Probabilit` a Discreta

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1 Probabilità Discreta

2 Itroduzioe Feomeo determiistico e o determiistico (o aleatorio): il determiistico, dato u sistema meccaico, e cooscedo le codizioi iiziali è sempre possibile studiare e prevedere quale sarà lo stato del sistema ad u assegato tempo. Nel o-determiistico, o è c è alcu modo di prevedere co certezza cosa accadrà al sistema. Ciò o sigifica che o si possa dire ulla sul risultato. Spazio degli eveti Ω: è l isieme di tutti i possibili risultati di u dato feomeo. Gli eveti soo i risultati otteibili: per esempio se Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} u eveto può essere A = {1}, cioè esce l 1, oppure B = {1, 3, 5}, cioè esce u umero dispari. Ioltre se Ω = {a 1, a 2,..., a } si può scrivere come Ω = {a 1 } {a 2 }... {a }.Co gli eveti è possibile fare le operazioi isiemistiche: 1. A B corrispode all eveto : i due eveti associati a A e B si verificao etrambi. 2. A B corrispode all eveto: almeo u dei due eveti si verifica. 3. C(A) oppure A C corrispode all eveto: l eveto associato ad A o si verifica (cioè si verifica quello associato a Ω\A ) 4. deota eveti impossibili, impossibili da verificarsi. 5. L eveto Ω sarà l eveto certo, il risultato sarà sicuramete i Ω. Da queste defiizioi di eveti, si evice che tutti i possibili sottoisiemi di Ω soo eveti, e che quidi gli eveti risultati, dato Ω di cardialità, soo al più P(Ω) = 2. Probabilità: la probabilità sarà u applicazioe P che ad ogi eveto (ovvero ad ogi sottoisieme di Ω) associa u umero reale, i maiera tale che questo umero sia tato più grade quato più l eveto è probabile. È aturale che se A e B soo due eveti tali che A B = allora P (A B) = P (A) + P (B) Algebra A: si chiama algebra, A, ua famiglia di isiemi coteuta i P(Ω), quidi A P(Ω), tale che, dati A, B A 1. A B A e per ricorreza quidi ache i=1 A i A, cioè l uioe di u umero fiito di s.i. A i A 1

3 2. A B A e per ricorreza quidi ache i=1 A i A, cioè l itersezioe di u umero fiito di s.i. A i A 3. A C := Ω\A A σ-algebra (tribù): essere algebra sia ua famiglia A di parti di u isieme Ω si dice σ-algebra se oltre ad 1. i=1 A i A, cioè l uioe di u umero ifiito di s.i. A i A 2. i=1 A i A, cioè l itersezioe di u umero fiito di s.i. A i A Quidi la Probabilità P è u applicazioe P : A [0, 1] tale che: 1. P (Ω) := 1 2. Data ua successioe di elemeti di A tale che A i A j = allora: ( ) P A i = i=1 P (A i ) i=1 Spazio delle probabilità: è ua tera (Ω, A, P ) dove Ω è u isieme; A è ua σ-algebra di parti di Ω; P è ua probabilità su A, cioè P : A [0, 1] Ipotesi di equiprobabilità: a partire dalla atura del problema, spesso etra i gioco l ipotesi di equiprobabilità, cioè è ragioevole supporre che i risultati si verifichio tutti co uguale probabilità: se vi è l ipotesi di equiprobabilità, la probabilità di u eveto A è: P (A) = A. Dato che P (Ω) = 1 e Ω si può scrivere come Ω = {a Ω 1} {a 2 }... {a }, Ω =, se a i a j e soo equiprobabili si ha: P ({a 1 }) = P ({a 2 }) =... = P ({a }) = 1 quidi che P ({a 1})+P ({a 2 })+...+P ({a }) = P (Ω) = 1 Proprietà dello spazio delle probabilità: 1. Se A A A C A A A C = Ω. Quidi se B A si ha B = B (A A C ) = (B A) (B A C ) e gli eveti B A e B A C soo disgiuti (poiché lo soo A e A C ). Quidi P (B) = P (B A) + P (B A C ) e se si poe B = Ω si ha che: 1 = P (Ω) = P (A) + P (A C ) P (A C ) = 1 P (A) 2. Se ivece A B se si verifica A allora si verifica ecessariamete B: A B; A B 2

