Verifica idraulica di un canale chiuso a sezione circolare e di un canale aperto a sezione composta

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1 ESERCITAZIONE N. 1 (23 MARZO 2005) Verifica idraulica di un canale chiuso a sezione circolare e di un canale aperto a sezione composta PROBLEMA 1 Una portata Q di 1260 m 3 /h scorre in un canale circolare realizzato in calcestruzzo avente diametro D pari a 800 mm e pendenza costante pari allo 0,1%. Verificare che, per la portata assegnata, il canale sia stato dimensionato correttamente (calcolare il franco di sicurezza e la velocità, supposto il moto uniforme) Si richiede di eseguire le verifica idraulica con le diverse modalità di calcolo disponibili: formula di Marchi; formula di Gauckler-Strickler (scala di deflusso tradizionale, scala di deflusso specifica, scala di deflusso normalizzata). SOLUZIONE Si adopera la formula di Chezy, specializzata al moto uniforme: Q = A χ Ri (1a) Q portata χ coefficiente di conduttanza A area bagnata R raggio idraulico i pendenza o, adimensionalizzando il coefficiente di conduttanza χ: Q = A C gri (1b) C indice di conduttanza 1) Formula di Marchi Per la determinazione dell indice C si applica la formula di Marchi: ν ε C = 5,75log + 3 / 2 4ϕR gi 13,3ϕ R con ν viscosità cinematica ϕ coefficiente di forma ε scabrezza di Marchi (2) Al variare dell altezza h 0, scelta arbitrariamente, e calcolato il corrispondente grado di riempimento h 0 /r con r raggio del canale, si ricavano (vedi Tabella 12.2 di Sistemi di Fognatura Manuale di Progettazione) i valori delle seguenti grandezze adimensionali: A/r 2, da cui l'area bagnata A R/r, da cui il raggio idraulico R 1

2 Quindi, applicando la formula di Marchi, si calcola il valore dell'indice di conduttanza C che sostituito nella formula di Chezy fornisce la portata Q. I risultati dei calcoli sopra descritti sono riportati in Tabella 1, avendo assunto ε = 3 mm, ν = 10-6 m 2 /s, ϕ = 1. Tabella 1. A/r 2 ho [m] (da Manuale) A [m 2 ] R/r (da Manuale) R [m] i C da (2) Q [m 3 /s] da (1b) V[m/s] 0,02 0,021 0, ,033 0,0132 0,001 9, , , ,04 0,059 0, ,065 0,026 0,001 11, , , ,06 0,107 0, ,097 0,0388 0,001 12, , , ,08 0,164 0, ,127 0,0508 0,001 13, , , ,1 0,227 0, ,157 0,0628 0,001 13, , , ,12 0,296 0, ,186 0,0744 0,001 14, , , ,16 0,447 0, ,241 0,0964 0,001 15, , , ,2 0,614 0, ,293 0,1172 0,001 15, , , ,24 0,793 0, ,342 0,1368 0,001 15, , , ,28 0,98 0,1568 0,387 0,1548 0,001 16, , , ,32 1,174 0, ,429 0,1716 0,001 16, , , ,36 1,371 0, ,466 0,1864 0,001 16, , , ,4 1,571 0, ,5 0,2 0,001 16, , , ,44 1,771 0, ,53 0,212 0,001 17, , , ,48 1,968 0, ,555 0,222 0,001 17, , , ,52 2,162 0, ,576 0,2304 0,001 17,2454 0, , ,56 2,349 0, ,593 0,2372 0,001 17, , , ,6 2,527 0, ,603 0,2412 0,001 17, , , ,64 2,694 0, ,608 0,2432 0,001 17, , , ,68 2,846 0, ,607 0,2428 0,001 17, , , ,7 2,915 0,4664 0,603 0,2412 0,001 17, , , ,72 2,978 0, ,596 0,2384 0,001 17,3316 0, , ,74 3,035 0,4856 0,587 0,2348 0,001 17, , , ,76 3,083 0, ,573 0,2292 0,001 17, , , ,78 3,121 0, ,553 0,2212 0,001 17, , , ,8 3,142 0, ,5 0,2 0,001 16, , , Calcolato un numero sufficiente di punti aventi coordinate (Q, h 0 ), si costruiscono graficamente le scale di deflusso (Figg. 1 e 2), da cui si ricavano il valore dell altezza di moto uniforme h 0 corrispondente alla portata Q assegnata dal problema e la velocità V. (Con ε = 3 mm, per Q = 1260 m 3 /h: h 0 = 0,62 m, V = 0,85 m/s. Il franco suggerito per sezioni circolari (= 0,2D = 0,16 m) è soddisfatto e la velocità rientra nel range di valori accettabili) 2) Formula di Gauckler-Strickler Per la determinazione del coefficiente χ si applica la formula empirica di Gauckler-Strickler: 2

