INDICI DI POSIZIONE O DI TENDENZA CENTRALE

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1 IDICI DI POSIZIOE O DI TEDEZA CETRALE Gl ndc d poszon, o d tndnza cntral, sono numr ch sprmono la snts numrca d una dstrbuzon statstca (d ora n avant ndcata dal smbolo ) d una varabl X. I valor ossrvat possono ssr dstrbut pr:. untà;. modaltà;. class. Gl ndc d poszon pù not sono:. la moda;. la mdana; 3. la mda artmtca; 4. la mda gomtrca. Data una dstrbuzon d valor ossrvat non smpr è ammssbl calcolar tutt tr gl ndc d poszon. Infatt, la sclta dll ndc d tndnza cntral dono a dscrvr una dstrbuzon d valor dpnd dalla natura (qualtatva o quanttatva) d dat dalla scala d msura adottata nl procsso d msurazon. Solo quando dat sono d natura quanttatva, qund msurat almno su una scala d ntrvall, s possono calcolar tutt tr gl ndc d tndnza cntral. La dffrnza prncpal tra tr ndc sopra ndcat rsd nl dvrso contnuto nformatvo. Gl ndc sono qu d sguto lncat n ordn crscnt d capactà nformatva: la moda è l unco ndc d poszon ch s può smpr calcolar, a partr da dat msurat su scala nomnal; la mdana s può calcolar pr dat msurat almno su scala ordnal; la mda s può calcolar solo pr dat quanttatv, msurat almno su scala a ntrvall. LA MODA La moda d un nsm d dat può ssr ndvduato n manra dvrsa, n rlazon alla forma d organzzazon d dat. Vdamo l dvrs occason: pr untà: data una sr d ossrvazon dlla varabl X, la moda è l valor ossrvato l maggor numro d volt; pr modaltà: è la modaltà,, d X a cu corrspond la massma frqunza, n. n class: n qusto caso pù ch d moda (ntsa com valor puntal) s parla d class modal. In gnral, ssa è la class a cu corrspond la massma dnstà, d. l caso n cu l class sano quspazat (ugual ampzza), la class modal è qulla a cu corrspond la massma frqunza assoluta (o rlatva). È ncssaro calcolar d pr ogn class:

2 d n f = o d = a a ndvduar la class cu corrspond ma(d ). La moda d una dstrbuzon non è ncssaramnt unca. S la dstrbuzon statstca ha un unca moda, la dstrbuzon s drà unmodal, s ha du o pù valor modal, la dstrbuzon s drà bmodal o, pù n gnral, plurmodal. LE MEDIE LASCHE Anch not sotto l nom d statstch d poszon, sono qull md la cu ndvduazon s basa sulla poszon (o rango) occupata da uno o pù dgl trmn dlla dstrbuzon ordnata d X. La famgla dll statstch d ordn è qulla d quantl, tra qual pù utlzzat sono quartl soprattutto la mdana. Condzon ncssara pr l ndvduazon d un quantl è ch la sr d valor ossrvat sa ordnata n una graduatora, n snso almno non dcrscnt: pr =,, [] n modo da assgnar l rango, r, a cascuna ossrvazon. LA MEDIAA In una dstrbuzon d valor d X, la mdana, M, è l valor ch bpartsc la graduatora [], ovvro la dvd n du part ugual, n modo da lascar lo stsso numro d trmn alla propra snstra alla propra dstra. Qusto sgnfca ch M è un barcntro, con l 50% d valor alla sua a snstra l rstant 50% alla sua dstra. La procdura pr dtrmnar la mdana vara al varar dlla forma d organzzazon d dat ossrvat alla numrostà (s dspar o par) dll ossrvazon. La mdana d ndvdua pr pass: - nnanztutto, s dtrmna la poszon (o rango) occupata dalla mdana n sno alla graduatora; - succssvamnt, s ndca com mdana l valor ossrvato dlla varabl, corrspondnt a qulla poszon. Com dtto prcdntmnt, l rango dlla mdana s dtrmna n modo dvrso, a sconda ch sa dspar, o sa par. In raltà cò non val quando dat sono organzzat n una dstrbuzon d frqunza n class, com vdrmo pù avant. Vdamo ora com s dtrmna la M, quando s dspon d una dstrbuzon pr untà. ~ pr untà: - s è dspar, la mdana, M, è qul valor ossrvato d X, la cu poszon mdana (pm) n sno alla graduatora è par a:

