Esercitazione di Calcolo Numerico 1 27 Maggio Calcolare la fattorizzazione P A = LU della matrice A =

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1 Esercitazione di Calcolo Numerico 1 27 Maggio Calcolare la fattorizzazione P A = LU della matrice A = 2 3 3, ed utilizzarla per risolvere il sistema lineare Ax = b, con b = (1, 2,, 16) T. 2. Si calcoli il numero di condizionamento rispetto alle norme con indice 1, 2 e della matrice 1 1 A = Risolvere il sistema lineare 2x 1 x 2 + 2x = x 2 + 2x 3 = x 1 + 2x 3 5x = 2 x 1 1x 2 x x = 1 mediante l algoritmo di Gauss.. Data la matrice A = γ γ γ dire per quali valori del parametro reali γ essa risulta non singolare e per quali valori i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel, applicati al sistema lineare Ax = b risultano convergenti. 5. Classificare la seguente formula alle differenze finite per la risoluzione numerica di un problema di Cauchy { ηi+1 = η i + h 3 [ f(xi, η i ) + f(x i + h 3, η i + h 3 f(x i, η i )) + f(x i + h, η i + hf(x i, η i )) ] η = y e studiarne la convergenza. 1,

2 6. Calcolare in x = 1 il polinomio di secondo grado che approssima nel senso dei minimi quadrati la seguente tabella di dati x i y i Dire se il polinomio trovato è interpolante. Soluzioni: Esercizio devo scambiare la prima riga con la quarta: 1/2 3/ 1/, (1/2) (1/2) (1/2) (3/) (3/) (3/) 2 (1/) 3 (1/) (1/) ora devo scambiare la seconda riga con la terza e procedere con l algoritmo: 3/ 3 2/ = 1/2 2 3 ; 2

3 (3/) (3/) 3 (1/2) (1/2) 3 ora non devo fare alcuno scambio di righe. Procedendo con l algoritmo si ha: 3/ 3 (3/) La matrice di permutazione P è data da: 1 P = P 2 P 1 = mentre, L = 1 3/ 1 1/2 3/ 1 1/ 1/2 3/ , U = = Ora occorre risolvere la coppia di sistemi triangolari { Ly = P b, Ux = y. ; con b = (1, 2,, 16) T. Il sistema triangolare inferiore da risolvere è: 1 y / 1 y 2 1/2 3/ 1 y 3 = = 1/ 1/2 3/ 1 y , ,

4 la cui soluzione è: y 1 = 16 y 2 = (3/)16 = 8 y 3 = 2 (1/2)16 (3/)( 8) = y = 1 (1/)16 (1/2)( 8) 3/( ) = e il triangolare superiore diventa: con soluzione immediata: x 1 x 2 x 3 x x 1 = x 2 = 2 x 3 = 1 x = 1 Esercizio 2 =. 16 8, Per calcolare κ 1 (A) e κ (A), è necessario calcolare A 1. Si trova facilmente che 1 1 A 1 = Possiamo quindi calcolare κ (A) e κ 1 (A) A = 2, A 1 = 2 κ (A) =, A 1 = 3, A 1 1 = 3 κ 1 (A) = 9. Per calcolare κ 2 (A) occorre fare ricorso alla formula λ max (A κ 2 (A) = A) λ min (A A) = λ max (A T A) λ min (A T A), perché la matrice A ha entrate reli. Pertanto devo calcolare gli autovalori della matrice A T A, che saranno per certo reali (visto che A T A è reale e simmetrica): 1 λ λ λ =,,

5 (1 λ) 3 λ λ λ =, quindi gli autovalori sono λ 1 = 1 e Di conseguenza κ 2 (A) = (1 λ)[(3 λ)(1 λ) 1] (1 λ) =, = (1 λ)[(3 λ)(1 λ) 1 1] =, 1/2 /2 = 2 (1 λ)(λ 2 λ + 1) =, λ 2,3 = 2 ± 1 = 2 ± = Esercizio (2 + 3) 2 (2 3)(2 + 3) = (1/2)( ) 2 (1/2) 5 (1/2)2 1 2( ) 1 2() 19 2(2) 2/ = 1/2 2/ = 1/ ; 2 (1/2) 1 2() 2

