POLITECNICO DI MILANO. FACOLTÀ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE. Analisi e Geometria 2. Giugno Docenti: F. Lastaria, M. Citterio, M.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "POLITECNICO DI MILANO. FACOLTÀ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE. Analisi e Geometria 2. Giugno Docenti: F. Lastaria, M. Citterio, M."

Transcript

1 POLITECNICO I MILANO. FACOLTÀ I INGEGNERIA INUTRIALE. Analisi e Geometria 2. Giugno 2. ocenti: F. Lastaria, M. Citterio, M. aita Indice Integrali di superficie. Parte prima. Integrali di superficie. Parte prima. Esercizio. Elemento d area e area di un grafico in R ). Trovare l elemento d area d di una superficie R che è grafico di una funzione z = fx, y). Con quale integrale si calcola l area di? oluzione. upponiamo che la superficie sia grafico di una funzione z = fx, y), definita su un dominio R 2. Una parametrizzazione X per è data da i ha X R, =,, f ), Facendo i conti, si trova il prodotto vettore = Quindi la norma del prodotto vettore è = L elemento d area d è allora dato da L area di è l integrale d = d = Xx, y) = x, y, fx, y)) =,, f ) f ), f, dxdy.) dxdy.2) Esercizio.2. Trovare l elemento d area e l area del paraboloide z = x 2 y 2, z 2

2 oluzione. Una parametrizzazione X per è data da dove è il disco X R, Xx, y) = x, y, x 2 y 2 )) 2 z = {x, y) R 2 x 2 y 2 2} L elemento d area è dato dall espressione., che nel nostro caso diventa: d = 4x 2 4y 2 dxdy L area della superficie è data dall integrale d = 4x 2 4y 2 dxdy x y Figura : La superficie definita da z = x 2 y 2, z 2. Conviene passare a coordinate polari: 4x 2 4y 2 dxdy = 2π 2 4r 2 r drdϑ = 2π 8 2 4r 2 ) /2 2 = π Esercizio.. Trovare l elemento di area d della superficie sferica di equazioni parametriche xϕ, ϑ) = R sin ϕ cos θ yϕ, ϑ) = R sin ϕ sin θ zϕ, ϑ) = R cos ϕ.) R > fissato, ϕ π, ϑ 2π. Calcolare l area della sfera. oluzione. Posto Xϕ, ϑ) = xϕ, ϑ), yϕ, ϑ), zϕ, ϑ)) si ha d = X ϕ X ϑ dϕ dϑ Facendo i conti, si ottiene d = R 2 sin ϕ dϕ dϑ i può arrivare allo stesso risultato ragionando su una figura. 2

3 Con il calcolo integrale, si ottiene allora la ben nota formula: Area della superficie sferica di raggio R = 2π π R 2 sin ϕ dϕ dϑ π = 2πR 2 sin ϕ dϕ = 4πR 2 Esercizio.4. Trovare l elemento di area d del superficie cilindro) di equazioni parametriche xt, u) = R cos t yt, u) = R sin t zt, u) = u R costante), t 2π, u R. oluzione. L elemento di area è d = R dϑ dz. Ragionare anche su una figura). Esercizio.5. Trovare il flusso del campo vettoriale F = xi yj zk attraverso la sfera di centro l origine e raggio R. Orientare la sfera con il vettore normale unitario n che punta verso l esterno. oluzione. In un punto x, y, z) sulla sfera di raggio R, il vettore unitario n normale alla sfera che punta verso l esterno è n = xi yj zk) R ulla sfera si ha F n = R x2 y 2 z 2 ) = R R2 = R. Quindi F n d = R d = R d = R area di ) = R 4πR 2 = 4πR Esercizio.6. Trovare il flusso del campo vettoriale k attraverso la porzione di superficie cilindrica cilindro x 2 y 2 =, = {x, y, z) R x 2 y 2 =, z } orientata con il versore normale n che punta verso l esterno. oluzione. Il campo k è sempre tangente alla superficie del cilindro. Quindi il flusso è nullo. Esercizio.7. Calcolare il flusso del campo vettoriale F = i attraverso la porzione del piano x y z = che si trova nel primo ottante. i fissi il versore normale n in modo che punti lontano dall origine.

