Flusso di un vettore v attraverso una superficie S. ( 1 ) v n n

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1 Teorea d Gauss ( I Parte).I INTRODUZIONE. Prelnarente, s ntrodurrà la seguente defnzone: Flusso d un vettore v attraverso una superfce S. ( ) Sa dato un capo vettorale, ovvero una funzone v che ad ogn punto P R 3 e ad ogn stante t assoca un vettore v (P, t) = v (x,y,z,t) con P(x, y, z). Nel caso n cu la funzone v non dpenda esplctaente dal tepo t, ovvero che rsult v (P, t) = v (x, y, z, t) = v (P) t s drà che l capo vettorale v è stazonaro e, da adesso n po, le consderazon che s andranno a svolgere saranno relatve esclusvaente a cap vettoral stazonar. Cò posto, sa data una pccola ( 2 ) superfce pana d area S, la cu orentazone nello spazo sa ndvduata dal versore n norale a S (Fg. ). v n n S θ v Fgura S defnsce flusso eleentare d v attraverso S la seguente grandezza : Flusso eleentare d v attraverso S Φ( v ) = v n S = v n cos θ S = = v cos θ S = v n S (.I) La teora de cap vettoral fu svluppata n connessone con lo studo del oto de flud, coe rvela la ternologa adoperata. Il flusso d un vettore v va, allora, nteso solo nel senso d una ben defnta grandezza scalare assocata al capo vettorale v. Ad esepo, nel caso del capo elettrco E nente d aterale flusce attraverso le superfc consderate! 2 Il terne è qu nteso nel senso che l estensone d S è talente ltata da poter consderare v unfore, coè costante n odulo, drezone e verso n ogn suo punto P S.

2 Nella (.I) la grandezza scalare v n rappresenta la coponente del vettore v nella drezone d n, ovvero la coponente norale del vettore v, coè perpendcolare, alla superfce S ( 3 ). Una superfce qualunque S può essere consderata, allora, suddvsa n un grandsso nuero d superfc S, S 2,, S suffcenteente pccole (nel senso della Nota!) tanto da rtenerle, con otta approssazone, pane e su cascuna delle qual l capo vettorale v assue valor costant v,v 2,,v. Pù precsaente, consderata la generca pccola superfce eleentare pana S, orentata secondo l versore norale n (con (,2,3,, )), ndcato con v l coune valore su S del capo vettorale v, l quale fora un angolo θ con n (Fg. 2), l flusso eleentare Φ d v attraverso S è defnto dalla seguente espressone Φ = Φ (v ) = v n S = v n cos θ S = v cos θ S = v n, S (2.I) v n, n v S θ S S Fgura 2 Il flusso totale Φ S (v ) attraverso S sarà dato da : Φ s () v = Φ = v n S = v cosϑ S = v S ( 3. I ) = = = = n, 3 Ved Appendce I. 2

3 Osservazone I: S not che v = 0 P S Φ S (v ) = 0 a Φ S (v ) = 0 > v = 0 P S Infatt, l flusso eleentare Φ, n quanto grandezza algebrca, può assuere valor dscord n var punt d S n odo da rendere nullo l flusso totale Φ S (v ) senza che, necessaraente, v = 0 P S. 2.I IL TEOREMA DI GAUSS (TDG ) PER LE INTERAZIONI ELETTRICHE. Va, nnanztutto, precsato che Il teorea d Gauss (TdG ) costtusce una propretà globale d qualsas capo vettorale v che decresca con l nverso del quadrato della dstanza. Pertanto, esso è valdo anche nel caso della nterazone gravtazonale. Osservazone II : Il terne globale sta ad ndcare che l flusso rappresenta una propretà d un dato capo vettorale valutata sul contorno d un generco volue spazale ed è adoperato n contrapposzone con l terne locale che s rfersce, puttosto, ad un generco ntorno d un punto. Esso è stato forulato da Carl Fredrch Gauss nel 839, con rferento specfco al capo elettrco E ( 4 ) contenuto n una regone d spazo nella quale è ersa una superfce chusa S qualsas, ed ha l seguente enuncato: TEOREMA DI GAUSS : Il flusso Φ S ( E ) del capo elettrco E, nel vuoto, attraverso una qualunque superfce chusa S che racchuda una carca elettrca Q nt è par a 4 π k o Q nt. In sbol: Φ S ( E ) = 4 π k o Q nt (4.I) 4 S rtornerà nel seguto sulla questone dell orgne del capo elettrco E contenuto nel TdG. 3

