Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

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1 Lure triennle in Scienze dell Ntur /200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle è mostrre come, prtire unicmente d tli ssiomi, si possibile dedurre in modo rigoroso le regole di clcolo che tutti bbimo imprto memori sin dll scuol elementre (o medi) senz chiederci perché fossero vere. Presentimo l dimostrzione di lcune proprietà e lscimo per esercizio l verific delle rimnenti. Conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni Comincimo con l esminre il comportmento di 0, elemento neutro per l ddizione, rispetto ll moltipliczione. () Per ogni R : 0 = 0. Dto che 0 è elemento neutro rispetto ll ddizione, si h 0 = D questo, e dll proprietà distributiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione, deducimo 0 = (0 + 0) = Addizionndo primo e terzo membro l opposto di 0 (che esiste per l ssiom reltivo gli inversi), e pplicndo l proprietà ssocitiv dell ddizione ottenimo 0 + ( 0) = ( 0 + 0) + ( 0) = 0 + ( 0 + ( 0)). Per definizione di opposto, l uguglinz tr primo e terzo membro si riscrive 0 = 0 + 0, d cui (essendo 0 elemento neutro rispetto ll ddizione) segue 0 = 0. D () segue che non esiste lcun numero rele che moltiplicto per 0 di come risultto. Ne consegue che 0 non mmette reciproco. (2) Per ogni, b R : b = 0 = = 0 oppure b = 0. Supponimo b = 0. Se = 0, non c è null d dimostrre; supponimo llor 0. Moltiplicndo mbo i membri dell uguglinz b = 0 per (che esiste in qunto 0) ottenimo ( b) = 0 = 0 (l ultim uguglinz segue d ()). D ltr prte, per l proprietà ssocitiv dell moltipliczione e l definizione di reciproco, bbimo ( b) = ( ) b = b = b. In conclusione, b = 0. Le proprietà () e (2) si sintetizzno nell Legge di nnullmento del prodotto : Per ogni, b R : b = 0 = 0 oppure b = 0. Tle legge vle nche per il prodotto di tre o più fttori. Esminimo or lcune proprietà degli opposti; in prticolre, ritrovimo l regol dei segni. (3) Per ogni R : ( ) =. Per definizione di opposto, l somm di e è ugule 0. L unicità dell opposto implic che l opposto di è necessrimente.

2 (4) Per ogni, b R : ( ) b = ( b). Per l proprietà distributiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione si h ( ) b + b = (( ) + ) b = 0 b = 0 (l ultim uguglinz segue d ()). Pertnto, norm di definizione, ( ) b è l opposto di b. (5) Per ogni, b R : ( b) = ( b). (6) Per ogni, b R : ( ) ( b) = b. Applicndo, nell ordine, (4), (5) e (3) bbimo ( ) ( b) = ( ( b)) = ( ( b)) = b. Esminimo or lcune proprietà dei reciproci. (7) Per ogni R, con 0 : =. Per definizione di reciproco, il prodotto di e è ugule. L unicità del reciproco implic che il reciproco di / è necessrimente. (8) Per ogni, b R, con 0 e b 0 : b = b. Per l proprietà ssocitiv e commuttiv dell moltipliczione e per l definizione di reciproco si h ( b) ( ) ( ) ( ) b = b b = =. Pertnto, norm di definizione, b è il reciproco di b. In bse (8), il reciproco del prodotto di due numeri diversi d 0 è ugule l prodotto dei reciproci. Si bdi che, l contrrio, il reciproco dell somm non è ugule ll somm dei reciproci! (9) Per ogni R, con 0 : =. D (6) segue che ( ) ( ) = =. Pertnto, norm di definizione, è il reciproco di. A prtire dll ddizione e dll moltipliczione, e utilizzndo l ssiom sugli inversi, possimo definire le operzioni inverse, cioè l sottrzione e l divisione. Definizione Per ogni, b R ponimo b := + ( b); per b 0 ponimo b := b. Vedimo or due modi di mnipolre un uguglinz, ossi di trsformrl in un uguglinz equivlente. (0) Per ogni, b, c R : + b = c = c b. Prtendo dll uguglinz + b = c e ggiungendo l opposto di b d mbo i membri ottenimo: + b = c ( + b) + ( b) = c + ( b) + (b + ( b)) = c b + 0 = c b = c b. () Per ogni, b, c R, b 0 : b = c = c b. Moltiplicndo mbo i membri per il reciproco di b (che esiste perché b 0) ottenimo: b = c ( b) c b (b ) b = c b = c b = c b. (0) e () permettono di risolvere l equzione di primo grdo x + b = 0, con 0 : b = x + b = 0 x = b x = b Deducimo or le regole di semplificzione nelle uguglinze. 2

