Università Ca Foscari Venezia

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1 Università Ca Foscari Venezia Dipartimento di Scienze Ambientali, Informatica e Statistica Giovanni Fasano Brevi FAQ sul Metodo del SIMPLESSO Università Ca Foscari Venezia, Dipartimento di Management, S.Giobbe Cannaregio 873, Venezia, ITALY. fasano@unive.it ; URL: fasano - A.A

2 Le presenti note sintetizzano alcune Frequently Asked Questions (FAQ) inerenti il Metodo del Simplesso, per la soluzione di problemi di Programmazione Lineare. Le note si riferiscono al corso di Ricerca Operativa, svolto dal docente Giovanni Fasano nell A.A , presso la sede di via Torino. Le lezioni sono state organizzate nell ambito del Corso di Laurea in Informatica. 2

3 1 Note sul Metodo del Simplesso Si ricorda che le fasi salienti del Metodo del Simplesso, per la soluzione del problema di programmazione lineare del tipo (nella forma standard) max c T x Ax = b, b 0, x 0, (1) nel quale A IR m n, con rk(a) = m, A = (B.N) e B 1 b 0, sono le seguenti: Adottando le posizioni x = ( xb x N ) ( cb, c = c N ), A = (B. N), in cui x è la Soluzione di Base Ammissibile (SBA) corrente, si pone il problema (1) in forma canonica, ovvero riscrivendolo nella forma max c T B B 1 b+ ( c T N ct B B 1 N ) x N B 1 b B 1 Nx N 0 x N 0, essendoγ T = c T N ct B B 1 N il vettore (trasposto) deiguadagni ridotti. Taleoperazione è effettuata identificando la matrice di base B mediante la Fase I del Metodo del Simplesso, ovvero avendo introdotto il Problema Ausiliario. Qualora quest ultimo non ammetta soluzione ottima nulla, allora deduciamo che il problema (1) ha un insieme ammissibile vuoto (e quindi ci fermiamo). Costruendo la tabella per la Fase II come segue: I B 1 N B 1 b 0 γ T c T B B 1 b in cui c T B B 1 b è il valore della funzione obiettivo nella SBA corrente Verifica del Test di Ottimalità, considerando il vettore dei guadagni ridotti γ T = c T N ct B B 1 N. Se il test è soddisfatto (ovvero γ 0) allora STOP: la SBA corrente è soluzione ottima; Verifica del Test di Illimitatezza, considerando γ e le colonne della matrice B 1 N: se (almeno) una colonna, corrispondente ad un coefficiente di guadagno ridotto positivo, è formata solo da elementi negativi o nulli, allora STOP, significa che il problema (1) è illimitato superiormente; Ricerca di una nuova SBA applicando l operazione di pivot. Tale passo può essere riassunto nelle seguenti sottofasi 3

4 1. scelta dell indice della variabile entrante (h-ma variabile fuori base), tenendo conto del vettore γ T e ricordando la regola di Bland. Selezione della colonna h-ma (indicata con Π h ) della matrice B 1 N; 2. scelta dell indice della variabile uscente (k-ma variabile in base), calcolando min 1 i m Π hi > 0 { (B 1 b) i Π hi }, 3. operazione vera e propria di pivot: dividere la riga k-ma per l elemento di pivot, poi sottrarla alle altre righe moltiplicata per opportuni coefficienti. In tal modo la colonna dell elemento di pivot dovrà contenere solo valori nulli, ed un 1 in corrispondenza dell elemento di pivot. FAQ relative al Metodo del Simplesso 1. Come è possibile portare il problema originale di PL alla forma standard? R: vedasi paragrafo conclusivo della dispensa relativa alla prima parte del corso 2. Come faccio ad avere b 0 in (1)? R: basta opportunamente moltiplicare ciascuna equazione per +1/ 1 3. Come faccio a svolgere un iterazione del Metodo del Simplesso? R: devo isolare le variabili in base ( 0) dalle variabili fuori base (= 0). Le prime sono m, le seconde sono n m, poi avendo identificato la variabile entrante e quella uscente provvedo ad effettuare l operazione di pivot 4. Quante variabili cambio ad ogni iterazione del Metodo del Simplesso? R: ad ogni iterazione avrò sempre e solo una variabile entrante (che al termine dell iterazione da nulla passerà ad un valore nonnegativo) ed una variabile uscente (che al termine dell iterazione da un valore nonnegativo passerà al valore nullo) 5. Le variabili in base, all iterazione corrente, devono sempre essere tutte strettamente positive? R: no, alcune di esse (eventualmente tutte) possono essere nulle, avendosi così una SBA degenere 6. Come si svolge l iterazione i-sima del Metodo del Simplesso? R: possiamo riassume l iterazione come segue: verifico se la SBA corrente è soluzione ottima (Test di Ottimalità) verifico che il problema di partenza non sia illimitato superiormente (Test di Illimitatezza) identifico la variabile entrante 4

