verificare che ρ(e)<, poi che risolva quel sistema, e quindi verificare che q = (I - E) A - b. Eseguite queste verifiche posso utlizzare lo schema iterativo proposto, ottenendo: x = x = x 3 = x 4 =

31 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 3 Scrivere la tabella delle differenze divise per il seguente insieme di dati. Servirsene per stimare f(.64). x y Stimare f '(.) con la massima accuratezza possibile. La tabella delle differenze divise si costruisce in questo modo:.5 x 3.4 f(x ) f ( x x x ) f ( x ).7 x.9 x. x 3.3 x f(x ).6346 f(x ).64 f(x 3) -.83 f(x 4) -4.3 f ( x x ) f ( x) x -.4 f ( x x x 3 ) f ( x) f ( x x 4 ) f ( x3) 4 x ( ) / (.9-.5) ( ) / (.-.7).687 ( ) / (.3.9).98 ( ) / (.5-.) ( ) / (.-.5) ( ) / (.3-.7) ( ) / (.5-.9) 3.85 ( ) / (.3-.5) 3.66 ( ) / (.5-.7).5 x f(x 5) f ( x x x 5 ) f ( x4) 5 4 La tabella è stata fermata al 4 ordine dato che l errore di troncamento compiuto dal calcolatore diventa non trascurabile. Per stimare f (.) con la migliore accuratezza possibile usiamo l estrapolazione di Richardson: calcolate f x h f x h F ( ( + ) ( ) f x h f x h h) = = -.67 e F h h ( ( + ) ( ) ) = = ottengo come 4 h stima dell errore il termine ( F h) F ( h) a h = =.95, quindi posso scrivere 3 f (.) F (h) +a h =

32 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 3 Scrivere la tabella delle differenze divise per i seguenti dati x f(x) Determinare tutti i possibili polinomi interpolatori per stimare il valore della funzione in x=.9 Lagrange P L + + ( x) = (x -.4) (x -.8) (x -.) (x -.6) (-.4) (-.8) ( -.) (- (x -) (x -.4) (x -.) (x -.6) (.8 -) (.8 -.4) (.8 -.) (.8 -.6) (x -) (x -.4) (x -.8) (x -.) (.6 -) (.6 -.4) (.6 -.8) (.6 -.) ) (x -) (x -.8) (x -.) (x -.6) (.4 -) (.4 -.8) (.4 -.) (.4 -.6) (x -) (x -.4) (x -.8) (x -.6) (. -) (. -.4) (. -.8) (. -.6) Ora non resta altro che calcolare P L (.9) senza calcolare i coefficienti del polinomio per non peggiorare l accuratezza; ottengo P L (.9) =.367. Newton Per prima cosa devo scrivere la tabella dalle differenze divise x.845 f(x ).34 f ( x x x ) f ( x ).4 x.8 x. x f(x ).574 f(x ).439 f(x 3) f ( x x ) f ( x) x -.7 f ( x x x 3 ) f ( x) ( ) / (.8-) 3.48 ( ) / (.-.4).76 ( ) / (.6-.8) 7.76 ( ) / (.-) ( ) / (.6-.4) ( ) / (.6-).6 x f(x 4) f ( x x 4 ) ( 3 ) f x x3 4 Posso scrivere quindi il polinomio interpolante P N (x) = (x-)*.34+(x-)*(x-.4)* (-6.666)+(x-)*(x-.4)*(x-.8)*7.76+(x-)*(x-.4)*(x-.8)*(x-.)*(-6.534)

33 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 33 P N (.9) =.367. Spline lineare f (.) f (.8) f (.9) = * (.9.8) + f (.8) = Spline quadratica Per determinare f(.9) utilizzando la spline quadratica devo determinare i coefficienti c i nei vari intervalli, ed in particolare a me serve c, quello relativo l intervallo [.8,.]. Tali coeff. si rcavano risolvendo il sistema (notare che il passo h è costante): c c c 3 = (i termini noti sono stati ricavati utilizzando la formula (ricavata da quella del libro) : c i = f f + f h i+ i i i c i =,..., n c = c = -.33 c = c 3 = Dato che f(.9) = S (.9) dobbiamo prima scrivere S ( x) = f +. 8 f. f ( x 8. ) + c ( x 8. )( x. ) ottenendo f(.9) = -.5 Spline cubica Come confronto utilizzo il MatLab per determinare f(.9) attraverso la spline cubica, ottenendo f(.9) =.3785.

