Vettori nel Piano e nello Spazio

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1 Vettori nel Piano e nello Spazio Caratteristiche di un vettore Componenti di un vettore e Vettore applicato all origine Vettore definito da due punti Operazioni unarie sul vettore Lunghezza di un vettore Vettore unitario (versore) Operazioni lineari tra vettori Somma e sottrazione Fattore moltiplicativo Combinazioni lineari Indipendenza lineare Base di vettori Piano: due vettori non collineari Spazio: tre vettori non complanari Sistema ortonormato Equazione vettoriale della retta Equazione vettoriale del piano Prodotto scalare Proprietà fondamentale del prodotto scalare Angolo compreso fra due vettori Proiezione ortogonale di un vettore su un altro Prodotto vettoriale e vettore normale Proprietà fondamentale del prodotto vettoriale Vettore normale e area compresa tra i due vettori Equazione cartesiana del piano Posizioni reciproche: Intersezioni e distanze (punto, retta e piano) - 0

2 Vettori nel Piano e nello Spazio Caratteristiche di un vettore Un vettore possiede le seguenti caratteristiche: Orientamento (Direzione e Verso) Lunghezza Gode inoltre della proprietà di Equipollenza (Libertà di traslazione) Componenti di un vettore e Per definire un punto lungo una retta basta indicarne la distanza da un punto scelto come origine, in un piano cartesiano occorrono due coordinate mentre nello spazio tridimensionale, un punto può essere definito attraverso tre coordinate di un sistema ortonormato. Sistema ortonormato Sistema ortonormato y P z z P P y P v O P y y O P x x x P x = es: = es: = 6 3 Si usa anche la notazione = = = = - 1

3 Punto Vettore o Vettore applicato all Origine Punti e vettori sono due entità ben differenti tra loro, se infatti un punto è un oggetto senza dimensione, il vettore ha invece delle caratteristiche ben definite di orientamento e di lunghezza. Tuttavia, a volte si rischia di confondere i due concetti in quanto un vettore applicato all origine ha le stesse componenti delle coordinate del punto di arrivo del vettore. Per convenzione, le coordinate di un punto sono scritte in orizzontale, mentre le componenti di un vettore sono scritte in verticale. Vettore applicato all origine con arrivo in A Se il punto A ha coordinate =(, ) il vettore applicato all origine con arrivo in A avrà componenti = Se il punto A ha coordinate =(,, ) il vettore applicato all origine con arrivo in A avrà componenti = Vettore definito da due punti Dati due punti dello spazio A e B, si può definire un vettore che abbia come estremi i due punti considerati, occorre definire quale dei due è il punto di applicazione (coda) e quale dei due il punto di arrivo (testa). Se A è il punto di applicazione, allora il vettore sarà calcolato testa meno coda: Vettore Definito da due punti A e B = Dati i Punti =(, ) =(, ) si ottiene il vettore = = = - 2

4 Esempio, Dati i Punti =( 1,1) =(4,3) si ottiene il vettore = = =4 ( 1) 3 1 = 5 2 Dati i Punti si ottiene il vettore =(,, ) =(,, ) = = = Esempio, Dati i Punti =(3,2, 1) =(7, 4,2) si ottiene il vettore = = 4 2 =( 4) 2 = ( 1) 3-3

5 Operazioni unarie sul vettore Lunghezza di un vettore La lunghezza (o modulo o norma o valore assoluto) di un vettore rappresenta la distanza che intercorre tra i due estremi (applicazione e punto di arrivo) Lunghezza del vettore Dato il vettore la sua lunghezza vale =, = + Esempio, dato il vettore La sua lunghezza vale Dato il vettore la sua lunghezza vale: Esempio, dato il vettore la sua lunghezza vale: = 5 2 =5 +2 = 29 =, = = 6 3 =4 +( 6) +3 = 61 Vettore unitario (versore) Il vettore unitario (o versore) del vettore v è quel vettore che possiede il medesimo orientamento del vettore v, ma la cui lunghezza vale una unità. Vettore unitario Dato il vettore = = - 4

