MODULO 2 DISEQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI DI I GRADO MODULO 3 LA FATTORIZZAZIONE DI POLINOMI

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2 INDICE IL CALCOLO LETTERALE E LE EQUAZIONI DI I GRADO 1.1 Espressioni letterali Identità e equazioni Equazioni Principi di equivalenza delle equazioni Equazioni di I grado Risoluzione delle equazioni I grado con le frazioni Equazione di I grado determinata, indeterminata, impossibile Frazioni algebriche Problemi con le equazioni di I grado Esercizi Esercizi identità e equazioni Esercizi equazioni Esercizi frazioni algebriche Esercizi problemi con le equazioni di primo grado Esercizi tratti dalle prove d esame Esercizi tratti dalle prove invalsi MODULO 2 DISEQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI DI I GRADO 2.1 Le disequazioni Disequazioni di I grado Soluzione grafica delle disequazioni di I grado Disequazioni determinate, indeterminate e impossibili Problemi risolvibili con le disequazioni di i grado I sistemi di equazioni di i grado Problemi Risolvibili Con I Sistemi Di Equazioni Di I Grado Esercizi con le disequazioni MODULO 3 LA FATTORIZZAZIONE DI POLINOMI 3.1 Scomposizione dei polinomi Divisibilita di un polinomio per un binomio... 31

3 Eserciziario riepilogativo di matematica 3.3 Esercizi sulla scomposizione di polinomi Esercizi estratti dalla prove invalsi MODULO 4 IL PIANO CARTESIANO 4.1 Il piano cartesiano La distanza fra due punti Le coordinate di un punto medio di un segmento Le funzioni Le funzioni algebriche lineari: la retta Equazione esplicita di una retta Rette parallele e perpendicolari Rette particolari Grafico di una retta Appartenenza di un punto a una retta La proporzionalita diretta Traslazione di una retta lungo l asse y Esercizi sul piano cartesiano Esercizi estratti dalle prove di esame della qualifica triennale Esercizi estratti dalle prove invalsi MODULO 5 LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI DI II GRADO 5.1 Equazioni di II grado Classificazione delle equazioni di II grado Risoluzione di un equazioni di II grado completa Equazione determinata, con due soluzioni coincidenti, impossibile Risoluzione di un equazioni di II grado spuria e pura La parabola Grafico di una parabola Grafico di una parabola se > Grafico di una parabola se = 0 oppure < Proporzionalita quadratica Esercizi equazioni di II grado Esercizi estratti dalle prove di esame della qualifica triennale Esercizi estratti dalle prove invalsi MODULO 6 CIRCONFERENZA, CERCHIO E POLIGONI 6.1 Definizioni Formule... 92

4 Modulo 8 INDICE Area quadrilateri Pentagono e esagono Teorema di pitagora e sue applicazioni Esercizi Esercizi estratti dalle prove della qualifica triennale Esercizi estratti dalle prove invalsi MODULO 7 RAPPRESENTAZIONE DEI DATI STATISTICI 7.1 Grafici a barre Areogramma Grafici cartesiani Esercizi Esercizi estratti dalle prove di esame della qualifica triennale Esercizi estratti dalle prove invalsi MODULO 8 STATISTICA E PROBABILITA 8.1 Elaborazione dei dati statistici: frequenza, media aritmetica, mediana e moda Media ponderata La probabilità di un evento Esercizi Esercizi estratti dalle prove invalsi Esercizi estratti dalle prove di esame della qualifica triennale. 160

5 MODULO 1 IL CALCOLO LETTERALE E LE EQUAZIONI DI I GRADO 1.1 Espressioni letterali Tra la lettera e il numero c è il PER SI DICE ESPRESSIONE LETTERALE UNA SUCCESSIONE DI OPERAZIONI IN CUI COMPAIONO NUMERI E LETTERE LA PARTE LETTERALE RAPPRESENTA DEI NUMERI PER CUI È POSSIBILE CALCOLARE IL VALORE NUMERICO 3x 2 2y 3z Si attribuiscono per esempio i seguenti valori: x = 1 y = 1 z = ( 1) 3 ( 3) = = 12 ATTENZIONE 3x con x = 1 à 3 ( 1) = 3 3x 2 con x = 1 à 3 (+1) = +3 3x 3 con x = 1 à 3 ( 1) = 3 3x 3 con x = 1 à 3 1 = 3 Esponente pari diventa sempre + Esponente dispari mantiene il segno 1.2 Identità e equazioni Le espressioni algebriche nelle quali compaiono le variabili (o incognite) separate dal segno uguale si dicono UGUAGLIANZE. 3x + 2 = 5x + 4 PRIMO MEMBRO SECONDO MEMBRO Le uguaglianze si dividono in due categorie: 3