4 3. Dalle formule di de Morga si sa: ( A ) c = Ac e dal puto (1) si ricava che la probabilità di u uioe fiita di eveti disgiuti è ( ) c ( ) P A = 1 P 4. La probabilità dell uioe fiita di eveti o disgiuti sarà uguale a: P (A 1 A 2... A ) = + A i i=1 A c i 1 <i 2 P (A i1 A i2 ) + + ( 1) r+1 + i 1 <i 2 < <i r P (A i1 A i2... A ir ) + ( 1) +1 P (A 1 A 2... A ) el caso siao due A, B si ha che P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5. Se B A allora P (A\B) = P (A)\P (B) ifatti A = B (A\B) P (A) = P (B) + P (A\B) P (A\B) = P (A)\P (B) Probabilità codizioata: siao A, B A co P (A) > 0. Si chiama probabilità codizioale di B dato A la quatità: A, B σ P (A B) = P (A B) P (B) cioè la probabilità che B si verifichi sapedo che A si è verificato. Corollario: dalla defiizioe discede subito che P (A B) = P (B)P (B A) Eveti idipedeti: due eveti A, B σ si dicoo stocasticamete idipedeti se: P (A B) = P (A) e P (B A) = P (B) I particolare, per gli eveti idipedeti, è vero che: P (A B) = P (A)P (B) Corollario: gli eveti A 1,..., A soo a due a due idipedeti sse P (A i A j ) = P (A i )P (A j ) i, j = 1,... : i j. Metre A 1, A 2,..., A σ si dicoo stocasticamete idipedeti i blocco se P (A i1 A i2... A ik ) = P (A i1 )P (A i2... P (A ik ) i 1, i 2,..., i k {1, 2,..., }. Notiamo che l idipedeza i blocco implica quella a due a due ma o il cotrario. Teorema delle probabilità totali: Ω = A 1 A 2... A, dove gli A i formao ua partizioe di Ω e B è u qualsiasi eveto dipedete da gli A i, allora: P (B) = P (A i B) = i=1 P (B A i )P (A i ) i=1 3

5 Teorema di Bayes: Ω = A 1 A 2... A, dove gli A i formao ua partizioe di Ω e A i A j = i, j = 1, 2,...,, allora: P (A i B) = P (B A i)p (A i ) P (B) = P (B A i )P (A i ) j=1 P (B A j)p (A j ) Disuguagliaza di Boole: A 1, A 2,..., A σ allora: ( ) P A k k=1 P (A k ) k=1 4

6 Calcolo combiatorio Disposizioi semplici: Cosideriamo u isieme formato da elemeti distiti ed u umero k. Si chiamao disposizioi semplici degli elemeti presi a k a k ( o disposizioi della classe k) u gruppo ordiato formato da k degli elemeti dell isieme dato i modo che valgao le segueti proprietà: 1. i ciascu raggruppameto figurao k oggetti seza ripetizioe; 2. due di tali disposizioi si ritegoo diverse quado differiscoo per almeo u elemeto oppure per l ordie co cui gli stessi elemeti si presetao. Il umero delle disposizioi semplici di elemeti distiti, della classe k, si idica co il simbolo D,k il cui valore è dato dalla formula: D,k =! ( k)! Disposizioi co ripetizioe: Cosideriamo u isieme costituito elemeti distiti ed u umero aturale k seza alcua limitazioe superiore. Il problema che ci poiamo è quello di costruire tutti i possibili raggruppameti distiti prededo k oggetti i modo che: 1. i ciascu raggruppameto figurao k oggetti ed uo stesso oggetto può figurare, ripetuto, fio ad u massimo di k volte; 2. due qualsiasi raggruppameti soo distiti se uo di essi cotiee almeo u oggetto che o figura ell altro, oppure gli oggetti soo diversamete ordiati, oppure gli oggetti che figurao i uo figurao ache ell altro ma soo ripetuti u umero diverso di volte. Il umero delle disposizioi co ripetizioe si idica co il simbolo D,k D,k = k ed è dato da: Permutazioi: Le permutazioi semplici altro o soo che le disposizioi di oggetti presi ad ad. Ossia, dato u isieme di oggetti, si dicoo permutazioi di tali oggetti tutti i gruppi che si possoo formare co gli oggetti dati prededoli tutti. Se e deduce allora che le permutazioi semplici differiscoo soltato per l ordie co cui soo disposti gli oggetti distiti coteuti ei vari raggruppameti. Dalla defiizioe segue quidi che le permutazioi coicidoo co le disposizioi semplici di classe, quidi il calcolo delle permutazioi è: P =! 5