6 il suo versore vale = = + + Esempio, dato il vettore = 5 2 il suo versore vale 5 29 = = = Dato il vettore il suo versore vale = = = Esempio, dato il vettore 4 = 6 3 il suo versore vale = = =

7 Operazioni lineari tra vettori Somma e sottrazione La somma e la sottrazione sono operazioni che si svolgono tra vettori, e il risultato è un altro vettore. Addizione - regola del parallelogramma Sottrazione regola del parallelogramma a r r r r r a + b a b a r b r b r b r Addizione e sottrazione metodo grafico (valido per e ) c r d r Somma e sottrazione per componenti Dati i vettori e r y y 10 9 b r a r r f x e r f r d r c r b r a r r r v r r a + b + c + d + e + r f x =,= la loro somma vale += + = + + la loro sottrazione vale = = - 6

8 Esempio, dati i vettori = 3 2, = 1 7 la loro somma vale la loro sottrazione vale += = ( 7) = 4 9 = = ( 7) =2 5 Dati i vettori la loro somma vale =,= la loro sottrazione vale + += + = + + = = Esempio, dati i vettori la loro somma vale 3 1 = 2,= = 2+ 7= 2+( 7) = ( 6) 1 la loro sottrazione vale = 2 7= 2 ( 7) = ( 6) 11-7

9 Fattore moltiplicativo Il fattore moltiplicativo (o moltiplicazione per uno scalare, da non confondere con il prodotto scalare) è un operazione che si svolge tra un vettore e un numero reale, il risultato è un vettore. Dato il vettore = Il vettore moltiplicato per k numero reale vale y Esempio, dato il vettore = = = 2 4 Il vettore moltiplicato per 3 vale Dato il vettore 3=3 2 4 = = x = Il vettore moltiplicato per k numero reale vale = = y Dato il vettore 2 = 4 3 Il vettore moltiplicato per -3 vale 2 ( 3) 2 6 3= 4 = ( 3) 4 = 12 3 ( 3) ( 3) x

10 Applicazioni lineari Le applicazioni o combinazioni lineari sono un insieme di operazioni di somma svolte tra vettori e di operazioni di moltiplicazioni scalare applicate sui vettori: Operazioni di somma tra vettori; Operazioni di moltiplicazione sui vettori. Indipendenza lineare Dei vettori si dicono linearmente indipendenti se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. Base di vettori 1. Piano: due vettori non collineari; 2. Spazio: tre vettori non complanari. Sistema ortonormato Un sistema ortonormale è una base di vettori ortogonali tra loro, in particolare, il piano cartesiano e lo spazio cartesiano sono sistemi ortonormali. Equazione vettoriale e equazione parametrica della retta Per poter definire una retta occorrono (/): Due punti Con due punti si può ricavare un vettore e disporre così di un punto e un vettore direzione = =. Oppure () Un punto e una pendenza = Oppure () Un punto e un vettore normale = = Oppure (/) Un punto e un vettore direzione = Equazione vettoriale della retta r: = + Equazione parametrica della retta r: = + = + r: = + = + = + Equazione cartesiana della retta - 9 Nello spazio si preferisce l utilizzo della forma parametrica. Nel piano si preferisce l utilizzo della forma cartesiana

11 Implicita ++= = = Esplicita =+ Esempi Sono dati i due punti A e B appartenenti alla retta r, si trovi la sua equazione. = 2 3,=4 1 Per esprimere l equazione vettoriale di una retta, occorre disporre di almeno un punto e un vettore direzionale. Siccome si dispone di due punti, è possibile trovare un vettore di direzione e poi basta scegliere un punto di ancoraggio, indifferentemente tra A o B. L equazione della retta sarà perciò: = 2 4 : =+ = + Attribuendo a k vari valori, si possono trovare altrettanti punti della retta. Per verificare che il punto B (o un altro punto) appartiene alla retta, basta inserire il punto nelle variabili x e y 4=2+2 1= 3+4 Si risolve in una delle due equazioni rispetto al parametro k e lo si inserisce nell altra equazione, se l uguaglianza sussiste, allora il punto appartiene alla retta, altrimenti è ad essa esterno. 4=2+2 = 1= 3+4 Uguaglianza verificata, pertanto,. Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana della retta Occorre risolvere una delle due equazioni rispetto al parametro k e inserire l equazione risultante (con la variabile) nell altra equazione. Bisogna poi risolvere rispetto a zero per avere l equazione cartesiana implicita o rispetto a y per quella esplicita. : =+ =

