INTERPOLAZIONE MEDIANTE CURVE SPLINE. '' ( b ) = 0

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1 INTERPOLAZIONE EDIANTE CURVE SPLINE Defnzone del problema Sovente, nelle applcazon grafche (CAD Computer Aed Desgn), s ha la necesstà d traccare, dat alcun punt, una lnea che l raccord e che sa suffcentemente lsca 1. Interpolando normalmente per va polnomale, soprattutto con polnom d grado elevato, è probable che la sequenza d polnom nterpolator {p n (x)} non converga a una curva regolare. Il problema potrebbe essere attenuato, ma non elmnato, suddvdendo l ntervallo assegnato n ntervall pù pccol allo scopo d procedere all nterpolazone tramte polnom d grado nferore. Tuttava se voglamo essere cert che le funzon nterpolant, una volta assemblate, mtno completamente l comportamento d una curva l pù possble regolare dobbamo mporre, a monte, de vncol che ne condzonno la scelta. Rsoluzone del problema Ora descrvamo formalmente una famgla d funzon, che cameremo splne, n grado d rsolvere l problema. Sa I [ a, b] R ; suddvdamo I n n-1 sottontervall a a 1 < a 2 <... < a n b, non necessaramente d uguale lunghezza. Una splne S(x) d grado m è una funzone, defnta n I, che ha le seguent caratterstche: 1. concde con un polnomo d grado m n cascun sottontervallo I [ a 1, a ] 2,,... n; 2. è dervable con contnutà fno al grado m-1 Una splne S(x), così defnta, nterpola punt assegnat (a, y ) se: S( a ) y 1, 2,... n [ 1] Le ascsse {a } vengono dette nod della funzone splne. Il pù semplce esempo d splne è dato dalle splne lnear che consentono d ottenere una spezzata congungente nod assegnat. Il grafco che s ottene, essendo solo contnuo e non dervable, rsulta spgoloso e d scarsa utltà pratca, per questo motvo nelle applcazon CAD s preferscono le splne cubche, contnue fno alla dervata seconda. Le splne cubche che soddsfano alla condzone 2 : S '' ( a ) S '' ( b ) 0 [2] sono dette splne cubche natural. Cercamo ora d defnre l espressone delle curve splne S(x) (cubche natural). Poché S(x) è una cubca a tratt, S (x) è una quadratca a tratt, S (x) è una lneare a tratt e può essere espressa n generale nella seguente forma: S '' a x x x a ( ) h I h con h a a 1 2,,... n [] 1 S tratta percò d effettuare un nterpolazone del tutto partcolare, dove coè non è prevalente la mnmzzazone degl scart ma è d estrema mportanza la armonostà geometrca della curva nterpolante 2 Un altra famgla d splne può essere generata fssando l valore delle loro dervate prme n corrspondenza de punt nodal estrem (ved esempo b)

2 da cu: S '' ( a ) 1, 2..., n [4] dalla [2] s deduce che: 1 n 0 [5] Integrando due volte la [] s ottene: ( a x) ( ) S x x a 1 ( ) c ( a x) + d ( x a 1) I 6 6 Le costant c e d s determnano dalle condzon mposte dalla [1]. E la [6] s scrve: ( a x S x ) ( x a ) h a x ( ) y h h x a + y 1 I 6 Dervando la [7] s ottene: 2 ' ( a x S x ) ( x a ) y y ( ) h I In corrspondenza de nod a s ha: [6] [7] [8] ' h h y y S ( a ) ' h S a h y y ( + ) [9] a per la contnutà della dervata prma : ' ' + S ( a ) S ( a ) da cu: h h + 1 h y y y y 1 2,,..., n 1 [10] S ottengono n tal modo n-2 equazon per le n-2 ncognte 2,,... n-1 restant 4. Il sstema d equazon espresso dalla [10] s può scrvere pù sntetcamente usando le seguent notazon: La contnutà della dervata prma è tra l altro necessara per evtare la presenza d cuspd e punt angolos 4 1 e n sono nfatt defnte dalla [5]

