22. Calcolo integrale: esercizi

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1 . Clcolo integrle: esercizi Esercizio.6. Clcolre. 3. (x 5x + 3x + ),. ( 3 x + x x5), 4. ( 4 + x x4 + 5e x ), ( 3 x 5 cos(5x) + ). x 5 R. Con l usilio delle tbelle e per le proprietà delle primitive, si h (x 5x + 3x + ) = x 5 x + 3 3(3x + ) / = x 5 3 x3 + 3 (3x + ) 3/ 3/ + c = x 5 3 x3 + 9 (3x + )3/ + c.. Con l usilio delle tbelle e per le proprietà delle primitive, si h ( 4 + x x4 + 5e x ) = 4 + x x = 4 rctnx x ex +c. e x 3. Con l usilio delle tbelle e per le proprietà delle primitive, si h ( 3 x + x x5) = 3 x + x = 3x x6 ln + x ln c. x 5

2 P. Biti, L. Freddi - Corso integrto di Mtemtic. Mterile integrtivo 4. Con l usilio delle tbelle e per le proprietà delle primitive, si h ( 3 x 5 cos(5x) + ) = x 5 = 3 x 5 5 cos(5x) + 5 x 5 = 3 4 x 4 sen(5x) + ln x 5 + c. 5 Esercizio.7. Discutere l esistenz degli integrli /6 / / e, se esistono, clcolrli. x +,. 3x + 6x, 4. x 3x 5t dt, 6. t ( x + 3 x + x ), 3t + + t dt, x 3 x 4 9, R. L funzione integrnd è continu nell intervllo [, ], quindi è integrbile. Cerchimo di fr comprire l numertore 3x + in modo d scomporre nell somm di due integrli. Essendo x + 3x + = 3 3x +, 3x + si h x + 3x + = ( 3 3x + ) = [ x ] 3 6 log 3x + = 3 9 log 5.. L funzione integrnd è continu nell intervllo [, ], quindi è integrbile. Per l formul fondmentle del clcolo integrle si h ( x + 3 x + x ) = x x [ x ] [ ] = + 3 rctn x [ ] log( + x ) = + 3π 4 x + x d( + x ) + x = + 3π 4 log.

3 P. Biti, L. Freddi - Corso integrto di Mtemtic. Mterile integrtivo 3 3. L integrle esiste e vle log log L funzione integrnd è continu nell intervllo [, ], quindi è integrbile. L integrle indefinito è 3t + + t dt = 3 t + t dt + + t dt = 3 log(t + ) + rctnt + c. Per l formul fondmentle del clcolo integrle si h llor 3t + [ 3 ] + t dt = log(t + ) + rctnt = 3 log + π L funzione integrnd è continu nell intervllo [, /], quindi è integrbile. Il suo integrle indefinito è 5t dt = t dt + 5 t Per l formul fondmentle del clcolo integrle si h / 5t / dt = rcsint + 5 t t 6. L integrle esiste e vle π/(6 3). t t dt = rcsint + 5 t + c. = π 6 + 5( 3 ). Esercizio.8. Usndo le prime due righe dell tbell di pgin, clcolre π/ b π/ sen 3 xcos x ;. x ( + x 3 ; ) / 4. x x ; + 6. ; 8. cos x 3 b x b sen 3 x ; t + t + t + dt; tg x, π < b < π ; x x +. R. Poiché l integrnd si present nell form f(x) α f (x), con f(x) = e α = 3, usndo le tbelle si h π/ [ sen sen 3 4 x xcos x = 4 ] π/ = 4.

4 4 P. Biti, L. Freddi - Corso integrto di Mtemtic. Mterile integrtivo. Osservto che sen 3 x = senx sen x = senx cos x si h b [ sen 3 x = cos x + cos3 x ] b Osservto che si h x d ( + x3 ) / = 3 ( + x 3 ) / x ( + x 3 ) / = [ + x 3] 3 = 3 ( ). 4. Osservto che d dt (t + t + ) = t +, decomponendo in somm si ottiene x t + t + t + dt = log(x + x + ) + ( x + rctg rctg ) Osservto che d (x + ) = x log e usndo l tbell si h b x x + = log log b Essendo tg x =, si h cos x b tg x = log cos cos b. 7. Poiché l funzione l numertore è, meno del segno, derivt di quell l denomintore, usndo l tbell si h π/ π/ cos x 3 = cos x 3 = t 3 dt = t 3 dt [ ] = log t 3 = log L integrle esiste e vle π/. Esercizio.9. Usndo le prime due righe dell tbell di pgin, clcolre ( 7. 3 x5 cos(x) + x ) ( 3x,. + x x + x 5x3 + senx ), ( 3 x 3. + ) ( + x x x, 4. 3 cos x + x 7x3 + senx ), (3x x + 5 ) ( 3 cos x, 6. x x 5 + x6 ).

