ESERCIZI DA ESAMI ( ) Stato critico

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1 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Stato critico Esercizio 1 Nella tabella sottostante sono riportate le misure eseguite al termine della consolidazione durante una proa di compressione edometrica su un proino di argilla. punto n σ' (kpa) h (mm) L'altezza iniziale del proino era: h 0 (mm) = 20 La massa specifica relatia dei grani è: G s = ρ s / ρ w = 2.75 I dati per il calcolo del contenuto in acqua al termine della proa sono: massa del contenitore uoto: m c = 4.97 g massa del contenitore + proino um c + m = g massa del contenitore + proino sm c + m s = g Calcolare in contenuto in acqua e l'indice dei uoti a fine proa, assumendo che il proino sia saturo. Si faccia riferimento alla teoria dello stato critico e al modello Cam clay. Disegnare il grafico olume specifico - logaritmo naturale della pressione erticale efficace σ' Calcolare la pressione di consolidazione e le pendenze delle linee di compressione edometrica ergine e di scarico-ricarico. Soluzione: massa del proino umido a fine proa: m = g massa del proino secco a fine proa: m s = g massa dell'acqua nel proino a fine proa: m w = m - m s = 3.33 g contenuto in acqua a fine proa: w = 100 m w / m s = % indice dei uoti a fine proa: e fin = V w / V s = (w/100) G s = olume specifico a fine proa: fin = 1 + e fin = indice dei uoti a inizio proa: e 0 = (e fin + 1) h 0 /h fin - 1 = olume specifico a inizio proa: 0 = 1 + e 0 = In generale: = ( 0 /h 0 ) h 0 /h 0 = punto n ln(σ' ) ln (σ' ) σ' (kpa) 1

2 linea di ricarico (tra i punti 1 e 2) x y pendenza κ = intercetta κ = linea di carico ergine (tra i punti 4 e 5) x y pendenza λ = intercetta N= linea di scarico (tra i punti 6 e 7) x y pendenza κ = intercetta κ = ascissa del punto di intersezione tra le linee di ricarico e di carico ergine: ln (σ' c ) = pressione di consolidazione σ' c = 154 kpa Esercizio 2 Due proini di argilla satura N.C. sono consolidati isotropicamente alle pressioni σ' c (A) e σ' c (B). Al termine della consolidazione isotropa gli indici dei uoti dei due proini sono rispettiamente e 0 (A) e e 0 (B). Il parametro di stato critico Γ dell'argilla è noto. Se i proini sono portati a rottura in condizioni drenate, la tensione deiatorica a rottura (e allo stato critico) del proino B ale q f (B). Determinare i alori dei parametri di stato critico N, λ, M dell'argilla. Determinare l'indice dei uoti e lo stato tensionale a rottura in condizioni drenate dei proini A e B. Stimare l'indice dei uoti e lo stato tensionale a rottura in condizioni non drenate dei proini A e B. Dati: σ' c (A) = 150 kpa e 0 (A) = 0.75 σ' c (B) = 300 kpa e 0 (B) = 0.65 q f (B) = 368 kpa Γ = 2.37 Soluzione I punti rappresentatii dello stato di tensione dei due proini al termine della consolidazione sono sulla linea di consolidazione normale (NCL) che ha equazione: 0 = N - λ ln σ' c 0 (A) = 1 + e 0 (A) = N - λ ln σ' c (A) 0 (A) = 1.75 ln σ' c (A) = (B) = 1 + e 0 (B) = N - λ ln σ' c (B) 0 (B) = 1.65 ln σ' c (A) = da cui: λ = N = Rottura in condizioni drenate Il percorso tensionale del proino B, portato a rottura in condizione drenate, ha pendenza 3:1 nel piano p'-q, dunque: p' f (B) = σ' c (B) + q f (B)/3 = kpa M = q f (B) / p' f (B) = f (B) = Γ - λ ln p' f (B) = e f (B) = f (B) - 1 = Per il proino A, portato a rottura in condizioni drenate, è: p' f (A) = σ' c (A) + q f (A)/3 = q f (A) / M da cui: q f (A) = σ' c (A) 3M / (3 - M) = kpa p' f (A) = kpa f (A) = Γ - λ ln p' f (A) = e f (A) = f (A) - 1 = Rottura in condizioni non drenate Il olume, e quindi l'indice dei uoti, dei due proini in condizioni non drenate non aria. f (A) = 0 (A) = 1.75 e f (A) = e 0 (A) =