7 Permutazioi di elemeti o tutti diversi: Suppoiamo ora che di questi elemeti ve e siao α uguali tra loro (α ). Il umero delle loro permutazioi che idicheremo co P (α) è uguale a: P (α) = P α! =! α! Combiazioi semplici: Dato u isieme di elemeti, si dicoo combiazioi semplici degli elemeti presi a k a k (o di classe k), k tutti i gruppi di k elemeti, scelti fra gli dell isieme dato, i modo che ciascu gruppo differisca dai restati almeo per uo degli elemeti i esso coteuti (seza cosiderare, quidi, l ordie degli elemeti). Da otare la differeza fra disposizioi e combiazioi (semplici): metre elle disposizioi si tiee coto dell ordie, elle combiazioi semplici, ivece, si cosiderao distiti solo quado due i raggruppameti differiscoo almeo per u elemeto. Per determiare il umero delle combiazioi semplici di elemeti di classe k, e che idichiamo co il simbolo C,k ci serviamo della formula: ( ) C,k = = D,k! = k P k k!( k)! Combiazioi co ripetizioe: si possoo predere i cosiderazioe ache le combiazioi co ripetizioe. Cosideriamo u isieme formato da elemeti e fissiamo u umero k (seza alcua limitazioe superiore): ci propoiamo di costruire i possibili raggruppameti distiti prededo k elemeti costruire i possibili raggruppameti distiti di classe k dell isieme dato i modo che: 1. i ciascu raggruppameto figurio k elemeti dell isieme dato potedovi uo stesso elemeto figurare più volte fio ad u massimo di k volte; 2. due raggruppameti soo distiti se uo di essi cotiee almeo u elemeto che o figura ell altro, oppure gli elemeti che figurao i uo figurao ache ell altro ma soo ripetuti u umero diverso di volte. La formula che dà il umero delle combiazioi co ripetizioe è: C,k = ( + k 1)! k!( k)! Schema di successo/isuccesso: se i esperimeti idipedeti, i cui i possibili risultati soo due quello di successo e quello di isuccesso, di probabilità costate rispettivamete p e (1 p), siamo iteressati a verificare quat è la probabilità che si verifichi ua data sequeza, che chiamiamo eveto ω, i cui i successi siao uguali per esempio a k, si utilizza lo schema di successo isuccesso: P (ω) = p k (1 p) k Si ota facilmete che duque la probabilità o dipede dall ordie dei successi ma solo dal loro umero. Ciò deriva dal fatto che gli esperimeti siao idipedeti. 6

8 Lo schema ipergeometrico: è lo schema di successo/isuccesso co gli esperimeti dipedeti: se r è il umero dei possibili successi e b quello degli isuccessi (per esempio ell estrazioe di pallie rosse, r, e biache, b, da u ura che soo i umero r+b), vogliamo sapere la probabilità che si abbiao k successi, si può dimostrare che la formula diveta: ( ) ( ) r b k k ( ) b + r 7