3 pm = +, da cu dscnd ch M = + - s è par, s avranno ncssaramnt du poszon mdan, n corrspondnza dll qual v saranno du dstnt untà statstch con ossrvazon d X, ch potranno prsntar ugual o dvrsa modaltà. In qusto caso s parlrà d mdana convnzonal, dato ch M sarà calcolata convnzonalmnt com valor cntral dll ntrvallo mdano (m), dtrmnato da valor ossrvat, ch occupano l poszon mdan: pm = ;, m = pm = + ;, + nfn, M = + + Esmpo varabl (X) = numro d ms trascors tra l momnto dlla laura qullo dl prmo mpgo; untà statstch (us) = laurat dlla Unvrstà Kor n ssson succssv; = 8, numro d us; = ossrvazon gnrca, pr =,, 8: = {4, 5, 0,, 4,, 6, 7, 7, 0, 0, 0, 3, 0, 4, 5, 6, 7}. Innanztutto è ncssaro ordnar n snso almno non dcrscnt l ossrvazon,, assgnando a cascuna d ss l propro rango, r : :,, 4, 7, 7, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 r :,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Innanztutto, s ndvduano l du poszon mdan, dato ch è par: pm = = 9 pm = + = 9 + = 0, qund, s ndvduano du valor ossrvat d X ch occupano l du poszon mdan: 0 = ( 9 = ) 0 = ( 0 = ; poché è M ), allora: M = = 0..B: n qusto smpo l du poszon mdan sono occupat ntramb da du dstnt ossrvazon d X, ntramb par a 0. In gnral non è dtto ovvamnt ch cò s vrfch. 3

4 ~ pr modaltà: Sostanzalmnt l procdmnto è dntco al caso mostrato n prcdnza. Infatt, c s comporta ancora n modo dvrso a sconda ch sa dspar o par. L unca dffrnza dal punto d vsta procdural consst nl fatto ch la, o l poszon mdan s ndvduano ora facndo rfrmnto alla colonna dll frqunz cumulat assolut, (o rlatv, F ). - s è dspar, la mdana è la pù pccola modaltà, la cu frqunza cumulata è: + M = - s è par, com sappamo sstono du poszon mdan, ch possono ssr occupat o ntramb dalla stssa modaltà (vd caso, sotto), o da du modaltà dvrs (vd caso, sotto):. sst un unca frqunza assoluta cumulata,, ch soddsfa contmporanamnt l du condzon: pm > = + = pm M =. sstono du dstnt frqunz assolut cumulat, tal ch: = pm = + = pm IM = [ -, ] M = +. Esmpo data la sgunt dstrbuzon d frqunza pr modaltà: n f F 0 0,04 0,04 0,04 0, ,04 3 0, ,4 6 0, ,08 0, ,04 0,500 0, , , , , , ,04 9 0,79 8 0,04 0 0, ,083 0, ,04 3 0, ,04 4 Total 4 C trovamo nl caso sopra llustrato, ovvro, sstono du dstnt frqunz assolut cumulat ch soddsfano la sconda condzon. Infatt: 4

