Matematica ed Elementi di Statistica. L insieme dei numeri reali

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1 a.a. 2010/11 Laurea triennale in Scienze della Natura Matematica ed Elementi di Statistica L insieme dei numeri reali Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata. 1 / 39

2 L insieme dei numeri razionali Tutti conoscono l insieme Q dei numeri razionali. Precisiamo tuttavia alcuni concetti: frazioni frazioni equivalenti classi di equivalenza di frazioni Osservazione Gli insiemi dei numeri naturali e dei numeri interi sono sottoinsiemi dell insieme dei numeri razionali: N Z Q (a meno di una identificazione; quale?) 2 / 39

3 L addizione nell insieme Q addizione di frazioni con denominatore uguale addizione di frazioni con denominatore diverso m.c.m. di numeri naturali... invarianza del risultato rispetto alla scelta di frazioni equivalenti Esempi Calcolare , , , La moltiplicazione nell insieme Q invarianza del risultato rispetto alla scelta di frazioni equivalenti Esempi Calcolare , , , / 39

4 Dal test di ingresso... Il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo dei numeri 45, 75, 90 sono, rispettivamente, 15 e 450 [41/60] 15 e 6750 [2/60] 5 e [2/60] 5 e 450 [15/60] Il triplo della somma di 2/5 e 1/7 è 3/4 [0/60] 7/12 [0/60] 47/35 [8/60] 57/35 [47/60] 4 / 39

5 Proprietà (assiomatiche) di addizione e moltiplicazione Proprietà commutativa: a + b = b + a, Proprietà associativa: a b = b a (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) Proprietà distributiva: a (b + c) = a b + a c Esistenza degli elementi neutri: esistono in Q due numeri distinti 0 e 1 tali che a + 0 = a, a 1 = a Esistenza degli inversi: per ogni numero razionale a esiste un unico numero razionale, che si denota con a e si chiama opposto di a, tale che a + ( a) = 0; per ogni numero razionale a 0 esiste un unico numero razionale, che si denota con a 1 (o con 1 a ) e si chiama reciproco di a, tale che a a 1 = 1 Esempi... 5 / 39

6 Operazioni inverse La sottrazione si definisce ponendo, per ogni a, b, a b := a + ( b). La divisione si definisce ponendo, per ogni a e per ogni b 0, a b := a b 1. Non si può dividere per 0. Perché? 6 / 39

7 A partire dalle proprietà assiomatiche di addizione e moltiplicazione si possono dedurre in modo rigoroso le usuali regole di calcolo. Alcuni esempi: a + b = a + c = b = c (regole di semplificazione) a b = a c, a 0 = b = c a b = 0 a = 0 oppure b = 0 (regola di annullamento del prodotto) ( a) = a ( a) b = (a b), ( a) ( b) = a b (regole dei segni) Per ulteriori proprietà, vedere la nota Regole di calcolo 7 / 39

8 Dal test di ingresso... Si considerino le seguenti affermazioni: 1 il prodotto di due numeri dispari è dispari; 2 la somma di un numero intero e del suo successivo è dispari; 3 la differenza di due numeri interi dispari è dispari. Tutte e tre le affermazioni sono vere [3/60] Solo la prima e la seconda affermazione sono vere [47/60] Solo la prima e la terza affermazione sono vere [2/60] Solo la seconda e la terza affermazione sono vere [5/60] 8 / 39

9 Relazione d ordine totale relazione in un insieme X : R X X relazione d ordine: relazione che soddisfa le proprietà (a, a) R riflessiva (a, b) R, (b, c) R = (a, c) R transitiva (a, b) R, (b, a) R = a = b antisimmetrica relazione d ordine totale: per ogni a, b X si ha (a, b) R oppure (b, a) R Esempio di relazione d ordine non totale? 9 / 39

10 Relazione d ordine totale in Q Si chiama relazione di minore o uguale; se a e b sono in relazione, si scrive a b. Confronto di frazioni con numeratore o denominatore uguale Confronto di frazioni nel caso generale Invarianza del risultato rispetto alla scelta di frazioni equivalenti Esempio: confrontare 7 8 e 5 8, 7 8 e 7 22, 7 8 e / 39

11 Dal test di ingresso... La sequenza in ordine crescente dei numeri 5 7, 6 5, 19 13, , 19 13, 23 17, 5 7 è [14/60] 6 5, 5 7, 19 13, , 6 5, 23 17, , 5 7, 23 17, [8/60] [30/60] [6/60] 11 / 39