9 Variabili aleatorie Dato uo spazio di probabilità (Ω, A, P ), si chiama variabile aleatoria ua applicazioe: tale che: X : Ω R A t := {ω Ω : X(ω) t t R} A Ua variabile aleatoria X quidi è ua fuzioe che associa ogi eveto ω Ω ad u umero reale t ed è tale quidi che quidi abbia seso calcolare P (A t ) = P (X t) t R Notiamo subito che se A t è u eveto allora lo è ache A C t per la defiizioe di A. Ioltre ache {ω : X(ω) = t} è u eveto poiché è possibile otteerlo come itersezioe di eveti: {ω : X(ω) = t} = {ω : t 1 < X(ω)} {X(ω) t} = {ω : t 1 < X(ω) t} e per si ottiee l isieme cercato. Distribuzioe: abbiamo visto che {X = x i } soo eveti e quidi {X t} si può scrivere come degli x i t: i t {X = x i}, cioè {X t} è u eveto come uioe umerabile di eveti. Ora data ua v.a. X, cosideriamo la fuzioe p : R [0, 1] defiita p(x) = P (X = x i ) deve aversi, poiché X è ua v.a., che: p(x) = 0 trae che per i valori assuti da X. La sua dimostrazioe è ovvia. i=0 p(x i) = 1, dove la somma può essere fiita o umerabile a secoda dei valori assuti da X. Ifatti, osserviamo che {X = x i } soo a due a due disgiuti, ioltre i=1 {X = x i} = Ω quidi p(x i ) = i=0 ( ) P (X = x i ) = P {X = x i } = P (Ω) = 1 i=0 i=1 La Distribuzioe o desità della v.a. X è la sua fuzioe associata p, ovvero la probabilità degli elemeti di Ω coteuti el domiio di X(che è la stessa delle loro immagii tramite X). 8

10 Distribuzioe biomiale: distribuzioe per gli eveti del tipo successo/isucceso i - prove idipedeti i ciascua delle quali la probabilità del successo è costate ed uguale a p. Detto X il umero dei successi X è ua variabaile aleatoria co distribuzioe di probabilità biomiale X B(, p). ( ) P (X = k) = p k (1 p) k k La differeza duque tra lo schema di successo/isuccesso e la v.a. Biomiale sta el fatto che ella prima si cosidera la probabilità che egli esperimeti si verifichi ua sequeza particolare ω da oi cercata, metre i questo caso siamo iteressati alla probabilità che si verifichi u elemeto dell isieme delle sequeze coteeti k successi, ovvero {X = k} che è l isieme formato dalle sequeze ω che cotegoo k successi, ogua delle quali ha quidi probabilità p k (1 p) k. Quidi P (X = k) sarà proprio p k (1 p) k moltiplicato per tutte le possibili sequeze di successi e isuccessi elle quali appaioo esattamete k successi egli esperimeti. Se sei iteressato a {X k}, cioè sei iteressato al caso i cui hai al più k successi, allora si ha che P (X k) = P (X = 0) + P (X = 1) P (X = k). Variabile Aleatoria di Beroulli: X si dice di Beroulli se X B(1, p). Notiamo che allora ua v.a. X biomiale si può sempre scrivere come i=1 X i dove X i B(1, p), i quato gli esperimeti soo tra loro idipedeti. I questo X verrà iteso come vettore aleatorio di cui daremo i seguito la defiizioe. Distribuzioe ipergeometrica: distribuzioe per gli eveti del tipo successo/isucceso i -prove dipedeti su isieme formato da r+b elemeti. Detto X il umero dei successi X è ua variabaile aleatoria co distribuzioe di probabilità ipergeometrica X Hyper(, r, b). ( ) ( ) r b P (X = k) = k k ( ) b + r è la v.a. associata allo schema ipergeometrico. L uica accortezza è che se si vuole P (X k) = P (X = 0) + P (X = 1) P (X = k). Distribuzioe uiforme: el caso i cui su esperimeti idipedeti, i cui: Ω = {x 1, x 2,..., x }, si ha che P (x i ) = p i = P (X = i) = 1, allora si ha che, se k è il umero di successi: P (X = k) = k X è la variabile aleatoria data dall ipotesi di equiprobabilità e si idica co X Uif({x 1, x 2,..., x }) 9

