PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione

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1 PROGRAMMA di Analisi Matematica A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione Testo Consigliato: - Analisi Matematica, Teoria e Applicazioni, A. Marson, P. Baiti, F. Ancona, B. Rubino, Carrocci, Roma, Appunti di lezione. Primi Elementi Simboli logici. Predicati, proposizioni e loro negazioni. Simboli e operazioni sugli insiemi. Prodotto cartesiano. Principio di induzione (con dim. facoltativa). Disuguaglianza di Bernoulli (con dim.). Sommatorie e loro proprietà. Fattoriale. Coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton (con dim. facoltativa). Somma di progressione geometrica (con dim.). Insiemi numerici: N, Z, Q, R. Proprietà di densità di Q (con dim. facoltativa). Proprietà di Archimede (con dim. facoltativa). Definizione dei numeri reali con gli allineamenti decimali. Proprietà di densità in R. Q non contiene 2 (con dim.). Definizione di: maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Proprietà degli estremi. Definizione di relazione d ordine. Q e R sono campi totalmente ordinati. Teoremi di completezza. Proprietà caratteristiche di sup e inf per insiemi di numeri reali. Intervalli. Valore assoluto; disuguaglianza triangolare (con dim.). Definizione di C, campo complesso, scrittura in forma algebrica di un numero complesso, Teorema: z = z 2 se e solo se Re(z ) = Re(z 2 ) e Im(z ) = Im(z 2 ) (con dim.). Definizione del coniugato di un numero complesso. Teorema Fondamentale dell algebra, Teorema sugli zeri dei polinomi a coefficienti reali (con dim. facoltativa), Teorema sugli zeri dei polinomi di grado dispari (con dim. facoltativa). Definizione di modulo di un numero comlesso, suo significato geometrico, prime proprietà, disuguaglianza triangolare (con dim. facoltativa). Forma trigonometrica di un numero complesso e sue relazioni con la forma algebrica. Argomento e modulo del prodotto e del quoziente di due numeri complessi, Formula di De Moivre (con dim.). Forma esponenziale di un numero complesso.

2 2 Le funzioni Definizione di funzione, di dominio, di codominio e di immagine e controimmagine di un insieme. Definizione di funzione reale a variabile reale e del suo grafico. Definizioni di funzioni limitate, funzioni simmetriche, funzioni monotone e funzioni periodiche. Definizione di massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore per una funzione. Funzioni elementari: potenza, esponenziali, logaritmo, funzioni trigonometriche e iperboliche, parte intera, mantissa, Composizione di funzioni. Definizione di funzione iniettiva e suriettiva. Funzioni invertibili; funzione inversa. Grafico dell inversa. La stretta monotonia implica l invertibilità sull immagine (con dim.). Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni iperboliche inverse. 3 Limiti di funzioni da R in R Definzione di intorno sferico e di intorno per un punto in R {± } Dati due intorni la loro inteserzione è un intorno (con dim.). Proprietà di separazione degli intorni, cioè dati due punti distinti esistono due intorni distinti (con dim). Definizione di punto di accumulazione per un insieme e di punto isolato. Se S = sup A A allora S è di accumulazione per A, e se I = inf A A allora I è di accumulazione per A (con dim. facoltativa). Definizione di proprietà definitivamente vera per x che tende ad x 0. Definizione di limite di funzione per x che tende a x 0 R {± }, con gli intorni. Come tale definizione si scrive con i quantificatori nei vari casi quando il punto x 0 R oppure x 0 = ± e al variare del valore del limite finito o infinito. Definizione di funzione divergente e infinitesima. Teorema di limitatezza locale (con dim. facoltativa). Teorema di unicità del limite (con dim.). Definizione di punto di accumulazione destro e sinistro. sinistro. Teorema di unicità dei limiti destro e sinistro. Definizione di limite destro e Teorema di equivalenza tra l esistenza del limite e l esistenza dei limiti destro e sinistro (con dim.). Se f è periodica (non costante) allora non ammette limite per x ± (dim. nel caso di f(x) = sin(x). 2

