Capitolo 1 Richiami di probabilità

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1 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni Capitolo Richiami di probabilità Conctti prliminari di probabilità... 3 Introduzion alla probabilità... 3 Dinizion di spazio dgli vnti... 3 Dinizion di vnto... 4 Esmpio... 4 Mtodi di combinazion dgli vnti... 4 La unzion probabilità... 5 Dinizion... 5 Proprità ondamntali dlla unzion probabilità... 5 L probabilità condizionat... 6 Esmpio... 6 Ossrvazion: probabilità condizionat pr vnti disgiunti... 7 Evnti indipndnti... 7 Esmpio: dipndnza causal tra du vnti... 8 Partizion di uno spazio di vnti S... 9 Torma sull probabilità totali... 9 Esmpio... Torma di Bays... Procsso di Brnoulli... Dinizion... Modllo uniorm di probabilità in spazi campion initi... 3 Dscrizion... 3 Esmpio... 3 Variabili alatori... 4 Dinizion... 4 Variabil alatoria discrta... 6 Continuità di una variabil alatoria unzion dnsità... 6 Il signiicato matmatico dlla dnsità... 7 Ossrvazion: pso nullo di singoli punti... 7 Dnsità di una variabil alatoria continua distribuita uniormmnt su un intrvallo 8 Distribuzion cumulativa di una variabil alatoria continua... 9 Esmpio: variabil alatoria continua... Esmpio: distribuzion uniorm su un intrvallo... Esmpio: distribuzion sponnzial... Funzioni di variabili alatori... 3 Esmpio: distribuzion cumulativa di con gnrica... 3 Esmpio: distribuzion cumulativa di con distribuita uniormmnt 5 Torma: calcolo di F nll ipotsi di invrtibilità di H()... 6 Esmpio: H() Aspttazion di una variabil alatoria... 8 Dinizion... 8 Proprità dlla mdia di una variabil alatoria... 8

2 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Torma... 9 Varianza dviazion standard di una variabil alatoria... 9 Dinizion... 9 Proprità dlla varianza di una variabil alatoria... 9 Cnni sull variabili alatori bidimnsionali... 3 Funzion carattristica di una variabil alatoria... 3 Dinizion nl caso continuo... 3 Applicazion: somma di variabili alatori indipndnti... 3 Esmpio: variabili alatori con distribuzion di Erlang Proprità: momnto dl ordin Proprità Esmpio: distribuzion sponnzial Funzion carattristica di una variabil alatoria discrta Esmpio: variabil alatoria di Poisson Esmpio: somma di variabili di Poisson Esmpio: variabil alatoria gomtrica Esmpio: variabil alatoria binomial Variabili alatori continu trasormata di Laplac... 4 Gnralità... 4 Proprità... 4 Dnsità di probabilità condizionata Conctti gnrali Torma dll probabilità totali nl caso continuo Aspttazion condizionata Caso discrto Funzion gnratric Dinizion Proprità Esrcizio Variabili alatori con distribuzion gaussiana... 5 Dinizion di distribuzion gaussiana... 5 Funzion carattristica... 5 Funzion dnsità di probabilità congiunta... 5 Indipndnza di du variabili alatori con distribuzion gaussiana... 5 Funzion dnsità di probabilità condizionata... 5 Combinazion linar di variabili alatori con distribuzion gaussiana Consgunza... 53

3 Richiami di probabilità Conctti prliminari di probabilità ITRODUZIOE ALLA PROBABILITÀ E sprinza comun ch vi sono molti nomni mpirici la cui ossrvazion, anch s ttuata nll stss condizioni, porta a risultati dirnti: pr smpio, quando si ossrva il lancio di un dado, si nota ch può prsntarsi, in modo dl tutto imprvdibil, una qualunqu dll 6 acc. Siamo allora indotti a ricrcar un modllo matmatico adatto allo studio di qui nomni ch non manistano una rgolarità dtrministica, in quanto la loro ossrvazion, rlativamnt ad un dato insim di circostanz, non porta smpr allo stsso risultato: il modllo ch crchiamo è il cosiddtto modllo probabilistico. Dinizion di spazio dgli vnti Supponiamo di ossrvar un crto nomno qual può ssr il lancio di una monta, il lancio di un dado, l strazion di una pallina da un urna cos di qusto tipo. Diniamo spazio dgli vnti o anch spazio di campioni, indicandolo con S, l insim di tutti i possibili risultati (o, mglio, i possibili vnti) ossrvati pr il dato nomno. Pr smpio, considrato il nomno dl lancio di una monta, lo spazio di campioni non è altro ch S { tsta, croc}, in quanto gli unici possibili risultati dl lancio possono ssr ch sca tsta o ch sca croc. In modo dl tutto analogo, dato il nomno dl lancio di un classico dado a 6 acc, lo spazio dgli vnti sarà S {,, 3, 4, 5, 6}. Quando si ha a ch ar con lo spazio dgli vnti rlativi ad un dato nomno, è molto important conoscr il numro dgli vnti ch appartngono a tal spazio; trattandosi di un insim, sso può ssr di tr tipi divrsi: può ssr inito, pr cui noi conosciamo sattamnt il numro dgli vnti ch gli appartngono; può ssr ininito ma numrabil, cioè... può ssr ininito non numrabil, ossia... Considriamo ad smpio il nomno consistnt nll strarr una carta da un mazzo di 5 cart. Lo spazio campion è costituito da 3 punti, tanti quanti sono i VALORI ch la carta stratta può assumr; siamo prciò in prsnza di uno spazio campion inito. Al contrario, s il nomno consist nlla sclta di un numro intro maggior di, lo spazio campion è {,, 3,... } d è prciò ininito numrabil. Inin, s la sclta dl numro può ssr atta nl campo di numrici rali, allora lo spazio campion è ininito non numrabil. 3

4 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Dinizion di vnto C è da chiarir bn cosa intndiamo pr vnto. Dato un crto spazio di vnti S rlativo ad un dato nomno, un vnto A è smplicmnt un insim di possibili risultati ossrvati pr il nomno: si tratta prciò di un sottoinsim di S. Chiaramnt, potrà ssr di tipi: potrà includr più risultati oppur potrà consistr in un risultato solo. Pr smpio, s noi considriamo il lancio di un dado, noi possiamo indicar com vnto A l vnto pr cui il risultato dl lancio è, ma possiamo indicar com vnto B qullo pr cui il risultato dl lancio è un numro pari: possiamo prciò scrivr ch S A B {,, 3, 4, 5, 6} { } {, 4, 6} Esmpio Supponiamo di scglir a caso prson tra gli abitanti di una città, di domandar loro s usano un crto prodotto di contar il numro di sì dati com risposta. Anch qusto è un sprimnto casual, i cui possibili risultati sono : nssun sì, sì, sì così via. Indichiamo prciò lo spazio dgli vnti con S {,,,..., }. S considriamo l vnto A corrispondnt a dir ch l rispost armativ sono più di otto, è A 9,. chiaro ch qusto vnto si vriica quando o 9 o prson hanno risposto sì, pr cui { } Mtodi di combinazion dgli vnti Supponiamo di ossrvar un dato nomno (o di ttuar un crto sprimnto) pr il qual S sia lo spazio dgli vnti; considriamo qualsiasi vnti A B rlativi a tal nomno; qusti vnti possono ssr combinati in vari modi pr ormar ultriori vnti: l vnto CA B (union) è l vnto ch accad quando almno uno di du vnti accad: s accad solo A o solo B, noi potrmo dir ch è accaduto anch C; l vnto DA B (intrszion) è l vnto ch accad solo quando ntrambi gli vnti sono accaduti; s uno solo di ssi non si vriica, dirmo ch non si è vriicato nanch D; l vnto A* è l vnto opposto di A, ossia si ritin vriicato quando A non si è vriicato; Facciamo anch qui un smpio ririto al lancio di un dato a 6 acc, il cui spazio di campioni è S,, 3, 4, 5, 6. Considriamo i sgunti vnti: { } A sc un numro pari B sc un numro minor di 4 E chiaro allora ch l vnto CA B racchiud i sgunti risultati: C A B {,,3,4,6} 4

