Appunti di Analisi Matematica IV M.K.Venkatesha Murthy e Maria Stella Gelli Il Teorema di Gauss-Green

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1 Appunti di Anlisi Mtemtic IV M.K.Venktesh Murthy e Mri Stell Gelli Il Teorem di Guss-Green L nozione di integrle di un form differenzile è di importnz fondmentle in Anlisi ed in Fisic per le sue ppliczioni. Inoltre, questo soggetto si rivel molto utile nche per lo studio di propriet topologiche - come d esempio, l propriet di un perto di essere semplicemente connesso - in Geometri Differenzile. In Fisic il lvoro compiuto d un cmpo di forz si esprime come l integrle curvilineo di un form differenzile ssocit d esso in un mnier nturle. I cmpi conservtivi corrispondono lle forme differenzili estte mentre i cmpi irrotzionli corrispondono lle forme differenzili chiuse. Il teorem di Guss-Green nel pino stbilisce un relzione fr l integrle curvilineo su un curv chius con un integrle sul dominio rcchiuso d un tle curv. Un conseguenz è il teorem dell divergenz, che esprime il flusso di un cmpo vettorile ttrverso il bordo di un dominio limitto in termine dell divergenz del cmpo. L nozione dell divergenz di un cmpo h un significto importnte in fluido-dinmic. L divergenz del cmpo di velocità del fluido è collegt con l legge di conservzione dell mss di fluido. Per un fluido omogeneo ed incomprimibile l divergenz del cmpo di velocità è null. In problemi di fluidi di questo tipo l quntità di fluido che ttrvers un superficie vente un curv regolre come bordo dipende soltnto dll curv e non dll superficie stess. Quindi è nturle cercre di esprimere il flusso ttrverso un superficie in termini dell curv che rppresent il bordo dell superficie. Il teorem di Stokes rppresent il risultto più importnte in quest direzione. Il teorem di Guss - Green può essere considerto come un estensione del teorem di integrzione per prti per funzioni di un vribile. Comincimo prim col dre lcune definizioni preliminri. Orientzione dell frontier in R 2 Supponimo che l frontier di un dominio limitto in R 2 si prmetrizzt d un curv regolre trtti γ : [p, q] t γ(t) (x(t), y(t)) R 2. Si dice che l frontier è orientt positivmente rispetto l dominio se percorrendo l curv in senso crescente del prmetro il dominio rest sinistr. Indichimo l frontier orientt positivmente con +. In cso contrrio si dice che l frontier è orientt negtivmente e si indic con. Possimo or enuncire il teorem di Guss-Green in due vribili. Ricordimo che si dice dominio un insieme che è l chiusur di un perto. 1

2 Teorem 1. (Teorem di Guss - Green) Si un dominio limitto e connesso in R 2 con frontier dt d un curv semplice, chius, regolre trtti. Si ω g(x, y) dx + h(x, y) dy un form differenzile di clsse C 1 sul dominio (nel senso che esiste un intorno perto A di e i coefficienti f e g dell form ω sono funzioni definite e di clsse C 1 (A)). Allor si h l seguente identità { } h g (x, y) (x, y) dx dy x + ω. Dimostrzione. Dimostrimo il Teorem nel cso prticolre di un dominio normle rispetto d uno degli ssi delle coordinte. Cso I. Supponimo che si un dominio normle in R 2 rispetto ll sse dell vribile x: cioè l insieme è dell form {(x, y) R 2 ; x b, α(x) y β(x)} dove I [, b] è un intervllo sull sse delle x e α, β : I R sono due funzioni di clsse C 1 (I). (Come si richiede che l frontier del dominio si regolre trtti è necessrio supporre che le funzioni α e β che definiscono il dominio normle sino di clsse C 1 (I).) Allor l frontier di orientt positivmente è un curv chius regolre trtti e compost d quttro rchi (ciscun è un curv regolre): γ 1 + γ 2 γ 3 γ 4 dove γ 1 {(x, y) [, b] R; y(x) α(x), x [, b]} ([, b] R 2, x (x, α(x))) γ 2 {(x, y); x(t) b, y(t) α(b) + t(β(b) α(b)), t [0, 1]} ([0, 1] R 2, t (b, y(t))) γ 3 {(x, y) [, b] R; y(x) β(x), x [, b]} ([, b] R 2, x (x, β(x))) γ 4 {(x, y); x(t), y(t) α() + t(β() α()), t [0, 1]} ([0, 1] R 2, t (, y(t))) ossi γ 1 è il grfico dell funzione α, γ 2 è il segmento fr α(b) e β(b) prllelo ll sse delle y, γ 3 è il grfico dell funzione β e γ 4 è il segmento fr α() e β() prllelo ll sse delle y. 2