6 Eserciziario riepilogativo di matematica IDENTITÀ È sempre verificata per qualsiasi valore attribuito alle sue lettere 4x = 6x 2x PRIMO MEMBRO SECONDO MEMBRO Se x = = = 4 Se x = = = 8 Se x = = = 12 EQUAZIONE È verificata solo per particolari valori attribuiti alle sue lettere 4x = 5x 2 PRIMO MEMBRO SECONDO MEMBRO Se x = = = 3 Se x = = = 8 Se x = = = 13 Se si sommano i monomi simili si ottiene un espressione A sx uguale a quella di dx 4x = 6x 2x Se si sommano i monomi simili si ottiene un espressione A sx diversa a quella di dx 4x = 5x 2 4x = 4x 1.3 Equazioni INCOGNITA 3x + 2x 5 = 0 COEFFICIENTE TERMINE NOTO Il GRADO DI UN EQUAZIONE è dato dall esponente dell incognita Il NUMERO DI SOLUZIONI è uguale al grado dell equazione 2x + 3 = 5 Equazione di I grado à 1 soluzione 2x 2 + 3x = 5 Equazione di II grado à 2 soluzione 2x 3 + 3x = 5 Equazione di III grado à 3 soluzione RISOLVERE UN EQUAZIONE significa trovare quei valori che sostituiti alle incognite rendono vera l eguaglianza 5x 5 = 4x + 2 LA SOLUZIONE È x = 7 SOSTITUENDO ALL INCOGNITA X IL VALORE TROVATO: = = = 30 4

7 Modulo 1 IL CALCOLO LETTERALE E LE EQUAZIONI DI I GRADO 1.4 Principi di equivalenza delle equazioni I principi di equivalenza delle equazioni sono utili per trasformare un equazione in un altra EQUI- VALENTE, ma scritta in maniera più semplice permettendo così di trovare più facilmente le soluzione dell equazione I PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di un equazione una stessa quantità l equazione resta equivalente alla data In un equazione si può trasportare qualsiasi termine da un membro all'altro cambiando di segno (REGOLA DEL TRASPORTO) 3x 5 = 2x + 2 3x 2x = II PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un equazione per una stessa quantità diversa da zero l equazione resta equivalente alla data CAMBIO SEGNO: se si cambiano i segni di tutti i termini dell equazione, si ottiene un equazione equivalente a quella data (in pratica si moltiplicano tutti i termini per -1) 3x = +9 +3x = 9 DENOMINATORE 5x COMUNE: 5 = 4x + 2un equazione fratta si può trasformare in un equazione equivalente, moltiplicando LA SOLUZIONE entrambi i È membri x = 7 per il m.c.m. dei denominatori SOSTITUENDO ALL INCOGNITA X IL VALORE TROVATO: = x = 0 6x + 25 = = ELIMINARE IL COEFFICIENTE DAVANTI ALL INCOGNITA 3x = 9 Dividendo a dx e a sx per 3 si isola la x 3 3 x = 9 3 x = 3 5

