Heap, heapsort e code a priorità. Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino

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1 Heap, heapsort e code a priorità Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino

2 Heap Definizione: albero binario con proprietà strutturale: quasi completo (tutti i livelli completi, tranne eventualmente l ultimo, riempito da SX a DX) quasi bilanciato proprietà funzionale: i r key(parent(i)) key(i) conseguenza: chiave max nella radice. A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 2

3 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 3 Operazioni: Heapify(A,i) BuildHeap(A) HeapSort(A).

4 Code a priorità Definizione: struttura dati per mantenere un set S di n elementi a ciascuno dei quali è associata una priorità. Operazioni: insert(s, x) maximum (S) Θ(1) extract_max(s) O(lg n) Implementazione: con heap. A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 4

5 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 5 Esempio

6 Implementazione Struttura dati: vettore A[..length(A)-1] heap-size(a): numero di elementi in heap A radice in A[] dato A[i]: figlio SX in A[2i+1] figlio DX in A[2i+2] A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 6

7 Esempio A i length(a) heapsize(a) A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 7

8 Dato n = heap-size(a)-1: i n se i n/2, il nodo i ha due figli se i = n/2, il nodo i ha uno (n pari) o due (n dispari) figli se i > n/2, il nodo i non ha alcun figlio. A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 8

9 Procedura Insert Aggiunge una foglia all albero (cresce per livelli da SX a DX, rispettando la proprietà strutturale) Risale dalla foglia fino al più alla radice confrontando con la chiave da inserire e facendo eventualmente scendere la chiave del padre nel figlio Inserisce la chiave nel nodo corrente. Complessità: T(n) = O(lg n). A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 9

10 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 1 Esempio Inserzione di creo foglia

11 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità confronto 17 e 4 e faccio scendere

12 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità confronto 17 e 1 e faccio scendere

13 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 13 2 inserisco

14 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 14 Implementazione C #define PARENT(i) ((i-1) / 2) void Insert(int A[], int x, int *pheapsize) { int i; i = ++(*pheapsize); while (i>1 && A[PARENT(i)] < x) { A[i] = A[PARENT(i)]; i = (i-1)/2; } A[i] = x; return; }

15 Procedura Heapify Trasforma in heap i, Left(i), Right(i), dove Left(i) e Right(i) sono già heap assegna ad A[i] il max tra A[i], Left(i) e Right(i) se c è stato scambio A[i] Left(i), applica ricorsivamente heapify su sottoalbero con radice Left(i) analogamente per scambio A[i] Right(i). Complessità: T(n) = O(lg n). A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 15

16 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 16 Esempio Left(i) i= Right(i) 2 1 Heapify(A, 1) 14 = max(4, 14, 7) A[i] A[Left(i)]

17 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 17 i= Heapify(A, 3) 8 = max(4, 2, 8) A[i] A[Right(i)] Heapify(A, 8) Left(i) Right(i)

18 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità Heapify(A, 8) foglia terminazione i =

19 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 19 Implementazione C #define LEFT(i) ((i*2) + 1) #define RIGHT(i) ((i*2) + 2) void Swap( int v[], int n1, int n2) { int temp; temp = v[n1]; v[n1] = v[n2]; v[n2] = temp; return; }

20 void Heapify(int A[], int i, int heapsize) { int l, r, largest; l = LEFT(i); r = RIGHT(i); if (l< heapsize && A[l]>A[i]) largest=l; else largest = i; if (r<heapsize && A[r]>A[largest]) largest=r; if (largest!= i) { Swap(A,i,largest); Heapify(A,largest,heapsize); } return; } A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 2

21 Procedura BuildHeap Trasforma un albero binario memorizzato in vettore A in un heap: le foglie sono heap applica Heapify a partire dal padre dell ultima coppia di foglie fino alla radice. Complessità: T(n)= O(n). A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 21

22 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 22 Esempio 4 BuildHeap(A) Heapify(A, 4) 7 8 9

23 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 23 4 Heapify(A, 3)

24 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 24 Heapify(A, 2)

25 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 25 Heapify(A, 1)

26 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 26 Heapify(A, )

27 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 27 Implementazione C void BuildHeap (int A[], int heapsize) { int i; for (i=(heapsize)/2-1; i >= ; i--){ Heapify(A,i,heapsize); } return; }

28 Procedura HeapSort Trasforma il vettore in uno heap Scambia il primo e ultimo elemento Ripristina la proprietà di heap Riduci la dimensione dello heap di 1 Ripeti fino a esaurimento dello heap. Complessità: T(n)= (n lg n). A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 28

29 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 29 Esempio A Configurazione iniziale

30 Applico Build_heap A heapsize A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 3

31 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 31 A[] A[heapsize-1] heapsize-- A heapsize

32 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 32 Heapify(A, ) A heapsize

33 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 33 A[] A[heapsize-1] heapsize-- A heapsize

34 A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 34 Heapify(A, ) A heapsize

35 Implementazione C void HeapSort(int A[], int heapsize) { int i; BuildHeap(A, heapsize); for (i=heapsize-1; i > ; i--) { Swap (A,,i); heapsize--; Heapify(A,,heapsize); } return; } A.A. 24/25 Heap, heapsort e code a priorità 35