3 Comincimo dimostrre prim di tutto che { } g (x, y) dx dy + g(x, y) dx. (1) Clcolimo l integrle l secondo membro. Prim di tutto osservimo che su γ 2, x(t) b è costnte e quindi dx(t) 0 d cui dt g(x, y) dx γ 2 β(b) α(b) g(b, y) dx(t) dt dt 0 nlogmente l integrle γ 4 g(x, y) dx 0. Quindi g(x, y) dx + γ 1 g(x, y) dx γ 3 g(x, y) dx (gli integrli curvilinee dell form differenzile g(x, y) dx + 0 dy) b g(x, α(x)) dx b g(x, β(x)) dx (integrli di Riemnn delle funzioni continue g(x, α(x)), g(x, β(x)) su I [, b]. D ltr prte, per il teorem sull riduzione degli integrli doppi si h { g b } β(x) g (x, y) dx dy (x, y) dy dx α(x) b {g(x, β(x)) g(x, α(x))} dx che dimostr l tesi (1). L dimostrzione dell identità { } h (x, y) dx dy x + h(x, y) dy. (2) è più delict per il ftto che non possimo utilizzre l tecnic dell prim prte dell dimostrzione. Per ogni punto (x, y) indichimo 3

4 con γ x,y il segmento verticle [α(x), y] prllelo ll sse delle y, Definimo γ x,y (y ) (x, y ) per α(x) y y. H(x, y) h(x, y ) dy γ x,y y α(x) h(x, y ) dy. Allor, per il teorem fondmentle del clcolo integrle ed il teorem dell derivzione sotto il segno di integrle, si h H y (x, y) x α(x) H (x, y) h(x, y) h x (x, y ) dy h(x, α(x))α (x) derivt przile rispetto d x considert come un prmetro H(x, β(x)) β(x) α(x) h(x, y ) dy. Possimo perciò scrivere d H H [H(x, β(x)] (x, β(x)) + dx x (x, β(x))β (x) (il primo termine l secondo membro é l derivt przile rispetto ll prim vribile clcolto in (x, β(x))mentre il secondo termine é l derivt przile rispetto ll second vribile clcololto in (x, β(x)) d β(x) dx α(x) h(x, y ) dy β(x) α(x) h x (x, y ) dy h(x, α(x))α (x) + h(x, β(x))β (x). 4

5 Quindi trovimo + h(x, y) dy h(x, y) dy γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 b h(x, α(x))α (x) dx b h(x, β(x))β (x) dx β(b) β() + h(b, y ) dy h(, y ) dy α(b) α() b d [H(x, β(x)] dx + dx b β(x) α(x) h x (x, y ) dy dx β(b) + α(b) H β() (b, y ) dy α() H (, y ) dy dove nell ultim uguglinz si è usto il ftto che h(, y) H (, y) e h(b, y) H (b, y). Integrndo H si ottiene + h(x, y) dy H(b, β(b)) + H(, α()) { b } β(x) + h(x, y) dy dx + H(b, β(b)) α(x) x H(, β()) h (x, y) dx dy x (Abbimo utilizzto che, per definizione dell funzione H, si h H(, α()) α() α() h(, y ) dy 0 e H(b, α(b)) α(b) α(b) h(, y ) dy 0 5

