High-Performance Elements - Caratteristiche e Nuove Funzioni dell'elemento Beam (HPBEAM)

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1 Ing. Dessì High-Performance Elements - Caratteristiche e Nuove Funzioni dell'elemento Beam (HPBEAM) Diamo un occhiata a cosa c'è alla base di EdiLus-MU: si tratta di un solutore molto potente sviluppato con tecnologie d avanguardia. Il primo aspetto di avanguardia riguarda il solutore di equazioni a Matrice Sparsa: esiste da circa un anno in EdiLus-CA e sarà presente anche in EdiLus-MU. E necessario utilizzare dei metodi veloci perché, con le strutture in muratura, si raggiungono gradi di libertà molto elevati, anche in campo lineare. Nel campo non lineare il calcolo presuppone un certo numero di interazioni, a volte anche centinaia e quindi si tratterebbe di risolvere centinaia di volte un sistema di equazioni con centinaia di migliaia di gradi di libertà. Un secondo campo di avanguardia è stato quello di avere l ambizione di schematizzare le strutture in muratura con elementi di tipo piano e non con elementi beam, perché si è visto che, per strutture particolarmente semplici, lo schema a telaio va bene, ma quando andiamo ad inserire certi dettagli, come ad esempio rinforzi su murature, lo schema a telaio non regge. Pertanto abbiamo un po anticipato i tempi schematizzando la struttura nella sua realtà. Un terzo campo di avanguardia toccato dalle soluzioni EdiLus è l utilizzo degli elementi ad alte prestazioni: elementi che si presentano semplici, nel senso di ridotto numero di nodi e geometria semplificata, ma che raggiungono un risultato elevato per gli sviluppi analitici. Esiste una documentazione molto dettagliata che sarà messa a disposizione degli utenti. Riguardo all elemento beam, si parte dalla teoria di Eulero-Bernoulli in campo piano: le prime ipotesi sono simmetria piana, sezione trasversale constante, conservazione delle sezioni piane, deformazione solo flessionale, spostamenti e piccole rotazioni, materiale isotropo e elastico.

2 Il modello piano di Eulero-Bernoulli trascura la componente di torsione, la componente estensionale dell asta e la deformazione a taglio; la matrice di rigidezza e il vettore di carico si ricavano uguagliando l energia di deformazione interna dell elemento al lavoro delle forze esterne. Si passa attraverso delle funzioni di interpolazione in cui da caratteristiche che sono, ad es., spostamenti all estremità dell asta, si passa a descrivere il comportamento all interno dell elemento attraverso funzioni di interpolazione, funzioni di forma. E chiaro che in un asta semplice a due nodi abbiamo a disposizione quattro gradi di libertà, due spostamenti nel piano per nodo, quindi possiamo scrivere quattro equazioni. Partendo dagli spostamenti agli estremi delle aste possiamo descrivere la rigidezza dell elemento e quindi deformazioni e sollecitazioni. Il passo successivo è quello di passare dalla teoria semplificata di Eulero-Bernoulli a quella di Timoshenko che non trascura la deformazione a taglio, introdotta attraverso due coefficienti nei due piani ortogonali dell asta. La matrice di rigidezza viene scritta dal solutore in maniera differente, a seconda che l elemento sia una trave normale oppure su suolo alla Winkler. Il primo passo per la scrittura di un elemento ad alte prestazioni è quello di aggiungere, oltre alla parte flessionale della trave, tutte le altre caratteristiche che rendono l elemento, seppur semplice, composto da vari ingredienti, di cui il primo è una trave di tipo Timoshenko, che riguarda la parte flessibile. Quindi bisogna passare dal baricentro della sezione al centro di flessione e taglio che è il punto per cui devono passare i carichi esterni per avere solo flessione e taglio. Ciò è esatto se la sezione presenta un centro di simmetria oppure ha 2 piani di simmetria, altrimenti la trave sarà soggetta ad una torsione. Altro ingrediente per i nostri elementi ad alte prestazioni è la cerniera elasto-platica, alle estremità dell elemento. Questa cerniera ci permette di introdurre delle plasticizzazioni concentrate alle due estremità: possiamo modellare il tipo di plasticizzazione concentrata con un modello elastico-perfettamente plastico, in cui, finché il momento all estremità non raggiunge un momento di plasticizzazione, l elemento è come se non ci fosse, perché ha una rigidezza infinita, quindi trasmette tutte le sollecitazioni, altrimenti, se il momento raggiunge il momento plastico, la cerniera è capace di sviluppare qualunque valore di rotazione, mantenendosi però attiva e dando sempre il suo contributo M p, quello che può dare al massimo senza rompersi per il momento. Questo consente di