6 ( 1/2)2 6 ( 1/2) 1 (1/2)2 15 (1/2) 2/3 = ( 2/3)( 6) ( 1/2)( ) 2 (1/2)( ) 6 ; 6 6 ( 2/3)( 6) 6. Applicando l algoritmo di sostituzione all indietro, si trova il seguente risultato: x = x 3 = 1/3[ 6 ( 6)] = 2. x 2 = 1/[ 2( 2) ()] = x 1 = 1/2[ ( ) ( 2) 2()] = 2 Esercizio Per capire per quali valori del parametro γ la matrice A è non singolare, occorre calcolarne il determinante: γ γ γ = γ 1 1 γ + γ = γ2 γ = γ(γ 1), 6

7 dove la regola di Laplace è stata applicata rispetto alla prima colonna. Quindi la matrice è non singolare per tutti i γ reali diversi da e 1. Verifichiamo ora per quali valori del parametro reale γ il metodo di Jacobi risulta convergente. Sappiamo 1 che tale metodo converge se e solo se ρ(b J ) < 1 dove B J = I D 1 A con D = diag(a) = diag{γ, 1, γ} e come sappiamo D 1 = diag{γ 1, 1, γ 1 }. Si ha: B J = /γ 1 1/γ γ γ γ = 1/γ 1 1 Quindi calcolo gli autovalori della matrice B J notando che non è simmetrica, e pertanto posso aspettarmi autovalori complessi. λ 1/γ λ 1 1 λ =, λ λ 1 λ 1 1/γ λ 1 =, Da cui si trova: λ 3 1 γ =, ( λ + 1 ) ( λ 2 λ γ 1/3 γ + 1 ) =. 1/3 γ 2/3 λ 1 = 1 γ, 1/3 λ 2,3 = 1 ( ) γ ± 1/3 γ i. 2/3 Si vede facilmente che λ 1 = λ 2 = λ 3, infatti 1 γ 1/3 = λ 1 = λ 2,3 = 1 [ 1 2 γ + 3 ] 1/2 = 1 2 2/3 γ 2/3 2 γ 1/3. Di conseguenza ρ(b J ) < 1 1 γ 1/3 1 Si vedano i paragrafi 5.1 e 5.2 del testo. < 1 γ 1/3 > 1 γ > 1.. 7

8 Per il metodo di Gauss-Seidel si procede in modo analogo studiando però il raggio spettrale della matrice di iterazione B GS = (D E) 1 F dove 1 E =, F = 1. γ Quindi B GS = = γ 1 γ γ 1 1/γ 1 1/γ 1/γ = 1/γ 1 1/γ Come al solito, per capire per quali γ R, ρ(b GS ) < 1, devo calcolare gli autovalori di B GS : λ 1/γ λ 1 1/γ λ =, λ λ 1 1/γ λ + 1 γ 1 λ =, ( λ λ ) =. γ Di conseguenza gli autovalori sono λ 1 = e λ 2,3 = ±1/ γ. Quindi ρ(b GS ) < 1 1 γ < 1 γ > 1 γ > 1.. Esercizio 5 La formula alle differenze finite data in questo esercizio è monostep (la valutazione di η j+1 coinvolge solo η j e non le approssimazioni precedenti η j 1, η j 2...), esplicita (il valore da calcolare ad ogni passo η j+1 compare solo a sinistra dell uguale, e non tra gli argomenti della funzione f) e a tre 8