4 oluzione. i ha n = i j k) e F n =. La regione è un triangolo equilatero di lato 2. La sua area è 2. Il flusso è F n) area di ) = = 2 2 Esercizio.8. Calcolare il flusso del campo vettoriale F = yj attraverso la semisfera = {x, y, z) x 2 y 2 z 2 = a 2, z } i fissi il vettore unitario di orientazione n in modo che punti lontano dall origine. oluzione. Nel punto x, y, z) sulla sfera, il vettore normale che punta verso l easterno è ulla sfera si ha n = xi yj zk) a F n = y2 a Calcoliamo il flusso in coordinate sferiche. Ricordando che y = a sin ϕ sin ϑ e che l elemento di area della sfera è d = a 2 sin ϕ dϕ dϑ, l integrale da calcolare è il seguente: y 2 a d = = a π/2 2π π/2 2π π/2 = a sin ϕ dϕ a a2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ) a 2 sin ϕ dϕ dϑ.4) a 4 sin ϕ sin 2 ϑ dϕ dϑ.5) 2π sin 2 ϑ dϑ π/2 = a sin ϕ cos 2 ϕ) dϕ = a [ cos ϕ cos ϕ = 2 πa ] π/2 2π sin 2 ϑ dϑ [ 2 ϑ 2 sin ϑ cos ϑ) ] 2π Esercizio.9. Trovare le coordinate del centroide della emisfera = {x, y, z) R x 2 y 2 z 2 = a 2, z a} oluzione. Il centroide di una figura è, per definizione, il baricentro quando la densità di massa δ è costante. Per motivi di simmetria, il centroide dell emisfera deve stare sull asse 4

5 delle z. La sua coordinata z è data da: z d = area di area di = a 2πa 2 2π 2π π/2 π/2 = a 2π 2 cos 2ϕ) π/2 = a 2 a cos ϕ) a 2 sin ϕ dϕ dϑ cos ϕ sin ϕ dϕ Esercizio.. Trovare l area della calotta sferica = {x, y, z) R x 2 y 2 z 2 = a 2, a/2 z a} oluzione. L area è data dall integrale d = 2π π/ = 2πa 2 cos ϕ) = πa 2 a 2 sin ϕ dϕ dϑ π/ Esercizio.. iano v, v 2 due vettori di R. imostrare che il quadrato dell area del parallelogramma P v, v 2 ) generato da v, v 2 è dato da: [ ] 2 v Area P v, v 2 ) = det v v v 2 v 2 v v 2 v 2.6) 5

Teoremi di Stokes, della divergenza e di Gauss Green.

Teoremi di Stokes, della divergenza e di Gauss Green. Matematica 3 Esercitazioni eoremi di tokes, della divergenza e di Gauss Green. Esercizio 1 : Calcolare l area del dominio avente per frontiera la linea chiusa γ di equazioni parametriche x (1 t) t γ :,

Dettagli

Risposta La curva r è regolare a tratti per via di quanto succede della sua rappresentazione parametrica nel punto t = 1: pur riuscendo

Risposta La curva r è regolare a tratti per via di quanto succede della sua rappresentazione parametrica nel punto t = 1: pur riuscendo ANALISI VETTORIALE OMPITO PER LE VAANZE DI FINE D ANNO Esercizio Sia r(t) la curva regolare a tratti x = t, y = t, t [, ] e x = t, y = t, t [, ]. alcolare la lunghezza di r, calcolare, dove esistono, i

Dettagli

Superfici e integrali di superficie. 1. Scrivere una parametrizzazione per le seguenti superfici

Superfici e integrali di superficie. 1. Scrivere una parametrizzazione per le seguenti superfici Superfici e integrali di superficie 1. Scrivere una parametrizzazione per le seguenti superfici (a) Il grafico della funzione f(x, y) = x 2 y 3 (b) La superficie laterale di un cilindro di raggio R e altezza

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo integrale in IR N. Dott. Franco Obersnel

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo integrale in IR N. Dott. Franco Obersnel Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo integrale in IR N. ott. Franco Obersnel Esercizio 1 Sia R = [a 1, b 1 ] [a, b ] [a 3, b 3 ] IR 3 un parallelepipedo di IR 3. Si diano le

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sulle curve, le superfici, i campi vettoriali. Dott. Franco Obersnel

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sulle curve, le superfici, i campi vettoriali. Dott. Franco Obersnel Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sulle curve, le superfici, i campi vettoriali. Dott. Franco Obersnel Esercizio 1 Sia f : [a, b] IR 2 una funzione di classe C 1 su [a, b]. consideri

Dettagli

Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli

Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizio. ove Calcolare R = R xy x + y + x + y dxdy } x, y R : x, y, x x + y x Svolgimento. Passo : per disegnare R, studiamo C : x + y x =, C :

Dettagli

ANALISI VETTORIALE ESERCIZI SULLE SUPERFICI

ANALISI VETTORIALE ESERCIZI SULLE SUPERFICI ANALII VETTORIALE EERCIZI ULLE UPERFICI Esercizio Calcolare l area della superficie dove Σ {(x, y, z) (x, y) E, z 2 + x 2 + y 2 } E {(x, y) x 2 + y 2 4}. Essendo la superficie Σ data come grafico di una

Dettagli

Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti

Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 1 Esercizi sul Teorema di Green......................... 2 2 Esercizi sul Teorema di Stokes......................... 4 3 Esercizi sul Teorema di