11 Distribuzioe multiomiale: Dati esperimeti idipedeti i cui i ciascu esperimeto soo possibili q risultati, x 1, x 2,..., x q, siamo iteressati a sapere la probabilità che x 1 volte si verifica 1 ; x 2 volte si verifica 2 ;. x q volte si verifica q ; ovvero che il umero di volte che capita ciascu risultato si uguale a dei valori da te imposti egli esperimeti, ove le probabilità di ciascu risultato i ogi esperimeto sia rispettivamete p 1, p 2,..., p q, allora: P ( x 1 = 1, x 2 = 2,..., x = q ) = ( ) = 1, 2,..., q! 1! 2!... q! (p 1 1 p p q q ) = (p 1 1 p p q q ) Distribuzioe geometrica: distribuzioe per gli eveti del tipo successo/isucceso i - prove dipedeti, idica il umero di prove che si deve attedere prima di otteere il risultato desiderato. La probabilità del successo è p. X Geom(p). P (X = k) = p(1 p) k Questa distribuzioe gode, ioltre, della proprietà di macaza di memoria, ovvero: P (X = m + X > m) = P (X = ) Istate di 1 successo: Se i esperimeti idipedeti del tipo successo/isuccesso, la probabilità di successo i u esperimeto è p, allora la probabilità che occorrerao esattamete k laci prima di avere il primo successo è P (T 1 = k) = P (T 1 k) P (T 1 > k) dove T 1 B(k, p). Ora P (T 1 > k) = (1 p) k e P (T 1 k) = P (T 1 > k 1) = (1 p) k 1 P (T 1 = k) = (1 p) k 1 (1 p) k, cioè P (T 1 = k) = p(1 p) k 1 Distribuzioe di Pascal: distribuzioe di probabilità discreta co due parametri, p ed i, che descrive il umero di fallimeti precedeti il successo i-esimo i ua distribuzioe biomaile che ha probabilità di successo i ogi esperimeto p, X T(p, i). ( ) k 1 P (T i = k) = p i (1 p) k 1 i 1 10

12 Distribuzioe di Poisso: è ua distribuzioe di probabilità discreta che esprime le probabilità per il umero di eveti che si verificao successivamete ed idipedetemete i u dato itervallo di tempo, sapedo che mediamete se e verifica u umero λ, X P(λ). P (X = k) = λk k! e λ Notiamo che la v.a. di Poisso si può itedere come il limite per di ua biomiale X B(, λ ), il che è molto utile i quato il fattoriale è poco maegevole. Data ua biomiale X B(, p), da cui λ = p, co >> 0 per approssimare la biomiale si usa quidi il fatto che X = Z Poisso( p). Fuzioe di ripartizioe: Data ua v.a. X, discreta o o, si chiama fuzioe di ripartizioe di X la fuzioe F X : R [0, 1] defiita da F x (t) = P (X t) è chiaro che ua fuzioe di riaprtizioe è sempre o decrescete dato che se t cresce l eveto {X t}. Nel ostro caso se x 1 < x 2 <... soo i valori assuti da X, allora F X è costate ell itervallo [x i, x i+1 ), poichè se x i t < x i+1 allora si ha {X t} = {X x i }; i particolare se X è a valori iteri, allora F X è costate ell itervallo tra due iteri successivi, metre può avere ua discotiuià di prima specie (u salto) i corrispodeza degli iteri (cambia la probabiltà dell eveto). La coosceza della fuzioe di ripartizioe è importate, poichè equivale a cooscere la distribuzioe della v.a. X, dato che F X (t) = x t p(x) da cui quidi F X (k) F x (k 1) = P (X = k) = p(k). Vettore aleatorio: U vettore aleatorio discreto è ua applicazioe X = (X 1,..., X m ) : Ω R tale che le applicazioi X 1,..., X m siao v.a. discrete. É chiaro che X può assumere al più u ifiità umerabile di valori. U valore x = (x 1, x 2,..., x m ) è assuto da X sse simultaeamete {X = x} = {X 1 = x 1 }... {X m = x m } quidi {X = x} è u eveto dato dà itersezioe di eveti. Ache u vettore aleatorio ha desità, che è sempre ua fuzioe p che soddisfa le due codizioi. La desità p del vettore aleatorio X = (X 1,..., X m ), che è m-dimesioale, si chiama desità cogiuta delle v.a. X 1,..., X m e, viceversa, idicate co p 1, p 2,..., p m le desità di X 1,..., X m, esse soo le desità margiali di X. Se è ota la desità cogiutà, allora è facile trovare le desità margiali: idicati co x (i) = (x (i) 1, x (i) 2,..., x m (i) ) i possibili valori di X, se si vuole sapere la desità margiale che, per esempio, X 1 = z a partire dalla desità cogiuta si usa la formula delle probabilità totali: ) p 1 (z) = P (X 1 = z) = P ( i {X 1 = z, X 2 = x (i) 2,..., X m = x (i) m } = 11