3 trasferire quel surplus di momento che la trave non può sopportare agli altri elementi adiacenti, fino a che eventualmente non si raggiunge il momento ultimo di rottura. Un altro modello che si può adottare è quello a plasticità graduale, nel senso che l elemento sino a che rimane al di sotto di M y, momento di snervamento, la rigidezza dell elemento è finita nel senso che trasmette tutto. Raggiunto M y, la trave si comporta in maniera non lineare; mentre prima passavamo dal campo lineare a un campo totalmente non lineare, campo plastico, raggiungendo immediatamente il momento M p e continuando a mantenerlo, in questo caso, superato il momento oltre il quale abbandoniamo la linearità del comportamento del materiale, l elemento non percorre una curva lineare ma percorrere una curva e il momento M p viene raggiunto solo per rotazioni a limite infinite. Superato M y siamo in campo non lineare e raggiungiamo asintoticamente M p. Altro ingrediente è la connessione semirigida: è quasi un doppione dell elemento appena visto. E assimilabile ad una molla che può essere a comportamento elasto-plastico e ha la sua funzione di essere principale, soprattutto nelle strutture metalliche in cui abbiamo delle connessioni non complete, ma che possono essere raggiunte attraverso bullonature, ad es, e qui possiamo inserire una molla con rigidezza assegnata con comportamento elasto-plastico. Questi tipi di connessioni sono consigliate dalle varie Norme. Altro utilizzo di tali connessioni è in campo elastico per inserire degli incastri imperfetti: se diamo un valore molto elevato alla rigidezza della connessione semirigida otteniamo una perfetta continuità, viceversa man mano che questa cerniera ha una rigidezza più bassa ci avviciniamo al caso limite cerniera vera e propria. In questo caso al programma viene dato un coefficiente di incastro e la rigidezza della connessione viene calcolata in funzione della rigidezza dell asta flessionale, quindi dei coefficienti di rigidezza della matrice di rigidezza. Un altro ingrediente è quello dei bracci rigidi: questi possono essere orientati in qualsiasi direzione e ci portano dalla parte flessibile al nodo. Ricapitolando: abbiamo al centro la parte flessibile dell asta, ad ogni estremo abbiamo la cerniera elasto-plastica; abbiamo prima la trasformazione dal baricentro al centro di pressione e taglio, sullo stesso punto abbiamo la cerniera elasto-platica, poi il tratto rigido che ci porta al nodo su cui ci può essere un ulteriore ingrediente che è quello del rilascio di uno o più dei sei gradi di libertà al nodo. Altra opzione è quella di far funzionare l elemento beam per solo taglio. Si simula in questo modo un elemento che trasmette solo taglio; questo utilizzo è quasi superato dall elemento HP

4 Shell, quindi è meglio usare quello con componente flessionale ridotta, piuttosto che fare questa schematizzazione così cruda. Abbiamo confrontato i nostri risultati con quelli prodotti da ANSYS: consideriamo un modello semplice su suolo elastico, sulle aste blu abbiamo messo dei carichi uniformemente ripartiti e all estremo dell asta 9 abbiamo messo una cerniera e sugli altri elementi abbiamo bracci rigidi. Vediamo il confronto con l elemento beam di ANSYS, che è anche esso un elemento ad alte prestazioni e contiene quasi tutte le potenzialità dell elemento che noi usiamo, ma non contiene la cerniera elastica e considera il suolo elastico, ma in maniera meno dettagliata rispetto al nostro Microsap. Vediamo i risultati e confrontiamoli: il suolo elastico in ANSYS è meno dettagliato, più semplice. Abbiamo un solo elemento e otteniamo qualche differenza rispetto ad un solo elemento di Microsap; aggiungendo elementi la cosa migliora, sino a che con 10 elementi raggiungiamo gli stessi risultati del Microsap. Vediamo le azioni interne: consideriamo l elemento 9, ossia una trave su suolo elastico. Qui iniziano i guai perché, nel caso di un elemento su suolo elastico, ANSYS avvisa con un warning che l elemento molto probabilmente avrà dei difetti per quanto riguarda le azioni interne. Si osserva che non solo i risultati di ANSYS sono errati, ma lo sono anche le azioni alle estremità: sono totalmente diverse da quelle che otteniamo con Microsap ad un solo elemento. Solo con 10 elementi dell ANSYS riusciamo a riprodurre i risultati Microsap ad un solo elemento. Vediamo un analisi dinamica di un telaio tridimensionale in cui abbiamo messo dei conci distribuiti in maniera generica: ANSYS contiene una sola possibilità di definire questi conci rigidi mentre il solutore Microsap ne contiene tre diversi. E possibile definire conci rigidi in maniera differente a seconda se partiamo dalla posizione finale che assume l elemento, dalla posizione iniziale o possiamo definire attraverso degli spostamenti nel sistema globale in cui è definita tutta la struttura. Vediamo l analisi dinamica con 15 modi di vibrare. Confrontiamo i risultati con ANSYS: qui non abbiamo travi su suolo elastico (abbiamo visto che in questi casi abbiamo risultati un tantino diversi), quindi usiamo un elemento normale con conci rigidi. I risultati, direi quasi stranamente, sono l esatta fotocopia di quelli ottenuti con Microsap. Ho convertito il modello in file ANSYS e ho riscontrato l esatta fotocopia. Le masse eccitate e i fattori di partecipazione sono gli stessi.

5 Per come viene effettuata l analisi modale, in cui viene utilizzata la matrice delle masse come modo di esprimere la deformata modale, otteniamo un fattore di partecipazione che, elevato al quadrato, ci dà la massa eccitata in direzione x, y, z e ci troviamo con gli stessi risultati. Quindi i due solutori portano agli stessi risultati. Un ultimo confronto: la struttura in Microsap è schematizzata in semplici elementi beam mentre in ANSYS non esiste questo elemento, ma esiste un elemento con comportamento puramente a taglio. Anche in questo caso stessi risultati.