EQUAZIONI DISEQUAZIONI

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1 EQUAZIONI DISEQUAZIONI

2 Indice 1 Background Proprietà delle potenze Prodotti notevoli Equazioni e disequazioni razionali Equazioni e disequazioni di I grado Equazioni e disequazioni di II grado Equazioni e diesequazioni di grado superiore al II Equazioni e disequazioni binomie Equazioni e disequazioni trinomie Algoritmo di Ruffini Equazioni e disequazioni fratte 9 4 Sistemi di disequazioni 10 5 Equazioni e disequazioni con valori assoluti Equazioni e disequazioni contenenti un valore assoluto Equazioni e disequazioni contenenti due o più valori assoluti Equazioni e disequazioni irrazionali 13 7 Equazioni e disequazioni esponenziali La funzione esponenziale Equazioni esponenziali Disequazioni esponenziali Equazioni e disequazioni logaritmiche Proprietà dei logaritmi La funzione logaritmica Equazioni logaritmiche Disequazioni logaritmiche Esercizi 20

3 1 Background 1.1 Proprietà delle potenze 1. a b a c = a b+c 2. a b : a c = a b c 3. ( a b) c = a b c 4. (a b) c = a c b c 5. (a : b) c = a c : b c 6. (a) c = 7. c a = a 1/c ( ) 1 c a 1.2 Prodotti notevoli 1. (A ± B) 2 = A 2 ± 2AB + B 2 2. (A ± B) 3 = A 3 ± 3A 2 B + 3AB 2 ± B 3 3. (A ± B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 ± 2AB + 2AC ± 2BC 4. (A B C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 2AB 2AC + 2BC 5. (A 2 B 2 ) = (A B) (A + B) 1

4 Background 6. (A 3 B 3 ) = (A B) (A 2 + AB + B 2 ) 7. (A 3 + B 3 ) = (A + B) (A 2 AB + B 2 ) Gli ultimi 3 punti sono un caso particolare della fattorizzazione dei binomi del tipo A n ± B n. La tabella illustra quando il polinomio x n ± a n è divisibile per il polinomio x ± a in funzione di n numero naturale. x a x + a x n a n n N n N pari x n + a n n n N dispari Tabella 1.1: Fattorizzazione dei binomi del tipo x n ± a n In particolare si ha che: x n + a n con n dispari è divisibile solo per x + a e si ha x n + a n = (x + a) (x n 1 ax n 2 + a n 2 x + a n 1 ) con n pari non è scomponibile x n a n con n dispari è divisibile solo per x a e si ha x n a n = (x a) (x n 1 + ax n a n 2 x + a n 1 ) con n pari è divisibile sia per x a che per x + a. Per la scomposizione conviene comunque considerare il binomio come differenza di due quadrati: ( x n a n = x n/2 + a n/2) (x n/2 a n/2) Si controlla poi se i due binomi così ottenuti sono o meno ulteriormente scomponibili. 2

5 2 Equazioni e disequazioni razionali 2.1 Equazioni e disequazioni di I grado Soluzioni Soluzioni della Soluzioni della dell equazione disequazione disequazione ax = b ax > b ax < b a > 0 x = b a x > b a x < b a a < 0 x = b a x < b a x > b a 2.2 Equazioni e disequazioni di II grado Consideriamo solo il caso a > 0 al quale ci si può sempre ricondurre. 3

6 Equazioni e disequazioni razionali := b 2 4ac Soluzioni Soluzioni della Soluzioni della dell equazione disequazione disequazione (a > 0) ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 > 0 x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a (x 1 < x 2 ) x < x 1 x > x 2 x 1 < x < x 2 = 0 x 1 = x 2 = b 2a x b 2a soluzione < 0 soluzione reale x soluzione Ricordiamo che ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a Vediamo ora di giustificare geometricamente la tabella precedente. Allo scopo, associamo al trinomio ax 2 + bx + c l equazione della parabola avente la medesima espressione e vediamo graficamente le soluzioni dell equazione ax 2 + bx + c = 0 come intersezioni di tale curva con l asse delle x. Nella colonna di sinistra abbiamo i tre casi in cui a > 0; dall altro verso il basso: due intersezioni, una intersezione, nessuna intersezione (rispettivamente. > 0, = 0, < 0). Analogamente a destra abbiamo i tre casi in cui a < 0; dall altro verso il basso: due intersezioni, una intersezione, nessuna intersezione (rispettivamente. > 0, = 0, < 0). Per risolvere la disequazione ax 2 +bx+c > 0 o ax 2 +bx+c < 0 è allora sufficiente esaminare la posizione della parabola associata nel piano: in blu sono rappresentate le soluzioni della disequazione ax 2 + bx + c > 0; in verde sono rappresentate le soluzioni della disequazione ax 2 + bx + c < 0; i pallini rappresentano le soluzioni dell equazione ax 2 + bx + c = 0. 4

