TEST n La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria:

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1 TEST n Un esperimento consiste nell estrarre successivamente, con reimmissione nel mazzo, due carte da un mazzo di 52 carte. Individuare la probabilità di estrarre due assi. A B C D In un controllo di qualità si estrae senza restituzione un campione di 6 pezzi da un lotto che ne contiene 30 fra i quali due difettosi. Il lotto viene accettato se nel campione non c è alcun pezzo difettoso. Calcolare la probabilità che il lotto venga accettato. A 0.63 B 0.41 C 0.73 D 1 3. La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria: A può assumere valori compresi tra 1 e 1; B C esprime la probabilità che la variabile aleatoria assuma valori inferiori o uguali ad un valore prefissato; non è legata da alcuna relazione con la funzione di densità della medesima variabile aleatoria. 4. Se X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti, allora la varianza della variabile aleatoria Z = 2X + 3Y è A Var(X) + 2 Var(Y ) B 2 Var(X) + 3 Var(Y ) C 4 Var(X) + 9 Var(Y ) 5. La funzione di densità di una variabile aleatoria è { αx(1 x) 2 se 0 x 1, f(x) = 0 altrimenti. Determinare il valore della costante α. A 4 B 12 C 3 D 1 6. La varianza di una variabile aleatoria X B(1, p) è massima se A p = 1 B p = 0.5 C p = 0.2

2 TEST n Un esperimento consiste nell estrarre successivamente, con reimmissione nel mazzo, tre carte da un mazzo di 52 carte. Individuare la probabilità di estrarre tre figure. A B C D Un candidato si presenta ad un concorso in cui viene sottoposto ad una prova a quiz costituita da 8 affermazioni alle quali bisogna rispondere sì o no. Per superare la prova si deve rispondere correttamente ad almeno sette domande. Quant è la probabilità che rispondendo a caso il candidato superi la prova? A 0.40 B C 0.09 D 1 3. La variabile aleatoria multidimensionale (X 1, X 2,..., X m ) è definita come una regola che associa ad ogni evento dello spazio campione A B C una m-upla ordinata di valori reali; uno scalare; la media aritmetica delle variabili aleatorie componenti. 4. Se X e Y sono due variabili aleatorie, allora la speranza matematica della variabile aleatoria Z = 2X + 3Y è A 2 E[X] + 3 E[Y ] B 4 E[X] + 9 E[Y ] C E[X] + E[Y ] 5. La funzione di densità di una variabile aleatoria X è { 3x 2 se 0 x 1, f(x) = 0 altrimenti. Determinare il valor medio di X. A 3 B 0 C 3 4 D 1 6. La varianza di una variabile aleatoria X B(n, p) è massima se A p = 0.5 B p = 1 n C p = 1 n 2

3 TEST n Siano dati 6 punti distinti nello spazio. Quanti diversi segmenti aventi per estremi due di questi punti possono essere formati? A 30 B 1720 C 21 D Una commissione giudicatrice di un concorso è formata da 8 persone di cui 2 sono donne. Quant è la probabilità che, estraendo da tale commissione una sottocommissione di 4 persone, in quest ultima non vi sia neanche una donna? A 0.7 B C D Se X è una variabile aleatoria, la sua funzione di ripartizione A è una funzione decrescente; B è una funzione crescente; C non è una funzione monotona. 4. Se X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti, allora A Cov(X, Y ) = 1 B Cov(X, Y ) = Var(X) = Var(Y ) C Cov(X, Y ) = 0 5. La funzione di densità di probabilità di una variabile aleatoria discreta X è 1 P(X = x) = 30 x2 se x = 1, 2, 3, 4, 0 altrimenti. Determinare la varianza di X. A 10 B C La media di una variabile aleatoria X B(1, p) è massima se D A p = 1 B p = 0.5 C p = 0.2