8 Eserciziario riepilogativo di matematica 1.5 Equazioni di I grado Le equazioni di I grado si risolvono seguendo il seguente schema: PORTARE LE LETTERE A SX E I NUMERI A DX (CAMBIANDO IL SEGNO!!) I Principio SVOLGERE I CONTI 3x 5 = 2x + 2 3x 2x = x = +7 Cambiare segno SE LA LETTERA HA SEGNO NEGATIVO CAMBIARE SEGNO II Principio DIVIDERE A SX E A DX PER IL COEFFICIENTE DELLA LETTERA II Principio + 5x = x = 7 5 x = 7 5 Dividere per il numero della X Risoluzione delle equazioni I grado con le frazioni Le equazioni di I grado con le frazioni numeriche si risolvono seguendo il seguente schema: PORTARE LE LETTERE A SX E I NUMERI A DX (CAMBIANDO IL SEGNO!!) I Principio 3 5 x 5 2 = 2x x 2x = Cambiare segno CALCOLARE IL m.c.m. II Principio ELIMINARE I DENOMINATORI II Principio SE LA LETTERA HA SEGNO NEGATIVO CAMBIARE SEGNO II Principio DIVIDERE A SX E A DX PER IL COEFFICIENTE DELLA LETTERA E SEMPLIFICARE 6x 20x 10 6 = 26x 10 = x = 45 26x = x = x = Dividere per il coefficiente della X

9 Modulo 1 IL CALCOLO LETTERALE E LE EQUAZIONI DI I GRADO 1.6 Equazione di I grado determinata, indeterminata, impossibile UNA EQUAZIONE DI I GRADO SI DICE DETERMINATA SE AMMETTE UNA SOLUZIONE x = NUMERO INDETERMINATA SE AMMETTE INFINITE SOLUZIONI 0 = 0 x = 3 0x = 0 IMPOSSIBILE SE NON AMMETTE SOLUZIONI 0 = NUMERO 0x = Frazioni algebriche Una frazione algebrica è un tipo di frazione dove sia il numeratore che il denominatore sono rappresentati da polinomi. Una frazione si annulla quando il NUMERATORE È ZERO Una frazione è impossibile quando il DENOMINATORE È ZERO 3x 6 2 5x 3x 6 = 0 3x = x = 6 3 x = 2 2 5x = 0 5x = 2 5x = 2 x = 2 5 x 2 5 La frazione si ANNULLA (o ASSUME VALORE ZERO) Si pone il numeratore uguale a zero e si risolve l equazione La frazione è IMPOSSIBILE (o PERDE DIGNIFICATO) Si pone il denominatore uguale a zero e si risolve l equazione Poiché una frazione è impossibile se il denominatore è zero, è importante determinare tutti quei valori per cui la frazione esiste, ovvero quei valori per cui il denominatore sia diverso da zero à questo significa determinare il campo di esistenza (C.E.) della frazione 7

10 Eserciziario riepilogativo di matematica 1.8 Problemi con le equazioni di I grado In una famiglia di 4 persone il padre e la madre hanno la stessa età che è tripla di quella di Matteo; la sorellina Sara è nata 3 anni dopo Matteo. Determinare le età dei componenti della famiglia sapendo che la somma delle loro età è 77 anni. INDIVIDUARE L INCOGNITA SCRIVERE L EQUAZIONE TRADUCENDO IL TESTO IN FORMA MATEMATICA RISOLVERE L EQUAZIONE EFFETTUARE LA VERIFICA Individuare il dato che non si conosce Tradurre in forma matematica il testo Effettuare i passaggi per le equazioni di I grado Controllare che sostituendo il valore dell incognita i conti tornino L età di Michele viene usata come riferimento per indicare l età degli altri componenti della famiglia x = età di Matteo Sara ha 5 anni in meno di Michele x 3 = età di Sara La madre e il padre hanno la stessa età che corrisponde al triplo degli anni di Michele 3x = età del padre 3x = età della madre Il problema indica che la somma di tutte le età dà 77, per cui sommare tutte le quantità del punto precedente e porle uguale a 77 Quindi: x + x 3 + 3x + 3x = 77 x + x 3 + 3x + 3x = 77 x + x + 3x + 3x = x = 80 x = 10 età di Matteo = 10 x 3 = età di Sara = 10 3 = 7 età del padre = 10 3 = 30 età della madre = 10 3 = 30 La somma delle età deve dare 77: = 77 8