13 = i P (X 1 = z, X 2 = x (i) 2,..., X m = x (i) m ) = i p(z, x (i) 2,..., x (i) m ) I geerale ivece o è possibile, cooscedo le desità margiali ricostruire la desità cogiuta, dato che desità cogiute diverse possoo avere le stesse desità margiali. Sarà possibile risalire alla desità cogiuta solo se X 1, X 2,..., X m soo v.a. idipeteti, ovvero se e solo se P (X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X m = x m ) = P (X 1 = x 1 )P (X 2 = x 2 ) P (X m = x m ) da cui se x = (x 1, x 2,..., x m ) la desità cogiuta p(x) = p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) p m (x m ) desità codizioale: date due v.a. X, Y aveti desità cogiutà p allora la desità codizioale di X dato Y è p(x, y) p X Y = p Y (y) Naturalmete se X, Y soo idipedeti allora si ha che p X Y = p X (x) Operazioi tra Variabili aleatorie: Siao X, Y due v.a. discrete di desità cogiuta p(x, y) = P (X = x, Y = y). Allora Z = X + Y ha desità p Z data da p Z (z) = x p(x, z x) e se X e Y soo id. p Z (z) = x p X (x)p Y (z x) metre la differeza U = X Y è p U (u) = x p(x, x u) e se X e Y soo id. p U (u) = x p X (x)p Y (x u) Esempi: Se X B(, p) e Y B(m, p) e idipedeti allora Z = X + Y è Z B( + m, p), i quato X e Y possoo scriversi come somme di v.a. di Beroulli, ed essedo idipedeti sarao proprio + m. A tal proposito, otiamo che ( ) +m k = k ( m i=0 i)( k i). Allo stesso modo U = X Y sarà U B( m, p). Se X Poisso(λ) e Y Poisso(µ) e idipedeti allora Z = X + Y è Z Poisso(µ + λ), i quato X = X B(, λ) e Y = Ỹ B(, µ ) e quidi X + Y = λ+µ X + Ỹ B( + m, ), cioè, passado al limite, Poisso(λ + µ). Più rigorosamete: p Z (k) = k p X (i)p Y (k i) = i=0 k e i=0 λ λi i! e µ µk i (k i)! = e (λ+µ) 1 k! k i=0 ( ) k λ i µ k i = i Quidi Z Poisso(λ + µ). (λ+µ) (λ + µ)k = e k! 12

14 Nel caso i cui si abbia X la cui immagie è {x 1, x 2,..., x } co ua certa desità p X (x) e Y = ax + b co a, b R, allora p Y (y) = P X ( y b ), i quato P (Y = y a j) = P (Y = ax j + b) = P (ax + b = ax j + b) = P (X = x j ) = p X (x j ) = P X ( y b ). Più i geerale se Y = f(x) allora a la sua distribuzioe è p Y (y) = p X (f 1 (x)): se f è ivertibile allora sarà u solo elemeto, metre se f o è iiettiva allora la sua cotroimmagie sarà u isieme di elemeti e p Y (y) = p X (x) x:f(x)=y Speraza matematica: Data ua v.a. discreta X, che assume i valori x 1, x 2,..., ed idicata co p la sua desità, si chiama speraza matematica di X la quatità: E[X] = i x i p(x i ) = i x i P (X = x i ) Tuttavia la speraza matematica è defiita se quella serie coverge, ovvero è u umero. Sioimi di speraza matematica soo media, valore medio, attesa, valore atteso. Il sigificato, ituitivo, quidi della speraza matematica è proprio quello di media dei valori assuti da X. Se E[X] = 0 si dice che X è cetrata. La media dipede uicamete dalla desità della v.a.: se due v.a. hao la stessa deisità, allora hao la stessa speraza matematica. Proprietà: 1. E[cX] = c E[X] c R 2. E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] 3. Se P (X Y ) = 1 allora E[X] E[Y ] e vale l uguagliaza sse P (X = Y ) 4. E[X] E[ X ] 5. Se X ey soo idipedeti allora E[XY ] = E[X]E[Y ] Media delle v.a. viste: X Uif({x 1, x 2,..., x }) E[X] = 1 i=1 x i X B(1, p) E[X] = 0 p(0) + 1 p(1) = p X B(, p) E[X] = k=0 ( k) k p k (1 p) k = p Il risultato è dato dal fatto che soo v.a. di Beroulli. k) ( b+r ) X Hyper(, r, b) E[X] = mi{r,} k=0 k (r k)( b r = b+r Dato dal fatto che si può pesare X = X 1 + X X co X i B(1, p) dove p = X Pisso(λ) E[X] = k=1 k e λ λ k k (k 1)! = λ Poichè k=1 k e λ λ k k (k 1)! = 1 e λ λ i=0 r b+r λ i i! che è lo sviluppo di Taylor di e λ, quidi e λ λ e λ = λ. D altra parte X = Y B(, λ ) E[Y ] = λ = λ 1 pogo k 1 = i 13