12 Un procedimento alternativo per confrontare numeri razionali si basa sulla rappresentazione decimale. Un numero decimale è un espressione della forma ±c 0. c 1 c 2 c 3... ( ) dove c 0 è un numero naturale e c 1, c 2,... {0, 1, 2,..., 8, 9}. Un numero decimale si dice finito se nella sua rappresentazione decimale le cifre c 1, c 2,... diverse da 0 sono in numero finito. In questo caso, ( ) si interpreta come somma finita: ( ± c 0 + c c ) k 10 k In caso contrario, il numero decimale si dice infinito. Per interpretare correttamente ( ) è necessaria la nozione di serie numerica convergente, che si basa sulla nozione di limite. (Ne parleremo in seguito.) 12 / 39

13 Se esiste un blocco di cifre che si ripete, il numero decimale si dice periodico. Un numero decimale infinito con periodo 9 si identifica con un numero decimale finito. Per esempio: 4. 9 = 5, = Osservazioni Possiamo ottenere la rappresentazione decimale di un numero razionale eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore. Il numero decimale corrispondente a un numero razionale è necessariamente finito oppure infinito periodico. Perché? Vale anche il viceversa: a ogni numero decimale finito oppure infinito periodico corrisponde un numero razionale. Esercizio Rispondere al quesito del test di ingresso utilizzando la rappresentazione decimale. 13 / 39

14 A partire dalla relazione d ordine totale minore o uguale si definisce la relazione maggiore o uguale, ponendo a b def b a. è una relazione d ordine totale Si definiscono anche le relazioni minore e maggiore: a < b a > b def def a b e a b a b e a b non sono relazioni d ordine Se a 0 a 0 a < 0 a > 0 diciamo che a è negativo positivo strettamente negativo strettamente positivo 14 / 39

15 Proprietà (assiomatiche) della relazione d ordine Compatibilità rispetto all addizione: per ogni a, b, c : a b = a + c b + c Compatibilità rispetto alla moltiplicazione: per ogni a, b, c : a b, c 0 = a c b c Alcune conseguenze: a + b c a c b a b + c a c b (regole del trasporto) a b a b a 0 a 0 a 0 a 0 a non è necessariamente negativo! a b, c 0 = a c b c 15 / 39

16 a 0, b 0 = a b 0 a 0, b 0 = a b 0 (regole dei segni) a 0, b 0 = a b 0 a 2 0 a 2 = 0 a = 0 a 2 > 0 a 0 0 < a b = 0 < 1 b 1 a a b < 0 = 1 b 1 a < 0 a < 0 < b = 1 a < 0 < 1 b Per ulteriori proprietà, vedere Regole di calcolo 16 / 39

17 Osservazione Da un punto di vista pratico, l insieme dei numeri razionali è sufficiente per esprimere tutte le grandezze. Ad esempio, il tasso di cambio dollaro-euro e la lunghezza in metri di un tavolo si esprimono tramite numeri decimali finiti, cioè numeri razionali. Da un punto di vista concettuale, però, i numeri razionali non sono sufficienti. Esempio (importante!) Non esiste alcun numero razionale che permetta di esprimere esattamente la lunghezza della diagonale di un quadrato. Verifica... Come possiamo visualizzare la lacunosità di Q? 17 / 39

18 Rappresentazione geometrica di Q Sia data una retta r. Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U (punto unità); essi individuano: un verso di percorrenza positivo sulla retta, quello che porta da O a U ; una unità di misura, cioè il segmento OU. La retta r prende il nome di retta orientata. Osservazione La scelta dell origine, del verso di percorrenza e dell unità di misura è arbitraria; dipende dal contesto, cioè dal problema che si vuole studiare. Esempi / 39

19 Possiamo definire una corrispondenza tra numeri razionali e punti di una retta orientata. Precisamente, definiamo una funzione che ha dominio = insieme dei numeri razionali codominio = la retta orientata legge = Questa funzione è ingettiva non è surgettiva perché? perché? 19 / 39

20 L insieme dei numeri reali Esiste un insieme, che denotiamo con R e chiamiamo insieme dei numeri reali con le seguenti proprietà: 1 R contiene strettamente Q; 2 in R sono definite le operazioni e la relazione di ordine totale, e soddisfano le stesse proprietà che valgono in Q; 3 l insieme R è in corrispondenza biunivoca con la retta orientata r. In virtù della terza propretà, possiamo identificare ogni numero reale x con il punto P a esso corrispondente sulla retta orientata r. In base a tale identificazione, non distinguiamo tra l insieme numerico R e la retta geometrica r e parliamo di retta reale. 20 / 39