5 P. Biti, L. Freddi - Corso integrto di Mtemtic. Mterile integrtivo 5 R. Si h ( 7 3 x5 cos(x) + x ) + x x = 7 x 5 cos(x) x x ( + x x ) = 7 8 x6 sen(x) + ln + x x + c.. Si h 3x ( + x 5x3 + senx) = x = 3 x + 5 x 3 ( ) = 3 x x4 cos x + c. 3. Si h ( 3 x + x x = 3 3 cos x ) = + ( x ) / d( x ) + x + x 3 cos x = 3 rcsinx + x + 3 x3 tn x + c Si h ( + x + x 7x3 + ) = + x + ( + x ) d( + x ) = rctnx + log( + x ) 7 4 x4 cos x + c. 7 x 3 +

6 6 P. Biti, L. Freddi - Corso integrto di Mtemtic. Mterile integrtivo 5. Si h ( 3x 4 + x + 5 ) x x = 3 x 4 + x = 3 5 x5 rcsinx + ( x ) / + 5 ln x + c. ( x ) / d( x ) + 5 x 6. Si h ( ) 3 cos x 5 + senx x6 = (5 + senx) x 6 = 3 ln(5 + senx) x7 4 + c. Esercizio.3. Clcolre cos x + xsen x. ;. 3. ( 3x)cos(x); (x 3x)lnx; (t t + )lntdt; 8. (3x )cos x ; e 3x (x + ); (3z z + )cos z dz; π/ x(x ). R. Si h cos x + xsen x = cos x + x. Il primo integrle: cos x () = = log + c Integrndo il secondo per prti, si h x = x( cos x) ( cos x) = xcos x + senx + c.

7 P. Biti, L. Freddi - Corso integrto di Mtemtic. Mterile integrtivo 7 In definitiv si h cos x + xsen x. Integrndo due volte per prti, si h (3x )cos x = (3x ) = log xcos x + + c. 6x ( = (3x ) 6x( cos x) = (3x ) + 6xcos x 6 + c. ) 6( cos x) 3. Integrndo per prti, si h ( 3x)cos(x) = ( 3x) sen(x) ( 3) sen(x) = ( 3x) sen(x) 3 ( sen(x)) 4 = ( 3x) sen(x) 3 cos(x) + c Integrndo per prti, si h e 3x (x + ) = = e3x 3 (x + ) = e3x 3 (x + ) 3 e 3x x 3 ( e 3x 3 x e 3x 3 ) = e3x 3 (x + ) 9 e3x x + 7 e3x +c = e3x 7 (9x 6x + ) + c. 5. Integrndo per prti, si h (x 3x)lnx = ( x ( x) x 3 lnx 3 3 x) x = ( x ( x) x lnx 3 3 x) = ( x x) lnx ( x x) + c.

8 8 P. Biti, L. Freddi - Corso integrto di Mtemtic. Mterile integrtivo 6. Si h (3z z + )cos z dz = (3z z + )sen z ( = (3z z + )sen z (6z )( cos z) = (3z z + )sen z + (6z )cos z 6 sen z + c = (3z z 5)sen z + (6z )cos z + c. (6z )sen z dz ) 6( cos z)dz 7. Si h (t t + )lntdt = ( t 3 3 t ( + t) t 3 lnt 3 t + t) t dt = ( t 3 3 t ( + t) t lnt 3 t + ) dt = ( t 3 3 t + t) lnt t3 9 + t 4 t + c. 8. π 5. Esercizio.3. Dopo vere verificto che un primitiv dell funzione (x + )e x è xe x, clcolre l integrle [ (x + )e x ] log x. R Utilizzndo l formul d integrzione per prti si ottiene [ (x + )e x ] [ ] log x = xe x xe x log x x [ ] = e log e x = e log e + e.