Dettagli

1. Calcolare, giustificandone l esistenza, il seguente integrale: y (1 + x) 2 dxdy, ydxdy. x 2 dxdy,

1. Calcolare, giustificandone l esistenza, il seguente integrale: y (1 + x) 2 dxdy, ydxdy. x 2 dxdy, . Calcolare, giustificandone l esistenza, il seguente integrale: ( + x dxd, = {(x, R :, x }.. isegnare il dominio = {(x, R : x, + x } e calcolare dxd. 3. Calcolare x dxd, è il triangolo di vertici ( 3,,

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica 3. Prima parte

Esercizi di Analisi Matematica 3. Prima parte Esercizi di Analisi Matematica 3 per le Facoltà di Ingegneria Prima parte Corrado Lattanzio e Bruno Rubino Versione preliminare L Aquila, ottobre 5 Indice 1 Curve, superfici e campi vettoriali 3 1.1 Curve

Dettagli

TEOREMA DI GREEN ( ) D ; C è il contorno orientato del dominio D considerato

TEOREMA DI GREEN ( ) D ; C è il contorno orientato del dominio D considerato Le formule f d dy = f (, y ) dy TEOEMA I GEEN [] f d dy = f (, y ) d [] note come formule di Green sono due relazioni semplici ma molto importanti fra gli integrali estesi ad un dominio piano e gli integrali

Dettagli

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 1/21

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 1/21 Contenuto Integrali doppi. Teorema di Fubini Cambio di variabili: coordinate polari. Cambio di variabili: caso generale. Coordinate sferiche. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli.

Dettagli

Esercizi. f(x, y, z) = exp(xz) + zy sin(xyz) + cos(xy 3 )

Esercizi. f(x, y, z) = exp(xz) + zy sin(xyz) + cos(xy 3 ) Esercizi 1. Determinare le derivate parziali di f(x, y, z) = exp(xz) + zy sin(xyz) + cos(xy 3 ) 2. Scrivere l equazione del piano tangente e della retta normale al grafico ln(xy) + cos(x + y) nel punto

Dettagli

Integrali multipli - Esercizi svolti

Integrali multipli - Esercizi svolti Integrali multipli - Esercizi svolti Integrali di superficie. Si calcoli l integrale di superficie Σ z +y +4(x +y ) dσ, dove Σ è la parte di superficie di equazione z = x y che si proietta in = {(x,y)

Dettagli

Sia ϕ una funzione continua definita su un rettangolo R = [a, b] [c, d] di R 2 e a valori in R 3 : ϕ : R R 2 R 3

Sia ϕ una funzione continua definita su un rettangolo R = [a, b] [c, d] di R 2 e a valori in R 3 : ϕ : R R 2 R 3 1 uperfici ia ϕ una funzione continua definita su un rettangolo R = [a, b] [c, d] di R 2 e a valori in R 3 : ϕ : R R 2 R 3 (u, v) R ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), cioè tale che le componenti x(u,

Dettagli

Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG)

Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.

Dettagli

4. Calcolare il baricentro delle seguenti regioni del piano dotate di densità unitaria:

4. Calcolare il baricentro delle seguenti regioni del piano dotate di densità unitaria: INTEGRLI OPPI e TRIPLI Esercii risolti. Calcolare i seguenti integrali doppi: a b c d e f g h i j k y d dy,, y :, y }; d dy,, y :, y }; + y + y d dy,, y :, y }; y d dy,, y :, y }; y d dy,, y :, y + };

Dettagli

7. Integrazione delle funzioni di più variabili (II)

7. Integrazione delle funzioni di più variabili (II) 7. Integraione delle funioni di più variabili (II) http://eulero.ing.unibo.it/~baroi/scam/scam-tr.7b.pdf 7.5 Area del parallelogramma costruito su due vettori. Volume del parallelepipedo costruito su tre

Dettagli

1 Rette e piani nello spazio

1 Rette e piani nello spazio 1 Rette e piani nello spazio Esercizio 1.1 È assegnato un riferimento cartesiano 0xyz. Sono assegnati la retta x = t, r : y = t, z = t, il piano π : x + y + z = 0 ed il punto P = (1, 1, 1). Scrivere le

Dettagli

0.1 Arco di curva regolare

0.1 Arco di curva regolare .1. ARCO DI CURVA REGOLARE 1.1 Arco di curva regolare Se RC(O, i, j, k ) è un riferimento cartesiano fissato per lo spazio euclideo E, e se v (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k è una funzione a valori vettoriali

Dettagli

Soluzioni degli esercizi proposti nella sessione estiva Terni Perugia. F NdS. div F = 2 div F dxdydz = 2volume (V ) = 36π.

