Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compito, secondo semestre 2012/2013

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1 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compito, secondo semestre 2012/2013 Primo compito. Si consideri la regione stokiana E di R 3 definita dalle disuguaglianze: { + y 2 a 2 0 z tan α)x b) dove a > 0, b [ a, a[, α ]0, π 2 [. Disegnare la regione E. La frontiera di E escludendo le parti spigolose) si decompone in tre porzioni che sono varietà 2-dimensionali: quali? Calcolare il volume di E. Calcolare l area della frontiera di E. Dato il campo vettoriale F x, y, z) = z e 3 trovarne il flusso uscente da E. Determinare poi il flusso uscente attraverso le tre porzioni di frontiera di cui sopra. Calcolare: 0 < x 1 xy 2 y x) 2 dx dy y + x) 3 Si consideri la forma differenziale: ωx, y) = y2 2xy + y 2 dx + ) 2 + y 2 ) 2 dy Dire se ω è chiusa. Calcolare γ ω, dove γ è il circolo positivamente orientato di centro l origine e raggio 1. Dopo aver concluso che ω è esatta, determinare una primitiva di ω. Secondo compito. Si consideri la regione stokiana E di R 3 definita dalle disuguaglianze: )) e e z exp e 4 + y2 9 e sia F x, y, z) = ax 3 e 1 + az 2 e 2 + a 2) z e 3 un campo vettoriale con a costante reale. Disegnare E.

2 2 Dimostrare che esiste almeno un a per cui il flusso di F uscente da E è nullo; dire se tale a è unico. Per gli a del punto precedente, trovare il flusso uscente di F attraverso la porzione di frontiera che sta sul grafico di )) z = exp e 4 + y2 9 Calcolare l area della porzione di superficie conica z 2 = + y 2 contenuta entro il cilindro + y 2 2ax, a > 0. Calcolare il volume e la superficie totale della parte del cilindro compresa fra il piano xy e la superficie conica, con z 0. Si considerino in R 3 le due superficie S 1 ed S 2 definite dalle equazioni: + y 2 z 2 = 4, y 2 2y + z 2 = 0 descrivere le due superficie e osservare che si tratta di varietà differenziali. Dimostrare che l insieme Γ = S 1 S 2 è varietà differenziale 1-dimensionale, compatta ma non connessa. Dimostrare che Γ è costituita da due curve compatte connesse, parametrizzando tali curve. Trovare equazioni della retta affine tangente a Γ in uno dei punti in cui y 0 = e z 0 = Trovare i punti di Γ che sono stazionari per la distanza dall origine. Terzo compito. Su R n \ {0} un campo centrale a simmetria sferica è del tipo: F x) = u x ) x x = ur) r r ove u è di classe C 1 su ]0, + [. È vero che F è conservativo? Perché? È vero che F è irrotazionale? Perché? Dimostrare che F è solenoidale se e solo se ur) = c 1 r n 1. Sia n = 3 e F x, y, z) = 1 r 2 r r = x e 1 + y e 2 + z e 3 + y 2 + z 2 ) 3 2 Determinare il flusso di F attraverso la porzione S di superficie piana x = b interna al cilindro y 2 + z 2 = 1 e orientata secondo la normale e 1.

3 3 Sia ora S 1 una superficie di R 3, con 0 S 1 e tale che S S 1 è frontiera di una regione stokiana G di R 3. Determinare nei vari casi il flusso di F attraverso S 1 secondo la normale uscente da G. Descrivere a parole e disegnare in R 3 le superfici definiti dalle equazioni: z = 1 2 x2 + y 2 ), z = 2x Disegnare la regione E definita dalle disuguaglianze: e descriverne la proiezione sul piano xy. 1 2 x2 + y 2 ) z 2x Calcolare: E + y 2 dx dy Per a > 0 si consideri: V a = {x, y, z) R 3 : + y 2 + z 2 = 4; x a) 2 + y 2 = a 2 } V a è dato come intersezione di due superficie; riconoscerle e fare alcuni disegni. Dimostrare che V a è un insieme compatto. Per ogni a > 0, eccettuato al più un valore a 0, V a è varietà 1-dimensionale. Dimostrarlo e trovare a 0. Per a a 0 trovare la massima e la minima distanza dei punti di V a dal punto 0, 1, 0). Quarto compito. Nel semipiano x, 0, z) con x > 0 si consideri il grafico Γ di equazione cartesiana x = fz) dove fz) è una funzione di classe C 1 per z appartenente a un intervallo compatto [a, b]. Sia S la superficie generata da Γ in una rotazione completa attorno all asse z. Scrivere equazioni parametriche per S, usando come parametri l argomento ϑ di rotazione e la variabile z. Scrivere anche un equazione cartesiana per S. Dimostrare la formula per il differenziale d area dσ della superficie S. Dato l iperboloide a una falda + y 2 z 2 = 1, sia S la porzione di superficie compresa fra i piani z = a e z = b con a < b. Si osservi che S è la superficie laterale di una regione stokiana E. Descrivere E. Determinare infine: ν e dσ ove ν e è la normale di S uscente da E. Sia F x, y, z) = x e 1 + y e 2 + e 3. Determinare: F ν e dσ S S