3 (2) Per ogni, b, c R : ± c = b ± c = = b Supponimo +c = b+c. Sommndo l opposto di c d mbo i membri ottenimo (+c)+( c) = (b+c)+( c), ossi + (c + ( c)) = b + (c + ( c)), ossi + 0 = b + 0, ossi = b. L impliczione c = b c = = b si prov in modo nlogo. (3) Per ogni, b, c R, c 0 : c = b c = = b. (4) Per ogni, b, c R, c 0 : c = b c = = b Conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll relzione d ordine Ricordimo l ssiom di comptibilità dell relzione d ordine con l ddizione: Per ogni, b, c R : b = + c b + c. Esminimo lcune conseguenze di tle ssiom. Comincimo con l mnipolzione di disuguglinze. (5) Per ogni, b, c R : + b c c b. Prtendo dll disuguglinz + b c e tenendo presente l ssiom sopr ricordto, possimo ggiungere l opposto di b d mbo i membri e ottenere + b c ( + b) + ( b) c + ( b) + (b + ( b)) c b + 0 c b c b. (6) Per ogni, b, c R : b + c c b. Le proprietà (5) e (6) forniscono il noto principio in bse l qule è possibile trsportre un ddendo d un membro ll ltro di un disuguglinz cmbindolo di segno. Le seguenti proprietà sono conseguenze immedite di (5) e (6). (7) Per ogni, b R : b b. (8) Per ogni R : 0 0. (9) Per ogni R : 0 0. Attenzione non pensre che l presenz del segno implichi sempre che il numero considerto si negtivo. Come è noto, denot l opposto di ; in bse (8) e (9), l opposto di un numero positivo è negtivo, mentre l opposto di un numero negtivo è positivo. Definizione Per ogni, b R : b b < b b e b > b b e b Un numero R si dice positivo (negtivo, strettmente positivo, strettmente negtivo) se 0 ( 0, > 0, < 0). Le proprietà (5) (9) vlgono nche se si sostituisce ovunque con <. 3

4 Esminimo cos succede sommndo membro membro due disuguglinze. (20) Per ogni, b, c, d R : b e c d = + c b + d. Dto che b, l ssiom di comptibilità dell ddizione con l relzione d ordine implic + c b + c. Dto che c d, lo stesso ssiom implic b + c b + d. L proprietà trnsitiv dell relzione d ordine implic llor + c b + d. L proprietà (20) vle nche per tre o più ddendi. Inoltre, se lmeno un delle disuguglinze sinistr del segno di impliczione è strett, nche l disuguglinz destr lo è. Come csi prticolri di (20) ottenimo le seguenti proprietà. (2) Per ogni, b R : 0 e 0 b = 0 + b. (22) Per ogni, b R : 0 < e 0 b = 0 < + b. (23) Per ogni, b R : 0, 0 b e + b = 0 = = b = 0. Supponimo 0 e 0 b. Se lmeno uno tr e b è strettmente positivo, (22) implic che nche l somm + b lo si, contrddicendo l ipotesi + b = 0. Ne segue che si che b sono uguli 0. Ricordimo l ssiom di comptibilità dell relzione d ordine con l moltipliczione: Per ogni, b, c R : b e c 0 = c b c. Esminimo lcune conseguenze di tle ssiom. (24) Per ogni, b, c R : < b e c > 0 = c < b c. Supponimo < b e c > 0. L ssiom di comptibilità dell relzione d ordine con l moltipliczione implic c b c. Se fosse c = b c, si vrebbe c b c = 0 (vedi (0)); l proprietà distributiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione implic llor ( b) c = 0. Per l Legge di nnullmento del prodotto, segue b = 0, cioè = b, oppure c = 0. Entrmbe le possibilità sono escluse per ipotesi, pertnto deve essere c b c. In conclusione, c < b c. (25) Per ogni, b, c R : b e c 0 = c b c. Supponimo b. Se c 0, d (9) segue c 0. L ssiom di comptibilità dell relzione d ordine con l moltipliczione implic ( c) b ( c) che per (5) divent c b c, d cui, grzie (7), segue c b c. (26) Per ogni, b, c R : < b e c < 0 = c > b c Mettendo insieme l ssiom di comptibilità dell relzione d ordine con l moltipliczione e (25) ottenimo l not regol: Moltiplicndo mbo i membri di un disuguglinz per uno stesso numero si ottiene un disuguglinz dello stesso segno se il numero è positivo, di segno opposto se il numero è negtivo. Esminimo or lcune proprietà che coinvolgono il qudrto di un numero rele. Ricordimo che per ogni R si definisce 2 :=. 4