11 Modulo 1 IL CALCOLO LETTERALE E LE EQUAZIONI DI I GRADO 1.9 ESERCIZI 1. Risolvi le seguenti espressioni letterali a. a 2 + 2b c = con a = 1 b = 2 c = 3 [2] b. a 2 + 2b c = con a = 1 b = 2 c = 3 [ 6] c. a 2 + 4b 6c = con a = 1 b = 2 c = 3 [ 25] d. a 2 + 3b 2c = con a = 1 b = 2 c = 3 [ 13] e. x 4 + 4x + 3xy = con x = 1 y = 2 [3] f. g. 1 2 a b c = con a = 1 b = 2 c = 3 [ 3 2] 1 4 x3 1 4 x 2 y = con x = 1 y = 3 [ 2] ESERCIZI IDENTITÀ E EQUAZIONI 2. Verifica le seguenti identità a (x + 2) = 2 + 3x + 6 b. 2x 4 (x + 1) 2x = 4( x 1) c. (x 4)(x + 4) = x 2 16 d. (x + 3)(x 1) = x 2 + 2x 3 3. Individua se le seguenti uguaglianze sono equazioni o identità a. 5x 2x + 2 = 5 3x + x b. x + x 6 = 2x c. x 8 10 = 2x x 12 d. 3x = 6x 3x + 3 e. 4x 2x + 2 = 5 3x + x f. x + 2x 6 = 3x g. x 9 10 = 2x x 13 h. 3x = 6x 3x + 3 9

12 Eserciziario riepilogativo di matematica ESERCIZI EQUAZIONI 4. Completa la tabella c 2 8c = 0 x x + 2y = 0 0 = 4a 4 4a + a + 3 GRADO NUMERO SOLUZIONI INCOGNITA COEFFICIENTI TERMINI NOTI 5. Determina grado dell equazione, numero di soluzioni, incognita, coefficienti, termini noti a. x 2 3x x 2 + x = 0 b. x 2 + x 6 10 x 12 8 x 2 = 0 c. a 4 6a 10 = 0 d. y 2 + y 6 10 = 0 e. 0 = 4x 2 4x Ordina a sinistra le incognite e a destra i termini noti applicando la regola del trasporto a. 5x 2 2x = 5 3x 2 + x b. x x 2 + x 6 10 = 2 + x 12 8 x 2 c. x 2 + x 8 10 = 0 d. 0 = 4x 2 3x Associa ad ogni equazione la sua soluzione corretta 5x 3 = 2 x = 5 2 A. 4x 3 x = x + 2 x = 1 5 B. 4x 8 = 0 x = 1 C. 6x = 4x 2 x = 2 D x = x ( x +1 ) 7 x = 11 2 E. 1 3 x 5 3 = 2 + x x = 6 F. 10

13 Modulo 1 IL CALCOLO LETTERALE E LE EQUAZIONI DI I GRADO 8. Risolvi le seguenti equazioni di I grado: a. 3x 10 = 5x 6 [x = 2] b. 10x + 22 = 8x + 2 [x = 10] c. 6x 7 = 2x + 4x + 2 [impossibile] d. 5x + 3 = 2x 1 [ x = 4 3] e. 6x - 6 4x 2 = 6 8x 12 [ x = 1 5] f. 6x + 10 = x [x = 1] g x = 6x 4 [x = 2] h. 11x + 2 = 8x + 8 [x = 2] i. 7x 3 = [ x = 1 2] j. 6 4x 10 = x + 4 3x + 6 [impossibile] k. 3x 4 = 2x + 5 [x = 9] l. 3b = 5b 2b 2 [indeterminata] m. 5x + 3 = 2x 1 [ x = 4 5] n. 5x 3 = 8x + 6 [x = 3] o. 3 4x = 1 2x [x = 1] p. 3x + 6 x = 4x 8 [x = 7] q. 7x 2 = 3x + 1 [ x = 3 4] r. 2a = 4a 2a 2 [indeterminata] s. 2(x + 6) 12 = 2x [indeterminata] t. 7(3x + 2) = 56 [x = 2] u. 7x + 2(x + 3) = 3(2x + 5) + 30 [x = 13] v. 3(x 1) 2x = 4(x 2) 1 [x = 2] w. 3(2x + 7) = 45 [x = 4] x. 3(3 + 8x) 16(1 3x) = 5(8x 5) 16x [ x = 3 8]