4 4 Sia B la palla unitaria di R 4. Determinare per quali α R la funzione 1 + y 2 + z 2 + w 2 ) = 1 α r α è sommabile su B e su R 4 \ B. Per tali valori calcolare i relativi integrali. Data la forma differenziale ω definita sull angolo x < 1, y < 1 così definita: ωx, y) = 1 + x 1 y dx y 1 x dy si dica se essa è chiusa e se è esatta, calcolandone in caso affermativo le primitive. Calcolare infine γ ω, dove γ è la poligonale chiusa di vertici 0, 0), 1 2, 1 2 ), 1 2, 1 2 ), 0, 0). Quinto compito. Calcolare la circuitazione γ F dγ, dove: F x, y, z) = y e 1 x e 2 + z 2 e 3 e γ è il circuito che ha per sostegno la varietà definita dai vincoli + y 2 = 4, z = y 2 orientato in modo che la percorrenza sia vista in senso antiorario dall alto dell asse z. Confermare il risultato con la formula di Stokes. Dire se esiste finito: y > x > 0 sin 3 x x 4 dx dy + y2 Trovare tutte le funzioni Zx, y) di classe C 1 su R 2 tali che la forma differenziale 2xz dx + yz + 3y 2 )dy + Zx, y)dz sia esatta. Per tali Z trovare poi la primitiva della forma ottenuta.

5 5 Sesto compito. Calcolare la circuitazione γ F dγ, dove: F x, y, z) = ye x e e x ) e 2 + z 2 e z e 3 e γt) = 1 + cos t) e sin t) e cos t sin t) e 3. Siano p, q > 0 e I =]0, + [. Se Γ è la funzione gamma, possiamo scrivere: Γp)Γq) = u p 1 e u du v q 1 e v dv =... I Dopo aver trasformato il prodotto dei due integrali in un integrale doppio, dimostrare la formula di addizione per la funzione Γ utilizzando un opportuno cambiamento di variabili. Sul semipiano aperto x > 0 si consideri la forma differenziale: ) ) 2yx α ω α x, y) = arctan y dx + log1 + ) + xα 1 + y 2 dy Trovare i valori di α per cui ω α è esatta, determinandone le primitive in tal caso. Settimo compito. Sia Γ una curva piana di equazione implicita gx, y) = 0 dove g è una funzione di classe C 1, sommersiva nei punti di Γ. È vero che Γ è varietà differenziale 1-dimensionale? Identificando R 2 con il piano coordinato x, y, 0), consideriamo la curva Γ immersa in R 3, e pertanto definita dal sistema: { z = 0 I gx, y) = 0 Sia p = 0, 0, 1). Trovare l equazione del cono E costituito da tutte le rette passanti per p e che si appoggiano a punti di Γ. Dimostrare che E \ {p} è varietà differenziale 2-dimensionale. Determinare l equazione del piano affine tangente ad E \ {p} in un punto generico x 0, y 0, z 0 ). Dimostrare che tale piano si appoggia a una retta del cono. Trovare l equazione del cono nel caso in cui Γ sia il circolo del piano x, y, 0) di centro 0, 1, 0) e raggio 1. Determinare l attrazione gravitazionale esercitata da un cilindro circolare retto pieno e omogeneo su un punto materiale posto lungo il suo asse, esternamente al cilindro. Dire per quali numeri reali α, β esiste finito: x α e x β dx R n Calcolare l integrale mediante la funzione Γ. Ottavo compito. I I Si consideri l insieme S definito dalle condizioni: { + y 2 = a 2 y 2 + z 2 = b 2 0 < b < a

6 6 S è intersezione di due superficie, quali? Dimostrare che S non ha punti nel piano x = 0. Indicare con Γ la componente di S che sta nel semispazio x > 0. descrizione e un disegno di Γ. Fornire una Descrivere analiticamente cioè con sistemi di equazioni e/o disequazioni) le proiezioni di Γ sui tre piani coordinati. Trovare i punti di Γ che hanno prima componente minima e massima. Trovare un vettore tangente a Γ nel punto P = 4a 2 b 2 2, b 2, b 3 2 ). Derivare la seguente formula espandendo parte della funzione integranda in una serie infinita e giustificando l integrazione termine a termine. + dove ζα) = n=1 n α e α > 1. 0 x α 1 e x 1) 1 dx = Γα)ζα) Trovare l area dell insieme piano racchiuso dall ellisse: a 2 + y2 b 2 = c2 Trovare poi il volume del solido definito dalla disuguaglianza: a + z) 2 + y 2 a z) 2 e z, z ±a Nono compito. Derivare la seguente formula espandendo parte della funzione integranda in una serie infinita e giustificando l integrazione termine a termine. + ) sx sin x 1 e dx = arctan, s > 1 x s 0 Da [DM] esercizio tranne iv), oppure esercizio Dire se esiste finito il seguente integrale: z y 3 e zx y dx dy dz D ove D è definito dalle disuguaglianze: 0 z 1 0 x z z y 1 Esercizio 3bis. Trovare l attrazione gravitazionale esercitata da una porzione di superficie sferica omogenea compresa fra due meridiani su un punto materiale posto nel centro della sfera, sapendo che l angolo fra i piani dei meridiani ha ampiezza 2α. Testi di prove d esame di Analisi Matematica 2 per Matematica, AA all indirizzo: