Nell ultimo esercizio della lezione 5 le sequenze A, B

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1 Una sequena di vettori (v v n ) generatori di V(K) libera si dice base di V(K). Nell ultimo eserciio della leione 5 le sequene A B costituiscono una base per le rispettive coperture lineari. Basi di uno spaio vettoriale Gli spai vettoriali presi in consideraione in questo corso di Algebra e Geometria sono finitamente generati. Uno spaio vettoriale V V {} su K ha dimensione n se e solo se le sue basi hanno n vettori. Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

2 Uno spaio vettoriale V sul campo K di dimensione n ha: sottospai vettoriali di dimensione da a n; il sottospaio vettoriale banale contenente solo il vettore nullo che non ha base. Esempi: ) Lo spaio vettoriale delle potene di R (R n +. ) ha dimensione n. Una base è... ) Lo spaio vettoriale geometrico (V (R) +. ) sul piano ha dimensione. Una base è j i Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

3 Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-3 3) Lo spaio vettoriale delle matrici (R mn +. ) ha dimensione mn. Una base: O L O L O L O L O L Nei due esercii successivi studieremo come determinare le basi: a) di un sottospaio vettoriale assegnato; b) della copertura lineare di un insieme A. Eserciio Dati i seguenti sottospai vettoriali determina una base e la dimensione per ciascuno: a) U {() R }; b) U {(t) R 4 3t - 3 };

4 c) U 3 {(t) R }; U 4 t tuv R v - t d) ; u v e) U 5 {(αβα) R 4 α β R}. Svolgimento: a) Gli elementi di U sono tutti e soli i vettori del tipo ( -3 ) con R: ( - 3 ) (-3) Allora {(-3)} è un insieme di generatori per U. Il vettore (-3) è linearmente indipendente Dunque ((-3)) è una base per U. La dimensione di U è quindi : dim U. Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-4

5 b) Gli elementi di U sono tutti e soli i vettori del tipo (3 ) con R. (3 )()+(3) Allora {()(3)} è un insieme di generatori. I vettori generatori sono linearmente indipendenti infatti αβ R α()+β(3)() αβ. (()(-)) è una base per U. La dimensione di U è quindi : dim U. Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-5

6 c) Gli elementi di U 3 sono tutti e soli i vettori di R 4 (t) le cui entrate soddisfano il sistema: + + cioè - e U 3 {(-t) R 4 }. I vettori (-t)(-)+t() sono generati da (-)(). Questi vettori sono linearmente indipendenti infatti: α(-)+ β()() con αβ R implica (-αααβ)() e infine αβ. ((-)()) è una base per U 3 : dim U 3. Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6

7 Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7 d) Tutte e sole le matrici di U 4 sono del tipo: R u u R u + + u u Allora l insieme: fornisce un insieme di generatori per U 4. Questo insieme è libero infatti: γ β α γ β α + +

8 Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-8 Allora è una base per U 4. La dimensione di U 4 è 3. e) I vettori di U 5 sono del tipo (αβα) R 4 : (αβα)α()+β() con α β R La sequena dei generatori estratta (() ()) è..: α()+β()() implica.. (() ()) è.. e U 5 ha dimensione...

9 Eserciio Dati i seguenti insiemi determinare la copertura lineare una base e la dimensione della stessa. a) A {() () (-)}; A v R b) ; v c) A 3 {() R 3 + }. Osservaione: A ha un numero finito di vettori. A A hanno un numero infinito di vettori. a) I tre vettori di A sono per definiione generatori di L(A ). Controlliamo che siano linearmente indipendenti: Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-9

10 α()+β()+γ(-) () implica solo α - β γ (non necessariamente nulli) I vettori sono linearmente dipendenti: è facile vedere che (-) () () è combinaione lineare degli altri due vettori di A. I vettori () e () sono generatori della copertura lineare e sono linearmente indipendenti: α() + β () () α β (() ()) è una base per L(A ). La dimensione di L(A ) è. b) Se è un numero reale generico allora anche -a lo è (ogni - è un opportuno numero a ogni numero reale a può essere scritto come (a+)--con numero reale): Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

11 Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- R av v ) ( a A L I generatori estratti elementarmente sono:. e sono linearmente indipendenti. Infatti: γ β α γ β α + + La sequena è una base di L(A ). La dimensione di L(A )3.

12 c) A 3 {(-) R}. I vettori di A 3 (-)(-)+() sono generati da particolari combinaioni lineari (non tutte) di ((-)()): la copertura lin. di A 3 sarà quindi costituita per definiione da tutti i vettori del tipo α(-)+β()(-αβα) α β R L(A 3 ){(-αβα) αβ R} (( )( )) sono generatori di L(A 3 ); sono anche linearmente indipendenti perchè α(-)+β()(-αβα)(). (( )( )) è una base di L(A 3 ); dim L(A 3 ). Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

13 Eserciio 3 Trovare le componenti dei vettori indicati rispetto alle basi prescelte: a) v(74) w(55-) R 3 e B(()()()) base di R 3 ; b) (-34) R 4 e B(()()()()) base di R 4 ; c) 3 B M ( R) e 3 base Svolgimento: a) dobbiamo trovare α β γ R tali che di M ( R). α() + β () +γ() (74) α5 β γ componenti (5) Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-3

14 α() + β () +γ() (55-) α5/ β5/ γ-7/4 componenti (5/5/-7/4) b) dobbiamo trovare α β γ δ R tali che (-34)α()+β()+γ()+δ() α β γ δ componenti ( ) c) dobbiamo trovare α β γ δ R tali che 3 3 α + β + γ + δ α.. β.. γ.. δ.. componenti (...) Eserciio 4 Dato l insieme S di M (R) S R Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-4

15 Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-5 a) determinare L(S) una base e dimensione; b) verificare che la matrice 3 4 appartenga a L(S) e in caso affermativo se ne calcolino le componenti rispetto alla base scelta al punto a). S ha per elementi: + + (particolari combinaioni lineari) Invece L(S) contiene tutte le combinaioni lineari delle tre matrici qui sopra isolate. Tali matrici sono anche linearmente indipendenti: R S L ) (

16 Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6 dim L(S) B La matrice appartiene a L(S) e le componenti rispetto a questa base di L(S) sono: ( ). Eserciio 5 In R 4 (R) si consideri il sottospaio vettoriale W{() R 4 (R) R } a) determinare una base e la dimensione di W; b) dimostrare che (()(--)) costituisce una base per W; c) determinare le componenti del vettore (444) rispetto ad entrambe le basi.

17 Traccia della soluione a) ()()+() R 4 (R) (()()) sono. di W Sono linearmente indipendenti: verifica Base di W (()()) e dimw.. b) (()(--)) è base di W perché: b ) i due vettori sono linearmente indipendenti α()+β(--)()..; b ) L((()(--))W: L(()(--)) W perché W L((()(--)) perché ogni vettore di W è combinaione di ()(--): ().()..(--). c) (444) ()+ () componenti ( ) (444) ()+ (--) componenti ( ) Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7

18 Eserciio da svolgere Determinare una base e la dimensione delle coperture lineari dei seguenti insiemi: a) A {() R 3 }; b) A {() R 3 + }; c) A R 3 ; d) A 4 {(α α β α) R 4 α β R }; e) A 5 {( t) R 4 +3-t }; f) A 6 {( α) R 4 α R }; g) A 7 {()(34)()(33)} R 4 ; g) A 8 {() (33)()()} R 4. (dim L(A i ) con i34568 dim L(A 7 )3). Leione 6 - Esercitaioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-8