21 Osservazione La relazione di ordine totale in R si interpreta geometricamente : se x, y R, si ha x y se e solo se il punto corrispondente a x sulla retta orientata precede o coincide con il punto corrispondente a y. Altre corrispondenze tra concetti numerici e concetti geometrici : concetto geometrico concetto numerico segmento intervallo limitato??? semiretta intervallo illimitato??? distanza valore assoluto??? 21 / 39

22 Intervalli limitati Siano a, b R, con a b: [a, b] := {x R a x b} intervallo chiuso (a, b) := {x R a < x < b} intervallo aperto [a, b) := {x R a x < b} int. chiuso a sinistra, aperto a destra (a, b] := {x R a < x b} int. aperto a sinistra, chiuso a destra Intervalli illimitati Sia a R: [a, + ) := {x R x a} interv. chiuso illimitato superiormente (a, + ) := {x R x > a} interv. aperto illimitato superiormente (, a] := {x R x a} interv. chiuso illimitato inferiormente (, a) := {x R x < a} interv. aperto illimitato inferiormente 22 / 39

23 Nota Alcuni autori scrivono ]a, b[ invece di (a, b), e analogamente negli altri casi. Casi particolari: [a, a] = {a}; (a, a) = [a, a) = (a, a] = R + := [0, + ), R := (, 0], R =: (, + ) R + := (0, + ), R := (, 0) R := (, 0) (0, + ) = R \ {0} Notazione N := N \ {0}, Z := Z \ {0}, Q := Q \ {0} Esempio Rappresentare gli intervalli [ 1, 2) e (1, + ) e determinare [ 1, 2) (1, + ), [ 1, 2) (1, + ), [ 1, 2) \ (1, + ) 23 / 39

24 Definizione Per ogni numero reale x si chiama valore assoluto (o modulo) di x il numero reale, denotato con x, definito come { x se x 0 x := x se x < 0. Osservazioni x coincide con la distanza dall origine del punto che corrisponde al numero x sulla retta orientata. Giustificare... x y coincide con la distanza tra i punti corrispondenti ai numeri x e y sulla retta reale. Giustificare... Proprietà immediate del valore assoluto x 0 per ogni x R x = 0 x = 0; x > 0 x 0 x = x per ogni x R 24 / 39

25 Ulteriori proprietà del valore assoluto r > 0, x = r x = r oppure x = r x < r r < x < r x > r x < r oppure x > r r < 0, x = r mai x < r mai x > r per ogni x x y = x y per ogni x, y R x/y = x / y per ogni x, y R, y 0 x x x per ogni x R x + y x + y per ogni x, y R (disuguaglianza triangolare) x y x y 25 / 39

26 Potenze Potenze con esponente naturale Sia n N. Per ogni x R, poniamo x n := x x... x }{{} n fattori Proprietà (1) x m x n = x m+n (4) (x y) n = x n y n (2) x m x n = x m n (x 0, m > n) (5) ( ) x n = x n y y n (y 0) (3) (x m ) n = x m n Giustificare in base alle proprietà assiomatiche / 39

27 Dal test di ingresso... Una sola delle seguenti affermazioni è corretta. Quale? = = = /5 3 = 5 3 [0/60] [2/60] [10/60] [45/60] L espressione (x 2 y 3 ) 4 (x 3 z 2 ) è uguale a x 24 y 12 z 2 [13/60] x 11 y 12 z 2 [34/60] x 9 y 7 z 2 [4/60] nessuna delle risposte precedenti è corretta [6/60] 27 / 39

28 Ancora dal test di ingresso... Se x è un numero reale diverso da zero, allora (x 3 + x 6 ) 2 è uguale a x 18 [17/60] x 36 [3/60] x 6 (1 + x 3 ) [6/60] x 6 (1 + x 3 ) 2 [24/60] La metà di (1/4) 20 è uguale a (1/4) 10 (1/8) 20 (1/2) 23 (1/2) 41 [18/60] [26/60] [4/60] [10/60] 28 / 39

29 Potenze con esponente intero Sia n Z. n 1 già definito n = 0 x 0 := 1 n 1 x n := (x n ) 1 = 1 x n per ogni x R Perché R? Proprietà Sono le stesse di pagina 26, senza la condizione m > n in (2), con le restrizioni x 0 e y 0 dove necessario. Giustificare in base alle proprietà delle potenze con esponente naturale e alle proprietà relative al reciproco / 39