14 Eserciziario riepilogativo di matematica y. 2(x 3) 5(1 + x) 1 = x + 2(1 2x) [impossibile] z. 7x + 2(x + 3) = 3(2x + 5) + 30 [x = 13] aa. 2(x + 3) 6 = 2x [indeterminata] ab. 3(4 2x) + 6(3 + 2x) = 3(x + 10) [x = 0] ac. 6 + x = x 2 [x = 2] ad x = 0 [ x = 15] 4 ae. 1 2 x + 5 = 0 af. ag. 1 2 a 2a = a 1+ 3x = x x 2 2 [x = 10] [ x = 2] 3 [x = 1] ah. x 3 x 4 2 = 6 x +1 [indeterminata] 6 ai. aj. 2x +11 2x +1 = x = x 1 2 x 5x Individua tra le seguenti equazioni quelle equivalenti 6 2x = 4 5( 3x 7) +10 = 2( x +1) 3 2( 5 4 x) = 6( x 3) 10( x 2) = 30 ( ) 1 3 x x = Quale fra i seguenti valori verifica l equazione ( ) + x 5 = 6x 3( x + 2) 2( x 1) 2 x 3 2( 5 + x) + 6 = 5x +1 [x = 2] [x = 0] A. 7 2 B. 2 7 C. 7 2 D Quale fra le seguenti equazioni è impossibile 5 + 2x + 3 = 2( x + 2) ( x + 4) 2 = 3x + 2( x 6) 2x 8 = 2( x 3) x 5( 2 x) = 3( 2x + 9) 7 12

15 Modulo 1 IL CALCOLO LETTERALE E LE EQUAZIONI DI I GRADO 12. Quale valore devi assegnare alla lettera affinché la seguenti equazioni abbiano il valore assegnato? A. 25 3x + 2 = x b x = 2 B. 3x b = 20 2x 5 x =1 C x 12 = 2x b x = 1 D. 2x b =18 x + 3 x = Determina b in modo tale che x = 4 a. 2x + 5 = 3 b [b = 10] b. 3x + 2x = 5 b [b = 9] c. 3 8 x x = 5 b [b = 7] d. 3 8 x x = 2 14 x b [b = 15/7] 14. Determina b in modo tale che x = 4 a. 2x + 5 = 3 b [b = 6] b. 3x 2x = 5 b [b = 15] 15. Determina b in modo tale che b = 1 4 a. 2x + 5 = 3 b [b = 3/2] b. 3x 2x = 5 b [b = 15/4] 16. Determina b in modo tale che x = 5 a. 2x + 6 = 3 b [b = -13] b. 3x 4 x = 5 b [b = 40] c. 3 8 x x = 5 b [b = 25/4] d. 3 8 x x = 2 14 x b [b = 17/5] 17. Determina b in modo tale che x = 8 a. 4x + 2 = 2b 3x [b = 1/2] b. 3x 2x = 10 b [b = 30] 18. Determina b in modo tale che x = 1 4 a. 6x + 5 = 3 b [b = 1] b. 3x 2x = 5 b [b = 15/4] 13

16 Eserciziario riepilogativo di matematica ESERCIZI FRAZIONI ALGEBRICHE 19. Determina il campo di esistenza delle seguenti frazioni algebriche 2x 2 3 2x + 5 3x 2 6 3x 4 x 2 2x + 5 5x 15 9x + 3 2x 5 4 2x 4 +12x 20. Determina i valori per i quali la frazione si annulla e per quali è impossibile a. 5x 20 [si annulla: x = 4; impossibile: x = 3/2] 2x 3 3x 4 b. [si annulla: x = 4/3; impossibile: x = 3] x Data l equazione fratta 2x 3 5 2x = 0 quali soluzioni non sarebbero accettabili? a Data l equazione fratta 4a 5 = 0 Per quali valore si annulla? Per quali valori è impossibile? 23. Associa per ogni frazione algebrica il valore di x per cui la frazione si annulla e quello per cui è impossibile FRAZIONE ALGEBRICA SI ANNULLA PER È IMPOSSIBILE PER OPZIONI 15x x A. 3 B. 3 x x 9 3x 2 x C. 7 D. 4/5 E.2/5 F ESERCIZI PROBLEMI CON LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO 24. Ad una gita sono presenti 80 persone. I bambini sono 50 meno degli adulti. Quante sono i bambini? [15] 25. Un uomo entrò in un orto nel quale vi erano due giardini per fare provvista di arance. Ma per uscire dovette darne al primo guardiano la metà e al secondo la metà di quelle rimaste. In tal modo restò con solo 10 arance. Quante ne aveva colte? A. 10 B. 20 C. 40 D