6 ) che complet l dimostrzione di. Cso II. Supponimo che si un dominio normle rispetto ll sse dell vribile y: {(x, y) R 2 ; c y d, ϕ(y) x ψ(y)} dove J [c, d] è un intervllo sull sse delle y e ϕ, ψ : J R sono due funzioni di clsse C 1 (J). In questo cso l dimostrzione di { } h (x, y) dx dy x + h(x, y) dy d yc ( ψ(y) xϕ(y) h ) d x dx dy [h(ψ(y), y) h(ϕ(y), y)] dy yc + h(x, y) dy segue dll formul di riduzione per gli integrli doppi mentre l dimostrzione di { } g (x, y) dx dy + g(x, y) dx è completmente nlog quell dell ultim prte dell dimostrzione precedente. Supponimo che l insieme si unione di due domini normli 1 e 2 tli che int( 1 ) int( 2 ). Se 1 2 llor essi sono domini dicenti e 1 2 è un curv γ. Inoltre, + (+ 1 \ γ) (+ 2 \ γ). Per definizione, { h x g } dx dy 2 j { h x g } dx dy 2 + j ω 2 ( ( j \γ j ) ω + +γ j ω ) ω γ j ω 6

7 dove bbimo pplicto il teorem di Guss-Green d entrmbi gli integrli doppi ed bbimo indicto con ±γ j l curv γ considert come un sottoinsieme dell frontier j con l orientzione indott d j. Osservimo che nell orientzione positiv delle frontiere dei due insiemi l prte comune γ h orientzioni opposte rispetto i due domini, cioè +γ 1 γ 2. Quindi, si h ω +γ 1 +γ 2 ω. perciò l somm degli integrli su ±γ j è zero. Allor, l somm degli integrli sulle frontiere dei due domini è ugule ll integrle sull frontier di, che dimostr il teorem di Guss-Green nche in questo cso. Anlogmente, il teorem di Guss-Green si estende l cso di insiemi regolri in R 2, ossi dell form 1 k con j per j 1,, k domini normli in R 2 rispetto d uno dei due ssi coordinti e tli che int( j ) int( j ). In molte ppliczioni possimo decomporre ogni perto limitto e connesso con frontier un curv semplice, chius e regolre trtti come un insieme regolre (cioè come un unione finit di domini normli rispetto gli ssi delle coordinte e con le prti interne disgiunte due per due) e quindi il teorem di Guss-Green è così dimostrto nche per domini regolri. Conseguenze del teorem di Guss-Green Ricordimo che un perto connesso A in R 2 è semplicemente connesso se ogni curv semplice e chius γ con sostegno in A è l frontier di un insieme connesso e limitto intermente contenuto in A. Proposizione 1. In un perto semplicemente connesso A in R 2 ogni form differenzile ω g(x, y) dx + h(x, y) dy di grdo 1, di clsse C 1 e chius è estt. Dimostrzione. sufficiente dimostrre che ω 0 per ogni γ curv chius in A. Per definizione γ è l frontier di un insieme limitto e connesso A. Per ipotesi l form differenzile ω g(x, y) dx + h(x, y) dy è chius e quindi h x g nel teorem di Guss-Green è null, d cui 0 ossi l funzione integrnd + γ ω 0 7

8 . Se l frontier di un perto limitto connesso è un curv regolre trtti γ : [, b] R 2 llor d eccezione di un numero finito di punti del sostegno dell curv il versore tngente è definito d τ(t) (τ x (t), τ y (t)) γ (t) γ (t) (x (t), y (t)) (x (t) 2 + y (t) 2 ed il versore normle orientto verso l esterno del dominio è il versore ortogonle τ(t) dto d ν(t) (ν x (t), ν y (t)) (y (t), x (t)) (x (t) 2 + y (t) 2. Per un form differenzile ω g(x, y) dx + h(x, y) dy di clsse C 1 su possimo scrivere ω γ b b γ b [g(x(t), y(t))x (t) + h(x(t), y(t))y (t)] dt [g(x(t), y(t))x (t) + h(x(t), y(t))y (t)] γ (t) dt γ (t) [g(x(t), y(t))( ν y )(t) + h(x(t), y(t))(ν x )(t)] γ (t) dt ( g(x, y)ν y + h(x, y)ν x ) dσ. Considerimo un cmpo vettorile F : A R 2 di clsse C 1 (A), dove A un intorno perto dell chiusur di : F (x, y) (F 1 (x, y), F 2 (x, y)) dove F j per j 1, 2 sono funzioni di clsse C 1 (A). Associmo d F l form differenzile ω F 2 (x, y) dx + F 1 (x, y) dy (cioè, g F 2 e h F 1. Allor il Teorem di Guss-Green pplicto quest form differenzile si ottiene ( h ) x + g dx dy (g(x, y) dx+h(x, y) dy) ( g(x, y)ν y +h(x, y)ν x ) dσ + + che implic ( F1 x + F ) 2 dx dy (F 1 (x, y)ν x + F 2 (x, y)ν y ) dσ + 8