Soluzioni degli esercizi proposti nella sessione estiva Terni Perugia. F NdS. div F = 2 div F dxdydz = 2volume (V ) = 36π. Soluzioni degli esercizi proposti nella sessione estiva 2-2 Terni Perugia ) Sia F = (2x, y, z) e V il volume delimitato dalle superfici: la semisfera S := z = 9 x 2 y 2 ed il disco S 2 di equazione z =,

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale - Sede di Fermo Anno Accademico 2009/2010 Matematica 2 Esercizi d esame

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale - Sede di Fermo Anno Accademico 2009/2010 Matematica 2 Esercizi d esame Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale - ede di Fermo Anno Accademico 2009/2010 Matematica 2 Esercizi d esame Nome... N. Matricola... Fermo, gg/mm/aaaa 1. tabilire l ordine di ciascuna delle seguenti

Dettagli

Integrali multipli e di superficie

Integrali multipli e di superficie Integrali multipli e di superficie Integrali doppi Enunciamo e dimostriamo un paio di risultati concernenti gli integrali doppi. Proposizione 1 Sia A R 2 di misura nulla e f : A R limitata. Allora f R(A)

Dettagli

Applicazioni del Teorema di Gauss

Applicazioni del Teorema di Gauss Applicazioni del Teorema di Gauss Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Ottobre 2011 Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 1 / 8 Definizione Dato un

Dettagli

Capitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione 1.1.1 Si definisce dominio normale rispetto all asse

Capitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione 1.1.1 Si definisce dominio normale rispetto all asse Contenuti 1 Integrali multipli 2 1.1 Integralidoppisudomininormali... 2 1.2 Cambiamento di variabili in un integrale doppio. 6 1.3 Formula di Gauss-Green nel piano e conseguenze. 7 1.4 Integralitripli...

Dettagli

Prova Scritta di di Meccanica Analitica. 12 Gennaio 2017

Prova Scritta di di Meccanica Analitica. 12 Gennaio 2017 Prova Scritta di di Meccanica Analitica 1 Gennaio 017 Problema 1 Si studi il sistema meccanico costituito da un punto materiale di massa unitaria soggetto al potenziale V x) = a lnx) x > 0 x a) Scrivere

Dettagli

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2011/2012

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2011/2012 Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. / C.d.L. in Ingegneria Informatica ed Elettronica - Università degli Studi di Perugia Prova scritta del 7 giugno. ( punti) Disegnare l insieme E (x,

Dettagli

UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA. Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari

UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA. Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari Risposte sintetiche) agli esercizi del 17.XI.17 1. Le curve hanno tutte parametrizzazioni di classe C. Per studiare

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19/06/2010 A

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19/06/2010 A Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9/6/ A ) ata la funzione f(x, y) x y log( + x + y ), a) stabilire dove risulta derivabile parzialmente nel suo

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

Integrali di superficie: esercizi svolti

Integrali di superficie: esercizi svolti Integrali di superficie: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali superficiali sulle superfici

Dettagli

Geometria analitica: curve e superfici

Geometria analitica: curve e superfici Geometria analitica: curve e superfici Sfere Coordinate sferiche e sfere in forma parametrica Sfere, rette e piani Circonferenze nello spazio Circonferenze in forma parametrica 2 2006 Politecnico di Torino

Dettagli

Soluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti

Soluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti Esercizio 1 (G. Ziglio). (6 punti) Calcolare il volume della porzione di spazio E interna alla sfera di equazione x 2 + y 2 + z 2 = 1 ed esterna al cono di equazione z 2 = x 2 + y 2 E = (x, y, z) R x 2

Dettagli

Dipolo Elettrico: due cariche (puntiformi) +q e q (stesso modulo, segno opposto) a distanza a. Momento di Dipolo, P: Vettore di modulo

Dipolo Elettrico: due cariche (puntiformi) +q e q (stesso modulo, segno opposto) a distanza a. Momento di Dipolo, P: Vettore di modulo Il Dipolo Elettrico Dipolo Elettrico: due cariche (puntiformi) q e q (stesso modulo, segno opposto) a distanza a. Momento di Dipolo, P: Vettore di modulo qa che va da qq a q Dato un punto P molto distante

Dettagli

Ingegneria Tessile, Biella Analisi II

Ingegneria Tessile, Biella Analisi II Ingegneria Tessile, Biella Analisi II Esercizi svolti In questo file sono contenute le soluzioni degli esercizi sui campi vettoriali (cf foglio 5 di esercizi) Attenzione: in alcuni esercizi il calcolo

Dettagli

Funzioni di più variabili a valori vettoriali n t m

Funzioni di più variabili a valori vettoriali n t m Funzioni di più variabili a valori vettoriali n t m Definizione f(x 1, x 2,...x n )=[f 1 (x 1, x 2,...x n ), f 2 (x 1, x 2,...x n ),...f m (x 1, x 2,...x n )] Funzione definita n d m Dove: n = dominio

Dettagli

ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da

ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da 1 Integrali su una curva regolare Sia C R N una curva regolare, ossia: (1) C é l immagine di una funzione P (t) definita in un intervallo [a, b] (qui preso chiuso e limitato), tipicamente chiuso e limitato,

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica L-B

Esercizi di Analisi Matematica L-B Esercii di Analisi Matematica L-B Marco Alessandrini Gennaio-Maro 7 Indice Funioni di più variabili reali. Calcolo differeniale........................................... Ricerca di massimi e minimi.......................................