5 Richiami di probabilità Al contrario, invc, l vnto DA B è { } D A B La unzion probabilità DEFIIZIOE Considriamo un gnrico spazio dgli vnti S: com sappiamo, si tratta, dato un crto nomno, di tutti i possibili vnti, rlativi a tal nomno, ch si possono vriicar. oi allora diniamo unzion probabilità la unzion ral così dinita: P : S R Essa cioè, dato un qualsiasi vnto prso dallo spazio S, vi associa un valor ral ch indica la probabilità ch tal vnto si vriichi. Inoltr, noi dirmo ch la coppia (S,P) costituita dallo spazio dgli vnti S dalla unzion probabilità P in sso dinita è uno spazio di probabilità. PROPRIETÀ FODAMETALI DELLA FUZIOE PROBABILITÀ Vdiamo alcun proprità ondamntali di cui god una unzion probabilità P: ) P(): la probabilità ch accada l vnto nullo è ovviamnt nulla; ) P(S): la probabilità ch accada uno qualsiasi dgli vnti contnuti in S è ovviamnt pari al massimo, cioè all unità, in quanto S contin tutti gli vnti possibili quindi almno uno si dv vriicar; 3) P(A) : la probabilità ch accada un crto vnto A è chiaramnt positiva minor di ; 4) s A B sono disgiunti, o anch mutuamnt sclusivi, cioè non hanno risultati in comun P(A B) P(A) + P(B) : s A B non hanno alcun vnto in comun (ossia s, accaduto A, non si possa dir assolutamnt ch è accaduto anch B vicvrsa), la probabilità ch accada prima uno poi l altro, o vicvrsa, è ovviamnt pari alla somma dll probabilità ch ciascuno accada singolarmnt ; 5) s A B P(A) P(B): dir ch A è contnuto in B signiica dir ch B contin gli stssi vnti di A d anch dgli altri, il ché implica ch la probabilità ch si vriichi A è al più ugual a qulla ch si vriichi B; Un altra dinizion di vnti disgiunti è la sgunt: du vnti A B sono disgiunti s non possono prsntarsi insim, ossia s l vnto intrszion è l vnto impossibil. 5

6 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo 6) S A B P(B-A) P(B) - P(A): l vnto complssivo B-A non è altro ch l insim dgli vnti di B ch non anno part di A; 7) Posto A*S-A, si ha ch P(A*) P(S-A) P(S) - P(A) - P(A): l vnto A* non è altro ch l insim dgli vnti di S ch non appartngono ad A, pr cui qusta proprità scaturisc dirttamnt dalla prcdnt; LE PROBABILITÀ CODIZIOATE Sia dato lo spazio di probabilità (S,P). Supponiamo ch ci sia un crto vnto B S ch abbia probabilità non nulla di accadr, ossia tal ch P(B). Supponiamo ch ttivamnt l vnto B si vriichi. Prndiamo poi un altro vnto A S. Allora, noi dirmo ch la probabilità ch si vriichi A, una volta ch si è vriicato B, è data dalla ormula P A B ( B) P A P( B) dov P(A B) si lgg appunto probabilità di A dato B. Possiamo ar qualch calcolo a partir dalla rlazion appna ricavata sruttando l proprità ondamntali di una unzion probabilità: inatti, da lì si ricava ch P( A B) P( A B) P( B) Dato ch P(A B)P(B A), possiamo anch scrivr ch P( A B) P( B A) P( A) pr cui, guagliando i scondi mmbri, noi ottniamo P B A P( A) P A B P( B) Esmpio Supponiamo di avr un uicio con macchin calcolatrici. Alcun di ss sono lttrich (E) d altr manuali (M); inoltr, alcun di ss sono nuov () d altr vcchi (U). Supponiamo ch qust siano l satt quantità: 4 macchin lttric nuov; macchin lttrich usat; 3 macchin manuali nuov; macchin manuali usat. 6

7 Richiami di probabilità Una prsona ntra nll uicio scgli una macchina a caso. S contrassgniamo ciascuna macchina con un numro (ch andrà da a ), è ovvio ch la probabilità ch la prsona sclga la macchina è pari a / d è ovviamnt costant pr ciascuna macchina. Supponiamo ch la prsona, dopo avr sclto la macchina, si accorga ch ssa sia nuova. Vogliamo la probabilità ch sia anch lttrica. Possiamo sprimrci dicndo ch vogliamo P(E ). Il atto ch sia accaduto rstring l possibilità a 7 macchin; su qust 7, c n sono 4 lttrich, pr cui P( E ) 4 7 Un scondo mtodo è l applicazion dlla ormula: P E ( ) P E P L vnto E è qullo pr cui la macchina sclta è lttrica nuova c n sono in tutto 4; l vnto è qullo pr cui la macchina è nuova c n sono 7, pr cui il risultato è qullo di prima. Ossrvazion: probabilità condizionat pr vnti disgiunti Facciamo notar ch, s A B sono vnti disgiunti, cioè tali ch A B, è ovvio ch P( B A) P A B Il motivo è sia intuitivo sia matmatico: da un punto di vista intuitivo, il atto ch siano disgiunti comporta ch il vriicarsi di B (o di A) scluda la possibilità ch si vriichi A (o B); da un punto di vista matmatico, invc, si ha vidntmnt ch P A B ( B) P A P P( B) P( B).B. Facciamo anch ossrvar l strmo opposto: inatti, s B A, allora P(B A). EVETI IDIPEDETI ( B) P A Dalla rlazion P( A B) si ricava vidntmnt ch P(A B) può ssr maggior, P( A) minor o ugual a P(A). Allora, s accad ch sono uguali, signiica una cosa molto important: il atto ch B si sia vriicato non inluisc in alcun modo sulla probabilità ch subito dopo si vriichi A. In qusto caso, si dic ch i vnti A B sono indipndnti tra loro. Una important consgunza dlla indipndnza di vnti è dunqu ch P( A B) P( A) P( B) 7

8 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo pr cui noi possiamo dir ch vnti A B sono indipndnti s vriicano la rlazion appna scritta. l caso gli vnti siano 3 (A,B C) non cambia molto: noi dirmo ch sono indipndnti s sono a a indipndnti s vriicano la rlazion P( A B C) P( A) P( B) P( C) Esmpio: dipndnza causal tra du vnti Considriamo un urna con 5 pallin ross 4 bianch: supponndo di ar strazioni con rstituzion, abbiamo 4 possibilità: ) rossa, rossa ) rossa, bianca 3) bianca, rossa 4) bianca, bianca Considriamo l vnto A pr cui sc prima una pallina rossa poi una bianca. Vogliamo calcolar P(A), cioè la probabilità ch tal vnto si vriichi. Pr prima cosa, possiamo scrivr ormalmnt ch P(A) P((R,B)) P(R B) dov con R indichiamo l vnto pr cui la prima pallina stratta sia rossa con B l vnto pr cui la sconda pallina sia bianca. Avndo supposto di ar la rstituzion dopo la prima strazion, è lcito aspttarsi ch l uscita dlla pallina rossa succssivamnt di qulla bianca siano du vnti indipndnti, pr cui possiamo applicar la rlazion ch carattrizza du vnti indipndnti pr il calcolo di P(A): P(A) P(R B) P(R)P(B) A qusto punto, dato ch P(R)5/9 P(B)4/9, abbiamo ch P(A) /8 Vdiamo adsso cosa cambia s non acssimo la rstituzion dopo la prima strazion. A prscindr dalla non rstituzion, noi possiamo smpr scrivr ch P(A) P(R B) Il problma sorg dal atto ch i vnti non sono più indipndnti adsso, pr cui non possiamo applicar la rlazion carattristica dgli vnti indipndnti. Abbiamo allora possibilità pr procdr: la prima è di considrar la probabilità ch si vriichi B dato R, ossia P(A) P(B R)*P(R) 8