3 1/ 6 χ = k s R (3) con k s coefficiente di scabrezza di Gauckler-Strickler (tabellato in funzione del materiale) quindi, per sostituzione nella legge di Chezy: 2 / 3 1/ 2 Q = k s A R i (4) Scala di deflusso tradizionale: Al variare dell altezza h 0, scelta arbitrariamente, e calcolato il corrispondente grado di riempimento h 0 /r con r raggio del canale, si ricavano (vedi Tabella 12.2 di Sistemi di Fognatura Manuale di Progettazione) i valori delle seguenti grandezze adimensionali: A/r 2, da cui l'area bagnata A R/r, da cui il raggio idraulico R Quindi, applicando la formula (4), una volta scelto il valore del coefficiente di scabrezza k s, si ricava la portata Q. I risultati dei calcoli sopra descritti sono riportati in Tabella 2, avendo assunto k s = 70 m 1/3 /s. Tabella 2. A/r 2 ho (da Manuale) A [m 2 ] R/r (da Manuale) R [m] i k s Q [m 3 /s] da (4) V[m/s] 0,02 0,021 0, ,033 0,0132 0, , , ,04 0,059 0, ,065 0,026 0, , , ,06 0,107 0, ,097 0,0388 0, , , ,08 0,164 0, ,127 0,0508 0, , , ,1 0,227 0, ,157 0,0628 0, , , ,12 0,296 0, ,186 0,0744 0, , , ,16 0,447 0, ,241 0,0964 0, , , ,2 0,614 0, ,293 0,1172 0, , , ,24 0,793 0, ,342 0,1368 0, , ,5877 0,28 0,98 0,1568 0,387 0,1548 0, , , ,32 1,174 0, ,429 0,1716 0, ,1284 0, ,36 1,371 0, ,466 0,1864 0, , , ,4 1,571 0, ,5 0,2 0, , , ,44 1,771 0, ,53 0,212 0, , , ,48 1,968 0, ,555 0,222 0, , , ,52 2,162 0, ,576 0,2304 0, , , ,56 2,349 0, ,593 0,2372 0, , , ,6 2,527 0, ,603 0,2412 0, , , ,64 2,694 0, ,608 0,2432 0, , , ,68 2,846 0, ,607 0,2428 0, ,3923 0, ,7 2,915 0,4664 0,603 0,2412 0, , , ,72 2,978 0, ,596 0,2384 0, , , ,74 3,035 0,4856 0,587 0,2348 0, , , ,76 3,083 0, ,573 0,2292 0, , , ,78 3,121 0, ,553 0,2212 0, , , ,8 3,142 0, ,5 0,2 0, , ,