12 Corso di Matematica Vettori nel Piano e nello Spazio =2+2 = = 3+4 = = Passaggio dalla forma cartesiana alla forma parametrica della retta Per costruire l equazione parametrica, occorre sempre chiedersi cosa serve, quali elementi costituiscono l equazione parametrica. In questo caso la risposta è un punto e un vettore. Siccome con due punti appartenenti alla retta si può costruire il vettore di cui si necessita, basterà estrarre dall equazione due punti a scelta, attribuendo alla variabile indipendente due valori appunto, si provi ad esempio ad attribuire i valori del punto A. Sono dati i due punti A e B appartenenti alla retta r, si trovi la sua equazione. 2 4 = 3,= Per esprimere l equazione vettoriale di una retta occorre disporre di almeno un punto e un vettore direttore. Siccome si dispone di due punti, è possibile trovare un vettore di direzione e poi basta scegliere un punto, indifferentemente tra A o B. L equazione della retta sarà perciò: 2 = 4 3 =+ : = + = Attribuendo a k vari valori, si possono trovare altrettanti punti della retta. Per verificare che un punto appartiene alla retta, basta inserire il punto nelle variabili x e y, ad esempio, per il punto B: 4=2+2 1= 3+4 5= 2 3 Si risolve in una delle tre equazioni rispetto al parametro k e lo si inserisce nelle altre due equazioni, se l uguaglianza sussiste per entrambe le equazioni, allora il punto appartiene alla retta, altrimenti, se anche una sola uguaglianza dà esito negativo, allora il punto non appartiene alla retta. 4=2+2 = 1= 3+4 5= Uguaglianze verificate, pertanto,. Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana della retta Per la retta non esiste una vera e propria equazione cartesiana per lo spazio, esiste un equazione con una doppia uguaglianza che tuttavia non viene tratta in questo corso. - 11

13 Equazione vettoriale e equazione parametrica del piano Per poter definire un piano occorrono: Tre punti Con tre punti si possono trovare due vettori e disporre così di un punto e due vettori. Oppure: Due punti e un vettore Con due punti si può trovare un vettore e disporre così si un punto e due vettori Oppure: Un punto e due vettori Equazione vettoriale del piano r: = + + Equazione parametrica del piano = + + r: = + + = + + Un piano può essere definito anche attraverso un punto e un vettore normale. Su questo principio si basa l equazione cartesiana, trattata più avanti e preferibile rispetto all equazione parametrica. Un ulteriore tecnica che permette di trovare l equazione cartesiana del piana consiste nell inserire i tre vettori linearmente indipendenti dello spazio in una matrice e ricavarne il determinate, regola questa basata sulle proprietà del prodotto misto (più avanti). Esempi Sono dati i tre punti A, B e C appartenenti al piano, si trovi la sua equazione = 3,= 1,= Per esprimere l equazione vettoriale di un piano, occorre disporre di almeno un punto e due vettori linearmente indipendenti. Siccome si dispone di due punti, è possibile trovare un vettore di direzione e poi basta scegliere un punto, indifferentemente tra A o B. 2 1 = 4, = L equazione del piano sarà perciò: =++ : = + =