Dettagli

Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli

Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizio. ove R R xy x + y + x + y dxdy } x, y R : x, y, x x + y x Svolgimento. Passo : per disegnare R, studiamo C : x + y x, C : x + y x Completando

Dettagli

Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II. 12 Marzo 2008 Compito A. 1 (punti 3)

Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II. 12 Marzo 2008 Compito A. 1 (punti 3) anno accademico 007-008 Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II Marzo 008 Compito A (punti ) y = x + xy + y x. (punti 4) y + y x = ln x x y. (punti ) y = y + y ln y. 4 (punti 6) Determinare

Dettagli

Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) 1 Esercizi tratti da temi d esame di anni precedenti

Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) 1 Esercizi tratti da temi d esame di anni precedenti Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazione del 8// Michela Eleuteri eleuteri@math.unifi.it web.math.unifi.it/users/eleuteri

Dettagli

UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA. Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari

UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA. Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari Esercizi 17.XI.2017 1. Verificare che le curve definite dalle seguenti parametrizzazioni sono regolari, o regolari

Dettagli

Calcolare l area di una superficie. 2. Calcolare l area della porzione del piano 3x + 2y + z = 7 all interno al cilindro x 2 + y 2 = 1.

Calcolare l area di una superficie. 2. Calcolare l area della porzione del piano 3x + 2y + z = 7 all interno al cilindro x 2 + y 2 = 1. Calcolare l area di una superficie. Calcolare l area della porzione del piano x + 2y + z = 5 sopra il cono z = 3(x 2 + y 2 ). 2. Calcolare l area della porzione del piano 3x + 2y + z = 7 all interno al

Dettagli

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica Negli esercizi che seguono si suppone fissato nello spazio

Dettagli

Corso di laurea in Ingegneria civile - ambientale - edile Prova scritta del 3 febbraio Regole per lo svolgimento

Corso di laurea in Ingegneria civile - ambientale - edile Prova scritta del 3 febbraio Regole per lo svolgimento Corso di laurea in Ingegneria civile - ambientale - edile Prova scritta del febbraio 6 Regole per lo svolgimento (a) Gli studenti di ingegneria civile e edile -5 faranno gli esercizi,,. (b) Gli studenti

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio

Dettagli

Cap 3- Legge di Gauss. 3.1-Concetto di flusso Flusso del campo elettrico. Cap 3- Legge di Gauss

Cap 3- Legge di Gauss. 3.1-Concetto di flusso Flusso del campo elettrico. Cap 3- Legge di Gauss Cap 3- Legge di Gauss Cap 3- Legge di Gauss Una formulazione equivalente alla legge di Coulomb è quella stabilita dal teorema di Gauss, che trae vantaggio dalle situazioni nelle quali vi è una simmetria

Dettagli

Le soluzioni del foglio 3

Le soluzioni del foglio 3 Le soluzioni del foglio 3 1. Esercizio Consideriamo la famiglia di elicoidi, vedi Figura 1, x = u cos(v), y = u sin(v), z = kv, u 1, v π Quella proposta nell esercizio corrisponde alla scelta k = 1 Matrice

Dettagli

Corso di Laurea in Fisica - A.A. 2015/2016

Corso di Laurea in Fisica - A.A. 2015/2016 Corso di Laurea in Fisica - A.A. 15/16 Meccanica Analitica Tutoraggio X - 1 maggio 16 Esercizio 1 Momenti e assi principali di inerzia Dopo aver scelto un sistema di riferimento conveniente, si trovi la

Dettagli

Analisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 27 gennaio 2012 Uno svolgimento

Analisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 27 gennaio 2012 Uno svolgimento Analisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 27 gennaio 22 Uno svolgimento Prima di tutto, eccovi alcuni commenti che potrebbero aiutarvi a svolgere meglio le prove scritte. Ad ogni domanda del testo

Dettagli

{ x 2 + y 2 = 1 x 2 + z 2 = 1. dxdydz T. x 2 +4y

{ x 2 + y 2 = 1 x 2 + z 2 = 1. dxdydz T. x 2 +4y Analisi Matematica II, Anno Accademico 14-15 Ingegneria Edile, Civile, Ambientale Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi, Vincenzo M. Tortorelli 11 settembre 15 - quarto appello - prima parte (un ora) N.