3 f (B) = 0 (B) = 1.65 e f (B) = e 0 (B) = 0.65 p' f (A) = exp[(γ - f (A)) / λ] = 73.5 kpa p' f (B) = exp[(γ - f (B)) / λ] = kpa q f (A) = M p' f (A) = 64.0 kpa q f (B) = M p' f (B) = kpa p f (A) = σ' c (A) + q f (A)/3 = kpa p f (B) = σ' c (B) + q f (B)/3 = kpa u f (A) = p f (A) - p' f (A) = 97.8 kpa u f (B) = p f (B) - p' f (B) = 24.3 kpa Esercizio 3 Alcuni proini ricostituiti di argilla satura, sono consolidati isotropicamente in cella triassiale alla stessa pressione media efficace p' A. L'argilla è caratterizzata dalle seguenti costanti, note, del modello di stato critico: λ, κ, Γ, Μ. Una olta terminata la consolidazione (in assenza di back pressure): 1. il proino n. 1 è portato a rottura in condizioni non drenate, 2. il proino n. 2 è portato a rottura in condizioni drenate, 3. Il proino 3 è scaricato isotropicamente fino alla pressione media efficace p' B e successiamente portato a rottura in condizioni non drenate, 4. Il proino 4 è scaricato isotropicamente fino alla pressione media efficace p' B e successiamente a rottura in condizioni drenate, 5. Il proino 5 è scaricato isotropicamente fino alla pressione media efficace p' c e successiamente portato a rottura in condizioni non drenate, 6. Il proino 6 è scaricato isotropicamente fino alla pressione media efficace p' c e successiamente portato a rottura in condizioni drenate, Determinare lo stato tensionale e deformatio (p', p, q,, u) dei 6 proini a rottura. Si assuma alida la seguente relazione del modello Cam Clay modificato: Ν = Γ + (λ - κ) ln2 Dati: λ = p' A = 400 kpa κ = p' B = 320 kpa Γ = 2.00 p' C = 100 kpa Μ = 0.9 Soluzione: Ν = Γ + (λ - κ) ln2 = Il punto rappresentatio dello stato dei 6 proini al termine della consolidazione sotto la pressione p' A è sulla linea NCL. Dunque lo stato tensionale e deformatio iniziale dei 6 proini è: p' = p' A = 400 kpa p = p A = 400 kpa q = q A = 0 kpa A = Ν - λ lnp' A = u A = 0 kpa proino n. 1 (a rottura in condizioni non drenate) f (1) = A = Γ - λ ln(p' f (1)) = da cui: p' f (1) = exp[(γ - A ) / λ] = kpa q f (1) = Μ p' f (1) = kpa p f (1) = p A + q f (1) / 3 = kpa u f (1) = kpa proino n. 2 (a rottura in condizioni drenate) 3

4 q f (2) = Μ p' f (2) = 3 (p' f (2) - p' A ) da cui: p' f (2) = 3 p' A / (3 - Μ) = kpa p f (2) = p' f (2) = kpa q f (2) = Μ p' f (2) = kpa f (2) = Γ - λ ln(p' f (2)) = u f (2) = 0 kpa proino n. 3 (scarico isotropo fino a p' B quindi a rottura in condizioni non drenate) B = A + κ ln(p' A / p' B ) = f (3) = B = f (3) = Γ - λ ln(p' f (3)) da cui: p' f (3) = exp[(γ - f (3)) / λ] = kpa q f (3) = Μ p' f (3) = kpa p f (3) = p' B + q f (3) / 3 = kpa u f (3) = kpa proino n. 4 (scarico isotropo fino a p' B quindi a rottura in condizioni drenate) B = A + κ ln(p' A / p' B ) = q f (4) = Μ p' f (4) = 3 (p' f (4) - p' B ) da cui: p' f (4) = 3 p' B / (3 - Μ) = kpa p f (4) = p' f (4) = kpa q f (4) = Μ p' f (4) = kpa f (4) = Γ - λ ln(p' f (4)) = u f (4) = 0 kpa proino n. 5 (scarico isotropo fino a p' C quindi a rottura in condizioni non drenate) C = A + κ ln(p' A / p' C ) = f (5) = C = f (5) = Γ - λ ln(p' f (5)) da cui: p' f (5) = exp[(γ - f (5)) / λ] = kpa q f (5) = Μ p' f (5) = kpa p f (5) = p' c + q f (5) / 3 = kpa u f (5) = -8.4 kpa proino n. 6 (scarico isotropo fino a p' C quindi a rottura in condizioni drenate) C = A + κ ln(p' A / p' C ) = q f (6) = Μ p' f (6) = 3 (p' f (6) - p' C ) da cui: p' f (6) = 3 p' C / (3 - Μ) = kpa p f (6) = p' f (6) = kpa q f (6) = Μ p' f (6) = kpa f (6) = Γ - λ ln(p' f (6)) = u f (6) = 0 kpa 4