15 X Geom(p) E[X] = k=1 k p(1 p)k = 1 1 Poichè: p M = k=1 k p(1 p)k = k=0 (i+1) p(1 p)i+1 = (1 p) i=0 i p(1 p)i + i=0 p(1 p) i = (1 p)(m + 1), quidi M = (1 p)(m + 1) pm = 1 p M = 1 1 p X T 1 (p) E[X] = 1 p Dato che T 1 = Y + 1 dove Y Geom(p). X T (p, i) E[X] = k p Mometo e mometo cetrato di ordie k: Data ua v.a. X e u umero k < +, se la quatità E[X k ] è fiita, si chiama mometo di ordie k di X. Aalogamete cosideriamo la v.a. (X E[X]), dove otiamo che E[X] è u umero fiito, allora chiameremo mometo cetrato di ordie k la quatità E[(X E[X]) k ], se essa è fiita. Quidi sia il mometo che il mometo cetrato altro o soo che due particolari speraze matematiche, quidi idicata co p la desità di X e co µ =: E[X] la sua media si ha che E[X k ] := i x k i p(x i ) E[(X µ) k ] = i (x i µ) k p(x i ) Si ota quidi che tali mometi dipedoo solo dalla legge, ovvero da che tipo è, X. Naturalmete se X ha mometo di ordie k allora avrà ache mometo cetrato di ordie k, el seso che sarà fiito ach esso. Variaza di ua variabile aleatoria: Se X ha mometo del secodo ordie fiito, si chiama variaza il suo mometo cetrato del secodo ordie: V ar(x) := E[(X E[X]) 2. Notiamo che tale quatità è sempre maggiore o uguale a 0, i quato è la media di termii positivi, poichè quadrati. La variaza è ua misura della dispersioe di X attoro alla sua media: diffati se X assume dei valori loati dalla sua speraza matematica, allora la v.a. (X E[X]) 2 assumerà dei valori molto gradi e quidi ache la variaza sarà grade. Viceversa se X si trova sempre vicio alla sua media, (X E[X]) 2 sarà u umero prossimo allo 0, e duque co ua variaza quasi ulla, e sarà 0 se X assume sempre lo stesso valore, quidi o più ua variabile aleatorea ma determiistica. Proprietà: 1. V ar(λx) = λ 2 V ar(x). I quato: V ar(λx) = E[(λX E[λX]) 2 ] = E[(λ(X E[X])) 2 ] = λ 2 E[(X E[X]) 2 ] = λ 2 V ar(x) 2. V ar(λ + X) = V ar(x). I quato: V ar(λ + X) = E[(λ + X E[λ + X]) 2 ] = E[(λ + X λ E[X]) 2 ] = E[(X E[X]) 2 ] = V ar(x) 3. Se X ey soo idipedeti, V ar(x, Y ) = V ar(x)+v ar(y ) vedremo i seguito perchè. 4. V ar(x) = E[X 2 ] E[X] 2 vedremo dopo perchè 14

