INTEGRALE INDEFINITO. Saper calcolare l integrale indefinito di una funzione utilizzando i diversi metodi

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Aureliano Pisano
6 anni fa
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1 INTEGRLE INDEFINITO OIETTIVI MINIMI: Sper definire l integrle indefinito di un funzione. onoscere le proprietà dell integrle indefinito. Sper clcolre l integrle indefinito di un funzione utilizzndo i diversi metodi di integrzione. D RIORDRE L derivt di un funzione, qundo esiste è UNI. Un funzione F ) si dice primitiv di un funzione ) ) ; e l su derivt è ) F è derivbile in tutto [ b] Quindi: se F ' ) f ) llor ) Se ) F è un primitiv di ) F è un primitiv di ) f definit nell intervllo [ ; b] se f. f. f llor lo sono nche tutte le funzioni del tipo F ) con costnte rele rbitrri. Inftti, poiché l derivt di un costnte è null, si h: Se due funzioni F ) e ) funzioni differiscono per un costnte. Se ) ' ' F ) ) F ) f ) R G sono primitive dell stess funzione f ), llor le due f è continu in un intervllo [ ; b] llor in tle intervllo mmette primitiv. Definizione di integrle indefinito Si definisce integrle indefinito dell funzione ) F ) di ) tutte le primitive Nell scrittur f ) d vribile d integrzione. l funzione ) f, e si indic con f ) d, l insieme di f con numero rele qulunque. f è dett funzione integrnd e l vribile Teoremi degli integrli indefiniti

2 k f ) d k f ) d ) f ) d f ) d f f ) d [ ] k f ) k f ) d k f ) d k f ) d [ ] I teoremi sopr elencti permettono di ffermre che l integrle indefinito, come l derivt, è un opertore linere e il procedimento di integrzione che utilizz tli teoremi è detto integrzione per decomposizione o per scomposizione. Integrli immediti Se è possibile determinre l integrle indefinito di un funzione grzie lle sole regole di derivzione llor l integrle è detto immedito. Tbell degli integrli immediti delle funzioni elementri e loro generlizzzioni Integrle immedito Generlizzzione d f ' ) d f ) kd n d d d k k f ' ) d k f ) n n ' [ f ) ] n n [ f ) ] f ) d log f ' ) d log f ) f ) log f n n ) f ) f ' ) d log f ) ' e d e e f ) d f ) e send cos ' senf ) f ) d cos f ) cos d sen ' cos f ) f ) d senf ) ' d tg f ) d tgf ) cos cos f ) ' d rctg f ) d rctgf ) [ f ) ] n ESEMPI Integrzioni immedite con utilizzo dell regol di integrzione per decomposizione.

3 e d d d e d log e log e sen d cos sen d sen d cos ) d d d d 8 cos d d cos d rctg sen sen sen tgd d d log cos cos cos Integrzione di funzioni rzionli frtte Per integrre le funzioni rzionli frtte si utilizz, in genere, il metodo di decomposizione che, come già visto, si bs sull possibilità di decomporre l funzione integrnd nell somm di funzioni. P Si debb integrre: P ) d ) ) Se grdo di P ) grdo di P ) si esegue l divisione tr i polinomi: P ) Q ) P ) R ) P P ) R ) Q ) con Q ) quoziente, R ) resto ) P ) b) Se grdo di P ) < grdo di P ) e P ) b c si clcol il dell equzione ssocit. Si presentno csi: SO > 0

4 Si fttorizz P ) ) ) ) P Si cercno due numeri e tli che P ) P ) L integrle di prtenz si trsform in d b d L integrle è l somm di logritmi log log SO 0 Si cercno due numeri e tli che P ) P ) ) L integrle di prtenz si trsform in d ) d Si fttorizz P ) ) P ) se P ) è di grdo se P ) è di grdo 0 L integrle è l somm di un logritmo e di un funzione frtt ln ) L integrle è quello immedito di un funzione frtt P ) ) SO < 0

5 P ) non è scomponibile Se P ) è di grdo 0 si scrive il denomintore come somm di due qudrti ottenendo come integrle un rcotngente Se P ) è di grdo si scrive l frzione come somm di due frzioni, l prim delle quli si l primitiv di un logritmo e l second si l primitiv di un rcotngente ESEMPI d d d d d log d SO denomintore con > 0 6 Si scompone 6 ) ) e, grzie l principio di identità polinomile si determinno le due costnti e tli che: ) ) ) ) 6 ) ) ) ) ) Risolvendo il sistem ottenimo e l integrle divent: d d d d log log d SO denomintore con 0

6 Si scompone ) e, grzie l principio di identità polinomile, si determinno le due costnti e tli che: ) ) ) ) Risolvendo il sistem ottenimo e l integrle divent: ) ) ) d d d d log d SO denomintore con 0 < Si riscrive l frzione come somm di frzioni, in modo che un di esse bbi come numertore l derivt del denomintore d d d d Il primo integrle è immedito, mentre nel secondo si scrive il denomintore come somm di due qudrti per poter integrre come rcotngente: ) ) ) l integrle di prtenz divent: ) ) ) ) ) ) ) rctg rctg d d d log log log

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