9 Richiami di probabilità la sconda è di considrar la probabilità ch si vriichi R dato B, ossia P(A) P(R B)*P(B) Dovndo scglir, convin la prima strada, in quanto è più acil valutar P(R) poi P(B R) ch non valutar prima P(B) poi P(R B). Inatti P(R) 5/9 P(B R)4/8 ½ pr cui P(A) (5/9)*(/) 5/8 Prima di passar avanti, ricordiamo ch in una situazion in cui i vnti non sono indipndnti, ossia in una situazion in cui il primo vnto condiziona ncssariamnt il scondo, si dic ch c è una dipndnza causal tra i du vnti (o anch una dipndnza causa-tto). PARTIZIOE DI UO SPAZIO DI EVETI S Considriamo uno spazio di vnti S; considriamo in particolar gli vnti B,B,...,B ; noi dirmo ch ssi costituiscono una partizion di S s godono dll sgunti 3 proprità: sono a du a du disgiunti; la loro union dà S; la probabilità ch accada ciascun di ssi è maggior di, ossia sono vnti ttivamnt ossrvabili. Facciamo un smpio vidnt di partizion: considrato il nomno dl lancio di un dato, il cui spazio dgli vnti è S{,,3,4,5,6}, una partizion è costituita dagli vnti B{,} B{3,4,5} B3{6} mntr non è una partizion qulla costituita dagli vnti C{,,3,4} C{4,5,6} TEOREMA SULLE PROBABILITÀ TOTALI Supponiamo di avr uno spazio di probabilità (S,P), ossia uno spazio dgli vnti S d una unzion ral P ch associa ad ogni vnto la probabilità ch sso avvnga. Considriamo una partizion di S, ossia, com visto poco a, una succssion (B n ) n di insimi a a disgiunti tali ch la loro union dia proprio S. Fissiamo un crto vnto A. Possiamo vidntmnt scrivr quanto sgu: A (A B ) (A B )... (A B ) 9

10 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Dato ch gli vnti dlla partizion sono disgiunti pr dinizion, anch gli vnti tra parntsi sono disgiunti, pr cui possiamo applicar il principio di addizion scrivr ch P(A) P(A B ) + P(A B ) P(A B n ) pr cui P( A) P A B i i Il torma dic cioè qusto: la probabilità ch si vriichi l vnto A si può calcolar com somma dll probabilità ch si vriichino gli vnti A S n, con n. Qusto torma dic anch un altra cosa: inatti, in bas a quanto abbiamo visto circa l probabilità condizionat, noi possiamo scrivr ch P A B P A B P B i,,..., i i i pr cui la tsi divnta P( A) i ( i ) ( i ) P A B P B L utilità di qusta rlazion è vidnt: dovndo valutar P(A), spsso è diicil arlo dirttamnt; al contrario, noi possiamo calcolarla com somma di opportun probabilità condizionat assumndo ch siano accaduti gli vnti di una opportuna partizion l probabilità condizionat sono spsso acili da dtrminar. Esmpio Supponiamo di avr un lotto di componnti mccanici di cui solo dittosi gli altri 8 intgri. Supponiamo di scglir a caso componnti (snza rstituir il primo) supponiamo di volr la probabilità ch il scondo sia dittoso. Possiamo porr A il primo componnt è dittoso B il scondo componnt è dittoso Possiamo allora scrivr ch P(B) P(B A)P(A) + P(B A * )P(A * ) Inatti, abbiamo considrato com partizion qulla composta dagli vnti A A*. Sostitundo i rispttivi valori numrici abbiamo P(B) (9/99)*(/) + (/99)*(8/) /5

11 Richiami di probabilità TEOREMA DI BAES Qusto torma è una dirtta consgunza dl torma sull probabilità totali. Ci mttiamo anch nll stss ipotsi dl torma prcdnt: abbiamo prciò lo spazio di probabilità (S,P) d abbiamo una partizion (B n ) n dllo spazio dgli vnti S. Considriamo inin un vnto gnrico A. Vogliamo calcolar la probabilità ch si vriichi un gnrico vnto B i dlla partizion una volta ch si sia vriicato A, ossia vogliamo calcolar P(B i A). La prima cosa ch possiamo ar è applicar la ormula vista in prcdnza pr l probabilità condizionat: abbiamo prciò ch ( i ) P B A ( i ) ( i ) P A B P B P( A) A qusto punto, pr il calcolo di P(A) noi possiamo srvirci dl torma sull probabilità totali, in particolar ci possiamo srvir dlla tsi. Abbiamo prciò il sgunt risultato: ( i ) P B A i ( i ) ( i ) P A B P B ( i ) ( i ) P A B P B qusta è la tsi dl torma di Bays. Procsso di Brnoulli DEFIIZIOE Sia dato un crto sprimnto il cui spazio di campioni S è costituito solo da du possibili risultati: S {, }. Supponiamo di riptr n volt qusto sprimnto supponiamo anch ch ogni riptizion sia indipndnt dall altr, ossia non inlunzi l altr non vnga inlunzata dall altr. Vogliamo calcolar la probabilità ch, sull n prov, il risultato vnga uori K volt. S indichiamo con una variabil ch tin conto di quant volt vin uori il risultato sull n prov, è chiaro ch noi vogliamo valutar il valor di P( K). Supponiamo ch p sia la probabilità ch, nlla gnrica prova, vnga uori ; ovviamnt, allora, - p sarà la probabilità ch, smpr nlla gnrica prova, vnga uori. Si può dimostrar analiticamnt ch la probabilità ch noi crchiamo è n P( K) p K ( p ) L insim dll n riptizioni dl nostro sprimnto con tutt l proprità lncat, inclusa P(K), prnd il nom di procsso di Brnoulli. n K

12 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Vdiamo di saminar un po' più nl dttaglio tal procsso. Intanto, il atto ch lo spazio di campioni abbia solo lmnti implica ch, su n riptizioni, i risultati possibili siano n. Pr smpio, s supponiamo di ttuar n3 riptizioni, i risultati possibili sono i sgunti: ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Sulla bas di qusta tablla di risultati, diamo una giustiicazion intuitiva dlla ormula data prima pr P(K). Supponiamo ad smpio di volr P(), ossia la probabilità ch, sull 3 riptizioni, vnga uori una sola volta. E intanto vidnt ch i casi a noi avorvoli sono solo 3 prcisamnt i casi (), (3) (4): possiamo prciò cominciar a scrivr ch P( ) P(,,,,,, ) Gli 8 vnti sono tra loro disgiunti (o mutuamnt sclusivi), in quanto è ovvio ch non possono accad insim: s sc la squnza, crtamnt non potrà uscir nssun altra dll altr squnz. Di consgunza, la probabilità ch accada almno uno di 3 è la somma dll probabilità ch ciascuno accada singolarmnt: quindi P( ) P,, + P,, + P,, Considriamo P(,, ) : qusta è la probabilità ch alla prima alla sconda riptizion vnga uori d alla trza vnga uori. Avndo supposto all inizio ch ciascuna prova sia indipndnt dall altr, possiamo scrivr ch P,, P( ) P( ) P( 3 ) ossia ch la probabilità ch i tr vnti accadano in squnza è pari al prodotto dll singol proprità, in bas alla dinizion di vnti indipndnti. In modo analogo, pr l altr du, ossia P,, P( ) P( ) P( 3 ) P,, P( ) P( ) P( 3 ) Avndo inin dtto ch la probabilità ch, alla gnrica prova, vnga uori è pari a p qulla ch vnga uori è pari a -p, possiamo scrivr ch P,, P( ) P( ) P( 3 ) ( p)( p) p ( p) p P,, P( ) P( ) P( 3 ) ( p) p( p) ( p) p P,, P( ) P( ) P( 3 ) p( p)( p) ( p) p