3 Limite e valore assoluto: ) f(x) l quando x x 0 se e solo se f(x) l 0 quando x x 0 (con dim.) 2) f(x) 0 quando x x 0 se e solo se f(x) 0 quando x x 0 (con dim.) 3) se f(x) l quando x x 0 allora f(x) l quando x x 0 (con dim. facoltativa). Limite e relazione d ordine: ) Teorema della permanenza del segno (con dim.) e suo corollario (se f 0 per x x 0 allora il limite è anche maggiore o uguale a zero, con dim. fac.) 2) Teorema del confronto (con dim.) 3) Teorema dei due carabinieri (con dim.) 4) se f g per x x 0 allora se f diverge a + infinito anche g diverge a + infinito, se g diverge a - infinito anche f diverge a - infinito (con dim. fac.) Teremi sull esistenza dei limiti per le funzioni monotone (con dim. di lim x x + 0 inf x>x0 fx) = l R nel caso in cui x 0 R e f monotona crescente.) Primo limite fondamentale (con dim.) e sue conseguenze (con dim.) Secondo limite fondamentale e sue conseguenze (con dim. solo delle conseguenze) Limite e Operazioni, nel caso di limiti finiti (con dim. per il prodotto) Teorema di cambio di variabile o della funzione composta (con dim.) Limite di una funzione infinitesima per una funzione limitata (con. dim.) Limite e operazioni quando una funzione è divergente e forme indeterminate. Definizione di o-piccolo, sue proprietà e o-piccolo per le funzioni composte. Definizione di asintotico e relazione con o-piccolo (con dim.) f(x) = Teorema sull utilizzo di o-piccolo e asintitoticità nel calcolo dei limiti (principio di sostituzione degli infinitesimi) (con dim.) Definizione di f infinito (infinitesimo) di ordine superiore/inferiore/stesso ordine/non confrontabile a g per x x 0. Definizione di ordine di infinito e di infinitesimo. 4 Succesioni e Serie numeriche 4. Succesioni Definizione di successione e di limite per una successione. Definizione di successione convergente, divergente, regolare e irregolare (o deteminata e indeterminata), infinitesima e limitata. Se una successione é convergente allora é limitata (con dim.). Teoremi sui limiti di successione (che derivano dai limiti di funzione): unicità del limite, algebra dei limiti, teoremi sul modulo, permanenza del segno, confronto, teorema dei due carabinieri. 3

4 Successioni monotone; Teorema di monotonia (con dim.). Progressione geometrica. La successione ( + /n) n è crescente e monotona. Definizione del numero di Nepero e. Criterio del rapporto per le successioni (con dim.). Def. di sottosuccessione. Teorema sulla relazione tra la convergenza di una successione e quella delle sue sottosuccessioni (con dim. fac.). Teorema sul legame tra il limite di una successione e quello delle due sottosuccessioni dei pari e dei dispari (con dim. fac.). Teorema di Bolzano-Weierstrass sulle successioni limitate. Teorema sulla relazione tra il limite di una funzione e il limite lungo le successioni (con dim.) 4.2 Serie Numeriche Def. di somma parziale. Definizione di serie regolare e irregolare. Definizione di serie convergente (e di somma di una serie) e divergente, con esempi. Carattere di una serie. Serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie (con dim.). Def. di serie resto parziale n-esimo e sue proprietá (con dim. fac.) Serie geometrica Serie a termini nonnegativi: comportamenti possibili (con dim.), criterio del confronto (con dim.), criterio del confronto asintotico (con dim. facoltativa), criterio asintotico del rapporto (con dim.), criterio asintotico della radice (con dim).. Serie armonica e sua divergenza (con dim.), def. serie armonica generalizzata, sua convergenza e divergenza (con dim. fac.). Comportamento della serie Σ n α (log n) β. Serie a termini di segno variabile: definizione di convergenza assoluta, convergenza assoluta implica convergenza semplice (con dim.), Criterio di Leibniz (con dim. facoltativa). 5 Le Funzioni Continue Definizione di funzione continua in un punto e in un insieme. Teoremi di limitatezza locale, permanenza del segno, somma, prodotto, quoziente, composizione per le funzioni continue. Le funzioni elementari sono continue (con dim per le funzioni: polinomi, seno, coseno, tangente) 4