5 C B A p' (kpa) q (kpa) C 200 B p' (kpa) Tabella riassuntia: proino n. p' f (kpa) p f (kpa) q f (kpa) f u f (kpa) A Esercizio 4 I risultati di una proa di compressione isotropa su un proino di terreno sono indicati in tabella. Disegnare il grafico ln(p')- e determinare i parametri: λ, κ, N e κ. p' (kpa) A 5

6 Dati: p' (kpa) ln (p') Soluzione: da regressione lineare: N = λ = κ = κ = = Ln(p') R 2 = 1 2 = Ln(p') R 2 = p' (kpa) Esercizio 5 Un proino di argilla satura N.C., di olume iniziale V iniz, è isotropicamente consolidato in cella triassiale alla pressione p' c. Durante la fase di consolidazione si registra una riduzione di olume V cons. Il proino è portato a rottura in condizioni drenate. I alori di tensione deiatorica ( σ' a - σ' r ) e di ariazione di olume V al crescere della deformazione assiale ε a sono riportati in tabella. Sono inoltre noti i alori dei parametri Ν e λ del terreno. Calcolare e disegnare le cure: ε a -q, ε a -ε, p'-, e (p'/p' e )-(q/p' e ). N.B.: p' e è la pressione efficace equialente, per definizione: p' e = exp[(ν - ) / λ] Dati: V iniz = 86.2 ml ε a (σ' a - σ' r ) V p' c = 300 kpa (%) (kpa) (ml) V cons = 6.2 ml Ν = λ = a rottura Soluzione 6

7 Il olume al termine della fase di consolidazione ale: V 0 = V iniz - V cons = 80 ml la deformazione olumetrica è per definizione: ε (%) = V/V il olume specifico è per definizione: = 0 (1 - ε /100) il olume specifico a fine consolidazione è: 0 = Ν - λ lnp' c = la tensione deiatorica è: q = (σ' a - σ' r ) la tensione media efficace è: p' = q/3 + p' c dunque: ε a q V ε p' e p' p' / p' e q / p' e (%) (kpa) (ml) (%) ( - ) (kpa) (kpa) ( - ) ( - ) q (kpa) ε a (%) ε (%) ε a (%) p' (kpa) q/p' e p'/p' e Esercizio 6 Un proino di argilla N.C. aente le seguenti caratteristiche: M = 1.02 Γ = 3.17 per p' = 1 kpa λ = 0.2 N = 3.32 per p' = 1 kpa κ = 0.05 è sottoposto a proa TxCID. Lo stato tensionale efficace iniziale (A) del proino è il seguente: 7

8 p' (A) = 30 kpa q (A) = 0 kpa Lo stato tensionale efficace a fine consolidazione (B) è il seguente: p' (B) = 150 kpa q (B) = 0 kpa determinare: a) le tensioni principali, il olume specifico e l'indice dei uoti nello stato A b) le tensioni principali, il olume specifico e l'indice dei uoti nello stato B c) lo stato tensionale (p', q), le tensioni principali, il olume specifico e l'indice dei uoti allo stato critico (C) d) l'angolo di resistenza al taglio, φ', l'indice di compressione, Cc, e l'indice di rigonfiamento, Cs. Dati: M = 1.02 Γ = 3.17 λ = 0.2 N = 3.32 κ = 0.05 p' (A) = 30 q (A) = 0 p' (B) = 150 q (B) = 0 Soluzione: a) le tensioni principali, il olume specifico e l'indice dei uoti nello stato A σ' 1 (A) = 30 kpa σ' 3 (A) = 30 kpa (A) = e(a) = b) le tensioni principali, il olume specifico e l'indice dei uoti nello stato B σ' 1 (B) = 150 kpa σ' 3 (B) = 150 kpa (B) = e(b) = c) lo stato tensionale (p', q), le tensioni principali, il olume specifico e l'indice dei uoti allo stato critico (C) p'(c) = 227 kpa q(c) = 232 kpa σ' 1 (C) = 382 kpa σ' 3 (C) = 150 kpa (C) = e(c) = d) l'angolo di resistenza al taglio, φ', l'indice di compressione, Cc, e l'indice di rigonfiamento, Cs φ' ( ) = 25.8 Cc = Cs = Esercizio 7 Un proino di terreno N.C., di cui sono noti i parametri λ, κ e Ν, è soggetto alla sequenza di carico isotropo indicata in tabella. Determinare il alore del parametro κ, e calcolare e disegnare il percorso tensionale nel piano p'- e lnp'-. Dati λ = 0.20 punto A B C D E κ = 0.05 p' (kpa) Ν =