13 Richiami di probabilità quindi possiamo concludr ch P( ) P,, + P,, + P,, 3( p) p qusta si può anch scrivr nlla orma P( ) ( p) p 3 3 ch è in prtto accordo con la ormula gnral. Modllo uniorm di probabilità in spazi campion initi DESCRIZIOE Il caso più smplic di modllo di probabilità su un nomno (o sprimnto) avnt un numro inito di risultati, si ottin quando sono tutt uguali tra loro l probabilità dgli vnti lmntari. Indicato con A il gnrico vnto lmntar dl nomno, ciò signiica ch P( A ) K Un modllo siatto prnd il nom di modllo uniorm. Considrato allora un qualsiasi vnto A dll sprimnto, è ovvio ch la probabilità ch sso si vriichi è data dal rapporto tra il numro di vnti lmntari avorvoli ad A d il numro total di vnti lmntari possibili: possiamo cioè scrivr ch P( A), dov è appunto il numro di vnti lmntari avorvoli ad A. L smpio classico è qullo dl lancio di un dado a 6 acc. Assumndo tutt uguali ad /6 l probabilità lmntari, è ovvio ch la probabilità ch vnga uori un numro pari è 3/6, in quanto 6 sono gli vnti lmntari possibili 3 di ssi (,4,6) sono qulli avorvoli all vnto. ESEMPIO Supponiamo di avr a disposizion diodi idntici tra loro di sapr ch 3 sono guasti. Vogliamo la probabilità ch, scglindon 5 a caso, s n trovino guasti. La prima cosa da ar è individuar lo spazio di campioni sul qual ar i nostri ragionamnti. Il nomno (o sprimnto) ch stiamo considrando consist nllo scgli 5 diodi su : i risultati 3

14 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo possibili sono dunqu in numro di, pr cui qusta è la dimnsion dllo spazio dgli vnti, 5 ossia il numro di vnti lmntari. Adsso, il atto ch i diodi siano idntici ci consnt di utilizzar il modllo uniorm introdotto prima. oi vogliamo la probabilità ch, di 5 diodi prsi, siano guasti gli altri 3 unzionanti. Dtto in altr parol, noi vogliamo la probabilità dll vnto A pr cui, prndndo 5 diodi, c n siano guasti 3 sani. 3 Dato ch, ni diodi, c n sono 3 guasti, noi abbiamo possibilità di scglir diodi guasti. In modo analogo, dato ch, ni diodi, c n sono 7 sani, noi abbiamo diodi sani. Possiamo allora scrivr ch P( A) possibilità di scglir 3 Variabili alatori DEFIIZIOE Fino ad ora, abbiamo considrato spazi di probabilità in cui gli vnti sono insimi astratti non ncssariamnt numrici: basti pnsar allo spazio di probabilità dl lancio di un dado o dlla strazion di una carta da un mazzo o di una pallina da un urna. E spsso convnint associar, ad ogni risultato dll sprimnto casual considrato, un valor numrico: tal valor può ssr sclto in modo dl tutto convnzional oppur può ssr introdotto al solo scopo di classiicar in modo più prciso i risultati o può anch rapprsntar il valor assunto da una grandzza isica in corrispondnza dl risultato ottnuto. Pr smpio, nlla produzion di un crto tipo di oggtti, è possibil associar convnzionalmnt il valor logico a ciascun pzzo dittoso d il valor logico a ciascun pzzo sano. Oppur, s l sprimnto consist nlla produzion in sri di un crto tipo di rsistori, vin immdiato pnsar di carattrizzar il rsistor prodotto (cioè il risultato dll sprimnto) con il valor dlla sua rsistnza. Considriamo prciò un sprimnto casual il cui spazio di probabilità sia (S,P), dov S è lo spazio di vnti, ossia l insim di tutti i possibili risultati ossrvabili pr il nomno, P è la unzion probabilità, ch a ciascun vnto di S associa la probabilità ch sso si vriichi. Considriamo inoltr una unzion così dinita: : S Si tratta cioè di una unzion ch a ciascun vnto contnuto in S associa un crto valor numrico, ch sarà un valor ral nl caso ch oppur un vttor di lmnti rali s >. Da notar ch R 4

15 Richiami di probabilità non si tratta di una unzion probabilità: si tratta smplicmnt di una lgg analitica ch a corrispondr, a ciascun vnto, un crto valor dtrminato in un modo prstabilito. Una unzion dl tipo di prnd il nom di variabil alatoria (o anch casual) - dimnsional. l sguito noi ci limitrmo a considrar i casi in cui. Considriamo alcuni smplici smpi di variabili alatori Prndiamo l sprimnto casual consistnt nl lancio di una monta: lo spazio campion è prciò { tsta croc} S, la unzion probabilità comprnd i valori P( croc). 5 P( tsta). 5. Un smpio di variabil alatoria può ssr la unzion ch associa il valor all vnto croc d il valor all vnto tsta: possiamo prciò scrivr ch P( ) P( tsta). 5 P( ) P( croc). 5 Considriamo adsso l sprimnto casual consistnt nl lancio di un dato a 6 acc: lo spazio di campioni è vidntmnt S { } ,,,,, la unzion probabilità è P( i ) 6 i,,...,6 Un smpio di variabil alatoria pr qusto sprimnto è qulla ch, a ciascuna accia, associa il suo numro: possiamo cioè dinirla tal variabil alatoria con la notazion ( ) i. Un altro smpio di ancora di spazio di campioni può ssr qullo di tutti i sgnali ad nrgia inita. Indichiamo prciò con S { s t s t },,... tal spazio, ch è vidntmnt uno spazio ininito non numrabil. Una variabil alatoria pr qusto spazio può ssr qulla ch, a ciascun sgnal, associa la sua nrgia: ciò signiica ch ssa è dinita mdiant la rlazion s ( t) s ( t) dt Supponiamo ora di considrar un gnrico spazio di campioni S di considrar una variabil alatoria altrttanto gnrica. Supponiamo inoltr di volr la probabilità ch a, con a costant ral: qusto signiica ch ci intrssa la probabilità ch si vriichi uno qualsiasi dgli s S pr i quali (s)a. Indicato con A l insim ch racchiud tutti qusti vnti, lo possiamo rapprsntar nl modo sgunt: { } A s S s a Calcolar P(s) quival dunqu a calcolar la probabilità ch si vriichi l vnto A. In modo analogo, s vogliamo calcolar la probabilità ch si vriichi la condizion a b, noi dobbiamo calcolar la probabilità ch si vriichi l vnto { } B s S a s b i Diamo adsso una important dinizion: D. Avndo dtto ch una variabil alatoria associa ad ogni vnto di S un crto valor numrico (scalar o vttorial), noi dirmo rango dlla variabil il codominio di, cioè l insim (S) di valori ossrvabili pr la unzion. Lo indichrmo con R. 5