4 dove Φ s ( E) = E n S = E cosϑ S = E S ( 4 '. I ) = = Φ S ( E ) è l flusso del capo elettrco E attraverso la superfce chusa S ; S è una qualsas superfce chusa che racchude Q nt ; Q nt è la carca elettrca totale racchusa all nterno d S; n versore norale ad S n P (generalente orentato verso l esterno d S). = n, Osservazone III : qual è l capo elettrco E al quale s rfersce l enuncato del TdG? Nella dostrazone (rportata n Appendce ) l capo elettrco E è prodotto da Q nt, tuttava tale potes può essere generalzzata alla luce del seguente corollaro, che dscende edataente dalla (4.I): Ma, dall Osservazone I pertanto Se Q nt = 0 allora Φ S ( E ) = 0 Φ S (E ) = 0 > E = 0 P S Q nt = 0 Φ S ( E ) = 0 > E = 0 P S Tale crcostanza sta a sgnfcare che carche esterne alla superfce S, pur nfluenzando localente l valore d E, non sono n grado d alterare globalente l valore d Φ S (E ). A quest ulto contrbuscono, nvece, soltanto le carche Q nt contenute n S. In defntva, l capo elettrco E che copare nella (4.I) è quello presente sulla superfce chusa S, qualunque ne sano le carche sorgent (esterne o nterne ad S), tuttava contrburà a Φ S (E ) esclusvaente l capo elettrco E prodotto dalla carca Q nt n essa contenuta. 4

5 3.I APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI GAUSS. Il teorea d Gauss (TdG ) è d notevole utltà per:. calcolare l odulo E del capo elettrco E prodotto da una dstrbuzone d carca quando essa è dotata d partcolar setre (assale, centrale), e qund deternare E quando ne sano stat ndvduat per altra va la drezone ed l verso ; 2. deternare la quanttà d carca contenuta n una superfce chusa se è noto l capo elettrco su tale superfce. Ltandos, per l oento, al punto., la procedura d applcazone delle (4.I) e (4.I) per la deternazone d E n un dato punto P consste, n genere, ne seguent pass: tenendo conto d eventual setre della dstrbuzone d carca sorgente, s cerca d deternare la drezone ed l verso del capo elettrco E nel generco punto P ; successvaente, s prova ad ndvduare un opportuna superfce S passante per P sulla quale E sa costante ed E n oppure E n (può accadere che n alcun punt d S rsult E n, entre n altr punt d S s ha E n ); su tale superfce S la (4.I) assue la fora: Φ s ( E) = E n S = E S = E S = E S ( 4 ''') = dove E concde con la coponente d E perpendcolare ad S nel generco punto P (postva se E è concorde con n, negatva se E è dscorde con n ). sosttuta la (4.I) così ottenuta nella (4.I), s ottene E per nversone. = n, = Nel seguto s deternerà l odulo E del capo elettrco edante l applcazone del TdG a notevol dstrbuzon d carca: a) Capo elettrco d una carca puntfore; b) Capo elettrco d un gusco sferco unforeente carco; c) Capo elettrco d una sfera pena unforeente carca; 5

6 a) Capo elettrco d una carca puntfore. Superfce d Gauss S r Q Fgura 3 + n n E Sa Q una carca elettrca puntfore (per esepo postva) posta n un punto O. Il capo elettrco E da essa prodotto ha setra sferca, pertanto rsulterà d odulo costante sulla superfce d qualunque sfera d centro O e raggo r, con verso uscente e drezone perpendcolare n ogn punto alla superfce stessa della sfera consderata. Pertanto, n ogn punto della sfera S s avranno E ed n concord e, qund: E n E n = E n, = E e la (4.I) dventa Φ S ( E ) = E S = 4 π r 2 E Dalla (4.I) s ha allora 4 π r 2 E = 4 π k o Q ed nfne, nell potes pù generale d una carca sorgente puntfore Q arbtrara, s ha: Capo elettrco d una carca puntfore Q: (n un punto P dello spazo) E(P) = k o Q / r 2 (5.I) 6