5 (27) Per ogni R : 2 0; 2 = 0 = 0; 2 > 0 0. D () segue che 0 2 = 0 0 = 0. Supponimo > 0; moltiplicndo mbo i membri dell disuguglinz per e tenendo conto di (24) ottenimo > 0, ossi 2 > 0. Supponimo < 0; moltiplicndo mbo i membri dell disuguglinz per e tenendo conto di (26) ottenimo > 0, ossi 2 > 0. D (27), d 0 e dl ftto che = = 2 segue > 0. (28) Per ogni, b R : 2 + b 2 = 0 = b = 0. Per (27), 2 0 e b 2 0. Se 2 + b 2 = 0, (23) implic 2 = b 2 = 0, e l second prte di (27) implic = b = 0. L proprietà (28) vle nche per l somm di tre o più ddendi. Esminimo cos succede moltiplicndo tr loro lcune prticolri disuguglinze. (29) Per ogni, b R : 0 e 0 b = 0 b. Supponimo 0. Se è 0 b, l ssiom di comptibilità dell relzione d ordine con l moltipliczione implic 0 b b, ossi 0 b. (30) Per ogni, b R : 0 e b 0 = b 0. Supponimo 0. Se è b 0, (25) implic 0 b b, ossi 0 b, cioè b 0. (3) Per ogni, b R : 0 e b 0 = 0 b. Osservzioni Le proprietà precedenti continuno vlere se si sostituisce ovunque con <. Esse possono essere sintetizzte nell Regol dei segni : Il prodotto di due numeri è positivo se i numeri hnno le stesso segno, negtivo se i numeri hnno segno opposto. Esminimo lcune proprietà dei reciproci rispetto ll relzione d ordine. (32) Per ogni R : > 0 = > 0; < 0 = < 0. Per ogni 0, il prodotto di per il reciproco e hnno lo stesso segno. è ugule e quindi è positivo. Per l osservzione precedente, (33) Per ogni, b R : b e c > 0 = c b c. Supponimo b. Se è c > 0, (32) implic c > 0. L ssiom di comptibilità dell relzione d ordine con l moltipliczione implic c b c, ossi c b c. (34) Per ogni, b R : b e c < 0 = c b c. (33) e (34) forniscono l not regol: Dividendo mbo i membri di un disuguglinz per uno stesso numero si ottiene un disuguglinz dello stesso segno se il numero è positivo, di segno opposto se il numero è negtivo. 5

6 Le seguenti proprietà (35)-(37) mostrno che pssndo i reciproci di numeri dello stesso segno le disuguglinze si invertono, mentre pssndo i reciproci di numeri di segno opposto le disuguglinze si conservno. (35) Per ogni, b R : 0 < b = 0 < b. Supponimo 0 < b. Chirmente, si h b > 0 e quindi b > 0 per (32). Dividendo mbo i membri dell disuguglinz b per b > 0, (33) implic b b b, ossi b. Dividendo mbo i membri di quest disuguglinz per > 0, (33) implic b. (36) Per ogni, b R : b < 0 = b < 0. (37) Per ogni, b R : < 0 < b = < 0 < b. Segue immeditmente d (32), in qunto < 0 implic < 0, mentre b > 0 implic b > 0. Concludimo enuncindo le regole di semplificzione nelle disuguglinze, l cui dimostrzione è lscit per esercizio. (38) Per ogni, b, c R : ± c b ± c = b. (39) Per ogni, b, c R : c b c e c > 0 = b. (40) Per ogni, b, c R : c b c e c < 0 = b. (4) Per ogni, b, c R : (42) Per ogni, b, c R : c b c c b c e c > 0 = b. e c < 0 = b. 6

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