Il formalismo vettoriale della cinematica rotazionale

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1 Il fomalismo ettoiale della cinematica otaionale Le elaioni della cinematica otaionale assumono una foma semplice ed elegante, se sono iscitte in foma ettoiale. E questo l agomento dei paagafi che seguono. Gli angoli sono ettoi? Il pimo passo pe siluppae il fomalismo ettoiale della cinematica otaionale è l intoduione di una notaione ettoiale pe gli angoli. Tuttaia, questo non può essee fatto pe angoli di ampiea abitaia. Il motio è il seguente: la somma degli angoli non gode della popietà commutatia. Nell esempio a fianco, la pima otaione è indicata in auo e la seconda in osso; la posiione iniiale del punto mateiale in gigio, quella finale in auo. L effetto complessio cambia a seconda della sequena! a) 1. 9 intono all asse 1. 9 intono all asse b) 1. 9 intono all asse. 9 intono all asse E possibile tuttaia dimostae che le piccole otaioni sono commutatie. Si può dunque intodue il ettoe angolo elementae il modulo θ è pai all ampiea dell angolo; la dieione è paallela all asse di otaione ; il eso è stabilito dalla egola della mano desta. θ : Pe applicae la egola della mano desta si pocede così: si indiidua il pimo lato dell angolo (in auo nella figua); si indiidua il secondo lato (in osso); si pone la mano desta in modo che le dita seguano il eso di otaione dell angolo, dal pimo al secondo lato; il pollice indica il eso del ettoe θ. Attenione a come indiiduae coettamente pimo e secondo lato! 1 Questa otaione non sposta il punto mateiale. Si icodi che, pe definiione, l asse di otaione è pependicolae al piano in cui giacciono i lati dell angolo θ.

2 Il ettoe elocità angolae Il ettoe elocità angolae è dato dal limite pe t del appoto dθ ω = θ e, dunque: t Dalla definiione segue che ω è paallelo e concode al ettoe angolo elementae θ. In alti temini, se le dita della mano desta seguono il eso di pecoena, il pollice è allineato a ω ; ω è pependicolae al piano della taiettoia. Il ettoe Come si ede dai disegni, il ettoe posiione, la elocità e la elocità angolae ω sono a due a due pependicolai. E possibile alloa dae una foma ettoiale all equaione = ω, in temini di podotto ettoiale: = ω La eifica di questa equaione ichiede due passi: a) l equaione è coetta in modulo. Siccome ω, l angolo α ta i due ettoi ale 9 e quindi = ω sen α = ω. b) L equaione dà la giusta dieione e il giusto eso di, in base alle egole del podotto ettoiale: è pependicolae al piano in cui giacciono ω, (in auo, in figua) e ha il eso deteminato dalla egola della mano desta. Il ettoe acceleaione angolae Il ettoe acceleaione angolae è dato dal limite pe t del appoto dω α = ω e, dunque: t

3 Nel caso di taiettoia piana (ad esempio, di moto cicolae), il ettoe ω mantiene sempe la stessa dieione; in questa ipotesi, α // ω : i due ettoi sono paalleli e concodi, se la elocità aumenta nel tempo; i due ettoi sono paalleli e discodi, se la elocità diminuisce nel tempo. Il ettoe acceleaione Nel fomalismo ettoiale, il calcolo dell acceleaione del moto cicolae segue diettamente dalla definiione d a =. Pe il calcolo, si sostituisce a il suo aloe ω e si usa la egola pe calcolae la deiata di un podotto: d a = = d ( ω ) dω = + d ω L acceleaione tangeniale dω Il ettoe ha dieione tangeniale 3 ; il eso è concode a se il punto mateiale sta aumentando la elocità, altimenti è discode. Consideato che α, il modulo è pai ad α. Dunque, esso coincide con l acceleaione tangeniale: a t 3 Si intende, se applicato nella posiione occupata dal punto mateiale.

4 L acceleaione centipeta d Il ettoe ω = ω ha dieione adiale e eso centipeto. 4 Consideato che ω, il suo modulo è pai a ω = ω =. Dunque, esso coincide con l acceleaione centipeta: a c = ω Tabella iassuntia Velocità = ω = ω a = a t + a c Acceleaione a t = ω a c a t = α a c = ω = 4 Anche in questo caso, se applicato nella posiione occupata dal punto mateiale.

5 Vettoi in otaione: il teoema di Poisson Il teoema di Poisson fonisce l espessione della deiata ispetto al tempo di un qualunque ettoe, di modulo costante, in otaione con elocità angolae ω : d = ω Nel moto cicolae si toano ai esempi di ettoi in otaione: il aggio ettoe e il suo esoe ˆ ; il ettoe ; il esoe tˆ ; ecc. Pe dimostae il teoema, si considei un ettoe che uota nel piano. Alloa, ω è dietto lungo l asse e, dunque, la componente coincide con il modulo: ω = ω. Supponendo che, nell istante t =, sia paallelo all asse, si ha: = cos = sen d d = ω sen = ω cos = ω = ω da cui la tesi. 5 5 Si iconoscono le componenti del ettoe ω = î ĵ kˆ ω