14 Corso di Matematica Vettori nel Piano e nello Spazio Attribuendo a e vari valori, si possono trovare altrettanti punti del piano. Per verificare che un punto appartiene al piano, basta inserire il punto nelle variabili x e y, ad esempio, per il punto B: 4=2+2+ 1= = Si prendono due equazioni (tralasciandone una), si risolve quest ultimo sistema rispetto ai parametri e. Questi valori vanno poi inseriti nella terza equazione. Se l uguaglianza sussiste, allora il punto appartiene alla retta, altrimenti il punto non appartiene alla retta. Uguaglianza verificata, pertanto,. 4=2+2+ 1= = = 5= = Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana del piano Occorre risolvere due equazioni rispetto ai parametri e, e inserire l equazione risultante (con le variabili) nella terza equazione. Bisogna poi risolvere rispetto a zero per avere l equazione cartesiana. =2+2+ = = 1 12 (4+ 5) = 1 6 (2 7) = = 2 3 Risolvendo si trova l equazione cartesiana del piano: 1 12 (4+ 5) (2 7) = Passaggio dalla forma cartesiana alla forma parametrica della retta Per costruire l equazione parametrica, occorre sempre chiedersi cosa serve, quali elementi costituiscono l equazione parametrica. In questo caso la risposta è un punto e due vettori. Siccome con tre punti appartenenti al piano si puossono costruire i vettori di cui si necessita, basterà estrarre dall equazione tre punti a scelta, attribuendo per tre volte a due variabili dei valori a scelta, e calcolando la il valore della terza. Esempio, trovo tre punti (Q, R e S) edl piano: = 121,= 121,=

15 Prodotto scalare Il prodotto scalare è un operazione che si svolge tra due vettori, il risultato è un numero reale. Dati i vettori il loro prodotto scalare vale =,= Esempio, dati i vettori Il loro prodotto scalare vale Dati i vettori Il loro prodotto scalare vale = + = 3 2, = 1 7 =3 1+( 2) ( 7)=17 =,= = + + Esempio, dati i vettori 3 1 = 2,= Il loro prodotto scalare vale =3 1+( 2) ( 7) +5 ( 6)= 13 Proprietà fondamentale del prodotto scalare = () Angolo compreso tra due vettori ()= Se il prodotto scalare di due vettori non nulli è uguale a zero, i due vettori sono ortogonali tra loro. =0 =0-14

16 Proiezione ortogonale di un vettore su un altro y x Ricavo della proiezione ortogonale del vettore sul vettore Dalla trigonometria, ricaviamo la (1) = () Dalla proprietà del prodotto scalere, ricaviamo la (2) ()= Unendo assieme la (1) e la (2), otteniamo = Il vettore può essere ricavato moltiplicando il modulo della propria lunghezza per il versore di = Quindi vale = Ossia = E per finire Proiezione ortogonale del vettore sul vettore = - 15

17 Esempi Sono dati i due vettori A e B, si trovi l ampiezza dell angolo compreso. = 1 8, = 8 4 Per trovare l angolo tra i due vettori, si applica la formula ()= cos()= ; cos()= ; =arccos =. Per priettare il vettore sul vettore, si applica la formula = ; = ; = Sono dati i due vettori A e B, si trovi l ampiezza dell angolo compreso. 3 1 = 2,= Per trovare l angolo tra i due vettori, si applica la formula ()= cos()= ; cos()= ; =arccos =. Per priettare il vettore sul vettore, si applica la formula = ; = ; =

18 Prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale è un operazione che si svolge tra due vettori, il risultato è un vettore normale L operazione di prodotto vettoriale non può essere definita in due dimensioni, in quanto il risultato è un vettore non appartenente al piano dei due vettori originari. Dati i vettori =,= Il loro prodotto vettoriale vale = = + Esempio, dati i vettori 3 1 = 2,= Il loro prodotto vettoriale vale 3 1 ( 2) ( 6) 5 ( 7) 47 = 2 7= 3 ( 6)+5 1 = ( 7) ( 2) 1 19 Proprietà fondamentale del prodotto vettoriale = () Area del parallelogramma costruito sui due vettori == () Equazione cartesiana del piano ricavabile attraverso il vettore normale ottenuto dal prodotto vettoriale Un piano può essere univocamente definito attraverso un vettore normale al piano stesso e ad un punto, che funga, quest ultimo, da ancoraggio. Le componenti di questo vettoree normale saranno i parametri cartesiani dell equazione del piano +++= Il termine noto dell equazione si ricava invece inserendo le variabili,, del punto dato appartenente al piano (= (++)). - 17