4 COMPITO n In una ditta che vende dispositivi di un certo tipo il 60% proviene da una fabbrica A, il 30% da una fabbrica B ed il 10% da una fabbrica C. Le percentuali di dispositivi difettosi prodotti da A, B, C, sono rispettivamente il 2%, il 4% ed il 5%. Calcolare la probabilità che un dispositivo venduto dalla ditta e risultato difettoso sia prodotto da C. 2. Un neon su due si brucia entro un periodo di sei mesi se lasciato acceso ininterrottamente. Viene montato un neon su ciascuno degli otto pianerottoli di un palazzo. Si chiede: (a) quant è la probabilità che nessun neon si sia bruciato dopo sei mesi? b) quant è la probabilità che si siano bruciati tutti e otto i neon dopo sei mesi? c) in media, quanti neon mi aspetto che si bruceranno in tale periodo? 3. Un componente elettronico ha un tempo di vita che segue una legge esponenziale di parametro λ = 1/10. Un secondo componente è composto da due elementi in parallelo (ovvero funziona fintanto che uno dei due elementi è funzionante) ciascuno dei quali ha tempo di vita esponenziale di parametro λ = 1/8. a) Qual è la densità del tempo di vita del secondo componente? Quanto vale la sua vita media? b) Quant è la probabilità che il primo componente duri più a lungo del secondo supposto che il funzionamento dei due componenti sia indipendente?

5 COMPITO n Sono date tre urne: A contenente 3 palline bianche ed 1 nera; B contenente 1 pallina bianca e 3 nere; C contenente 1 pallina bianca ed 1 nera. Da C si estrae una pallina: se è bianca viene effettuata una seconda estrazione da A, altrimenti viene effettuata una seconda estrazione da B. Calcolare la probabilità che la prima pallina sia bianca supposto di aver estratto una pallina nera nella seconda estrazione. 2. È noto che il 38% dei pezzi prodotti da una macchina è difettoso. Considerando un campione casuale di 18 pezzi, determinare: a) la probabilità che al massimo 4 pezzi siano difettosi; b) la probabilità che sia difettoso un numero di pezzi compreso tra 6 e 9; c) la media e la varianza della distribuzione del numero di pezzi difettosi nel campione. 3. La durata di una resistenza A segue una legge esponenziale di parametro λ = 1/5. Una seconda resistenza B è composta a sua volta da due resistenze in parallelo (ovvero funziona fintanto che una delle due è funzionante) la durata di ciascuna delle quali segue una legge esponenziale di parametro λ = 1/4. a) Qual è la densità della durata della resistenza B? Quanto vale la sua vita media? b) Quant è la probabilità che la resistenza A duri più a lungo della resistenza B supponendo che A e B siano indipendenti fra di loro?

6 COMPITO n Un lotto è costituito da 100 componenti, dei quali 40 sono stati costruiti da una macchina M 1 e 60 da una macchina M 2. Dal lotto viene estratto a caso un componente e viene esaminato. Definiti gli eventi E = il pezzo esaminato risulta non difettoso ed H = il pezzo esaminato è stato prodotto dalla macchina M 1. sapendo che la macchina M 1 produce pezzi difettosi con probabilità 0.2 e la macchina M 2 produce pezzi difettosi con probabilità 0.3 calcolare il rapporto tra P(H E) e P(H c E). 2. Si supponga che la probabilità che nasca un maschio sia esattamente uguale alla probabilità che nasca una femmina. Determinare la probabilità che in una famiglia di 5 figli: a) almeno un figlio sia maschio; b) ci siano 4 figlie femmine; c) la media e la varianza della distribuzione del numero di figli maschi della famiglia. 3. Aldo e Biagio si trovano ad una fermata alla quale arrivano gli autobus numero 1, 2 e 3: Aldo aspetta l 1 per prenderlo, mentre Biagio aspetta i suoi due figli che sono sul 2 e sul 3 per accompagnarli fino a casa. Sapendo che il tempo di attesa dell 1 segue una distribuzione esponenziale di parametro λ = 1/4 mentre quelli del 2 e del 3 seguono entrambi una distribuzione esponenziale di parametro λ = 1/3 determinare: a) la distribuzione del tempo di attesa finale di Biagio, cioè del tempo che deve aspettare perché siano arrivati entrambi i suoi due figli; b) la probabilità che Aldo prenda il suo autobus prima che entrambi i figli di Biagio siano arrivati.