Laboratorio II, modulo

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1 Laboratorio II, modulo Banda di un segnale e filtri (cfr. e e Luise, Vitetta, D Amico Teoria dei segnali analogici)

2 Alcune definizioni () Segnale periodico: x(t) = x(t+t 0 ) per qualunque t Segnale determinato: quando il suo valore è univocamente determinabile una volta fissati i valori delle variabili indipendenti (tempo) (contrario: aleatorio) Potenza istantanea associata ad un segnale (reale) x(t): x 2 (t) p x (t) =x (t) x(t) = x(t) 2

3 Alcune definizioni () Segnale periodico: x(t) = x(t+t 0 ) per qualunque t Segnale determinato: quando il suo valore è univocamente determinabile una volta fissati i valori delle variabili indipendenti (tempo) (contrario: aleatorio) Potenza istantanea di segnale x(t): x 2 (t) Energia associata ad un segnale x(t): E x = Z + x(t) 2 dt (nota: l energia di un segnale fisico è finita per definizione)

4 Equazioni di analisi e sintesi (segnali periodici a tempo continuo) Analisi Sintesi

5 Equazioni di analisi e sintesi (segnali aperiodici a tempo continuo) Analisi Sintesi

6 Teorema (relazione) di Parseval Potenza di un segnale periodico: e, dall equazione di sintesi X X P x = Xk 2 = (segnali periodici a tempo continuo) p x (t) =x (t) x(t) = x(t) 2 k= k= P x = Z p x (t) dt = Z x(t) 2 dt T 0 T 0 T 0 T 0 A 2 k la potenza media di un segnale periodico è la somma delle potenze medie delle singole armoniche che lo compongono P x = X X x(t) T 0 ZT 2 dt = Xk 2 = 0 k= k= A 2 k

7 Teorema (relazione) di Parseval Partiamo dalla definizione di energia: E x = Z e quindi: Z x(t) 2 dt = x(t) 2 dt = (segnali aperiodici a tempo continuo) = = = Z Z Z Z Z X(f) 2 df x(t) x(t) dt = Z x(t) Z X (f) X (f)e i2 ft df dt = X (f) X(f) df = x(t)e i2 ft dt Z df = X(f) 2 df

8 banda e durata di un segnale L analogo del concetto di durata (per un segnale nel dominio del tempo) è il concetto di banda X(f) 6 Si definiscono: a) segnali a banda rigorosamente limitata segnali a banda illimitata segnali a banda praticamente illimitata Z B B X(f) 2 df = E x B 6 X ± (f) B con 0<α< (es. 0.9: banda al 90% dell energia ) - f

9 banda e durata di un segnale Moltiplicando un segnale limitato nel dominio della frequenza per un impulso rettangolare opportuno, lo possiamo riscrivere come: X(f) =X(f) rect f 2B X(f) 6 B 6 X ± (f) B - f a)

10 Sinc ß à Π (rect) * sinc(x) = sin(x)/x

11 banda e durata di un segnale Moltiplicando un segnale limitato nel dominio della frequenza per un impulso rettangolare opportuno, lo possiamo riscrivere come: X(f) =X(f) rect che equivale, nel dominio del tempo, ad una convoluzione: che è un segnale non limitato. f 2B x(t) 2Bsinc(2Bt)

12 banda e durata di un segnale Moltiplicando un segnale limitato nel dominio del tempo per un impulso rettangolare opportuno, lo possiamo riscrivere come: x(t) =x(t) rect che equivale, nel dominio della frequenza, ad una convoluzione: che è un segnale non limitato. t 2T X(f) 2T sinc(2tf)

13 banda e durata di un segnale Di conseguenza: un segnale rigorosamente limitato nel tempo ha banda infinita un segnale con banda limitata ha durata infinita

14 Filtri Supponiamo di avere un segnale:

15 Filtri Composto da due segnali periodici ad esempio: un segnale periodico (20 bps = 2 Hz), di un elettrocardiogramma, e un disturbo periodico (50 Hz) dovuto dalla tensione di alimentazione

16 Passiamo al dominio frequenziale abbiamo bisogno di un apparato con caratteristiche di selettività delle differenti componenti frequenziali del segnale: un filtro

17 Filtro passa-basso (ideale) H LP (f) è la risposta in frequenza

18 Filtro passa-basso (ideale) il segnale, y(t), in uscita dal filtro, avrà trasformata di Fourier Y (f) =X(f) H(f) cioè sarà privo della componente X 2 (f) (e quindi x 2 (t)), cioè del disturbo: Y (f) =X(f) H(f) X (f) y(t) x (t)

19 Filtro passa-basso (ideale) h LP (t) =2Bsinc(2Bt) La risposta nel dominio del tempo del filtro passa-basso è il sinc, cioè ha una risposta impulsiva

20 Filtri ideali passa-basso passa-alto passa-banda elimina-banda