16 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Variabil alatoria discrta D. oi dirmo ch una variabil alatoria è discrta s il rango di è un insim inito o comunqu numrabil. Quindi, dir ch una crta variabil è discrta signiica dir ch il suo rango è dl tipo {,,...,,...} R dov,,..., n,... (con n inito nl caso di R inito oppur indtrminato s R è ininito numrabil) sono dgli scalari s è monodimnsional oppur di vttori a componnti s è - dimnsional. Allora, noi sarmo smpr intrssati a valutar la probabilità ch la variabil alatoria assuma qui valori, ossia sarmo intrssati a valutar P( ) P( )... Qusti numri, ch spsso indichrmo con l lttr minuscol p,p,..., godono ovviamnt di proprità: trattandosi di valori di probabilità rlativi ad uno stsso nomno, ssi sono tutti maggiori o al più uguali a zro; inoltr, pr lo stsso motivo, la loro somma, pr n inito o ininito, è smpr pari ad. La unzion P ch associa ad ogni valor i dl rango di la probabilità ch assuma qul valor prnd il nom di unzion di probabilità di. L insim dll coppi ( i,p i ), con i,,..., costituisc invc ciò ch si chiama distribuzion di probabilità di. Ad ogni modo, noi ci occuprmo poco di variabili alatori discrt, mntr ci concntrrmo maggiormnt su di un altra class, ch è qulla ch vin introdotta nl prossimo paragrao. n COTIUITÀ DI UA VARIABILE ALEATORIA E FUZIOE DESITÀ Considriamo una gnrica variabil alatoria : S con o. oi dirmo ch si tratta di una variabil alatoria continua s sist una unzion ral : R R ch god di 3 proprità carattristich: R. ( ) R. ( ) d 6

17 Richiami di probabilità 3. A R : P A ( ) d : qusta proprità dic ch, prso un qualsiasi sottoinsim A A di R, la probabilità ch i valori riscontrati pr acciamo part di A è data da qull intgral Una unzion ch goda dll prim proprità si dic ch è una dnsità; la trza proprità a invc sì ch ad si dia il nom di dnsità di probabilità. Com sarà chiaro tra poco com si dduc proprio dlla trza proprità, una unzion dnsità di probabilità srv a indicar il pso di singoli punti o di intri sottoinsimi di R. Pr indicar ch la unzion () rapprsnta una dnsità di probabilità rlativa ad una variabil alatoria, si usa indicarla con (). Il signiicato matmatico dlla dnsità Riguardo la trza proprità dlla unzion dnsità rlativa ad una crta variabil alatoria, possiamo visualizzar il suo signiicato nl modo ch sgu: la unzion dnsità può ssr rapprsntata su di un graico cartsiano in unzion di d avrà un crto andamnto: () a b Fissiamo adsso un intrvallo [a,b] gnrico, con a b ch potrbbro anch ssr ininiti; s noi andiamo a calcolar, mdiant la proprità 3, il valor di P(a<<b), non acciamo altro ch misurar l ara dlla rgion di piano comprsa tra la curva di, l ass dll asciss d i punti a b. Qusto dal punto di vista matmatico; dal punto di vista probabilistico, con qusto calcolo misuriamo il PESO dll intrvallo [a,b] rlativamnt alla variabil alatoria prsa in sam. Ossrvazion: pso nullo di singoli punti Considriamo una variabil alatoria continua considriamo un qualsiasi punto di R. S è continua, ssa avrà una crta dnsità. Vogliamo calcolar la probabilità ch pr si ossrvi il valor, ossia vogliamo P(). Utilizzando la trza proprità di, noi abbiamo ch P A { } ( ) d dov abbiamo cioè posto l insim A pari smplicmnt al valor. Tuttavia, proprio pr il atto di ssr costituito da solo punto, è noto ch ad A si assgna misura nulla d un intgral stso ad un insim di misura nulla è smpr, qual ch sia la unzion intgranda. Quindi P(). 7

18 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Qusta è una proprità ondamntal dll variabili alatori continu: data una variabil alatoria, ogni singolo punto dl rango (cioè dl codominio), ch può ssr R o un suo sottoinsim, ha pso. Apparntmnt qusto atto può smbrar poco intuitivo: tuttavia, dobbiamo smpr tnr prsnt ch, s assumiamo ch possa assumr tutti i valori di un dtrminato intrvallo, dobbiamo da un lato dir ch la probabilità ch assuma un dtrminato valor sia, ma, contmporanamnt, dobbiamo anch ammttr ch la probabilità ugual a zro non quivalga alla impossibilità. In altr parol, nl caso di variabili alatori continu, il atto ch P(A) O implica ncssariamnt ch A sia un insim vuoto. DESITÀ DI UA VARIABILE ALEATORIA COTIUA DISTRIBUITA UIFORMEMETE SU U ITERVALLO Fissiamo un crto intrvallo [a,b] considriamo una variabil alatoria monodimnsional il cui rango R coincida proprio con tal intrvallo. Considriamo adsso la unzion ral il cui andamnto in unzion è il sgunt: ( ) b s [a, b] a altrimnti () b a a b Vogliamo intanto vdr s si tratta di una unzion dnsità, ossia s vriica l prim proprità: assum smpr valori positivi o al più nulli d inoltr, calcolandon l intgral stso ad [a,b], sso è pari ad. Quindi si tratta di una unzion dnsità. Prndiamo adsso un sottoinsim A di R, sruttando la trza proprità, calcoliamo la probabilità ch il rango di sia contnuto in A, ossia calcoliamo P( A): ( A) P ( ) d Dato ch la unzion assum valori nulli all strno di [a,b], anch il suo intgral stso a punti strni a tal intrvallo sarà nullo, pr cui noi possiamo scrivr ( A) P A b a d Si dic allora ch la variabil alatoria è distribuita uniormmnt su [a,b]. b a 8

19 Richiami di probabilità DISTRIBUZIOE CUMULATIVA DI UA VARIABILE ALEATORIA COTIUA Supponiamo di avr una variabil alatoria continua supponiamo ch sia la sua dnsità. Dato un qualsiasi punto dl codominio di, calcoliamo la probabilità ch la variabil assuma un valor minor o al più ugual ad : sruttando la unzion dnsità, possiamo scrivr ch P( ) + () d Si pon allora F () P( ) () d Qusta unzion F () è una unzion ral di variabil ral ch non psa ogni singolo punto ma psa da - ino a qul punto. Essa god dlla proprità ondamntal pr cui ( ) df d ( ) ossia è una primitiva dlla unzion (). Ma la unzion F god anch di altr proprità, ch sono l sgunti:. lim F ( ) : inatti, è crto ch. lim F ( ) : inatti è impossibil ch - 3. F è una unzion continua 4. F è strttamnt monotona (crscnt o dcrscnt) sul rango di, mntr al di uori dl rango, potrbb anch ssr costant. Qusta unzion F prnd il nom di distribuzion cumulativa o unzion di distribuzion dlla variabil alatoria. E vidnt ch la conoscnza di F quival alla conoscnza di : inatti, in bas alla rlazion vista prima, basta drivar F pr conoscr. Vdiamo una sri di altr proprità di F. La prima è la sgunt: La dimostrazion è immdiata: inatti, dato ch P F ( ) F ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) P P P P 9

20 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo è chiaro ch P P P F ( ) F ( ) Chiaramnt, una consgunza immdiata di qust ultima proprità dlla dinizion di dnsità di probabilità è ch P ( ) d Smpr sulla alsa riga di qust ultima ricordando ch F (-), è chiaro ch Un altra proprità è la sgunt: P ( ) d F ( ) S F F () () monotona monotona crscnt dcrscnt F ( F ) F ( ( ) F ) ( ) Esmpio: variabil alatoria continua Considriamo una variabil alatoria continua, la cui dnsità sia ( s ) [,] altrimnti () Vogliamo la distribuzion cumulativa di sulla bas dlla dinizion: abbiamo F () P( ) ( τ) dτ Data la particolar struttura di (), possiamo spzzar l intgral in parti: F () ( τ)dτ + ( τ) dτ

21 Richiami di probabilità Il primo intgral è sicuramnt nullo in quanto la unzion intgranda, (τ), è nulla prima di : quindi F () ( τ) dτ Qusto scondo intgral assum du valori divrsi a sconda dl valor di, dato ch il valor di (τ) dipnd proprio da : il primo caso è qullo in cui [,]: in qusto caso, risulta (τ)τ, pr cui scriviamo ch [,] τ F () τdτ il scondo caso è qullo in cui è strno all intrvallo [,]: in qusto caso, pr l ipotsi att, risulta (τ) quindi anch l intgral risulta nullo. Possiamo prciò concludr ch F () s [,] altrimnti Esmpio: distribuzion uniorm su un intrvallo Considriamo una variabil alatoria la cui unzion dnsità sia ( ) b s [a, b] a altrimnti Sappiamo ch una siatta si dic uniormmnt distribuita sull intrvallo [a,b]. E immdiato comprndr com la sua distribuzion cumulativa F () sia la sgunt: F () a b

22 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Esmpio: distribuzion sponnzial Considriamo una variabil alatoria continua, la cui distribuzion cumulativa sia F λ s > ( ) s Vogliamo la dnsità di : ci basta ttuar una drivazion risptto ad, dalla qual ottniamo L andamnto di qusta unzion è il sgunt: λ λ s > ( ) s λ () Una variabil alatoria ch abbia una unzion dnsità di probabilità così atta si dic ch ha una distribuzion sponnzial con paramtro λ. Una carattristica molto important di una variabil alatoria ch abbia qusta distribuzion è qulla di ssr snza mmoria: ciò signiica ch val la rlazion P( > T + s > T) P( > s) La vriica di qusta proprità è immdiata: intanto, usando la dinizion di probabilità condizionat, abbiamo ch P( > T + s > T) P( > T + s > T) P > T Ossrvando il numrator di qulla razion, è vidnt ch la probabilità ch sia >T+s >T è smplicmnt la probabilità ch >T+s, pr cui P > T + s > T ( > + ) P( > T) P T s Qusta può anch ssr sprssa nlla orma P( T) P T s P( > T + s > T) +

23 Richiami di probabilità Adsso, pr dinizion di distribuzion cumulativa di una variabil alatoria continua, possiamo scrivr ch F ( T s) P( > T + s > T) + F T Fin qui, il discorso è dl tutto gnral. Adsso subntra la particolar struttura di F (): inatti, sostitundo l sprssion dlla distribuzion cumulativa, abbiamo ch P( > T + s > T) λ( T+ s) ( ) λt ( ) λ( T+ s) λt λs λs F s P s T T ( > ) λ λ FUZIOI DI VARIABILI ALEATORIE Supponiamo di avr un crto nomno il cui spazio dgli vnti sia S supponiamo anch di avr una gnrica variabil alatoria : S R, con o. on ci intrssano vntuali proprità di cui possa godr. Considriamo invc un altra unzion H così dinita: H: R R. Si tratta di una unzion ch associa ad lmnti di R di prcisi valori rali. A qusto punto, componiamo l unzion H nl modo sgunt: S R H R Abbiamo cioè costruito la unzion H: S R ch vidntmnt è una variabil alatoria monodimnsional. Da notar ch il atto ch si tratti di una variabil alatoria non dipnd dalla struttura dlla unzion H, ma solo dal atto ch sia una variabil alatoria. Vdiamo allora s è possibil ricavar l carattristich statistich dlla variabil alatoria H(), not ch siano qull di, ossia, in dinitiva, conoscndo () /o F (). Intanto, posto pr comodità H(), abbiamo, pr dinizion di distribuzion cumulativa, ch F ( y ) P y P H ( ) y S noi poniamo allora A R H( ) y, è chiaro ch F ( y) P H y ( ) d A Esmpio: distribuzion cumulativa di con gnrica Supponiamo di avr una variabil alatoria dlla qual conosciamo la unzion dnsità (). Vogliamo trovar la distribuzion dll altra variabil alatoria H, ch sarà vidntmnt anch ssa una variabil alatoria continua. 3

24 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Pr comodità, poniamo H, pr cui il nostro scopo divnta qullo di conoscr F (y): inatti, com abbiamo dtto prima, s troviamo F, ci bastrà drivar pr ottnr la distribuzion dlla variabil. Possiamo subito applicar la dinizion circa la unzion F : si ha ch F ( y ) P( y). Poiché H() abbiamo ch F ( y ) P( H ( ) y). Il calcolo di P( H( ) y) si ttua sruttando la unzion dnsità (ch è nota) dlla variabil alatoria : inatti, si ha ch P H y ( ) d { R H( ) y} Qusta ormula driva dalla sgunt considrazion: l vnto pr cui H() y, dal punto di vista dlla probabilità di accadr, è quivalnt all vnto pr cui assuma qui valori tali ch la rlazion H() y sia vriicata; di consgunza, la probabilità di qull vnto è pari al pso di tali punti pr la. Poniamo pr comodità A R H( ) y, pr cui abbiamo ch F ( y) P H y ( ) d A qusto punto, si tratta di capir com è atto qusto insim A sul qual noi ttuiamo la nostra intgrazion. I casi possibili sono : s y<, è ovvio ch A è l insim vuoto, in quanto non potrà mai ssr vriicata la rlazion y ; s, invc y>, l insim A divnta vidntmnt A pr cui A R y R y y F ( y) ( ) d ( ) d { y, y} y y Poiché la unzion F () è pr dinizion una primitiva di (), abbiamo ch F ( y) F y F y Drivando (mdiant il torma di drivazion dll unzioni compost) ottniamo df y d [ ] dy dy F y F y df y d y d dy ( y) ( y) ( y) df ( y) y d y y d dy dy y y ( y) d d dy ( y) 4

25 Richiami di probabilità In conclusion, quindi, la dnsità di è ( y) ( y) ( y) + y y Esmpio: distribuzion cumulativa di con distribuita uniormmnt Supponiamo di avr una variabil alatoria distribuita uniormmnt continua nll intrvallo [,]. Troviamo ancora una volta la distribuzion dlla variabil alatoria H(). Possiamo procdr sia applicando la ormula ricavata poco a, sia riptndo il ragionamnto. La prima via è immdiata, considrando ch ( ) s [,] altrimnti pr cui vdiamo la sconda. Usando la dinizion dlla unzion F, abbiamo ch F ( ) ( τ) dτ Possiamo subito applicar la dinizion circa la unzion F : si ha ch F ( y) P y P H( ) y ( ) d A { R H( ) y} A qusto punto, dato ch la unzion assum valori non nulli solo nl rango di, cioè nll intrvallo [,], non ha snso calcolar qull intgral su tutto A, ma solo sull intrszion con R, nlla qual, tra l altro, la unzion val smplicmnt /: quindi F ( y) d d A R A R A qusto punto, l unico problma sta nl dtrminar la misura dll insim A R. Pr ricavar qusta misura, la prima cosa da ar è individuar com è atto l insim A pr cui, ricordandoci di qullo a cui corrispond, è ncssario risolvr la disquazion H( ) y. Qusta disquazion dà qusto risultato: y y y 5

