ESERCIZI DI CALCOLO NUMERICO

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1 ESERCIZI DI CALCOLO NUMERICO Mawll Equazioni non linari: problma di punto fisso Esrcizio : Si vogliono approssimar l soluzioni dll quazion non linar. Dtrminar il numro di radici dll quazion localizzarl. Il problma f può ssr riformulato com un problma di punto fisso con (almno) l sgunti du funzioni: ; ( ). Si richid di stabilir s il mtodo dll itrat succssiv può convrgr; s può convrgr, indicar di punti iniziali pr cui convrg; s può convrgr, indicar l ordin di convrgnza. Soluzion: Pr dtrminar il numro di radici è possibil ragionar graficamnt studiando l quazion, cioè crcando l intrszioni fra la funzion y la funzion y. La funzion y non è altro ch la bisttric dl primo dl trzo quadrant. La funzion y è invc una curva a campana di tipo gaussiano, in quanto è parnt strtta dlla curva gaussiana standard y. È possibil affrmar con sicurzza ch y è smpr strttamnt positiva in un qualsiasi intrvallo limitato di R ; ha un massimo in corrispondnza di, in cui assum valor unitario; è crscnt pr l < dcrscnt pr l >. La bisttric dl primo dl trzo quadrant, invc, assum valori positivi pr l asciss positiv valori ngativi pr l asciss ngativ. Inoltr è monotona crscnt. L intrszion tra l du curv può sistr solamnt nl primo quadrant, poiché l du funzioni assumono ntramb valori positivi pr asciss positiv. Inoltr, pr considrazioni gomtrich sul sgno dll drivat prim, si può

2 Mawll concludr ch la soluzion è unica, cioè i du grafici si intrscano in uno un solo punto. Il grafico dll funzioni è il sgunt:,5,,5, -,5 -, Dato ch R, si dduc ch < <. Infatti pr la curva a campana assum il valor massimo, ma la bisttric assum valor nullo. Vicvrsa, pr la bisttric assum valor unitario, ma la curva a campana assum un valor sicuramnt minor di. Quindi l intrszion fra l du curv,. si trova, pr forza, all intrno dll intrvallo Problma di punto fisso Vrifica dlla corrttzza dll riformulazioni propost: : : ntramb l riformulazioni propost sono corrtt.

3 Mawll Convrgnza: (,) ( ) > tnuto conto dl fatto ch (,). Quindi il mtodo non può convrgr prché non si soddisfano l condizioni dl torma di convrgnza. ( ) dato ch (,), oprando una maggiorazion dl modulo dlla drivata prima calcolata in, si ottin ( ) <. Quindi il mtodo può convrgr. Punti iniziali: [,] [ a, b] [,] Vrifica dl soddisfacimnto dll condizioni dl torma di convrgnza global C [ a, b]? Sì, prché C ( R) : [ a, b] a [ a, b]? Sì, prché,. K <, [,]? Sì, prché ( ) < con Allora è garantita la convrgnza [,]. in ( ). K. Ordin di convrgnza: La drivata prima ( ) ( ) ( ) si può annullar solamnt in, ma poiché è chiaro ch non è il punto fisso, infatti, è possibil. Quindi l ordin di convrgnza è. concludr ch

4 Mawll Esrcizio : Data l quazion non linar ch ha un unica radic. 5, studiar la convrgnza di sgunti mtodi itrativi pr l approssimazion di : (problma di punto fisso con ); ); (problma di punto fisso con ); ( )(problma di punto fisso con ( ) ( ) (problma di punto fisso con ( ) ). Soluzion: Primo caso: dato ch. 5 allora ( ) ( ) > il mtodo non convrg. Scondo caso: ( ) ( ).6 <.6 il mtodo convrg con ordin di convrgnza. Trzo caso: ( )

5 Mawll 5.. < il mtodo convrg con ordin di convrgnza. A parità di ordin di convrgnza, è più rapido il mtodo ch prsnta minor. Quarto caso: il numrator è sattamnt ugual all quazion di partnza quindi, poiché il punto è una soluzion di tal quazion, si ha < il mtodo convrg con ordin di convrgnza almno. ricordando ch, in, val quindi lordin di convrgnza è. Qusto risultato non è inaspttato. Infatti, qusto mtodo coincid con il mtodo di Nwton applicato all quazion di partnza:

6 Mawll 6 f quindi l ordin di convrgnza è.