3 h λ + 1 µ 1 λ + 6 y d y y y 1 + 2,,... n 1 [11] da cu: µ λ + 1 d 2,,..., n 1 [12] Ovvero n notazone matrcale: 2 λ2 0 2 d2 µ 2 λ d µ n 2 2 λ n 2 n 2 d n 2 0 µ n 1 2 n 1 dn 1 [1] e la determnazone della curva splne cubca naturale rsulta completamente defnta una volta che sano soddsfatte due ulteror condzon al contorno: λ 12 d1 µ n n n dn [14] Esempo a S determn la splne cubca naturale che nterpol le ordnate y n corrspondenza delle ascsse x rportate d seguto x y Con un semplce calcolo tabellare s rcavano le costant 5 defnte nella [11] x y h 8 µ d le costant 8 1 d 1 µ n d n 0 nserte nelle [14] soddsfano alla condzone [5]

4 Il sstema rsolutvo s presenta percò nella seguente forma: da cu s ottene: E la funzone splne rsulta costtuta da quattro cubche che s raccordano n corrspondenza de punt (0.;0.4), (0.4;0.6), (0.45;0.8) ( x 0. 25) 0 ( 0. x) ( x 0. 25) x [ 0. 25, 0. 0] 117. ( 0. 4 x) 48 ( x 0. ) ( 0. 4 x) ( x 0. ) x [ 0. 0, 0. 40] S( x) 96 ( x) 245. ( x 0. 4) 176. ( x) ( x 0. 4) x [ 0. 40, 0. 45] ( 0. 6 ) x ( 0. 6 x) ( x 0. 45) x [ 0. 45, 0. 60] Esempo b S determn la splne cubca che nterpol punt d cu all esempo a e con le dervate prme ne punt nodal estrem uguale a zero 6. Dalle [9] e dalle [14], rcordando valor vncolat delle dervate prme, s ottene: 6 Ovvero s mpone che le tangent alla splne ne punt estrem sano orzzontal.

5 λ 1 µ y2 y d1 240 h2 h y5 y d h5 h Il sstema rsolutvo s presenta nella seguente forma: da cu: E la curva splne rsulta costtuta da quattro cubche che s raccordano ne punt (0.0;0.4), (0.4;0.6), (0.45,0.8): ( 0. x) ( x 0. 25) 142. ( 0. x) ( x 0. 25) x [ 0. 25, 0. 0] ( 0. 4 x) ( x 0. ) ( 0. 4 x) ( x 0. ) x [ 0. 0, 0. 40] S( x) ( x) ( x 0. 4) 181. ( x) 680. ( x 0. 4) x [ 0. 40, 0. 45] ( 0. 6 x) + 68 ( x 0. 45) ( 0. 6 x) 4. ( x 0. 45) x [ 0. 45, 0. 60]

6 Esempo c Sempre consderando punt d cu agl esemp precedent, s potrebbe pensare d nterpolarl con una splne cubca avente n-2 nod (a 2, a, a 4 ), vncolata a passare per punt estrem dell ntervallo assegnato. Ovvero: S( a1 ) y1 S( an ) yn I valor d 8 2 e d 2 s determnano dalla [7] ponendo x a1 S( a1 ) y1 e, n modo del tutto analogo, 8 4 e d 4 s ottengono dalla [7] ponendo ( ) Dalla [12] s ottene: µ 0. 6 λ 0. d 80 Dalla [7] s ha: λ d2 128 λ4 5 d4 140 Il sstema rsolutvo s presenta nella seguente forma: x a S a y da cu s ottene: E la funzone splne rsulta costtuta da due sole cubche che s raccordano nel punto (0.4;0.6): ( 0. 4 x) ( x 0. ) ( 0. 4 x) ( x 0. ) x [ 0. 25, 0. 40] S( x) ( x) ( x 0. 4) 18. ( x) 615. ( x 0. 4) x [ 0. 40, 0. 60] Bblografa Bran A., Brener. atlab for engneers Addson-Wesley Calò F., Frontn. atlab Eserctazon d calcolo numerco Clup Ralston A., Rabnowtz P. A frst course n numercal analyss cgraw-hll Stoer J. Introduzone all anals numerca Zanchell