26 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo L intrszion con R [,] può allora dar divrsi risultati a sconda dl valor sclto pr la variabil (ral) y: inatti, l strmo sinistro dll intrszion è comunqu ; l strmo dstro è oppur y ½ a sconda di qual di valori sia minor. TEOREMA: CALCOLO DI F ELL IPOTESI DI IVERTIBILITÀ DI H() Una sicura acilitazion pr i calcoli dl tipo di qulli svolti nll srcizio prcdnt risulta nl caso particolar in cui la variabil alatoria H() è invrtibil sul rango di. Inatti, sotto qusta ipotsi, sist la unzion invrsa di H ciò consnt di acilitar il calcolo di P(H() y). Ricordandoci ch l invrtibilità di una unzion su un crto intrvallo implica la strtta monotonia dlla unzion sullo stsso intrvallo, si possono allora prsntar dirnti casi: s H() è strttamnt crscnt, si ha ch ( ) ( ) P H y P H y s H() è strttamnt dcrscnt, si ha invc ch Quindi possiamo scrivr ch ( ) ( ) P H y P H y ( ) ( ) F y P H y P H y P H y pr H() crscnt pr H() dcrscnt Fissato y, è ovvio ch H - (y) è un numro, pr cui, in bas alla dinizion di distribuzion cumulativa di una variabil alatoria, qulla rlazion divnta ( ) F ( H ( y) ) F H y F ( y) P( H y) pr H() crscnt pr H() dcrscnt A qusto punto, ricordando ch df ( y) ( y), possiamo scrivr ch dy dh ( y) ( H ( y) ) dy ( y) ( y) ( H ( y) ) - dh dy pr H() crscnt pr H() dcrscnt 6

27 Richiami di probabilità quindi possiamo compattar qust du rlazioni nll unica rlazion ( y) H ( y) dh dy ( y) Pr smpio, s oss a+b, avrmmo ( y) y b a a Esmpio: H()3+ Supponiamo di avr una variabil alatoria la cui dnsità sia ( s ) [,] altrimnti Considriamo adsso la unzion H()3+ mdiant la qual costruiamo la nuova variabil alatoria H()3+. Vogliamo la distribuzion di probabilità di. Usiamo anch qui il conctto di distribuzion cumulativa: si ha intanto ch F y P( H y) P( y) P y ( ) d 3 y Ora, data la struttura di (), è ovvio ch F ( y) ( ) d d Inoltr, a qusto punto bisogna distingur du casi, a sconda ch la quantità y 3 minor di : y - d y 3 > y > F ( y) ( ) d y 3 y - altrimnti d altrimnti 3 y 3 y 3 sia maggior o ota F, ci basta drivar pr ottnr : quindi ( y ) y - 9 y - 3 > altrimnti 7

28 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Aspttazion di una variabil alatoria DEFIIZIOE Considriamo una variabil alatoria. La unzion di distribuzion oppur la dnsità di probabilità (nl caso sia continua) orniscono una dscrizion statistica complta di in quanto consntono di dtrminar la probabilità di ogni vnto < <. Tuttavia, in molt applicazioni si ha intrss a conoscr non tanto la lgg di distribuzion, quanto alcuni indici carattristici di una variabil alatoria ch riassumano gli asptti principali dlla lgg di distribuzion. Il nostro scopo è prciò qullo di introdurr alcuni paramtri ch orniscono dll inormazioni aggiuntiv circa una variabil alatoria. Sia data prciò una gnrica variabil alatoria continua sia () la sua dnsità: si dinisc aspttazion o mdia o momnto dl ordin o valor mdio di il numro ral E ( ) d Si dinisc, in gnral, momnto dl ordin di il numro ral E ( ) d dov,,3,.. Facciamo ossrvar com la mdia di sist d è inita solo nll ipotsi ch dia un valor inito il sgunt intgral: ( ) d Qual può ssr una intrprtazion isica, concrta dl conctto di mdia di una variabil alatoria? Possiamo dir ch la mdia ornisc una indicazion sulla posizion attorno alla qual si raggruppano i valori dlla : in qusto snso, ssa è un indic di posizion dlla variabil. PROPRIETÀ DELLA MEDIA DI UA VARIABILE ALEATORIA Vdiamo vlocmnt alcun proprità dlla mdia:. S E(). E( + ) E + E 3. E( c) ce c R 4. E( c) c c R 5. S E() E() 8

29 Torma Richiami di probabilità Sia data la variabil alatoria dlla qual siano not tutt l carattristich statistich. Sia data poi un altra variabil alatoria H() costruita a partir da. Si dimostra ch il gnrico momnto dl ordin di si può calcolar mdiant la rlazion E( ) y ( y) dy H ( ) ( ) d Varianza dviazion standard di una variabil alatoria DEFIIZIOE Sia data la variabil alatoria continua. Si dinir varianza di il numro ral σ [( E ] Var() E ) Quindi, data la variabil alatoria, si calcola la sua mdia, la si sottra ad, la si lva al quadrato si calcola ancora una volta la mdia. Si dinisc invc dviazion standard di il numro ral σ Var In analogia a quanto val a com vin indicata la dviazion standard, talvolta la varianza di si indica con il simbolo σ. L intrprtazion isica concrta dlla dviazion standard di una variabil alatoria, in accordo a quanto dtto circa la mdia dlla stssa variabil, è la sgunt: s E() è valor intorno al qual di dispongono i valori dlla, Var() indica di quanto tali valori si discostano da tal valor mdio. La varianza, invc, or una indicazion circa l addnsamnto di valori dlla variabil attorno al valor mdio: in qusto snso si dic ch ssa costituisc una indic di disprsion. Proprità dlla varianza di una variabil alatoria Vdiamo anch qui vlocmnt qualch proprità dlla varianza:. Var. Var E( ) ( E ) 3. Var( c) c Var c R 4. Var Var( ) 5. Var( c) c R 9

30 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Cnni sull variabili alatori bidimnsionali Siano d du variabili alatori monodimnsionali continu, l cui rispttiv distribuzioni cumulativ siano F () F (y). La coppia (,) costituisc a sua volta una variabil alatoria continua, qusta volta bi-dimnsional. Pr dinizion, la distribuzion cumulativa di qusta variabil alatoria è la unzion F (, y ) P( y) mntr la unzion dnsità di probabilità è la unzion F (, y) (, y) y Vista al contrario, qusta rlazion può anch ssr scritta nlla orma F (, y) y (, y) ddy In qusta sprssion, è bn distingur l variabili di intgrazion dagli strmi di intgrazion: indicando allora l variabili di intgrazion con τ t, possiamo riscrivr lo stsso intgral doppio nlla orma F (, y) y (t, τ) dtdτ Dirmo ch l du variabili alatori d sono indipndnti nl caso in cui sussist la rlazion F (, y) F ( ) F ( y) Si dimostra inoltr ch sussist il sgunt risultato: P ( y) (, y) ddy y Prndono il nom di unzioni di distribuzion marginal rispttivamnt di di l sgunti du unzioni: () (, y)dy (y) (, y) d Supponiamo adsso ch Z sia una variabil alatoria ottnuta com unzion dll variabili alatori d : in particolar, supponiamo ch sia Z g(, ). Sussist il sgunt risultato circa il calcolo dlla mdia di Z: E[ Z] g(, y) (, y) ddy 3