9 d cui si ottiene Teorem 2. (Teorem dell divergenz in dimensione due) Si un perto limitto e connesso in R 2 con frontier un curv semplice, chius e regolre trtti. Se F : A R 2 è un cmpo vettorile di clsse C 1 su un intorno perto A del dominio chiuso llor si h divf dx dy (F ν) dσ. + Il secondo membro si chim l circuitzione del cmpo vettorile F su. Proposizione 2. (Integrzione per prti) Sino ϕ e ψ due funzioni di clsse C 1 in un dominio regolre R 2. Allor ϕ ψ dx dy x + ϕψ dy ϕ ψ dx dy, x ϕ ψ dx dy + ϕψ dx ϕ ψ dx dy. Dimostrzione. Segue immeditmente pplicndo l formul di Guss-Green rispettivmente lle forme ϕψ dy e ϕψ dx. ssendo l misur di Lebesgue di un insieme misurbile l integrle doppio su dell funzione costnte 1, pplicndo il Teorem di Guss- Green con ω x dy e, rispettivmente, con ω y dx, si ottiene l seguente Proposizione 3. (Are di un dominio regolre) Si un dominio regolre in R 2 llor mis() + x dy + y dx (x dy y dx). Teorem di Stokes 9

10 Un estensione del Teorem di Guss-Green superfici con bordo in R 3 è noto come Teorem di Stokes. Ricordimo che per dominio in R n si intende un insieme che è l chiusur di un perto. Un superficie regolre in R 3 è definit come un coppi (K, ϕ) con K un dominio limitto e connesso in R 2 e ϕ : K R 3 un ppliczione di clsse C 1 tle che (i) ϕ è iniettiv su int(k); (ii) ϕ è un ppliczione di clsse C 1 (K) ossi ϕ(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) dove le funzioni x, y, z sono restrizioni K di funzioni definite e di clsse C 1 in un intorno perto di K in R 2 ; (iii) indicndo con ϕ u ( x u, u, z ) u e ϕ v ( x v, v, z ) v si h (ϕ u ϕ v )(u, v) 0 R 3 per ogni (u, v) int(k). Introducimo or l nozione geometric di un superficie regolre con bordo R 3, che è un estensione di quest definizione. Definizione 1. (Superficie regolre con bordo) Un superficie regolre con bordo è un coppi (K, ϕ) formt d un dominio limitto e connesso K in R 2 con frontier un curv regolre ed un ppliczione ϕ : K R 3 che soddisfno le seguenti condizioni: (i) ϕ è iniettiv su K; (ii) ϕ è un ppliczione di clsse C 1 (K), ϕ(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) dove le funzioni x, y, z sono restrizioni K di funzioni definite e di clsse C 1 in un intorno perto di K in R 2 ; (iii) indicndo con ϕ u ( x u, u, z ) ( x e ϕ v u v, v, z ) v si h (ϕ u ϕ v )(u, v) 0 R 3 per ogni (u, v) K. 10