9 Soluzione: eq. della NCL: = Ν - λ lnp' da cui si ricaano i alori di per i punti A, B e C il punto C è intersezione della NCL con la linea di scarico di eq. : = κ - κ lnp' per cui: κ = Ν - (λ - κ) lnp'(c) I alori di per i punti D ed E si ottengono con l'eq.: = κ - κ lnp' punto A B C D E κ = p' (kpa) ln(p') x y p' (kpa) ln (p') 9

10 Esercizio 8 In tabella 1 sono raccolti i alori di p', q, e in condizioni di stato critico ottenuti su 6 proini dello stesso terreno. Rappresentare la CSL nel piano p' - q e nel piano ln(p') -, e determinare iparametri: M, λ e Γ. Tabella 1 proa p' (kpa) q (kpa) ln (p') Con il medesimo terreno sono preparati 4 proini (A, B, C e D) sottoposti a percorsi tensionali isotropi con pressione neutra costante u 0 (kpa) = 100 fino a raggiungere gli stati indicati in tabella 2. Tabella 2 proino p' 0 (kpa) 0 OCR A B C D I proini A e C sono portati allo stato critico applicando una tensione deiatorica a pressione media totale costante in condizioni drenate. I proini B e D sono portati allo stato critico applicando una tensione deiatorica a pressione media totale costante in condizioni non drenate. Calcolare per i 4 proini i alori di p',, q ed u allo stato critico e rappresentare i rispettii percorsi tensionali nel piano p'-q e nel piano (lnp')-. Soluzione: q (kpa) p' (kpa) p' (kpa) Statistica della regressione R multiplo R al quadra R al quadra Errore stan Osserazio 6 10

11 ANALISI VARIANZA gdl SQ MQ F gnificatiità F Regression E-09 Residuo E E-06 Totale Coefficientirore standa Stat t e di significanferiore 95%uperiore 95feriore 95.0iore 95.0% Intercetta E Variabile X E da regressione lineare con intercetta zero: da regressione lineare: M = λ = p' q Γ = p' linea di stato critico (CSL): q = M p' = Γ - λ ln(p') linea di consolidazione normale (NCL): q = 0 = N - λ ln(p' 0 ) da cui: N = + λ ln(p' 0 ) = 1.97 p' 0 = 600 kpa N = linea di scarico - ricarico cui appartengono i punti A-B e C-D: q = 0 = κ - κ ln(p' 0 ) da cui: κ = ( 0A - 0C ) / (ln(p' 0 ) C - ln(p' 0 ) A ) κ = 0A - κ ln(p' 0 ) A = NCL p' scarico - ricarico p' C-D A-B p' (kpa) 1000 Proini A e C, condizioni drenate, pressione media efficace costante: Proino A Proino C st. iniz.: st. critico: st. iniz.: st. critico: p' (kpa) = p' (kpa) = = = q (kpa) = q (kpa) = u (kpa) = u (kpa) =

12 Proini B e D, condizioni non drenate, olume specifico costante: Proino B Proino D st. iniz.: st. critico: st. iniz.: st. critico: p' (kpa) = p' (kpa) = = = q (kpa) = q (kpa) = u (kpa) = u (kpa) = proino A p' q proino C p' q proino B p' q proino D p' q q (kpa) A 200 B D C p' (kpa) 2.1 C D B 1.9 A p' (kpa) Esercizio 9 In tabella sono raccolti i alori di q f, p' f e f in condizioni di stato critico, ottenuti in una serie di proe triassiali drenate condotte su campioni N.C. e O.C. dello stesso terreno. Disegnare i punti rappresentatii nei piani p' - q e ln(p') - e determinare i parametri Μ, λ e Γ. proa q f (kpa) p' f (kpa) f ( - ) A B C D E F Soluzione: 12