31 Richiami di probabilità Diamo adsso alcun importanti dinizioni: si dinisc momnto congiunto, di ordin, dll variabili d la quantità [ ] E, ossia la mdia dl prodotto dll variabili alatori d ciascuna lvata ad un sponnt di valor ; è intuitivo comprndr ch tal momnto congiunto val E [ ] y (, y) ddy si dinisc corrlazion di d la quantità E[ ] ; nl caso in cui d sono indipndnti, si dimostra ch tal corrlazion è data da [ ] E[ ] E[ ] E si dinisc momnto cntral di ordin -n dll variabili d la quantità n [( ) ( ) ] E E E l caso in cui n, qulla quantità divnta vidntmnt [( )( )] [ ] [ ] [ ] E E E E E E prnd il nom di covarianza di d (si indica con cov(,)) si dinisc coicint di corrlazion di d (o anch covarianza normalizzata) la quantità cov(, ) E[ ] E[ ] E[ ] ρ σ σ E E E E [ ] [ ] E acil vriicar ch, s d sono indipndnti, il loro coicint di corrlazion risulta ugual a. In gnral, invc, ρ Funzion carattristica di una variabil alatoria DEFIIZIOE EL CASO COTIUO Considriamo una gnrica variabil alatoria ch sia continua: qusto signiica ch ssa possid una unzion dnsità di probabilità, ch pr comodità indichiamo con g (). Sussist la sgunt dinizion: 3

32 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo D. Si dinisc unzion carattristica di la unzion Φ jν [ ] Si tratta cioè dlla mdia dlla variabil alatoria jν : dato ch qusta è ottnuta com unzion dlla variabil alatoria di partnza, possiamo snz altro applicar il noto torma sulla mdia di una unzion di una variabil alatoria scrivr ch ν [ ] E j jν Φ ν E g ( ) d In qust ultima rlazion vin dunqu indicato un prciso lgam tra la unzion carattristica di la unzion dnsità di stssa. Possiamo carattrizzar ancora mglio qusto lgam, acndo uso dl conctto di trasormata di Fourir. Inatti, in qull intgral nssuno ci vita di ttuar un cambio di variabil; in particolar, possiamo porr : ottniamo Φ jν g d Possiamo anch porr anch νπt, pr cui Qusta rlazion indica vidntmnt ch Φ jπt Φ π ( t) g ( ) d Fourir ( πt) g ( ) ossia ch la unzion carattristica di una variabil alatoria può ssr vista com l antitrasormata di Fourir dlla dnsità di probabilità dlla variabil alatoria stssa. APPLICAZIOE: SOMMA DI VARIABILI ALEATORIE IDIPEDETI Qusto risultato è important in quanto ci consnt di utilizzar tutt l proprità ch noi conosciamo circa la trasormata di Fourir. Pr smpio, in prcdnza noi abbiamo dimostrato ch, considrat du variabili alatori indipndnti tra loro considrata la loro somma +, la dnsità di probabilità di si ottin mdiant la ormula g ( ) g ( ) * g ( ) ossia com prodotto di convoluzion dlla dnsità dll du variabili alatori di partnza. 3

33 Richiami di probabilità La dimostrazion di qusto risultato non è stata molto agvol, mntr invc possiamo arla in modo strmamnt rapido sruttando proprio la trasormata di Fourir la dinizion di unzion carattristica. Inatti, la unzion carattristica di è data pr dinizion da Φ E jν jν ( + ) jν jν [ ] E[ ] E[ ] j Dato ch sono pr ipotsi indipndnti tra loro, lo saranno anch l variabili ν j ν. Allora, dato ch la mdia dl prodotto è pari al prodotto dll mdi quando l du variabili sono indipndnti, possiamo scrivr ch Φ jν [ ] E[ ] jν Φ Φ ( ν ) E A qusto punto, possiamo trasormar scondo Fourir qusta rlazion: sruttando la proprità di convoluzion in rqunza (in bas alla qual un prodotto nl dominio di tmpi quival ad una convoluzion nl dominio trasormato), noi abbiamo ch [ Φ ] Fourir [ Φ ]* Fourir [ Φ ] Fourir d da qui scaturisc vidntmnt ch g ( ) g ( ) * g ( ) Esmpio: variabili alatori con distribuzion di Erlang Possiamo subito considrar una applicazion pratica dlla proprità appna vista. Considriamo inatti una variabil alatoria continua ch sia ottnuta sommando variabili alatori continu,,...,, avnti tutt distribuzion di Poisson con paramtri λ: ciò signiica, pr quanto visto in prcdnza, ch la dnsità di probabilità dlla gnrica i è λ g i () λ > Pr ricavar la dnsità di probabilità di, dobbiamo sguir la convoluzion tra l vari dnsità di probabilità. Il risultato inal ch si ottin, dal calcolo di qusto prodotto di convoluzion, è il sgunt: λ λ g () > ( )! Una variabil alatoria ch abbia qusta dnsità di probabilità si dic variabil di Erlang di ordin paramtro λ. Esguiamo qusto calcolo nl caso smplic in cui, pr cui + : applicando la dinizion di prodotto di convoluzion, ottniamo g λ () g λα λ ()*g ( α) () dα λ g λ ( α)g dα λ ( α)dα λ λα λα λ( α) ( λ ) g ( α)dα ( λ )( λ ) 33 dα

34 Appunti di Rti di Tlcomunicazioni - Capitolo Da notar l importanza dgli strmi di intgrazion ni passaggi appna svolti. E vidnt ch il risultato ottnuto è assolutamnt congrunt con qullo gnral riportato prima. Un possibil modo pr arrivar a dimostrar il risultato gnral è qullo di procdr pr λ λ induzion: ciò signiica considrar una variabil, con distribuzion g () pr ( )! >, dimostrar ch la nuova variabil + +, con + sponnzial, ha distribuzion g λ (y)! + Vriichiamo qusto risultato. Si tratta sostanzialmnt di riptr il calcolo, visto poco a, nl caso dlla somma di du variabili: abbiamo ch y λy g (y) g λ ( )! + λ ( )! (y)*g α y λy + λα α g (y) + g ( α)g + λ dα ( )! λy + λ (y α)dα ( )! (y α)dα y α + y λ! λy λα y λ α ( )! λ( y α) ( λ ) λα g + + λ dα ( )! (y α)dα y α λy dα Abbiamo ottnuto ciò ch volvamo. Una volta nota la dnsità di probabilità g () dlla variabil con distribuzion di Erlang, possiamo ricavar altr su carattristich statistich. In raltà, non ci srv conoscr g () pr calcolar la mdia di : ssndo inatti data dalla somma di variabili sponnziali, la sua mdia è calcolabil com somma dll mdi (in bas alla linarità) dll mdi, pr cui E[] E [ ] E[ ] + E[ ] E[ ] λ λ λ λ Ci srv invc g () pr calcolar, ad smpio, la unzion carattristica di. Inatti, cominciamo col ricordar ch Φ (ν) è intrprtabil com antitrasormata di Fourir di g (): Φ F [ g ()] Ma g () è la convoluzion dll dnsità di probabilità dll singol variabili i ch costituiscono. di consgunza, applicando una nota proprità dlla trasormata di Fourir, ad una convoluzion in un dominio corrispond un prodotto nll altro dominio, da cui dduciamo ch Φ (ν) è pari al prodotto dll unzioni carattristich Φ i (ν) dll singol i : Φ [ g ()] F [ g () *g ()*...*g ()] Φ Φ... Φ F D altra part, l i sono variabili uguali tra loro (cioè con la stssa distribuzion), pr cui hanno la stssa unzion carattristica: scriviamo prciò ch ( Φ Φ ( ν ν ) i ) 34

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