7 b) Capo elettrco d un gusco sferco unforeente carco. Superfc d Gauss Q r r Fgura 4 R Superfce della dstrbuzone d carca S Sa Q una carca elettrca (per seplctà postva) dstrbuta unforeente su un gusco sferco d raggo R. Introdotta la grandezza scalare denstà d carca elettrca superfcale σ data dalla relazone σ = Q / S (6.I) defnta coe la quanttà d carca Q dstrbuta sulla superfce eleentare S ( [σ] = [C 2 ]), s ha, a causa della costanza d σ su S (la dstrbuzone d carca è unfore!): σ = Q / S = Q / S = Q / 4 π R 2 Per deternare l capo elettrco d un gusco sferco unforeente carco s procederà suddvdendo l problea n due sottoproble dstnt: b) deternazone del capo elettrco E n punt estern al gusco sferco; 2b) deternazone del capo elettrco E n punt ntern gusco sferco. b)deternazone del capo elettrco E n punt estern al gusco sferco. S concerà con l deternare drezone e verso d E n un punto P esterno al gusco sferco nell potes che Q sa postva. In pro luogo, la costanza d σ su S coporterà che ad ogn eleento d superfce S sarà assocata una carca elettrca costante Q = σ S = Q pertanto l gusco sferco con carca elettrca Q potrà essere consderato coe un nsee d carche puntfor ugual (con carca Q) dsposte su una sfera d raggo R. 7

8 E A E A + E A = E A,A E B + E B = E B,B E A E A,A P E B,B Q A A r A A 2 R R B B A O A r A A 2 A Q A r Superfce d Gauss d raggo r Fgura 5 S consder un generco punto A della sfera; coe s vede dalla Fg. 5, ad esso sarà assocata una carca puntfore Q A che produrrà n P un capo elettrco E A. S costrusca l segento OP e lo s prolungh fno al punto B : esso s coporterà da asse d setra per la dstrbuzone sferca d centro O e raggo R. In tal odo, per ogn punto A della superfce sferca S, sarà sepre possble trovare un punto A, setrco d A, coè tale che l trangolo AA P rsult soscele qualunque sa A S. La carca Q A = Q A, assocata ad A, produrrà un capo elettrco E A, con E A = E A. I due vettor E A ed E A, essendo dspost lungo prolungaent de lat oblqu AP ed A P del trangolo soscele AA P, foreranno, a loro volta, un trangolo soscele la cu rsultante E A,A avrà per drezone la retta che contene l segento OP. Potendo rpetere tale costruzone per qualunque scelta del punto A sulla sfera S, ogn coppa d punt del tpo (A, A ) produrrà un capo elettrco E A,A dretto coe l asse del segento AA passante per P. Applcando l prncpo d sovrapposzone de cap elettrc (Eq. 9.AI) a tal coppe d punt d S, s conclude che l capo elettrco rsultante E(P) nel punto P avrà drezone radale e verso uscente se Q > 0, verso entrante se Q < 0. S osserv che da tale costruzone rsultano esclus punt B e B che sono setrc d se stess (punt unt nella setra assale d asse OP!) tuttava ess producono n P cap elettrc E B ed E B che hanno ancora per drezone la retta che contene l segento OP. Questa costruzone può essere rpetuta per qualsas punto A, A 2,, 8

9 appartenente alla sfera d raggo r = OP e conduce, n defntva, al seguente rsultato: l capo elettrco E prodotto da un gusco sferco unforeente carco n un punto P ad esso esterno è a setra radale, coè è dretto lungo la seretta che ha orgne nel centro della sfera e contene l punto P nel quale s vuole deternare l capo elettrco. Esso ha, noltre, verso entrante o uscente a seconda che Q < 0 o Q > 0. La superfce pù adatta all applcazone del teorea d Gauss è, ovvaente, la sfera concentrca alla dstrbuzone sferca d carca d raggo r = OP (Fg. 5). Coe nel caso del capo elettrco prodotto da una carca puntfore, rsulterà E(P) n P E(P) n P = E n = E(P) dove E(P) ed n P rappresentano, rspettvaente, l capo elettrco nel punto P d S ed l versore norale alla superfce S n P. La (4.I) dventa allora Φ S ( E ) = E(P) S = 4 π r 2 E(P) Dalla (4.I) s ha po 4 π r 2 E(P) = 4 π k o Q ed nfne, nell potes pù generale d una carca sorgente Q arbtrara, s ha: E(P) = k o Q / r 2 (7.I) La (7.I), foralente dentca alla (5.I), espre la notevole crcostanza che l capo elettrco E prodotto da un gusco sferco unforeente carco con carca totale Q e raggo R, ne punt all esterno della stessa dstrbuzone, è uguale a quello prodotto, negl stess punt, da una carca puntfore Q posta nel centro della stessa dstrbuzone sferca. 9