13 800 da cui: Μ = q f (kpa) q f = 1,0221 p' f R 2 = 1 proa ln(p' f ) A B C D E F p' f (kpa) = -0,201 ln(p' f ) + 3,1008 R 2 = 0,9998 da cui: λ = Γ = ( - ) ln(p' f ) Esercizio 10 Un'argilla satura NC è caratterizzata dai seguenti parametri di stato: Ν = 2.48 λ = 0.12 Γ = 2.41 Μ = 1.35 Determinare i alori della tensione deiatorica e dell'indice dei uoti a rottura in proa triassiale non drenata e drenata su proini consolidati a pressione isotropa p' c = 300 kpa Soluzione: A fine consolidazione isotropa il olume specifico dei proini è: c = Ν - λ ln(p' c ) = In proa TxCIU su proino saturo il olume rimane costante, quindi l'indice dei uoti a rottura ale: e f = f -1 = c - 1 = Per terreno NC la rottura coincide con lo stato critico. La pressione efficace media allo stato critico, e quindi a rottura, si desume dall'equazione: = Γ - λ ln(p') e ale: p' f = 167 kpa La tensione deiatorica a rottura ale: q f = Μ p' f = 226 kpa In proa TxCID su proino saturo la pendenza del percorso tensionale nel piano q-p' è 3, dunque per la tensione deiatorica a rottura è: 13

14 q f = 3 (p' f - p' c ) = 3 (q f /Μ - p' c ) da cui: q f = (3Μp' c )/(3-Μ) = 736 kpa p' f = q f /Μ = 545 kpa f = Γ - λ ln(p' f ) = e f = f -1 = Esercizio 11 I parametri di stato critico di un'argilla N.C. siano i seguenti: Γ = 2.5 λ = 0.15 M = 0.9 N = 2.65 Due proini sono consolidati in cella triassiale alla pressione isotropa p 0 ' (kpa) 200 Uno dei due proini (A) è sottoposto a proa TxCID, l'altro (B) a proa TxCIU. Determinare per i due proini a rottura: a) le tensioni media efficace, p', e deiatorica, q b) le tensioni principali efficaci, σ' 1 e σ' 3 c) il olume specifico,, e l'indice dei uoti, e Dati: Γ = 2.5 p 0 ' = 200 kpa λ = 0.15 q 0 = 0 kpa M = 0.9 N = 2.65 soluzione: da l'equazione della linea NCL: 0 = N - λ ln p' 0 = e 0 = 0-1 = proino A - proa TxCID - percorso tensionale con q/ p' = 3 a) q f = M p' f p' f = p' 0 + q f /3 da cui: q f = p' 0 /(1/M - 1/3) = 257 kpa p' f = 286 kpa b) σ' 3f =(3p' f - q f )/3 = 200 kpa σ' 1f = q f + σ' 3f = 457 kpa c) da l'equazione della linea CSL: = Γ - λ ln p' f = e f = proino B - proa TxCIU - percorso tensionale a olume costante a) da l'equazione della linea CSL: = Γ - λ ln p' q = M p' f = 66 kpa p' f = exp[(γ - )/λ] = 74 kpa b) σ' 3f =(3p' f - q f )/3 = 52 kpa σ' 1f = q f + σ' 3f = 118 kpa c) f = e f = Esercizio 12 Un proino di argilla satura è consolidato in cella triassiale con pressione isotropa σ' c0. Al termine della consolidazione il olume del proino è V 0 e l'indice dei uoti e 0. La pressione isotropa di cella è portata fino al alore σ' c1 e, a fine consolidazione, il proino ha espulso un olume d'acqua V w1. La pressione isotropa di cella è poi ridotta fino al alore σ' c2, e ciò determina l'assorbimento di un olume d'acqua V w2. Determinare i alori dei parametri N, Γ, λ e κ del modello Cam Clay (teoria dello stato critico), tenendo presente che ale la relazione: N = Γ + λ - κ 14