11 In nlogi con l nozione di equivlenz tr superfici regolri si h nche l nozione di equivlenz di superfici con bordo: Definizione 2. Due superfici con bordo (K, ϕ) ed (L, ψ) si dicono equivlenti se esiste un diffeomorfismo. ρ : L K di clsse C 1 tle che ψ ϕ ρ ρ pplic L su K Se (L, ψ) è un rppresentzione prmetric equivlente (K, ϕ) llor ϕ(k) ψ(l). Il sostegno Σ ϕ(k) dell superficie è chimto nche l superficie geometric in R 3. Osservimo che se l frontier del dominio K è un curv regolre γ : [, b] R 2 llor Γ ϕ γ : [, b] R 3 è ncor un curv regolre in R 3. Definizione 3. (Frontier di un superficie regolre con bordo) Se (K, ϕ)è un superficie regolre con bordo in R 3 llor si dice che l curv regolre ([, b], Γ) in R 3 è l frontier dell superficie. Il sostegno di quest curv Γ([, b]) si chim il bordo geometrico dell superficie geometric Σ ed è indicto con Σ. È chiro che il bordo Σ è indipendente dll rppresentzione prmetric dell superficie. Ad ogni punto (x, y, z) Σ ϕ(k) si ssoci il versore normle ν(x, y, z) definito d ν(x, y, z) ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v. Definizione 4. Si dice che un superficie (K, ϕ) oppure Σ è orientbile se è possibile trovre un ppliczione (x, y, z) Σ ν(x, y, z) R 3 come un cmpo vettorile continuo. Un superficie con un scelt di orientzione si dice superficie orientt. Un superficie regolre trtti è un unione finit Σ Σ 1 Σ k di superfici regolri tli che int(σ j ) int(σ j ). Supponimo che l frontier K γ del dominio K si orientt positivmente rispetto l dominio llor si dice che Γ ϕ γ definisce un orientzione positiv del bordo Σ dell superficie Σ e l frontier con l orientzione positiv è indict con + Σ. 11

12 Teorem 3. (Teorem di Stokes) Si Σ ϕ(k) un superficie regolre con bordo orientto e di clsse C 2 in R 3. Se F (F 1, F 2, F 3 ) è un cmpo vettorile di clsse C 1 definito in un intorno perto di Σ in R 3 llor Σ (rotf ν) dσ + Σ (F τ) dσ. Dimostrzione. Per definizione si h Σ (rotf ν) dσ K ( rotf (ϕ(u, v)) ϕ ) u ϕ v ϕ u ϕ v du dv ϕ u ϕ v K (rotf (ϕ(u, v)) ϕ u ϕ v ) du dv. Clcolimo esplicitmente l funzione integrnd dell ultimo membro. rotf ( F3 F 2 z, F 1 z F 3 x, F 2 x F ) 1 (F 3y F 2z, F 1z F 3x, F 2x F 1y ) ϕ u ϕ v (y u z v y v z u, z u x v z v x u, x u y v x v y u ). Considerimo l form differenzile ω g(u, v) du + h(u, v) dv dove le funzioni coefficienti sono definite d g(u, v) F 1 x u + F 2 y u + F 3 z u (F ϕ u ) h(u, v) F 1 x v + F 2 y v + F 3 z v (F ϕ v ). Ricordimo che F j sono funzioni composte F j (ϕ(u, v)) F j (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Per il teorem di Guss-Green pplicto ll form differenzile ω sul dominio K si h K {h u (u, v) g v (u, v)} du dv 12 + K ω.

13 Con un clcolo semplice m lungo si vede che h u (u, v) h u (u, v) (F 1ux v +F 2u y v +F 3u z v )x v +(F 1 x uv +F 2 y uv +F 3 z uv ) e (F 1x x u + F 1y y u + F 1z z u )x v (F 1 x uv + F 2 y uv + F 3 z uv ) g v (u, v) g v (u, v) (F 1vx u + F 2v y u + F 3v z u ) + (F 1 x uv + F 2 y uv + F 3 z uv ) (F 1x x v + F 1y y v + F 1z z v )x u (F 1 x uv + F 2 y uv + F 3 z uv ) Quindi si verific fcilmente che si h h u (u, v) g v (u, v) (rotf (ϕ(u, v)) ϕ u ϕ v ) D ltr prte, K ω [g(u, v) du + h(u, v) dv] K b {g(u, v)u (t) + h(u, v)v (t)} dt b {F 1 (x, y, z)(x u u t + x v v t ) +F 2 (x, y, z)(y u u t + y v v t ) + F 3 (x, y, z)(z u u t + z v v t )} dt b {F 1 x (t) + F 2 y (t) + F 3 z (t)} dt {F 1 (x, y, z) dx + F 2 (x, y, z) dy + F 3 (x, y, z) dz} Σ che dimostr l tesi. Appliczioni del teorem di Guss-Green L nozione di un perto semplicemente connesso in R n dipende dll importnte concetto di omotopi fr le curve. Si A un perto connesso in R n. Supponimo che γ j : [, b] R n per j 1, 2 sino due curve semplici e chiuse con sostegno contenuto in A. 13