5 identifico la variabile uscente effettuo l operazione di pivot calcolo il vettore dei nuovi coefficienti di guadagno ridotto 7. In cosa consiste l operazione di pivot all iterazione corrente? R: consiste nel fare uscire di base una variabile e farne entrare in base un altra, partendo dalla forma canonica del problema e lasciandolo in forma canonica. Per come è scelta la variabile uscente il vettore dei termini noti viene aggiornato, ma rimane nonnegativo (i.e. 0) 8. A cosa corrisponde dal punto di vista geometrico una SBA? R: corrisponde ad un vertice della regione ammissibile del problema originale 9. Come assicuro il soddisfacimento dell ipotesi rk(a) = m? R: grazie alla Fase I del Metodo del Simplesso 10. Sono sempre certo di poter effettuare all iterazione corrente l operazione di pivot? R: sì se entrambi i test di Ottimalità ed Illimitatezza non sono soddisfatti 11. Come seleziono la variabile entrante R: guardo i coefficienti di guadagno ridotto ed applico la regola di Bland 12. Cosa succede se al termine della Fase I del Metodo del Simplesso, la funzione obiettivo del problema ausiliario ha valore 0? R: mi fermo, vuol dire che il problema originale è NON AMMISSIBILE 13. Cosa succede se al termine della Fase I del Metodo del Simplesso, la funzione obiettivo del problema ausiliario ha valore = 0, ma alcune variabili ausiliare sono ancora in base? R: se la variabile ausiliaria y k è in base, essendo la funzione obiettivo nulla, vuol dire che siamo in presenza di una soluzione degenere (ovvero deve essere y k = 0). Pertanto, se possibile provvedo ad effettuare uno SCAMBIO DEGENERE, altrimenti elimino il vincolo k-simo del problema originale, in quanto è ridondante 14. Applicando la Fase I del Metodo del Simplesso, ad ogni iterazione devo sempre verificare entrambi i Test di Ottimalità ed Illimitatezza? R: no, basta effettuare solo il Test di Ottimalità, in quanto il problema ausiliario non potrà mai essere illimitato inferiormente. Proviamo a chiarire meglio di seguito il contenuto della domanda e della risposta 13, in merito allo scambio degenere. Supponiamo che al termine della Fase I del metodo del Simplesso abbiamo la seguente tabella: x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s

6 in cui delle variabili originali x 1, x 2, x 3 si ha che solo x 2 ed x 3 risultano in base, insieme alla variabile ausiliaria s 1. Si noti che la funzione obiettivo del problema ausiliario è nulla, confermando che il problema originale è ammissibile. Siamo senz altro all ottimo del problema ausiliario, in quanto per il vettore dei guadagni ridotti γ (associato alle variabili fuori base x 1, s 2 ed s 3 ) si ha γ T = (2 5 0) 0. Dal momento che una delle variabili ausiliarie (i.e. s 1 ) risulta ancora in base, sebbene con valore nullo(si veda il termine noto della terza riga), devo verificare se è possibile effettuare uno scambio degenere, ovvero verifico se è possibile far uscire di base una variabile ausiliaria e far entrare in base una variabile originale. A tal fine, si cerca nella riga corrispondente alla variabile ausiliaria in base s 1, un elemento non nullo (per esempio l elemento in neretto nella precedente tabella), corrispondenteadunacolonnarelativaavariabilioriginali fuoribase(inquestocasox 1 ). Siprovvede a fare un operazione di pivot su tale elemento, ottenendo: x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s Ovvero, ora in base risulteranno le sole variabili originali x 1, x 2, x 3, mentre tutte le variabili ausiliarie sono finite fuori base. Si noti anche che nello scambio degenere il valore della funzione obiettivo non cambia, poichè si fa entrare in base una variabile nulla facendone uscire un altra con valore parimenti nullo. A questo punto, la prima tabella (a parte i coefficienti della funzione obiettivo) dalla quale far partire la Fase II del metodo del Simplesso, applicata al problema originale, sarà data da (basta eliminare le colonne 4, 5 e 6 della precedente tabella) x 1 x 2 x Chiudiamo queste brevi note, ricordando che nel caso in cui non fosse stato possibile trovare l elemento di pivot 1, come nel seguente caso Si noti che nel seguente caso non esistono elementi non-nulli della terza riga, corrispondenti a variabili originali del problema. 6

7 x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s allora avremmo concluso che la terza riga era in realtà ridondante. Pertanto avremmo potuto scrivere la prima tabella dalla quale far partire la Fase II del metodo del Simplesso, applicata al problema originale, come segue (eliminando la terza riga e le colonne 4, 5 e 6): x 1 x 2 x