BOZZA BOZZA BOZZA. Funzioni per effettuare delle interpolazioni su dati tabellati: interp1, interp2, interp3.

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1 Interpolazione dati Funzioni per effettuare delle interpolazioni su dati tabellati: interp1, interp2, interp3. Sintassi Interp1(x,y,x_int) in questo modo si determinano i valori interpolati di y che corrispondono a x_int. E possibile specificare il tipo di metodo lineare o non lineare. Esempio: X=[7,9,11,12]; Y=[49,57,71,75]; Per interpolare linearmente i dati in corrispondenza del valore di x=10 X_int=10; Y_int=interp1(X,Y,X_int, linear ); Y_int=interp1(X,Y,X_int, cubic ); 19

2 Interpolazione dati temperatura ( C) tempo (h) 20

3 Estrapolazione dati Estrapolazione: stimare il valore di una variabile al di fuori di un determinato intervallo di punti noti. Estrapolazione lineare: X_extr=15; Y_extr=interp1(X,Y,X_extr, linear, extrap ); temperatura ( C) tempo (h) 21

4 Esercizio Realizzare una funzione che ritorni il valore della viscosità cinematica dell aria in funzione della temperatura interpolando-estrapolando linearmente i seguenti dati. Riportare i dati in un grafico da -10 C a 150 C T C ν 10-6 (m 2 /s)

5 Soluzione x=[0,20,50,100]; y=[13.3,15.1,17.9,23.0]; t=input('a quale temperatura vuoi la viscosità? '); vis=interp1(x,y,t,'linear','extrap'); disp(['la viscosità vale ' num2str(vis)]); xplot=[-10:1:150]; yplot=interp1(x,y,xplot,'linear','extrap'); plot(xplot,yplot) 23

6 Soluzione funzione function [ni]=viscosita(temp) x=[0,20,50,100]; y=[13.3,15.1,17.9,23.0]; ni=interp1(x,y,temp,'linear','extrap'); xplot=[-10:1:150] yplot=viscosita(xplot) plot(xplot,yplot,'g' 24

7 Esercizio Calcolo del lavoro compiuto da un gas in una espansione Netta tabella sono memorizzati i valori di pressione e di volume specifico di un gas che si sta comprimendo lungo una trasformazione quasi statica. Rappresentare graficamente i dati e calcolare il lavoro di espansione sia utilizzando la funzione trapz sia la funzione quad? E possibile? Come potrei fare? P Pa V m^3 /kg l 2 = p 1 dv 25

8 Esercizio p=[50,70,80,90,92,94,96,97,98,99]; v=[10,8,7,6,5,4,3,2,2,2]; l=trapz(v,p) plot(v,p)

9 Polinomi Un polinomio in Matlab viene rappresentato mediante un vettore contenente i suoi coefficienti Es. Il polinomio x 3 +2x 2 +4x+8 viene rappresentato mediante il vettore [ ]. Esistono molte funzioni built-in per manipolare i polinomi, poly, roots, polyder, etc. Molto interessanti sono polyfit e polyval. Esempio Per valutare il polinomio 9x 3-5x 2 +3x+7 nel punto x=1 inserire p=[ ],x=1;y=polyval(p,x) Per valutare lo stesso polinomio nell intervallo [0 10] inserire X=[0:0.1:10]; y=polyval(p,x) 27

10 Regressione Obiettivo è la ricerca della relazione tra una variabile x indipendente e una variabile casuale y. La funzione polyfit trova i coefficienti di un polinomio di grado n che meglio approssimano i dati secondo il metodo dei minimi quadrati. Secondo questo metodo il polinomio ideale per rappresentare dei punti è quello che rende minimo il valore della somma dei quadrati delle differenze tra il polinomio e i punti noti e cioè il valore J della somma quadratica dei residui. Sintassi p=polyfit(x,y,n) In cui x è l avariabile indipendente, y la variabile casuale e n il grado del polinomio 28

11 Regressione Esempio: x=[1:9]; y=[5,6,10,20,28,33,34,36,42]; plot(x,y, o ) p=polyfit(x,y,1) %individua la miglior retta che passa per i punti dati hold on, s=polyval(p,x); plot(x,s, r ) q=polyfit(x,y,2) %individua il miglior polinomio di 2 grado s=polyval(q,x); plot(x,s, g ) 29

12 Qualità dell approsimazione METODO A (comparativo) Si puo valutare la somma quadratica dei residui i= 1 J=sum((p-y).^2) La funzione che fornisce il più piccolo valore di J è quella che approssima meglio i dati. METODO B (ASSOLUTO) Indicando con S la somma dei quadrati della deviazione dei valori Y dal loro valore medio, si può definire un parametro R2 (erre quandro), detto di determinazione, che indica la qualità dell approssimazione. Indicando S=sum((Y-mean(Y)).^2) R2=1-J/S [ N y ] i y Più R2 è prossimo a 1 migliore è la qualità dell approssimazione. Una buona approssimazione dovrebbe avere R2 superiore a J = S [ p i y i ] = N i=

13 Qualità dell approsimazione METODO C (sperimentale) Si puo valutare la il valore massimo dei moduli dei residui e confrontarlo con l incertezza su y A { y p } incertezza( y ) = max i i i= 1,..., n (rigettare prima i dati non attendibili) considerare anche, eventualmente, l incertezza su x 31

14 Esercizio x=[1:9]; y=[5,5,10,20,28,30,34,39,49]; - Valutare la bontà (J e R2) della regressione con polinomi di grado 1,2,3,4,9 - Si valuti infine la bontà dell approssimazione supponendo un errore trascurabile su x e un errore di ±5 su y. 32

15 Regressione x=[1:9]; xbig=[1:0.1:9]; y=[5,5,10,20,28,30,34,39,49]; plot(x,y,'g') hold on n=1 p=polyfit(x,y,n) ; s=polyval(p,x); t=polyval(p,xbig); plot(xbig,t,'r'); J=sum((s-y).^2) S=sum((y-mean(y)).^2); R2=1-J/S A=max(abs(s-y)) 33

16 Regressione ydati x 34