14 Definizione 5. Si dice che le due curve γ 1 e γ 2 sono omotope in A se esiste un ppliczione continu h : [, b] [0, 1] R n tle che h(t, 0) γ 1 (t), h(t, 1) γ 2 (t) per ogni t [, b] e h(, s) h(b, s) per ogni s [0, 1]. Anlog definizione di curve omotope è vlid per curve di clsse C k, k 1 richiedendo l ppliczione h non solo continu m di clsse C k. Possimo considerre ogni punto di A come sostegno di un curv costnte chius. Definizione 6. Un perto connesso in R n si dice semplicemente connesso se ogni curv semplice e chius è omotop d un punto. Osservzione Ogni perto convesso A in R n è semplicemente connesso perché se γ 1 e γ 2 sono due curve chiuse in A possimo definire h(t, s) (1 s)γ 1 (t) + sγ 2 (t). 2. Nell clsse delle curve chiuse in A l omotopi è un relzione di equivlenz. L insieme delle clssi di equivlenz può essere munito con un struttur di gruppo (in generle, non belino), che si chim il gruppo fondmentle di A ed è indicto con π 1 (A). Un perto A si dice semplicemente connesso qundo π 1 (A) id. Teorem 4. (sttezz delle forme differenzili chiuse in un insieme perto semplicemente connesso in R n per n 2). Si A un perto semplicemente connesso in R n. Si ω un form differenzile di clsse C 1 su A. Allor ω è estt in A se e solo se ω è chius in A. Dimostrzione. Si ω n ω j(x) dx un form di clsse C 1 in A, ossi ω j C 1 (A). Si γ : [, b] R n un curv semplice, chius, di clsse C 1 e regolre in A. Si x 0 γ() γ(b) A. Per ipotesi esiste un ppliczione di omotopi di clsse C 1 h : [, b] [0, 1] R n tle che h(t, 0) γ(t) e h(t, 1) x 0 per ogni t [, b] e h(, s) h(b, s) x 0. Posto R [, b] [0, 1], h(t, s) (h 1 (t, s),..., h n (t, s)) A dove h j C 1 (R). L form differenzile ω induce un form differenzile di grdo 1 sul rettngolo R, chimto il pull-bck o contro immgine di ω trmite l ppliczione h, definit come segue: η h ω [ hj ω j (h(t, s)) dt + h ] j s ds 14

15 (si ricordi che dh j h j dt + h j ds); risult s η [ ] [ ] ω j (h(t, s)) h j(t, s) dt + ω j (h(t, s)) h j(t, s) ds s η 1 (t, s) dt + η 2 (t, s) ds. I coefficienti η 1 j ω j(h(t, s)) h j(t, s) e η 2 j ω j(h(t, s)) h j(t, s) s sono di clsse C 1 (R) e quindi l form differenzile η è di clsse C 1. Inoltre, η è chius in R. Inftti, η 1 (t, s) s η 2 (t, s) i, i, ω j h i (t, s) ω j h i (t, s) h i (t, s) h j (t, s) + s h i (t, s) h j (t, s) + s ω j (t, s) 2 h j (t, s) s ω j (t, s) 2 h j (t, s). s I secondi ddendi nei membri destri di entrmbe le relzioni sono evidentemente uguli. D ltr prte, scmbindo gli indici di sommtori nel primo ddendo dell espressione per η 2 si ottiene η 2 (t, s) i, ω i h j (t, s) h j (t, s) h i (t, s) + s ω j (t, s) 2 h j (t, s) s Siccome h j (t, s) C 2 (R) per il teorem di Schwrz i termini nel secondo ddendi delle due relzioni sono uguli. D ltr prte per l ipotesi che ω è chius si h che ω j h i ω i h j d cui segue i, ω j h i (t, s) h i s h j (t, s) i, ω i h i (t, s) h j s h j (t, s) 15