34 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 34 Data la funzione x f(x) calcolare.6 I = f ( x) dx con il metodo di Cavalieri-Simpson. Dare una stima dell'errore. I = (.6-) / (3*4) [ f + 4 f.4 + f f. + f.6 ] =.498. Per dare una stima dell errore posso calcolare l integrale I in un n metà di intervalli, cioè determinando I = (.6-) / (3*) [ f + 4 f.8 + f. ] =.887. I Ottengo così una migliore stima dell integrale ponendo I = I + I

35 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 35 Applicando il metodo di Romberg stimare il valore del seguente integrale x I = x e dx con 4decimali esatti. Il metodo di Romberg fa un uso sistematico dell estrapolazione di Richardson a partire dei valori ottenuti applicando il metodo dei trapezi (colonna A), quindi seguendo l algoritmo descritto nel libro si ha: A(m) / 3 B(m) /5 C(m) 3/63 D(m) e-5.36 x Quindi I = x e dx. 36

36 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 36 Risolvere il seguente problema di Cauchy con h=., h=. ed h=.4 con il metodo di Eulero esplicito, Eulero implicito, Crank-Nicolson. y' = x y y(.3) = Confrontare i risultati.

37 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 37 Calcolare log( + x - ) dx con 4 decimali esatti. Utilizzando il metodo di Cavalieri-Simpson potrei stimare a priori il numero di intervalli richiesti per soddisfare la specifica, ma questo metodo presuppone la conoscenza della derivata quarta ( R T b a h 4 f ( iv = ) ( ) 8 raggiunta l approssimazione richiesta. η ) ; quindi ricavo passo passo l errore ottenuto, e mi fermo una volta Per migliorare il risultato uso l estrapolazione di Richardson, che mi consente di effettuare dei calcoli relativi l integrale in numero minore e nello stesso la stima così ottenuta può essere corretta con il termine ~ I( n) I( n) e =. 5 Per intervallo compreso nell intervallo [ -, ] ho n =, quindi ( ) I = b a n [ f + 4 f + f 3 ] = ( 6 log ). 687 considero n=4, ho I ( b a) [ f 4 f f 4 f f ] = 3n = ( log + 8log( 5. )) La stima dell errore è quindi ( I - I ) / 5., quindi ho stimato l integrale a meno di tre cifre decimali. I = ( b a ) [ f 4 f. f.5 4 f. f 4 f. f.5 4 f. f ] n = = [ log + 8log( 565. ) + 4log( 5. ) + 8log( 65. )] Stavolta la stima dell errore è ~ I I e =.. 5 I I + e~ 3 =

38 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 38 Dato il problema ai valori iniziali y' = (x + x y ) y() =.5 stimare y(.) eseguendo due passi con il metodo di Runge-Kutta del 4o ordine ed h=.. Dare una stima dell'errore. h =. Applicando l algoritmo proposto posso scrivere k = h f(x, y ) = k = h f(x + h/, y + k /) =.35 k 3 = h f(x + h/, y +k /) =.399 k 4 = h f(x + h, y+k 3 ) =.67 y(.) y = y + /6 ( k + k + k 3 + k 4 ) = k = h f(x, y ) =.67 k = h f(x + h/, y + k /) =.3674 k 3 = h f(x + h/, y +k /) =.5348 k 4 = h f(x + h, y +k 3 ) = y(.) y + /6 ( k + k + k 3 + k 4 ) = h =. k = h f(x, y ) = k = h f(x + h/, y + k /) =.3 k 3 = h f(x + h/, y +k /) = k 4 = h f(x + h, y+k 3 ) = y(.) y = y + /6 ( k + k + k 3 + k 4 ) = una stima dell errore è R T ( y(. ) h=. - y(.) h=. ) / 5 = 3.4-6, quindi y(.) =.63838

39 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 39 y''' y'' + y = y( ) = Data il problema di Cauchy y'( ) = y''( ) = stimare la soluzione per x=.4 con il metodo di Crank-Nicolson ed h=.. Allo scopo di usare il metodo di Cranck-Nicolson trasformo il problema dato come una equazione diff. di ordine tre in un sistema di equaz. diff. di ordine uno, ponendo z = y(x), z = y (x), d = z d = z d 3 z3 z z 3 = y (x). ( ) = z ( ) z ( ) = z' z z' = z z' 3 z3 z = Il metodo di Cranck- Nicolson consiste quindi nell applicare il seguente schema z n+ = z n +h/ * [ A*z n+ + A*z n ], dove A = Dato che si tratta di un sistema lineare posso esplicitare rispetto z n+, ottenendo z n+ = E z n, dove E h h = I A I A + = La soluzione sarà quindi la prima componente del vettore z, ottenuta dopo aver iterato volte lo schema proposto; si ha y() = y(.) =.4 y(.4) =.733