10 In sbol Capo elettrco all esterno d un gusco sferco d raggo R E(r ) = k o Q / r 2 (r R) (7.I) 2b) Deternazone del capo elettrco E n punt ntern al gusco sferco. Sulla base d consderazon del tutto analoghe a quelle svolte per ottenere la costruzone della (7.I), è possble deternare la drezone ed l verso del capo elettrco E ne punt ntern al gusco sferco d raggo R (Fg. 6). Superfce carca A r rr E A rr B r r A P B E A,A O r A R PP n P Superfce d Gauss A E A Fgura 6 Anche n questo caso s constata a vsta che l capo elettrco E è radale, pertanto è naturale sceglere coe superfce d Gauss la sfera S concentrca alla dstrbuzone passante per l punto P nel quale s vuole deternare l capo elettrco. Pertanto, operando coe al punto ), la (4.I) dventa allora Φ S ( E ) = E S = 4 π r 2 E(P) 0

11 Dalla (4.I) s ha po 4 π r 2 E(P) = 4 π k o Q nt a Q nt = 0 perché la sfera d superfce S non contene al suo nterno alcuna carca elettrca, qund s ha E(P) = 0. In defntva l capo elettrco E prodotto da una dstrbuzone carca unfore a setra sferca con carca totale Q e raggo R, ne punt all nterno della stessa dstrbuzone, è nullo. In sbol Capo elettrco all nterno d un gusco sferco d raggo R E (r ) = 0 (0 r < R) (7.I) Rassuendo: Capo elettrco d un gusco sferco d raggo R E (r ) = k o Q / r 2 (r R) 0 (0 r < R ) [L andaento d E è rassunto nel grafco seguente (Fg. 7)].

12 Fgura 7 : andaento del odulo del capo elettrco E d un gusco sferco carco Q Interno del gusco sferco ( 0 r < R ) Esterno del gusco sferco ( r R ) E k o Q /R 2 0 r = R r c) Capo elettrco d una sfera pena unforeente carca. Sa Q una carca elettrca (ad esepo postva) dstrbuta unforeente n una sfera pena d raggo R e volue τ = (4/3) π R 3. Introdotta la grandezza scalare denstà voluca d carca elettrca ρ defnta dalla relazone ρ = Q / τ (8.I) la quale rappresenta la quanttà d carca Q dstrbuta nel volue eleentare τ ( [ρ] = [C 3 ]), s ha, a causa della costanza d ρ n τ (la dstrbuzone d carca è unfore!): ρ = Q/ τ = Q/τ = Q/[(4/3) π R 3 ] (8.I) 2

13 Per la deternazone del capo elettrco E della sfera pena carca, s procederà allo stesso odo d quanto fatto nel caso del gusco sferco unforeente carco (caso b ) ). S procederà, pertanto, suddvdendo l problea n due sottoproble dstnt: c) deternazone del capo elettrco E n punt estern alla sfera pena; 2c) deternazone del capo elettrco E n punt ntern alla sfera pena. c) Deternazone del capo elettrco E n punt estern alla sfera carca pena. S osserv, prelnarente, che una sfera carca con denstà d carca ρ unfore può essere consderata coe unone d un nuero grandsso d gusc sferc concentrc unforeente carch. Gusc sferc carch concentrc Sfera carca = Fgura 8 Sano S, S 2, S 3,, S n gusc sferc carch rspettvaente d raggo R, R 2, R 3,, R n e carca Q, Q 2,Q 3,, Q n n cu è stata suddvsa la sfera unforeente carca S (Fg. 8). Volendo deternare l capo elettrco E(P) n un punto P esterno, o d frontera, ad essa, coè caratterzzato da una dstanza r = OP dal centro O della sfera aggore o uguale al raggo R del gusco sferco pù esterno, s può applcare l prncpo d sovrapposzone de cap elettrc (Eq. 9.AI) eseguendo la soa vettorale de cap elettrc E (P), E 2 (P), E 3 (P),, E n (P), prodott n P rspettvaente da S, S 2, S 3,, S n : E(P) = E (P) + E 2 (P) + E 3 (P) + + E n (P) = Σ E (P) (9.I) 3