15 Dati: σ' c0 = 200 kpa σ' c1 = 400 kpa σ' c2 = 300 kpa V 0 = 86 cm 3 V w1 = cm 3 V w2 = cm 3 e 0 = 1.6 Soluzione: A fine consolidazione sotto la pressione isotropa di cella σ' c0 il olume specifico ale: 0 = 1 + e 0 = 2.6 essendo: V = V s + V = V s (1 + V / V s ) = V s (1 + e) = V s V s è costante, quindi: V = V = V s il olume dei solidi è: V s = V 0 / 0 = cm 3 ed il olume dei uoti, eguale al olume dell'acqua in quanto il proino è saturo, ale: V = V w = V - V s = cm 3 La ariazione di olume specifico in seguito all'applicazione della pressione di cella σ' c1 ale: 1 = - V 1 /V s = - V w1 /V s = La pendenza λ della linea di consolidazione normale NCL ale: λ = - / ln(p') = - 1 / ln(σ' c1 /σ' c0 ) = Durante la fase di scarico la ariazione di olume specifico è: 2 = V 2 /V s = V w2 /V s = La pendenza κ della linea di scarico - ricarico ale: κ = - / ln(p') = - 2 / ln(σ' c2 /σ' c1 ) = La NCL ha equazione = N - λ lnp' il punto di coordinate: = 0 = 2.6 lnp' = ln(σ' c0 ) = appartiene alla NCL, dunque N = 0 + λ ln(σ' c0 ) = essendo: N = Γ + λ - κ risulta Γ = Esercizio 13 In tabella sono riportati i risultati ottenuti da una serie di proe triassiali non drenate (TxCIU) e da una serie di proe triassiali drenate (TxCID) su proini di un'argilla N.C. in assenza di back pressure. Assumendo G s = 2.75 : 1. Determinare i parametri di stato critico Μ, Ν, Γ e λ; 2. Stimare i alori a rottura di q, p', u e per un proino della stessa argilla consolidato alla pressione p' c e portato a rottura in condizioni non drenate; 3. Stimare i alori a rottura di q, p' u e per un proino della stessa argilla consolidato alla pressione p' c e portato a rottura in condizioni drenate. Legenda: σ r = tensione radiale u f = pressione neutra a rottura σ af = tensione assiale a rottura w f = contenuto in acqua a rottura proe TxCIU proe TxCID σ r σ af - σ r u f w f σ' af - σ' r w f (kpa) (kpa) (kpa) (%) (kpa) (%) p' c = 300 kpa Soluzione: = 1 + e = 1 + (w f / 100) G s 15

16 a fine consolidazione: q f = 0 p' f = σ r w = w f di proa TxCIU in proe non drenate: q f = (σ af - σ r ) p' f = (σ af + 2 σ r ) / 3 - u f = [(σ af - σ r ) + 3 σ r ] / 3 - u f in proe drenate: q f = (σ' af - σ' r ) p' f = (σ' af + 2 σ' r ) / 3 = [(σ' af - σ' r ) + 3 σ' r ] / 3 dunque: a fine consolidazione p' (kpa) q (kpa) (-) ln (p') a rottura in proa TxCIU a rottura in proa TxCID p' f (kpa) q (kpa) (-) ln (p' f ) p' f (kpa) q (kpa) (-) ln (p' f ) linea di consolidazione normale (NCL): linea di stato critico (CSL): a fine consolidazione a rottura per terreno N.C. q = 0 q = Μ p' f = Ν - λ ln(p') = Γ - λ ln(p' f ) p' f (kpa) q (kpa) (-) ln (p' f ) x y x y

17 CSL = -0,0878 ln(p' f ) + 2,0474 R 2 = 0,9925 NCL = -0,0877 ln(p') + 2,0811 R 2 = 0, NCL TxCIU TxCID CSL Lineare (NCL) Lineare (CSL) ln (p') x y x y CSL qf = 0,8339 p'f 800 R2 = 0,9974 qf (kpa) TxCIU TxCID Lineare (CSL) p'f (kpa) da cui: Μ = Ν = λ = Γ =

18 A fine consolidazione i proini consolidati isotropicamente alla pressione p' c = hanno olume specifico: = Ν - λ ln(p') = kpa Il proino portato a rottura in condizioni non drenate allo stato critico ha: tensione media efficace: p' f = exp[(γ - Ν + λ ln(p' c )) / λ] = kpa tensione deiatorica: q f = Μ p' f = kpa pressione neutra: u = p' c + q f /3 - p' f = kpa olume specifico: = Il proino portato a rottura in condizioni drenate allo stato critico ha: tensione media efficace: p' f = 3 p' c / (3 - Μ) = kpa tensione deiatorica: q f = Μ p' f = kpa pressione neutra: u = 0.0 kpa olume specifico: f = Γ - λ ln(p' f ) =