16 che dimostr che nche i primi ddendi in entrmbe le relzioni sono uguli e quindi η 1 s η 2 cioè, l form differenzile η è chius nel rettngolo R. Per il teorem dell esttezz di forme differenzili chiuse in un rettngolo segue che η h ω è estt in R. L frontier orientt + R del rettngolo R è dt d + R σ 1 +σ 2 σ 3 σ 4 dove e quindi σ 1 {(t, 0); t [, b]}, σ 2 {(b, s); s [0, 1]} σ 3 {(t, 1); t [, b]}, σ 4 {(, s); s [0, 1]} η σ 1 η σ 2 b 1 0 ω j (h(t, 0)) h j(t, 0) ω j (h(b, s)) h j(b, s) s dt ds b 1 0 ω j (γ(t)) h j(t, 0) ω j (x 0 ) x 0j s ds 0 dt γ ω σ 3 b η ω j (h(t, 1)) h j(t, 1) dt b ω j (x 0 ) x 0j dt 0 σ 4 1 η 0 ω j (h(, s)) h j(, s) s ds 1 0 ω j (x 0 ) x 0j s ds 0 e segue che + R η η σ 1 γ ω D questo possimo concludere che γ ω è estt in A. ω 0, che dimostr che l form Teorem 5. (Teorem dell divergenz in R 3 ) Si un dominio regolre in R 3 con l frontier il sostegno Σ di un un superficie 16

17 regolre trtti e si A un intorno perto del dominio chiuso. Se w : A R 3 è un cmpo vettorile di clsse C 1 llor si h l identità (div w)(x, y, z) dx dy dz Σ ( ) w(x, y, z) ν e (x, y, z) dσ dove ν e (x, y, z) indic il versore normle estern l punto (x, y, z) dell frontier Σ. Dimostrzione - Per semplicità dell esposizione dimostrimo il teorem nel cso prticolre di un dominio normle rispetto tutti i tre pini delle coordinte. Considerimo un dominio normle rispetto l pino R 2 x,y: cioè esiste un dominio regolre G R 2 x,y e esistono due funzioni reli α, β : G R di clsse C 1 tle che α(x, y) β(x, y) in G e {(x, y, z) R 3 ; (x, y) G e α(x, y) z β(x, y)} Allor dimostrimo che w 3 (x, y, z) z dx dy dz Σ w 3 (x, y, z)(ν e e 3 ); dove e 3 (0, 0, 1) Per l formul dell riduzione dell integrle triplo (più in generle dl teorem di Fubini) possimo scrivere w 3 (x, y, z) z dx dy dz G ( β(x,y) α(x,y) w 3 (x, y, z) z ) dz dx dy G ( w 3 (x, y, β(x, y)) w 3 (x, y, α(x, y)) dx dy Osservimo che l frontier è un superficie regolre trtti di clsse C 1 e più precismente è l unione di tre superfici regolri Σ α, il grfico dell funzione α {(x, y, α(x, y)); (x, y) G}, Σ β, il grfico dell funzione β {(x, y, β(x, y)); (x, y) G}, e l superficie lterle 17