17 Modulo 1 IL CALCOLO LETTERALE E LE EQUAZIONI DI I GRADO 26. Con la stessa quantità di farina si possono preparare 10 dolci dello stesso peso oppure 6 filoni di pane che pesano 2 Kg in più. Quanto pesa ogni torta? [3 Kg] 27. Un ragazzo può scegliere fra due tariffe telefoniche: 25 euro di fisso mensile (comprensivo di 45 minuti di telefonate) più 0,35 e per ogni minuto di conversazione oltre i 45 minuti compresi nel canone 35 euro di fisso mensile (comprensivo di 40 minuti di telefonate) più 0,25 e per ogni minuto di conversazione oltre i 40 minuti compresi nel canone Dopo quanti minuti di conversazione le due tariffe risultano equivalenti? Dopo quanti minuti minimo di traffico telefonico è più conveniente la seconda tariffa? Con gli stessi metri di stoffa si possono preparare 9 sciarpine della stessa lunghezza oppure 6 sciarpe di 1 metro più lunghe. Quanto sono lunghe le sciarpe? [2 m] 29. Un ragazzo può scegliere tra le seguenti tariffe per noleggiare un auto: 15 euro di fisso (comprensivo di 150 Km di percorso) più 5 euro per ogni chilometro oltre i 150 compresi nel fisso 25 euro di fisso (comprensivi di 200 Km di percorso) più 2,5 euro per ogni chilometro oltre i 200 compresi nel fisso Con quanti chilometri di percorso le due tariffe risultano equivalenti? [104] Con quanti chilometri di percorso risulta più conveniente la prima tariffa? A. 102 B. 103 C. 104 D Ad una conferenza sono presenti 60 persone. Gli uomini sono 12 meno delle donne. Quanti sono gli uomini? [24] 31. La temperatura di un paziente viene misurata alle ore 9:00 e alle ore 21:00. La somma delle due temperature è 77,5 gradi e la temperatura delle 21:00 supera di 1,5 gradi quella delle 9:00. Qual è la temperatura del paziente alle 21:00? [39,5 ] 32. Alice ha 12 anni e ha 30 anni meno della sua mamma. Tra quanti anni l età di Alice sarà le metà di quella della mamma? [9] 33. Ad una gita si sono iscritti 65 partecipanti. Sapendo che gli adulti pagano 50 e e i ragazzi 30 e e che l incasso della gita è stato 2350 e, trova il numero dei ragazzi partecipanti. [45] 34. In una scuola ci sono 230 persone tra insegnanti e studenti. Sapendo che gli studenti superano di 40 unità il quadruplo degli insegnanti, trova il numero degli studenti della scuola. [192] 35. In un cortile ci sono polli e conigli. Si contano 40 teste e 130 zampe. Quanti sono i conigli? [25] 36. Con una certa quantità di vino si possono riempire 4 recipienti uguali oppure 16 recipienti con capacità inferiore di 12 litri rispetto ai precedenti. Trova la quantità di vino iniziale. [64 l] 37. Le donne di una biblioteca sono il triplo degli uomini. Calcola il numero degli uomini sapendo che, se ci fossero 20 donne in meno, queste sarebbero la metà degli uomini. [8] 15