16 Covariaza: date due v.a. X e Y deotiamo la covariaza di X e Y co la quatità Cov(X, Y ) = E[(X E[X])(Y E[Y ])]. A differeza della variaza questa può ache o essere ua quatità 0. Ioltre è facilmete dimostrabile che Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] Ifatti Cov(X, Y ) = E[(X E[X])(Y E[Y ])] = E[XY XE[Y ] Y E[X] + E[X]E[Y ]] = E[XY ] E[X]E[Y ]. Per qusto motivo se X ey soo idipedeti allora V ar(x, Y ) = V ar(x) + V ar(y ), ifatti V ar(x, Y ) = E[((x + Y ) E[X + Y ]) 2 ] = E[((X E[X]) + (Y E[Y ])) 2 ] = E[(X E[X]) 2 ] + E[(Y E[Y ]) 2 ] + 2E[(X E[X])(Y E[Y ])] = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ) = V ar(x) + V ar(y ). I geerale quidi si ha che V ar(x X m ) = m m V ar(x i ) + Cov(X i, X j ) i=1 i,j=1 co i j. Ifatti se i = j avremmo delle covariaze del tipo Cov(X, X) = V ar(x). Ed è per questo che V ar(x) = E[X 2 ] E[X] 2 : per come abbiamo visto si calcola la covariaza, Cov(X, X) = E[XX] E[X]E[X]. Per come è defiita la Covariaza, si usa come ua misura dell idipedeza di due v.a.: se la covariaza è prossima allo zero, sigifica che le due v.a. soo quasi idipedeti, al cotrario, per valori gradi esse soo fortemete dipedeti. Se Cov(X, Y ) = 0 si dice che le v.a. X, Y soo o correlate. Esistoo casi tuttavia i cui due v.a. ache se hao covariaza ulla, soo dipedeti. Ifatti è più preciso misurare la dipedeza co il coefficiete di correlazioe ρ X,Y defiito così: Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ) tale gradezza è tale che 1 ρ X,Y 1. Variaza delle variabili aleatorie: X B(1, p) V ar(x) = E[X 2 ] E[X] 2 = p p 2 = p(1 p). X B(, p) V ar(x) = V ar(x 1 ) V ar(x ) = p(1 p) X Poisso(λ) V ar(x) = λ X Hyp(, b, r) V ar(x) = X Geom(p) V ar(x) = 1 p p 2 X T 1 (p) V ar(x) = 1 p p 2 X T (p, i) V ar(x) = k 1 p p 2 ( br b+r (b+r) 2 b+r 1 ) 15

17 Disuguagliaza di Chebyshev: Ci dà la probabilità che ua data v.a. X si distacchi dalla sua media per più di u certo umero fissato ɛ > 0. P ( X E[X] > ɛ) V ar(x) ɛ 2 Da questa disuguagliaza si mette i luce che più V ar(x) è piccola, più è piccola la probabilità che X preda valori lotai dalla sua media. tuttavia questa è ua prima e grossolaa misurazioe della disperzioe di X, cioè o è molto precisa. Dimostrazioe: P ( X E[X] > ɛ) = X: X E[X] >ɛ P (X) 1 (X E[X]) 2 P (X) ɛ 2 X } {{ } V ar(x) X: X E[X] >ɛ = V ar(x) ɛ 2 (x E[X]) 2 P (X) La Legge dei gradi umeri: l ituizioe ci dice che data ua v.a. X, al crescere del umero di esperimeti, la probabilità che la ostra X assuma valori lotai dalla sua media E[X] tede a 0, cioè tede ad avere quella proporzioe ei risultati che ci è data dalla media: el caso di ua moeta co testa e croce sarà 1. Quidi cosiderata ua successioe {X 2 } di v.a. aveti tutte la stessa legge, a cui assoceremo ogi sigolo rislutato 2, e posti E[X ] = µ e V ar(x ) = σ 2 N, allora ( ) lim P X 1 + X X µ ɛ = 0 ovvero quello che dicevamo: la capacità di X di spostarsi dalla sua media tede a 0. Ifatti X 1 +X X =: X è la media dei risultati effettivamete otteuti i laci e ci sta dicedo che se allora essa sarà uguale alla media poderata. Dimostrazioe: la disuguagliaza di Chebyshev ci dice che P ( Z E[Z] > ɛ) V ar(z). Ora poiamo ɛ 2 E(Z) = E[ X ] = 1 (E[X 1 + X X ] = 1 µ = µ. Metre V ar(z) = V ar( X ) = 1 (V ar(x X X )) = 1 σ 2 = σ2. Quidi: 2 P ( Z E[Z] > ɛ) σ2 ɛ 2 0 per ɛ 2 2 se stiamo la vorado su ua X B(, p) sarebbe X B(1, p) 16