5 Analisi dei punti di discontinuità. Def. di quando una funzione si può estendere per continuità, in un punto. Proprietà delle funzioni continue su intervalli: Teorema degli zeri (con dim.). Teorema di Weierstrass (con dim. facoltativa). Teorema dei valori intermedi (con dim.). L immagine di un intervallo tramite una funzione continua è un intervallo. Teorema sulla relazione tra invertibilità e monotonia per funzioni continue su intervalli e continuità della funzione inversa (con dim.) 6 Calcolo differenziale in una variabile reale Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica. Definizione di derivata seconda e di derivata n-esima. Relazione tra derivabilitá e continuitá (con dim.). Derivate delle funzioni elementari (x, x α, sin x, e x, arcsin x con dim.). Definizione di derivata destra e sinistra e relazione con l esistenza della derivata. Teorema sull algebra delle derivate (con dim. della derivata del prodotto). Teorema sulla derivata della funzione composta (con dim.). Teorema sulla derivata della funzione inversa (con dim.). Punti di non derivabilità: definizone di punto angoloso, cuspide, punto a tangente verticale. Teorema del limite della derivata. Teorema di De L Hôpital. Relazione tra limite destro (risp. sinistro) di f e derivata destra (risp. sinistra) per f continua. (con dim.). Definizione di punti di massimo e di minimo locale e di punti stazionari. Fermat (con dim.). Teorema di Teorema di Rolle (con dim.) Teorema di Lagrange (con dim.). Caratterizzazione delle funzioni costanti (con dim.). Teorema di monotonia (con dim.) e suo Corollario. Ricerca dei punti di massimo e minimo locali ed assoluti. Definizione di funzione concava e convessa. Teorema di caratterizzazione della convessitàconcavità tramite la derivata prima e la derivata seconda. Definizione di punto di flesso e caratterizzazione con la derivata seconda. Studio del grafico di una funzione. Definizione del polinomio di Taylor e sue proprietà. Formula di Taylor con resto di Peano (con dim.). Sviluppi di MacLaurin delle principali funzioni elementari. Criterio per vedere se un punto critico x 0 è di massimo o di minimo utilizzando il segno della derivata seconda (con dim. facoltativa) Formula di Taylor con resto di Lagrange. Definizione di serie di Taylor e di funzione sviluppabile in serie di Taylor. Esempi. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor (con dim. facoltativa). 5

6 7 Calcolo integrale Definizione di partizione di un intervallo, di partizione puntata, di somma di Cauchy- Riemann. Definizione di funzione integrabile. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell integrale definito: Linearità, Additività rispetto intervallo di integrazione, Monotonia (con dim.), relazione tra integrale di f e di f. Teorema della media integrale (con dim.). Definizione di primitiva. Caratterizzazione delle primitive su intervalli (con dim.). Definizione di funzione integrale. Teorema: se f : [a, b] R è continua, allora la sua funzione integrale è una sua primitiva (con dim.) Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim. nel caso di f continua). Definizione di integrale indefinito. Integrazione per sostituzione (con dim.) e per parti (con dim.). Integrazione delle funzioni razionali. Sostituzioni canoniche: integrazione delle funzioni trigonometriche, delle funzioni irrazionali, delle funzioni in potenze razionali di x. Definizione di integrale generalizzato o improprio sia su semirette sia su intervalli. Definizione di assoluta integrabilità in senso improprio. Criterio di assoluta integrabilità. Criterio del confronto (con dim.). Convergenza/divergenza di x in ± e di α x a α a R (con dim.) in Criterio del confronto asintotico (con dim. facoltativa). Corollari: criterio del confronto asintotico con x in ± e con α x a in a R. Convergenza/divergenza di sia α x α log(x) β in + sia in x = 0 (con dim. facoltativa). Funzione integranda: Criterio di integrabilità in x = a quando la funzione integranda è limitata. Considerazioni sul rapporto tra il limite a + di f e la sua integrabilità in +. Proposizione: se f ha limite a + ed è integrabile allora f è infinitesima (con dim. facoltativa). Criterio dell integrale per serie numeriche (con dim. facoltativa). 6