9 stadi 2. Visto che il metodo dato è monostep (si veda teorema 1.2), per studiare l ordine e la convergenza del metodo dato, occorre valutare l errore di discretizzazione locale τ(x, h) (dobbiamo cioè studiare la consistenza della formula). η i+1 = η i + h 1 [ f(xi, η i ) + f(x i + h 3 3, η i + h 3 f(x i, η i )) + f(x i + h, η i + hf(x i, η i )) ] }{{} φ(x i,η i ;h) η = y Una volta visualizzata φ(x, y; h) ne faccio lo sviluppo di Taylor rispetto ad h: φ(x, y; h) = 1 3 f(x, y) + 1 [ h f(x, y) f x(x, y) + h 3 f(x, y)f y(x, y) ] + 1 f(x, y) + hfx (x, y) + hf(x, y)f y (x, y) 3[ ] + O φ (h 2 ) ( 1 = f(x, y) ) [fx (x, y) + f y (x, y)f(x, y) ] h + O φ (h 2 ) 3 = f(x, y) + 9[ fx (x, y) + f y (x, y)f(x, y) ] h + O φ (h 2 ). Quindi ora posso valutare τ(x, y) = (x, y; h) φ(x, y; h), dove come sappiamo (si veda il paragrafo 1..1 Verifica della consistenza e dell ordine di alcune formule monostep del testo) (x, y; h) = f(x, y) + h 2 [f x(x, y) + f y (x, y)f(x, y)]h + O (h 2 ). Posso ora controllare come si comporta τ(x, h) nell intorno di h = : τ(x, h) =f(x, y) + h 2 [f x(x, y) + f y (x, y)f(x, y)] + O (h 2 ) f(x, y) 9[ fx (x, y) + f y (x, y)f(x, y) ] h O φ (h 2 ) = 1 18 [f x(x, y) + f y (x, y)f(x, y)] h + O(h 2 ). 2 Il numero di valutazioni di f effettuate ad ogni passo da una formula alle differenze finite viene detto il numero degli stadi di tale formula e costituisce la misura della sua complessità computazione. Infatti, la quantità di operazioni aritmetiche richiesta dai vari metodi risulta trascurabile rispetto al calcolo della funzione f, che può essere molto complicata. 9

10 Pertanto la formula è convergente e ha ordine uno in quanto τ(x, h) O(h) x R. Esercizio 6 Per trovare il polinomio di secondo grado (p 2 (x) = a + a 1 x + a 2 x 2 ) che approssima nel senso dei minimi quadrati la tabella x i y i , occorre risolvere il sistema normale X T Xa = X T y, dove X è la matrice di Vandermonde che si costruisce a partire dalle x i date nella tabella di dati, a è il vettore dei coefficienti del polinomio approssimante che cerchiamo (p n (x) = a + a 1 x + a 2 x a n x n ) e y è il vettore che contiene le y i date nella tabella di dati. Si ha a a 1 = , 1 9 a a a 1 a 2 = 9 Risolvendo il sistema ottenuto con Gauss+Pivoting di colonna, si ha: , applicando il pivoting di colonna, devo scambiare la prima riga con la terza: , /1 = 2/ (2/7)18 1 (2/7)98 9 (2/7) 1

11 / /7 A questo punto devo controllare chi è più grande in valore assoluto tra 1 e 36/7 e vedo che 1 > 36/7 e pertanto non devo fare alcun scambio di righe. Si ha: 36/7(1/1) = 18/ ( 18/9)(18) / / / /7 ( 18/9)(9) 9 68/9 E ora banale trovare la soluzione: a 2 = 68/362 = 3/181 a 1 = 1/1[9 18( 3/181)] = 1259/181 a = 1/1[ 18(1259/181) 98( 3/181)] = 119/181 Pertanto il polinomio dei minimi quadrati richiesto, vale: p 2 (x) = x x2,., e per capire se è anche il polinomio interpolante, occorre controllare se passa per i punti dati dalla tabella (cioè se p 2 (x i ) = y i con i =, 1, 2). Si vede subito che p 2 () = 119/181 1 e perciò il polinomio dato non è quello interpolante. Il valore del polinomio trovato in x = 1 è:. p 2 (1) = =

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