19 Equazione cartesiana del piano Dato il vettore normale = E il punto = Il piano normale a e passante per ha equazione +++= Il termine noto si ricava inserendo le componenti del punto nelle variabili del piano = ( + + ) O equivalentemente = Esempio, dato il vettore normale 6 = 8 4 E il punto 5 = 3 1 Il piano, normale a e passante per, ha equazione =0 Il termine noto, si ricava inserendo le componenti del punto nelle variabili (,,) del piano = (6 ( 5)+( 8) 3+4 1)=50 Il piano ha dunque equazione =0 L equazione può ancora essere ridotta, dividendo per due ogni monomio, l equazione del piano è perciò =0 Osservazioni: Se il vettore = 8 è normale al piano, allora lo sarà anche il vettore = che dunque può essere utilizzato in modo equivalente. 2. Per ricavare il termine noto dell equazione cartesiana del piano, in pratica si è svolta l operazione di prodotto scalare tra e, quindi vale =. - 18

20 Prodotto Misto Il prodotto misto è un operazione che si svolge fra tre vettori, il risultato è un numero reale. Il nome misto sta ad indicare che tra questi tre vettori, due di loro sono moltiplicati vettorialmente, originando così un vettore, e quest ultimo viene moltiplicato scalarmente con il terzo, dando così come risultato un numero reale.,,= = =,, Il risultato è uno scalare, il cui valore assoluto non dipende dall'ordine né dei tre vettori né delle due operazioni. Il valore assoluto è pari al volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori (oppure pari a 6 volte il volume del tetraedro costruito sui tre vettori). Proprietà del prodotto misto,,=,,=,,=,,=,,=,, Volume del parallelepipedo rettangolo costruito sui tre vettori,,=,,= L operazione di prodotto misto non può essere svolta in due dimensioni, in quanto il risultato è un vettore non appartenente al piano dei due vettori originari. Dati i vettori =,=,= Il loro prodotto misto vale,,= Per la risoluzione del determinante di una matrice occorre conoscerne la relativa matematica, che per esigenze viene già in parte anticipata in questo capitolo - 19

21 = + = = ( ) ( )+ ( )= = + + Si può giungere allo stesso risultato utilizzando la regola di Sarrus = = = + + Si può facilmente verificare che i due risultati sono equivalenti. Il calcolo del prodotto misto e quindi del determinante di una matrice può sembrare macchinoso in un primo momento, poi però appare subito di semplice esecuzione, e soprattutto è facile realizzare un programma al calcolatore che esegua questi calcoli, ad esempio con un foglio di calcolo. Esempio, dati i vettori Il loro prodotto misto vale = 2,= 4,= ,,= = = ( 2) = =3 (4 1 ( 1) 2) ( 2) 6 1 ( 1) ( 3) ( 3)= = = O calcolandolo in modo equivalente con Sarrus: ,,= = = = ( 3) ( 2) ( 1) 5 4 ( 3) ( 1) ( 2) 6= = = - 20

22 Applicazioni del prodotto misto Per verificare se tre vettori sono linearmente indipendenti, cioè se formano una base per lo spazio, il loro prodotto misto deve essere differente da zero. Se il prodotto misto di tre vettori è uguale a zero infatti, significa che detti vettori sono complanari. La spiegazione è presto fatta, se il prodotto misto rappresenta il volume del parallelepipedo rettangolo costruito sui tre vettori, allora, se il volume vale zero, significa che i tre vettori giacciono sullo stesso piano.,,=,, ( ) Per ricavare l equazione cartesiana di un piano, dati un punto e due vettori, occorrerà costruire due matrici 3x3, la prima con inseriti un vettore di variabili e i due vettori del piano, la seconda invece, per il termine noto, composta dal vettore punto del piano applicato all origine e dagli altri due vettori del piano. Esempio, dato il punto appartenente al piano gamma e due suoi vettori paralleli =1,= 1,= Il termine noto del piano varrà: = det1 1 1 = L equazione cartesiana priva del termine noto varrà: 2 3 =det 1 1 = L equazione in definitiva vale: Dividendo tutto per 5 si ha: =0 : 2+ 1=0-21

23 Posizioni reciproche: Intersezioni e Distanze Punto punto Punto retta Punto piano Retta retta Retta piano Piano piano - 22