40 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 4 Determinare l'ordine del metodo lineare a passi y n+ - y n = h/ 3 (fn+ + 4 fn+ + fn) e dire se è convergente. y' = x y Usarlo, con h=., per stimare la soluzione del problema di Cauchy y( ) =. 3 in x=.. Confrontare il risultato con quello fornito dal metodo di Runge-Kutta di ordine quattro. Lo schema proposto è uno schema del tipo seguente : α y = h β f k i= caso k =, α = -, α =, α =, β = /3, β = 4/3 β = /3. i n+ i i n+ i i= k, dove nel nostro q L ordine di questo schema è q se c =c =...= c q = e c q+ =, dove cq = ( i) α i q ( i) c = + - = c = [ * (-) + * + * ] - /3 * [ + 4 +] = - = c = [ * (-) + * + 4 * ] - / 3 * [ * + * 4 + * ] = 4-4 = c 3 = [ * (-) + * + 8 * ] - [ * + * * ] = 8-8 = c 4 = [ * (-) + * + 6 * ] - 4 / 3 * [ * + * * ] = 6-6 = c 4 = [ * (-) + * + 3 * ] - 5 / 3 * [ * + * * ] = 3 - /3 il metodo è di ordine quattro. Per studiare la convergenza devo verificare che il metodo sia consistente ( lo è dato che c = c = ) e che sia zero-stabile, cioè che le radici del primo polinomio caratteristico p(ζ) = ζ - risiedano all interno della circonferenza di raggio unitario ( o che quelle di modulo siano radici semplici ). In questo caso trovo semplicemente ζ = e ζ = -, quindi posso concludere: il metodo è consistente e zero-stabile il metodo (di Simpson) è convergente. Trovo l ulteriore condizione iniziale con il metodo di Heun : k = h f(x, y ) =.6 k = h f(x +h, y + k ) =.98 y(.) = y() +.5 * (k + k ) =.3696 Applicando il metodo posso scrivere y(.) -.3 =./3 * ( *.*y(.) + 4 * *. * * *.3) y(.) = y(.) y(.) = k i= k i= q β i.

41 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 4 Aplicando il metodo di Runge-Kutta otterrei : h =. k = h f(x, y ).6 k = h f(x + h/, y + k /) =.693 k 3 = h f(x + h/, y +k /) =.7765 k 4 = h f(x + h, y+k 3 ) = y(.) y = y + /6 ( k + k + k 3 + k 4 ) =.3735 k = h f(x, y ) =.84 k = h f(x + h/, y + k /) = k 3 = h f(x + h/, y +k /) = k 4 = h f(x + h, y +k 3 ) =.86 y(.) y + /6 ( k + k + k 3 + k 4 ) = La differenza tra i due metodi è quindi di circa

42 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 4 Data la funzione f(x) definita dalla seguente tabella, x f(x) calcolare f(x) dx con la massima accuratezza possibile. Dare una stima dell'errore.

43 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 43 Determinare l'ordine del metodo lineare a 3 passi y n+3 - y n = (h/ ) ( 7 y' n y' n ) e dire se è convergente. In caso affermativo, applicarlo, con h=., per stimare la soluzione del problema di Cauchy y' = ( x + xy ) y( ) = 5. in x=.. Trovare le ulteriori condizioni iniziali con il metodo di Heun. Lo schema proposto è uno schema del tipo seguente : α y = h β f k i= i n+ i i n+ i i= caso k = 3, α = -, α =, α =, α 3 =, β = 49/, β =, β = 7/, β 3 =. k, dove nel nostro q L ordine di questo schema è q se c =c =...= c q = e c q+ =, dove cq = ( i) α i q ( i) c = = c = [ * (-) + * + * + 3* ] - / * [ ] = 3-6.3??? il metodo è di ordine zero. k i= k i= q β i. Per studiare la convergenza devo verificare che il metodo sia consistente ( lo è dato che c = c = ) e che sia zero-stabile, cioè che le radici del primo polinomio caratteristico p(ζ) = ζ - risiedano all interno della circonferenza di raggio unitario ( o che quelle di modulo siano radici semplici ). In questo caso trovo semplicemente ζ = e ζ = -, quindi posso concludere: il metodo è consistente e zero-stabile il metodo (di Simpson) è convergente. Applicando il metodo posso scrivere y(.) - y() =./3 * ( *.*y(.)

44 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO NUMERICO 44 Data l'equazione differenziale y (3) +4 y() + y - = con condizioni iniziali y() = -, y'() =, y"() = stimare la soluzione per x=.4 con il metodo di Crank-Nicolson ed h=.. Allo scopo di usare il metodo di Cranck-Nicolson trasformo il problema dato come una equazione diff. di ordine tre in un sistema di equaz. diff. di ordine uno, ponendo z = y(x), z = y (x), z 3 = y (x). d xz = z d xz = z 3 d xz3 = 4 z3 z + z ( ) = z ( ) = z3 ( ) = z' z' z' 3 = z z 4 z z = 3 + Il metodo di Cranck- Nicolson consiste quindi nell applicare il seguente schema z n+ = z n +h/ * [ A*z n+ + A*z n + b], dove A = 4 e b = Dato che si tratta di un sistema lineare esplicito z n+, ottenendo z n+ = E z n + q, dove E h h = I A I A + = h q = I A b = La soluzione sarà quindi la prima componente del vettore z, ottenuta dopo aver iterato 4 volte lo schema proposto; si ha y() = - y(.) = y(.) = y(.3) = y(.4) = -.447