POLITECNICO DI MILANO. FACOLTÀ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE. Analisi e Geometria 2. Giugno Docenti: F. Lastaria, M. Citterio, M.
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1 POLITECNICO I MILANO. FACOLTÀ I INGEGNERIA INUTRIALE. Analisi e Geometria 2. Giugno 2. ocenti: F. Lastaria, M. Citterio, M. aita Indice Integrali di superficie. Parte prima. Integrali di superficie. Parte prima. Esercizio. Elemento d area e area di un grafico in R ). Trovare l elemento d area d di una superficie R che è grafico di una funzione z = fx, y). Con quale integrale si calcola l area di? oluzione. upponiamo che la superficie sia grafico di una funzione z = fx, y), definita su un dominio R 2. Una parametrizzazione X per è data da i ha X R, =,, f ), Facendo i conti, si trova il prodotto vettore = Quindi la norma del prodotto vettore è = L elemento d area d è allora dato da L area di è l integrale d = d = Xx, y) = x, y, fx, y)) =,, f ) f ), f, dxdy.) dxdy.2) Esercizio.2. Trovare l elemento d area e l area del paraboloide z = x 2 y 2, z 2
2 oluzione. Una parametrizzazione X per è data da dove è il disco X R, Xx, y) = x, y, x 2 y 2 )) 2 z = {x, y) R 2 x 2 y 2 2} L elemento d area è dato dall espressione., che nel nostro caso diventa: d = 4x 2 4y 2 dxdy L area della superficie è data dall integrale d = 4x 2 4y 2 dxdy x y Figura : La superficie definita da z = x 2 y 2, z 2. Conviene passare a coordinate polari: 4x 2 4y 2 dxdy = 2π 2 4r 2 r drdϑ = 2π 8 2 4r 2 ) /2 2 = π Esercizio.. Trovare l elemento di area d della superficie sferica di equazioni parametriche xϕ, ϑ) = R sin ϕ cos θ yϕ, ϑ) = R sin ϕ sin θ zϕ, ϑ) = R cos ϕ.) R > fissato, ϕ π, ϑ 2π. Calcolare l area della sfera. oluzione. Posto Xϕ, ϑ) = xϕ, ϑ), yϕ, ϑ), zϕ, ϑ)) si ha d = X ϕ X ϑ dϕ dϑ Facendo i conti, si ottiene d = R 2 sin ϕ dϕ dϑ i può arrivare allo stesso risultato ragionando su una figura. 2
3 Con il calcolo integrale, si ottiene allora la ben nota formula: Area della superficie sferica di raggio R = 2π π R 2 sin ϕ dϕ dϑ π = 2πR 2 sin ϕ dϕ = 4πR 2 Esercizio.4. Trovare l elemento di area d del superficie cilindro) di equazioni parametriche xt, u) = R cos t yt, u) = R sin t zt, u) = u R costante), t 2π, u R. oluzione. L elemento di area è d = R dϑ dz. Ragionare anche su una figura). Esercizio.5. Trovare il flusso del campo vettoriale F = xi yj zk attraverso la sfera di centro l origine e raggio R. Orientare la sfera con il vettore normale unitario n che punta verso l esterno. oluzione. In un punto x, y, z) sulla sfera di raggio R, il vettore unitario n normale alla sfera che punta verso l esterno è n = xi yj zk) R ulla sfera si ha F n = R x2 y 2 z 2 ) = R R2 = R. Quindi F n d = R d = R d = R area di ) = R 4πR 2 = 4πR Esercizio.6. Trovare il flusso del campo vettoriale k attraverso la porzione di superficie cilindrica cilindro x 2 y 2 =, = {x, y, z) R x 2 y 2 =, z } orientata con il versore normale n che punta verso l esterno. oluzione. Il campo k è sempre tangente alla superficie del cilindro. Quindi il flusso è nullo. Esercizio.7. Calcolare il flusso del campo vettoriale F = i attraverso la porzione del piano x y z = che si trova nel primo ottante. i fissi il versore normale n in modo che punti lontano dall origine.
4 oluzione. i ha n = i j k) e F n =. La regione è un triangolo equilatero di lato 2. La sua area è 2. Il flusso è F n) area di ) = = 2 2 Esercizio.8. Calcolare il flusso del campo vettoriale F = yj attraverso la semisfera = {x, y, z) x 2 y 2 z 2 = a 2, z } i fissi il vettore unitario di orientazione n in modo che punti lontano dall origine. oluzione. Nel punto x, y, z) sulla sfera, il vettore normale che punta verso l easterno è ulla sfera si ha n = xi yj zk) a F n = y2 a Calcoliamo il flusso in coordinate sferiche. Ricordando che y = a sin ϕ sin ϑ e che l elemento di area della sfera è d = a 2 sin ϕ dϕ dϑ, l integrale da calcolare è il seguente: y 2 a d = = a π/2 2π π/2 2π π/2 = a sin ϕ dϕ a a2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ) a 2 sin ϕ dϕ dϑ.4) a 4 sin ϕ sin 2 ϑ dϕ dϑ.5) 2π sin 2 ϑ dϑ π/2 = a sin ϕ cos 2 ϕ) dϕ = a [ cos ϕ cos ϕ = 2 πa ] π/2 2π sin 2 ϑ dϑ [ 2 ϑ 2 sin ϑ cos ϑ) ] 2π Esercizio.9. Trovare le coordinate del centroide della emisfera = {x, y, z) R x 2 y 2 z 2 = a 2, z a} oluzione. Il centroide di una figura è, per definizione, il baricentro quando la densità di massa δ è costante. Per motivi di simmetria, il centroide dell emisfera deve stare sull asse 4
5 delle z. La sua coordinata z è data da: z d = area di area di = a 2πa 2 2π 2π π/2 π/2 = a 2π 2 cos 2ϕ) π/2 = a 2 a cos ϕ) a 2 sin ϕ dϕ dϑ cos ϕ sin ϕ dϕ Esercizio.. Trovare l area della calotta sferica = {x, y, z) R x 2 y 2 z 2 = a 2, a/2 z a} oluzione. L area è data dall integrale d = 2π π/ = 2πa 2 cos ϕ) = πa 2 a 2 sin ϕ dϕ dϑ π/ Esercizio.. iano v, v 2 due vettori di R. imostrare che il quadrato dell area del parallelogramma P v, v 2 ) generato da v, v 2 è dato da: [ ] 2 v Area P v, v 2 ) = det v v v 2 v 2 v v 2 v 2.6) 5
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