18 Eserciziario riepilogativo di matematica ESERCIZI TRATTI DALLE PROVE D ESAME 38. In una pizzeria del centro il sabato sera la pizza margherita costa 1 euro in più rispetto ai giorni infrasettimanali. Con la stessa somma il sabato si possono mangiare 5 pizze mentre nei giorni infrasettimanali se ne possono mangiare 6. Quanto costa la pizza il sabato? 39. Un lato di un triangolo equilatero e un lato di un quadrato, di uguale perimetro, hanno lunghezze la cui differenza è di 12 cm. Quanto misurano rispettivamente il lato del triangolo e quello del quadrato? A. 50 m e 38 m B.48 m e 36 m C. 25 m e 37 m D.36 m e 48 m 40. Quale delle seguenti equazioni è impossibile? 41. Considera la frazione 4 x +10 5x 2 A. 3x = 0 B. 7x 5 = 2x C. x + 5 = x + 6 D. 10 2x = 2( 5 x) PUNTO 1 2 Per quale valore di x la frazione si annulla? A. x = 2/5 B. x = 10/4 C. x = 5/2 D. x = 2/5 Per quale valore di x la frazione è impossibile? A. x = 10/4 B. x = 2/5 C. x = 2/5 D. x = 5/2 42. Questa frazione 3x 5 4 6x assume valore 0 per A. x = 2/3 B. x = 4/6 C. x = 5/3 D. x = 3/5 43. Data l equazione 2x + 3 = 3x + b quale valore si deve dare a b perché la soluzione sia x= - 8? A. b = 5 B. b = 5 C. b = 11 D. b = Per quale valore di x l espressione x 2 perde significato? 3x +1 A. x = - 1/3 B. x= 0 C. x= 1/3 D. x= Un padre di tre figli morì lasciando in eredità 1600 monete d oro. Il testamento precisava che il maggiore dei tre doveva avere 200 monete più del secondo e che al secondo a sua volta spettavano 100 monete più dell ultimo. Qual è la quota di ciascuno? Risolvi il problema con un equazione. 46. La mia età è 11/16 di quella di mia madre e quattro anni fa ne era i 2/3. Quanti anni ha mia madre? A. 64 B. 44 C. 60 D Per quale valore della x la seguente frazione perde di significato 4 x +10 5x 2 A. 1/2 B. 0 C. 1/2 D. 2 16

19 Modulo 1 IL CALCOLO LETTERALE E LE EQUAZIONI DI I GRADO 48. Padre e figlio hanno rispettivamente 30 e 6 anni. Fra quanti anni il rapporto tra le due età sarà il doppio degli anni che passeranno a partire da oggi? Scegli l equazione che risolve il problema. A x 6 + x = 2x B x = 2x C. 30x 6x = 2x D = 2x 49. Per quale valore della lettera b, la seguente frazione perde di significato/non esiste? A. 3/2 B. 2/3 C. 3/2 D. 2/3 50. A un giovane viene offerta un assunzione come rappresentante di commercio con la possibilità di scegliere fra i seguenti due tipi di contratto: a. un fisso di 1000 euro al mese più una percentuale sul valore delle vendite del 2%; b. un fisso di 200 euro ed una percentuale del 12% sul valore delle vendite; Quali devono essere i volumi delle vendite perché il contratto a sia equivalente al contratto b? ESERCIZI TRATTI DALLE PROVE INVALSI 51. È data l equazione ( 3k 6) x 5k + 2 = 0, in cui x è l incognita e k è un numero reale. La soluzione dell equazione è 0 per k= Un turista italiano in viaggio in Svizzera, prima di cambiare i suoi euro in franchi, esamina le seguenti proposte fatte da due banche: Banca A: 1 euro viene scambiato con 1,412 franchi senza spese. Banca B: 1 euro viene scambiato con 1,416 franchi con una commissione fissa di 2 franchi. a. Se il turista cambia 300 euro, quanti franchi ottiene presso la banca A? Risposta: franchi b. Carlo afferma che, qualunque sia la somma che si vuole cambiare, è sempre più conveniente la banca A. Carlo ha ragione? 53. Un parcheggio propone ai clienti tre tariffe: tariffa A: 15 euro per tutta la giornata (24 ore) tariffa B: 1 euro all ora tariffa C: la prima ora gratis e 1,20 euro per ogni ora successiva. a. Mario deve lasciare al parcheggio l auto per 8 ore. Quale tariffa gli conviene scegliere? Risposta: la tariffa.. b. Qual è il numero h di ore di parcheggio per cui le tariffe B e C si equivalgono? Scrivi i calcoli che hai fatto per trovare la risposta e poi riporta il risultato. 54. È data l equazione 2k 3 ( ) x +1 k = 0, in cui x è l incognita e k è un numero reale. La soluzione dell equazione è 1 per k = 17

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