5 4 4 pm = = = = 6 pm = + = + = + = 3 < 7 = 4, 0 IM = [ -, ] = [0, ] M = + = + =. ~ class: Quando dat sono organzzat n una dstrbuzon d frqunza n class, s procd dvrsamnt da quanto vsto n prcdnza, poché non s dstngu pù l caso n cu sa par o dspar. Inoltr, prma d dtrmnar l valor puntual dlla mdana sarà ncssaro ndvduar la class mdana (cm ) all ntrno dlla qual s trova la mdana. Analtcamnt s dvono sgur sgunt pass:. s calcola (sa pr dspar ch pr par);. s ndvdua la cm com qulla assocata alla pù pccola ; 3. s dtrmna la M scondo l pots dll stogramma, a partr dalla cm = [ -, ]. L pots dll stogramma assum ch ntro ogn class l frqunz sano qudstrbut, pr cu la frqunza è proporzonal all ntrvallo consdrato (scondo l conctto d dnstà, d ): Ara(cm ) : a(cm ) = Ara[ -, M ] : a[ -, M ] [] L ara (rapprsntata dalla frqunza) dlla cm sta alla bas (rapprsntata dall ampzza) dlla cm com l ara comprsa tra l strmo nfror dlla cm la mdana sta alla sua bas (l sgmnto d ampzza M - ). ll sprsson [] s ha ch:. Ara(cm ) = frqunza d cm = - = n ;. a(cm ) = ampzza d cm = - ; 3. Ara[ -, M ] = ; 4. a[ -, M ] = M. Sosttundo: d splctando rsptto a M : n ( ) = ( M ) : : M = + ( ) n. Esmpo 3: X = tà dll vttm d ncdnt stradal nll anno 00; untà statstch = famgl rsdnt n provnca d Enna; : rddto dlla -sma famgla. 5

6 Dstrbuzon d frqunza n class: Class n = = 70 < 89 = 4 cm = (0, 5) M = (5) (70 5) 0 + = La class mdana può anch ssr ndvduata grafcamnt, dopo avr costruto un stogramma, avndo cura d porr l frqunz rlatv cumulat, F, sull ass dll ordnat; succssvamnt s tracca la parallla all ass dll ascss, passant pr l punto d ordnata F = 0.5. La cm è qulla a cu corrspond la prma barra dll stogramma ntrscata dalla rtta. PROPRIETÀ DELLA MEDIAA. La somma d valor assolut dgl scart d valor ossrvat dalla mdana è un mnmo, rsptto alla somma d valor assolut dgl scart d valor ossrvat da un qualsas altro valor: n M = mn. La mdana non è afftta dalla prsnza d valor anomal (o outlr). 6

7 ALTRI IDICI DI POSIZIOE I QUATILI: Sono valor dlla dstrbuzon ordnata (), ch rpartscono la graduatora, n modo da lascar una crta porzon d trmn alla propra snstra la rstant part alla propra dstra. Sono ndc d poszon dl tutto analogh alla mdana. S può calcolar un numro ndtrmnato d quantl. I pù comun sono: quartl (Q ); dcl (d ); prcntl (p ). I QUARTILI: I quartl sono 3:. Q : ¼ d trmn a snstra ¾ a dstra;. Q : ½ a snstra ½ a dstra; 3. Q 3 : ¾ a snstra ¼ a dstra. Caso : ~ untà o modaltà: n luogo dlla dstrbuzon ossrvata d us s n dtrmna una nuova, *, sml a ssa, n modo ch * sa contmporanamnt multplo d d 4. S confrontano valor dll frqunz cumulat pr la nuova dstrbuzon * con: *. 4 pr Q ;. 3. * pr Q ; 3 * 4 pr Q 3. Caso : ~ class: s procd n modo analogo a qullo vsto pr la dtrmnazon dlla M. Prma s ndvdua la class n cu cad cascun quartl po l valor n bas all pots dll stogramma alla nota proporzon: Ara(Q ) : a(q ) = Ara[ -, Q ] : a[ -, Q ]. I DECILI: Sono 9. Il prmo (d ) bpartsc la dstrbuzon n modo da lascar /0 d trmn alla sua snstra rstant 9/0 alla sua dstra. S procd n modo analogo al calcolo d quartl, s consdra qund una nuova dstrbuzon, tal ch * sa multplo d d 0. Inoltr: d 5 = M I PERCETILI: Sono 99. Il prmo (p ) bpartsc la dstrbuzon n modo da lascar /00 d trmn alla sua snstra rstant 99/00 alla sua dstra. 7