Dettagli

INTEGRALI TRIPLI Esercizi svolti

INTEGRALI TRIPLI Esercizi svolti INTEGRLI TRIPLI Esercizi svolti. Calcolare i seguenti integrali tripli: (a xye xz dx dy dz, [, ] [, ] [, ]; (b x dx dy dz, {(x, y, z : x, y, z, x + y + z }; (c (x + y + z dx dy dz, {(x, y, z : x, x y x

Dettagli

C(sotto) Figura 1. Il solido G.

C(sotto) Figura 1. Il solido G. sercizi di calcolo vettoriale integrale sercizio 1. Sia G = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, z 2 x 2 + y 2 }. (1) isegnare G e verificare che la frontiera di G si compone di tre porzioni, superiore A, laterale

Dettagli

Il Principio di Piero della Francesca e il volume della volta a padiglione

Il Principio di Piero della Francesca e il volume della volta a padiglione Il Principio di Piero della Francesca e il volume della volta a padiglione Flaviano Battelli Dipartimento di Scienze Matematiche Università Politecnica delle Marche Ancona La volta a padiglione è la regione

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere

Dettagli

Analisi Matematica 3 (Fisica e Astronomia) Esercizi di autoverifica sull integrazione multipla

Analisi Matematica 3 (Fisica e Astronomia) Esercizi di autoverifica sull integrazione multipla Analisi Matematica (Fisica e Astronomia) Esercizi di autoverifica sull integrazione multipla Università di Padova - Lauree in Fisica ed Astronomia - A.A. 7/8 venerdì novembre 7 Istruzioni generali. Risolvere

Dettagli

Calcolo vettoriale. Versore: vettore u adimensionale di modulo unitario (rapporto tra un vettore e il suo modulo)

Calcolo vettoriale. Versore: vettore u adimensionale di modulo unitario (rapporto tra un vettore e il suo modulo) Grandezze scalari: caratterizzate da un valore numerico in una unità di misura scelta (ex: massa, temperatura, ecc) Grandezze vettoriali: oltre al valore numerico necessitano della definizione di una direzione

Dettagli

6 2 k ricaviamo det(a) = 7(k + 8). Per k 8, il Teorema di Cramer fornisce anche le soluzioni del sistema, cioè: 8 2 k

6 2 k ricaviamo det(a) = 7(k + 8). Per k 8, il Teorema di Cramer fornisce anche le soluzioni del sistema, cioè: 8 2 k ) Discutere e risolvere il sistema 6x + y + kz 8 x + y z x y z al variare del parametro k R Per k 8, determinare gli autovalori ed autovettori della matrice incompleta oluzione Il sistema in esame ha tre

Dettagli

Esercizi di Analisi 2. Nicola Fusco (Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università Federico II, Napoli) 1. Successioni e Serie di Funzioni

Esercizi di Analisi 2. Nicola Fusco (Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università Federico II, Napoli) 1. Successioni e Serie di Funzioni Esercizi di Analisi 2 Nicola Fusco (Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università Federico II, Napoli) 1. Successioni e Serie di Funzioni 1.1 Al variare di α IR studiare la convergenza della serie

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB); VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.

Dettagli

Esercitazione di Analisi Matematica II

Esercitazione di Analisi Matematica II Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare

Dettagli

1 Integrali curvilinei

1 Integrali curvilinei Integrali curvilinei Richiamo: + x dx x + x + x log ) + + x. Exercise Verificare la formula precedente. Exercise Calcolare a + b x dx, con a, b qualsiasi. Exercise 3 Calcolare la lunghezza dell arco di

Dettagli

1 Formula di Gauss-Green

1 Formula di Gauss-Green Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. (ocente: Federico Lastaria. Giugno 2011 1 Formula di Gauss-Green Teorema 1.1 (Formula di Gauss-Green nel piano.

Dettagli

1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi:

1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Test di autovalutazione 1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi: (a) A = {z C : z, 0 arg z /} (b) B = {w

Dettagli

Calcolo Vettoriale. 1.1 Vettori. Prodotto scalare. Definizione: a b = a b cosθ. In coordinate cartesiane: a b = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3.