30 Dal test di ingresso... L espressione [ ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) ] 3 1 : equivale a [7/60] 1 9 [15/60] 9 [33/60] 1 27 [2/60] 30 / 39

31 Potenze con esponente frazionario??? Teorema Sia n N. Sia x R, x > 0. Esiste un unico numero reale y > 0 tale che y n = x. Tale numero si chiama radice n-esima aritmetica di x e si denota con n x oppure x 1/n. Esempi... Notazione Scriviamo x invece di 2 x. Osservazione Questo teorema non è valido in Q. Controesempio? 31 / 39

32 Osservazione In base al teorema, per ogni x > 0 e y > 0 si ha n x = y def y n = x. Dato che 0 n = 0, è naturale porre n 0 := 0. Supponiamo che n sia dispari. Fissiamo x < 0 e poniamo y := n x. È lecito? Osserviamo che y n = ( n x) n = ( 1) n ( n x) n = ( 1)( x) = x. Ciò ci autorizza a porre n x := n x. In questo modo abbiamo dato significato al simbolo n x per ogni x R, se n è dispari, per ogni x R +, se n è pari. Solo R + ; perché? 32 / 39

33 Osservazione In base alle considerazioni della pagina precedente, abbiamo che l uguaglianza ( n x) n = x per n dispari è vera per ogni x R; per n pari è vera per ogni x R + ed è priva di significato per x < 0; l uguaglianza n x n = x per n dispari è vera per ogni x R; per n pari è vera per ogni x R + ed è falsa per x < 0, in quanto si ha n x n = x ; in altre parole, n x n = x per ogni x R. Ne consegue che per n dispari le funzioni x R x n R e x R n x R sono una l inversa dell altra; per n pari le funzioni x R + x n R + e x R + n x R + sono una l inversa dell altra. 33 / 39

34 Potenze con esponente frazionario Siano m Z e n N. Poniamo x m/n := n x m = (x m ) 1/n. Questa definizione ha senso nei seguenti casi (giustificare... ) Esempi... Proprietà m 1 m 1 n dispari x R x R n pari, m pari x R x R n pari, m dispari x R + x R + Sono le stesse di pagina 26, con m, n Q e con le opportune restrizioni su x e y. 34 / 39

35 Dal test di ingresso... L uguaglianza 6 x 8 y 9 = xy 6 x 2 y 3 non è mai verificata [10/60] è corretta se x e y sono numeri reali positivi [40/60] è corretta se x e y sono numeri reali negativi [1/60] è corretta se x e y sono numeri reali discordi [4/60] 35 / 39

36 Resta da definire il simbolo x y nel caso in cui l esponente y è un numero non razionale, ossia un numero irrazionale. Osservazione Abbiamo già visto che un numero è razionale se e solo se il numero decimale corrispondente è finito oppure infinito periodico. Ne segue che un numero è irrazionale se e solo se il numero decimale corrispondente è infinito non periodico. Esempi di numeri irrazionali: = È possibile separare i numeri razionali dai numeri irrazionali? 36 / 39

37 Proprietà di densità Se a, b R con a < b, esistono un numero razionale x e un numero irrazionale y tali che a < x < b, a < y < b. Corollario Tra due numeri reali distinti sono compresi infiniti numeri razionali e infiniti numeri irrazionali. Esempi a = b = x = y = a = b = x = y = / 39

38 Osservazione È impossibile scrivere l allineamento decimale completo di un numero irrazionale; si ricorre perciò all approssimazione con allineamenti decimali finiti, cioè con numeri razionali. Parleremo diffusamente di questo e di alcuni argomenti collegati in una prossima lezione. Cenno alla definizione di x y, con y R \ Q / 39

39 Per finire, dal test di ingresso... Un cerchio e un quadrato hanno la stessa area; il lato del quadrato misura 9 cm. Quanto misura il raggio del cerchio? 9π cm [17/60] 9 π cm [5/60] 9/ π cm [26/60] 81/π cm [5/60] In un triangolo rettangolo un angolo è di 45 e l ipotenusa è di 5 cm. Quanto misura il perimetro del triangolo? I dati del problema non sono sufficienti a fornire la risposta [14/60] 5( 2 + 1) cm [21/60] cm [10/60] 10 cm [8/60] 39 / 39