14 L espressone (8.I) è una soa vettorale d vettor che, n ogn punto P dello spazo all esterno d S, rsultano parallel e concord. Dalla (6 ) s ha allora E(P) = Σ E (P) = Σ k o Q / r 2 = k o ( Σ Q ) / r 2 = k o Q / r 2 (9.I) dove s è posto r = r = OP, n quanto r rappresenta la dstanza d P dal centro dell - eso gusco sferco carco e tutt gusc sono concentrc, ed, noltre, Σ Q = Q è la carca elettrca totale della sfera pena. In base alla (9.I) s può afferare allora che l capo elettrco E(P) prodotto da una dstrbuzone d carca sferca ed unfore con carca totale Q e raggo R, n un punto P esterno alla stessa dstrbuzone, è uguale a quello prodotto, nello stesso punto, da una carca puntfore Q posta nel centro della stessa dstrbuzone sferca. In sbol, nell potes pù generale d una carca sorgente Q arbtrara: Capo elettrco all esterno d una sfera carca pena E = k o Q / r 2 (r R) (0.I) 2c) Deternazone del capo elettrco E n punt ntern alla sfera carca pena. Q Q(r ) S R r O Q P S = r + O R P S R r O Q(r ) P Sfera carca d raggo R e carca elettrca totale Q = Gusco sferco d raggo nterno r e carca elettrca Q Q(r ) + Sfera carca d raggo r e carca elettrca Q(r ) 4

15 S consder un punto P nterno alla sfera S carca unforeente con carca Q, e sa r = OP < R la sua dstanza dal centro O della stessa sfera. S consder, ora, la sfera S con centro n O e raggo r alla quale, ovvaente, appartene P. L esae della Fg. 9 suggersce d consderare questa dstrbuzone d carca coe forata da. una sfera d raggo r e carca Q(r ) ( 5 ) data da Q(r ) = ρ τ(r ) = (4 / 3) π ρ r 3 con τ (r ) volue della sfera d raggo r ; 2. un gusco sferco d raggo nterno r, raggo esterno R e carca Q Q(r ). Indcat con E gusco (P) ed E sfera (P) cap elettrc prodott n P, dal gusco sferco carco e dalla sfera carca d raggo r, rspettvaente, utlzzando l prncpo d sovrapposzone de cap elettrc e le (7.I) e (7.I), s ha : E(P) = E gusco (P) + E sfera (P) = 0 + E sfera (P) = E sfera (P) Pertanto E(P) = E sfera (P) = k o Q(r ) / r 2 = k o (4 / 3) π ρ r 3 / r 2 = = (4 / 3) k o π ρ r (r R) In defntva, nell potes pù generale d ρ unfore a d segno arbtraro, s ha : Capo elettrco all nterno d una sfera carca pena E(r ) = (4 / 3) k o π ρ r (0 r < R) (.I) Coe s vede, l capo elettrco all nterno della sfera cresce lnearente con la dstanza dal centro della sfera, annullandos nel centro ( E = 0 quando r = 0 ) e raccordandos n superfce con l valore del capo elettrco all esterno, coè: 5 La scrttura Q(r ) sta ad ndcare che la carca elettrca contenuta nella sfera d raggo r è funzone d r. 5

16 E nterno (r = R) = (4 / 3) k o π ρ R = = (4 / 3) k o π [ Q /(4 / 3) π R 3 ] R = = k o Q / R 2 = E esterno (r = R) Capo elettrco d una sfera pena unforeente carca E = k o Q / r 2 (r R) (4 / 3) k o π ρ r (0 r < R) [L andaento d E è rassunto nel grafco seguente (Fg. 0).] Fgura 0 : andaento del odulo del capo elettrco E d una sfera pena unforeente carca. O Q Interno del gusco sferco ( 0 r < R ) Esterno del gusco sferco ( r R ) E R E k o Q /R 2 0 r = R r (I - contnua) 6