18 Σ l {(x, y, z) R 3 ; (x, y) G; α(x, y) z β(x, y)}. Il versore normle esterno questi tre superfici regolri sono descritti rispettivmente d ν e Σα 1 (αx ) 2 + (α y ) (α x, α y, 1) ν e Σβ 1 (βx ) 2 + (β y ) ( β x, β y, +1) dove bbimo scritto per brevit α x α x, ecc. mentre ν e sul Σ l è ortogonle ll sse di z: (ν e e 3 ) 0. D queste considerzioni segue che ) w 3 (x, y, z) (e 3 ν e G ( 1) w 3 (x, y, α(x, y) (αx ) 2 + (α y ) (α x ) 2 + (α y ) dx dy + G (+1) w 3 (x, y, β(x, y)) (βx ) 2 + (β y ) ( zβ ) (β x ) 2 + (β y ) dx dy+ w 3 (x, y, z).0 dz dσ G zα G w 3 (x, y, α(x, y)) dx dy + G w 3 (x, y, β(x, y)) dx dy Perciò si h l tesi w 3 (x, y, z) z dx dy dz Σ w 3 (x, y, z)(ν e e 3 ); dove e 3 (0, 0, 1) Si dimostr in un mnier completmente nlog, utilizzndo l ipotesi che il dominio è normle rispetto i pini R 2 y,z e R 2 x,z, che vlgono nche le due identità 18

19 w 1 (x, y, z) x dx dy dz Σ w 1 (x, y, z)(ν e e 1 ); dove e 1 (1, 0, 0) w 2 (x, y, z) dx dy dz Σ w 2 (x, y, z)(ν e e 2 ); dove e 2 (0, 1, 0) Sommndo le tre identità segue l tesi del teorem. Dto un cmpo vettorile è fcile clcolre l divergenz e quindi il teorem dell divergenz può essere utilizzt per clcolre il flusso di un cmpo di forz ttrverso un superficie regolre (o regolre trtti) che delimit un insieme tre dimensionle. Come conseguenz del teorem dell divergenz possimo dedurre un importnte identità noto come l formul di Green, che h moltissimi ppliczioni in diversi problemi di ppliczioni come nell fisic mtemtic, nell meccnic dei fluidi, nell elsticità, nell teori di potenzili, nell geometri differenzile, nell teori delle funzioni olomorfe (ossi funzioni nlitiche complesse) di vribili complesse ecc. Si un perto limitto e connesso in R 3 con l frontier un superficie regolre trtti di clsse C 1 e si A un intorno perto del dominio chiuso. Si V : A R un funzione sclre (un potenzile) di clsse C 2 (A). V definisce un cmpo vettorile di clsse C 1 su A: w grd V V (il cmpo di forz dovuto ll potenzile V ). Il Lplcino dell funzione V è definito d div grd V div ( V x, V, V z ) 2 V x V V z 2 V 2 V. Se ν(x, y, z) ( ν x (x, y, z), ν y (x, y, z), ν z (x, y, z) ) è il versore normle estern ll frontier llor l derivt normle estern di V (l derivt direzionle) è l funzione V ν e : R 19

20 definit dll relzione V ν x (x, y, z) V ν e x + ν y(x, y, z) V + ν z(x, y, z) V z Applicndo il teorem dell divergenz l cmpo vettorile grd V si deduce div (grd V ) dx dy dz Σ (grd V ν e ) dσ cioè si h ( V )(x, y, z) dx dy dz Σ V ν e dσ, per V C 2 (A) Supponimo che f, g sono due funzioni sclri di clsse C 2 (A) llor div (fgrd g) g (f x x ) + g (f ) + g (f z z ) f 2 g x + f g 2 x x +f 2 g + f g 2 +f 2 g z + f g ( ) 2 z z f( g)+ grd f grd g. Applicndo il teorem dell divergenz div (fgrd g) dx dy dz Σ (f(grd g) ν e ) dσ cioè si h {f( g) + ( ) grd f grd g } dx dy dz Σ f{ g ν e } dσ che si può nche considerre come un formul di integrzione per prti del secondo ordine ( ) f( g) dx dy dz grd f grd g dx dy dz+ Σ 20 f g ν e dσ

21 Scmbindo le due funzioni f e g bbimo nche ( ) g( f) dx dy dz grd g grd f } dx dy dz+ Σ g f ν e dσ Sottrendo l prim identità dll second si ottiene il seguente Formul di Green: {( f)g f( g} dx dy dz Σ { f ν e g f g ν e } dσ 21