4 Calcolato un numero sufficiente di punti aventi coordinate (Q, h 0 ), si costruisce graficamente la scala di deflusso (Figg. 1 e 2), da cui si ricavano il valore dell altezza di moto uniforme h 0 corrispondente alla portata Q assegnata dal problema e la velocità V. (Con k s = 70 m 1/3 /s, per Q = 1260 m 3 /h: h 0 = 0,6 m e V = 0,86 m/s) Scala di deflusso specifica: Avendo a disposizione le scale di deflusso specifiche della sezione circolare con diametro pari a 0,8 m, costruita con riferimento ad un coefficiente di scabrezza k * s pari a 77 m 1/3 /s e ad una pendenza i * pari a 1 (Fig. 3a e 3b), si calcola la portata specifica Q sp equivalente alla portata assegnata Q: Q * *0,5 Qsp = k i 0,5 s k i s Entrando nella scala di deflusso di Fig. 3a con la portata Q sp calcolata, pari a 12,17 m 3 /s, si ricava il valore dell altezza di moto uniforme corrispondente h 0. Quindi, noto h 0 si ricava la velocità V dalla scala di Fig. 3b. (Con k s = 70 m 1/3 /s, per Q = 1260 m 3 /h: h 0 = 0,61 m e V = 0,86 m/s) Scala di deflusso normalizzata: Avendo a disposizione la scala di deflusso normalizzata per sezioni circolari (Fig. 4), si calcola il rapporto Q/Q r, essendo Q r la portata in condizione di totale riempimento pari a 0,38 m 3 /s. Entrando nella scala di deflusso normalizzata con il rapporto Q/Q r, si ricava il grado di riempimento h/r, con r raggio della sezione del canale, da cui il valore dell altezza di moto uniforme h 0. Quindi, di nuovo attraverso la scala di deflusso normalizzata, entrando con il grado di riempimento h/r, si ricava il rapporto V/V r, con V r velocità in condizione di totale riempimento pari a 0,76 m/s, da cui la velocità V. (Con k s = 70 m 1/3 /s, per Q = 1260 m 3 /h: h 0 = 0,6 m e V = 0,87 m/s) 4

5 Fig. 1 Scala di deflusso (portata) costruita con le formule di Marchi e di G.-S. (tradizionale). Scala di deflusso - portata 0,8 0,7 Marchi G-S 0,6 Altezza di moto uniforme [m] 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 Portata [m 3 /s] Fig. 2 Scala di deflusso (velocità) costruita con le formule di Marchi e di G.-S. (tradizionale). Scala di delfusso - velocità 0,8 0,7 0,6 Marchi G-S Altezza di moto uniforme [m] 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Velocità [m/s] 5

6 Fig. 3 Scala di deflusso specifica per sezione circolare con D = 0,8 m, k s * = 77 m 1/3 /s e i * = 1. Fig. 3a 0,8 0,7 0,6 Altezza di moto uniforme [m] 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,5 3 4,5 6 7,5 9 10, ,5 15 Portata specifica [m 3 /s] Fig. 3b 0,8 0,7 0,6 Altezza di moto uniforme [m] 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Velocità specifica [m/s] 6

7 Fig. 4 Scala di deflusso normalizzata per sezioni circolari. Scale di deflusso 2 1,8 1,6 Q G-S normalizzata V G-S normalizzata 1,4 1,2 h/r 1 0,8 0,6 0,4 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 Q/Qr e V/Vr 7

8 PROBLEMA 2 Un canale realizzato in terra con pendenza costante pari allo 0,5% ha la sezione composta schematizzata in Fig. 5. Verificare se il passaggio di una portata Q pari a 6000 l/s causa problemi di esondazione. Fig. 5 Sezione canale SOLUZIONE Il calcolo della scala di deflusso del canale viene effettuato dividendo la sezione composta in sottosezioni, Fig. 6. Per ciascuna sotto-sezione si costruisce per punti, utilizzando la formula di Gauckler e Strickler, la corrispondente scala di deflusso, Tab. 3; quindi a parità di altezza di moto uniforme h 0 si sommano le portate fornite dalle tre scale Q 1, Q 2 e Q 3 e si ottiene la portata complessiva Q; infine, l interpolazione grafica dei punti di coordinate (Q, h 0 ), così calcolati, fornisce la scala di deflusso globale del canale, Fig. 7. Dalla lettura della scala di deflusso globale si ricava che alla portata Q pari a 6 m 3 /s corrisponde un tirante idrico h 0 di 0,95 m, pertanto non sussitono rischi di esondazione. (Per Q = 6000 l/s: h 0 = 0,95 m) Fig. 6 Scomposizione sezione composta 8