Calcolo Vettoriale. 1.1 Vettori. Prodotto scalare. Definizione: a b = a b cosθ. In coordinate cartesiane: a b = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3. Calcolo Vettoriale 1.1 Vettori Prodotto scalare. Definizione: a b = a b cosθ. In coordinate cartesiane: a b = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3. Proprietà: a b a b = 0, a b a b = ± a b, a b = b a, a 0 = 0. Proiezione

Dettagli

2.9 Esercizi e prove d esame

2.9 Esercizi e prove d esame 65 R. Tauraso - Analisi Matematica II.9 Esercizi e prove d esame Esercizio.. Calcolare la lunghezza dell arco di catenaria data dal grafico della funzione f e + e, con, ]. L arco si parametrizza ponendo

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compito, secondo semestre 2012/2013

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compito, secondo semestre 2012/2013 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compito, secondo semestre 2012/2013 Primo compito. Si consideri la regione stokiana E di R 3 definita dalle disuguaglianze: { + y 2 a 2 0 z tan α)x b) dove

Dettagli

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w) Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini

Dettagli

Omeomorfismi. Definizione

Omeomorfismi. Definizione Curve Definizione Si definisce curva di classe C k in R n l applicazione continua γ: I R R n, dove I è un intervallo della retta reale. Le curve possono essere classificate in curve chiuse e curve aperte.

Dettagli

3 ) (5) Determinare la proiezione ortogonale del punto (2, 1, 2) sul piano x + 2y + 3z + 4 = 0.

3 ) (5) Determinare la proiezione ortogonale del punto (2, 1, 2) sul piano x + 2y + 3z + 4 = 0. 1 Calcolo vettoriale 1 Scrivere il vettore w =, 6 sotto forma di combinazione lineare dei vettori u = 1, e v = 3, 1 R w = v 4u Determinare la lunghezza o il modulo del vettore, 6, 3 R 7 3 Determinare la

Dettagli

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9.

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9. Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II Padova, 19.9.2016 Si svolgano i seguenti esercizi facendo attenzione a giustificare

Dettagli

Compito di Meccanica Razionale M-Z

Compito di Meccanica Razionale M-Z Compito di Meccanica Razionale M-Z 13 giugno 2012 1. E dato un semidisco di raggio r e massa m. Determinare la posizione del centro di massa e il momento d inerzia dell asse perpendicolare al piano del

Dettagli

Calcolo integrale in più variabili

Calcolo integrale in più variabili ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento)

Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento) Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento) Relazioni 1) Quali delle seguenti relazioni sono di equivalenza? x, y R {0} xry x/y Q x, y Z xry x + y è divisibile

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 31 gennaio 2011

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 31 gennaio 2011 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Seconda prova in itinere 3 gennaio Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es. : 8 punti Es. : 8 punti Es. 3: 8 punti Es. 4: 8 punti Es. 5:

Dettagli

Omeomorfismi. Definizione

Omeomorfismi. Definizione Curve Definizione Si definisce curva di classe C k in R n l applicazione continua γ: I R R n, dove I è un intervallo della retta reale. Le curve possono essere classificate in curve chiuse e curve aperte.

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

Calcolo vettoriale. Grandezze scalari: caratterizzate da un valore numerico in una unità di misura scelta (ex: massa, temperatura, ecc)

Calcolo vettoriale. Grandezze scalari: caratterizzate da un valore numerico in una unità di misura scelta (ex: massa, temperatura, ecc) Grandezze scalari: caratterizzate da un valore numerico in una unità di misura scelta (ex: massa, temperatura, ecc) Grandezze vettoriali: oltre al valore numerico necessitano della definizione di una direzione

Dettagli

Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini)

Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) Analisi Matematica II Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazione del 5//14 Michela Eleuteri 1 eleuteri@math.unifi.it web.math.unifi.it/users/eleuteri

Dettagli

GEOMETRIA B Esercizi

GEOMETRIA B Esercizi GEOMETRIA B 2016-17 BARBARA NELLI A.A. 2016-17 Alcuni degli esercizi sono presi dal libro DC [1]. 1. Esercizi Esercizio 1.1. Sia α : I R 3 una curva parametrizzata e sia v R 3 un vettore fissato. Assumiamo

Dettagli

= E qz = 0. 1 d 3 = N

= E qz = 0. 1 d 3 = N Prova scritta d esame di Elettromagnetismo 7 ebbraio 212 Proff.. Lacava,. Ricci, D. Trevese Elettromagnetismo 1 o 12 crediti: esercizi 1, 2, 4 tempo 3 h; Elettromagnetismo 5 crediti: esercizi 3, 4 tempo

Dettagli

Esercizi sulla quantità di moto e momento angolare del campo elettromagnetico

Esercizi sulla quantità di moto e momento angolare del campo elettromagnetico Esercizi sulla quantità di moto e momento angolare del campo elettromagnetico. Si consideri un condensatore a facce piane e parallele (superficie A e distanza tra le armature d), la faccia inferiore (a

Dettagli

VII ESERCITAZIONE - 29 Novembre 2013

VII ESERCITAZIONE - 29 Novembre 2013 VII ESERCITAZIONE - 9 Novembre 013 I. MOMENTO DI INERZIA DEL CONO Calcolare il momento di inerzia di un cono omogeneo massiccio, di altezza H, angolo al vertice α e massa M, rispetto al suo asse di simmetria.

Dettagli

Esercitazioni del 11 marzo Ricerca della parametrizzazione di una curva γ in R 3

Esercitazioni del 11 marzo Ricerca della parametrizzazione di una curva γ in R 3 Esercizio 1 Esercitazioni del 11 marzo 213 Ricerca della parametrizzazione di una curva γ in R 3 Fornire una parametrizzazione per l arco di curva γ appartenente alla superficie di equazione z = 2y 2 x

Dettagli

Raccolta di esercizi di ANALISI MATEMATICA III per il Corso di Laurea in Matematica a.a. 2013/2014. Silvano Delladio

Raccolta di esercizi di ANALISI MATEMATICA III per il Corso di Laurea in Matematica a.a. 2013/2014. Silvano Delladio Raccolta di esercizi di ANALISI MATEMATICA III per il Corso di Laurea in Matematica a.a. 2013/2014 Silvano Delladio September 8, 2014 Chapter 1 Integrali multipli 1.1 Sia B R 3 la palla di raggio 2 centrata

Dettagli

Prodotto scalare. Piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Prodotto scalare. Piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Prodotto scalare in R n. Piani nello spazio. 19 Dicembre 2016 Indice 1 Prodotto scalare nello spazio 2

Dettagli

Prof. R. Capone Esercitazioni di Matematica IV Corso di studi in Matematica

Prof. R. Capone Esercitazioni di Matematica IV Corso di studi in Matematica Forme differenziali lineari Sia Ω R un insieme aperto e siano A, B, C: Ω R funzioni continue in Ω. Si definisce forma differenziale ω in Ω l espressione ω = A(, y, z)d + B(, y, z)dy + C(, y, z)dz Data

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott.

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Franco Obersnel Lezione : struttura di IR n, prodotto scalare, distanza e topologia.

Dettagli

ALCUNE SOLUZIONI DI ESERCIZI SU CAMPI VETTORIALI

ALCUNE SOLUZIONI DI ESERCIZI SU CAMPI VETTORIALI ALCUNE SOLUZIONI DI ESERCIZI SU CAMPI VETTORIALI Appello Febbraio 995 ( F (( + y i y (( + y j. ( Stabilire se F è conservativo e in caso affermativo trovarne un ( Calcolare il lavoro compiuto dal campo

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,

Dettagli

Meccanica. 3. Elementi di Analisi Vettoriale. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia.

Meccanica. 3. Elementi di Analisi Vettoriale.  Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia. Meccanica 3. Elementi di Analisi Vettoriale http://campus.cib.unibo.it/246981/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 5 maggio 2017 Traccia 1. Vettori Variabili 2. Derivate e Integrali 3. Derivate

Dettagli

Analisi Matematica II - 5 Giugno 2012

Analisi Matematica II - 5 Giugno 2012 Analisi Matematica II - 5 Giugno ) Sia F il campo vettoriale ( F = ax x + y, ) y + b. x + y Stabilire per quali valori dei parametri a, b R il campo è chiuso. Calcolare per tali valori di a, b il lavoro

Dettagli

Risolvere i seguenti esercizi (le soluzioni sono alla fine di tutti gli esercizi).

Risolvere i seguenti esercizi (le soluzioni sono alla fine di tutti gli esercizi). La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani esercizi 1 prof D Benetti Risolvere i seguenti esercizi (le soluzioni sono alla fine di tutti gli esercizi) Esercizio 1 Determina due

Dettagli

VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO ,

VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO , VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO Vettori ordinari ed operazioni. Dipendenza ed indipendenza lineare, basi. Prodotto scalare, proiezioni, angoli. Prodotto vettoriale e prodotto

Dettagli

Esercitazioni di Meccanica Razionale

Esercitazioni di Meccanica Razionale Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Dinamica dei sistemi materiali Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica

Dettagli

Esempi di compiti scritti Istituzioni di Matematiche 2 (Proff. Luigi Serena e Paolo Gronchi)

Esempi di compiti scritti Istituzioni di Matematiche 2 (Proff. Luigi Serena e Paolo Gronchi) Esempi di compiti scritti Istituzioni di Matematiche 2 (Proff. Luigi Serena e Paolo Gronchi) Compito 1 1. Data la funzione f(x, y) = 3x 2 + 4xy + 8y nel cerchio di raggio 2 con centro nel punto ( 2, 3)

Dettagli

ELIO CABIB. Esami di Analisi 2

ELIO CABIB. Esami di Analisi 2 ELIO CABIB Esami di Analisi ELIO CABIB cabib@uniud.it professore di Analisi Matematica Università di Udine Esami di Analisi Indice Appelli 997-98 3//998..................................... 6//998.....................................

Dettagli