8 LE MEDIE AALITICHE Una mda è un numro ch sprm la snts dll ntnstà con la qual un fnomno studato s è manfstato n una dstrbuzon statstca smplc. Dfnzon d Chsn: Data una dstrbuzon smplc d valor,, pr =,,,, ossrvat su una popolazon, una mda è la quanttà µ (o, s valor sono ossrvat su un campon) ch, s sosttuta a cascun trmn dlla dstrbuzon, lasca naltrato l rsultato dll applcazon d una data funzon f( ) a trmn dlla dstrbuzon stssa: f(,,, ) = f(µ, µ,, µ). Il tpo d mda camba al varar dlla funzon applcata alla sr d dat. LA MEDIA ARITMETICA S la applcata è, f( ) = Σ( ), la somma dlla sr (,,, ), la mda sarà dfnta mda artmtca, avrà la sgunt forma: f(,,, ) = = f(µ, µ,, µ) = µ + µ + + µ = µ l du quanttà sono ugual pr dfnzon prtanto: = µ = = µ. Esmpo 4,, 4, 7, 7, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 3, 4, 7, 7, 3, 3 = 4, = µ = = 4, Quando s ha una dstrbuzon d valor pr untà, com nl caso sopra smplfcato, l numrator è la somma d tutt l ossrvazon, la cu frqunza è smpr ugual a uno, la mda, µ, s chama mda artmtca smplc. Quando, nvc, dat sono organzzat n una dstrbuzon d frqunza pr modaltà,, l numrator è la somma d prodott dll modaltà pr l rspttv frqunz n, allora la mda, µ, chama mda artmtca pondrata, la cu formalzzazon è: 8

9 µ K = = K = n n Alcun proprtà dlla mda artmtca. L unctà la smplctà: ovvro, pr un dato nsm d ossrvazon sst una d una sola mda artmtca.. La somma algbrca dgl scart dll ossrvazon dallo loro mda artmtca, µ, è ugual a zro: ( µ ) = µ = ( ) = = 0. La somma d quadrat dgl scart dll ossrvazon dalla loro mda artmtca, µ, è un mnmo rsptto alla somma d quadrat dgl scart dll stss ossrvazon da un qualsas altro valor mdo: ( µ ) = mn Qusta quanttà è nota com dvanza d noltr, qust ultma proprtà è una dll pù mportant, prché garantsc la qualtà dll ndc d varabltà assocato alla mda artmtca. Un lmt dlla mda artmtca rsd nl fatto ch è afftta da valor anomal o outlrs. LA MEDIA GEOMETRICA S la funzon applcata è f( ) = Π( ), l prodotto dlla sr (,,, ), allora: f (,, K, ) = K = Sosttundo a trmn una quanttà costant, µ g : µ µ... µ = µ g g g g da cu s ottn la mda gomtrca pr untà: g = g = µ µ la mda gomtrca pr () modaltà: µ K g = = n 9

10 LA MEDIA QUADRATICA S la funzon applcata è f( ) = allora:, la somma d quadrat dlla sr (,,,,, ), Sosttundo a trmn una costant, s ha: = = f (,,..., )... µ + µ µ = µ q q q q da cu s ottn la mda quadratca pr untà: = µ q la mda quadratca pr () modaltà: = K = µ q n LA MEDIA ARMOICA S la funzon applcata è la somma dgl nvrs dlla sr (,,,,, ), ovvro: f (,,..., ) = = Sosttundo una costant, µ a, a trmn s ha: f ( µ a, µ a,..., µ a ) = = µ µ µ µ a a a a Ponndo l uguaglanza s ha: la mda armonca pr untà. = µ a = µ a E la mda armonca pondrata è: µ = a K = n 0