9 Tabella 3 Calcolo della scala di deflusso Q = Q 1 + Q 2 + Q 3. Q 1 Q 2 Q 3 Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 ho A R* k [m] [m 2 i s Q ho A R* k ] [m] [m 1/3 /s] [m 3 /s] [m] [m 2 i s Q ho A R* k ] [m] [m 1/3 /s] [m 3 /s] [m] [m 2 i s Q ho ] [m] [m 1/3 /s] [m 3 /s] [m] 0, ,00 0,00 0,00 0,00 0, ,00 0, ,00 0,00 0,00 0,00 0, ,00 0,05 0,10 0,05 0, ,06 0, ,00 0,05 0,10 0,06 0, ,00 0,10 0,20 0,09 0, ,19 0, ,00 0,10 0,20 0,19 0, ,00 0,15 0,30 0,13 0, ,35 0, ,00 0,15 0,30 0,35 0, ,00 0,20 0,40 0,17 0, ,56 0, ,00 0,20 0,40 0,56 0, ,00 0,25 0,50 0,20 0, ,79 0, ,00 0,25 0,50 0,79 0, ,00 0,30 0,60 0,23 0, ,04 0, ,00 0,30 0,60 1,04 0, ,00 0,35 0,70 0,26 0, ,31 0, ,00 0,35 0,70 1,31 0, ,00 0,40 0,80 0,29 0, ,60 0, ,00 0,40 0,80 1,60 0, ,00 0,45 0,90 0,31 0, ,90 0, ,00 0,45 0,90 1,90 0, ,00 0,50 1,00 0,33 0, ,21 0, ,00 0,50 1,00 2,21 0, ,00 0,55 1,10 0,35 0, ,53 0, ,00 0,55 1,10 2,53 0, ,00 0,60 1,20 0,38 0, ,87 0, ,00 0,60 1,20 2,87 0, ,00 0,65 1,30 0,39 0, ,21 0, ,00 0,65 1,30 3,21 0, ,00 0,70 1,40 0,41 0, ,56 0, ,00 0,70 1,40 3,56 0, ,00 0,75 1,50 0,43 0, ,92 0, ,00 0,75 1,50 3,92 0, ,00 0,80 1,60 0,44 0, ,28 0, ,00 0,80 1,60 4,28 0,85 0,05 0,05 0, ,02 0,85 1,70 0,47 0, ,74 0,85 0,07 0,05 0, ,03 0,85 1,83 4,78 0,90 0,10 0,09 0, ,06 0,90 1,80 0,50 0, ,21 0,90 0,15 0,09 0, ,09 0,90 2,05 5,36 0,95 0,15 0,13 0, ,11 0,95 1,90 0,53 0, ,70 0,95 0,23 0,14 0, ,17 0,95 2,28 5,98 1,00 0,20 0,17 0, ,17 1,00 2,00 0,56 0, ,21 1,00 0,30 0,18 0, ,27 1,00 2,50 6,65 1,05 0,25 0,20 0, ,24 1,05 2,10 0,58 0, ,74 1,05 0,38 0,21 0, ,38 1,05 2,73 7,36 1,10 0,30 0,23 0, ,32 1,10 2,20 0,61 0, ,28 1,10 0,45 0,25 0, ,51 1,10 2,95 8,11 1,15 0,35 0,26 0, ,40 1,15 2,30 0,64 0, ,84 1,15 0,53 0,28 0, ,64 1,15 3,18 8,89 1,20 0,40 0,29 0, ,49 1,20 2,40 0,67 0, ,42 1,20 0,60 0,32 0, ,79 1,20 3,40 9,70 1,25 0,45 0,31 0, ,58 1,25 2,50 0,69 0, ,01 1,25 0,68 0,35 0, ,94 1,25 3,63 10,54 1,30 0,50 0,33 0, ,68 1,30 2,60 0,72 0, ,62 1,30 0,75 0,38 0, ,10 1,30 3,85 11,40 * nel calcolo del perimetro bagnato non vanno considerate le lunghezze delle linee di separazione delle sotto-sezioni. A [m 2 ] Q [m 3 /s] 9

10 Fig. 7 Scala di deflusso globale Scala di deflusso 1,20 1,00 Altezza di moto uniforme [m] 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 Portata [m 3 /s] 10