7 Equazioni e disequazioni razionali y y ( > 0) x x 1 x 2 x 1 x 2 x y y x 1 x ( = 0) x x 1 y y ( < 0) x x 2.3 Equazioni e diesequazioni di grado superiore al II Equazioni e disequazioni binomie Consideriamo solo il caso a > 0 al quale ci si può sempre ricondurre. 5

8 Equazioni e disequazioni razionali (a > 0) Soluzioni dell equazione Soluzioni della disequazione Soluzioni della disequazione ax n + b = 0 ax n + b > 0 ax n + b < 0 n dispari x = n b a x > n b a x < n b a b > 0 x R x R x R n pari b = 0 x = 0 x 0 x R b < 0 x 1,2 = ± n b a x < n b a x > n b a n b a < x < n b a Equazioni e disequazioni trinomie Le equazioni (disequazioni) trinomie hanno forma normale ax 2n + bx n + c = (<>) 0 La strategia risolutiva consiste nel porre x n = t. Ci si riconduce così ad un equazione (disequazione) di II grado in t: at 2 + bt + c = (<>) 0. Ottenute le soluzioni t 1 e t 2 si risolvono le due equazioni (disequzioni) binomie x n = (<>) t 1 e x n = (<>) t Algoritmo di Ruffini A Paolo Ruffini è dovuto un algoritmo per la divisione di un polinomio p(x) per un binomio del tipo x k (con k R). Si scrive il polinomio p(x) in modo completo (considerando i termini eventualmente mancanti come termini con coefficiente 0) e ordinando secondo le potenze decrescenti di x: p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Per il teorema del resto le radici razionali del polinomio p(x) (ossia i valori che sostituiti alla x annullano il polinomio) sono da cercare fra i divisori del termine noto a 0, presi sia con il segno positivo sia con il segno negativo o tra i rapporti tra tali divisori e quelli del coefficiente del termine di grado massimo a n. Pertanto si pone k uguale ad uno di essi in modo che p(k) = 0. Si scrivono i coefficienti e il termine noto inserendoli in uno schema di questo tipo: 6

9 Equazioni e disequazioni razionali a n a n 1 a 1 a 0 k a n Si moltiplica il coefficiente a n per k e si scrive il risultato nella colonna successiva: a n a n 1 a 1 a 0 k a n k a n Si esegue l addizione in colonna e si trova così un nuovo coefficiente b n 1 := a n 1 + a n k: a n a n 1 a 1 a 0 + k a n k a n b n 1 Si ripete l operazione per ogni coefficiente b n i := a n i + (b n i+1 k) : a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 k a n k b n 1 k b 2 k b 1 k a n b n 1 b n 2 b 1 b 0 b 0 è il resto della divisione. Per la scelta iniziale di k, esso dovrà essere 0: 7

10 Equazioni e disequazioni razionali a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 k a n k b n 1 k b 2 k b 1 k a n b n 1 b n 2 b 1 0 In conclusione p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x k) (a n x n 1 +b n 1 x n b 1 ) 8

11 3 Equazioni e disequazioni fratte f(x) g(x) = 0 è verificata per quei valori di x per i quali g(x) 0 e f(x) = 0 f(x) > 0 è verificata per quei valori di x per i quali g(x) 0 e f(x) e g(x) hanno segno g(x) concorde perciò nel grafico del confronto dei segni si considerano gli intervalli positivi f(x) < 0 è verificata per quei valori di x per i quali g(x) 0 e f(x) e g(x) hanno segno g(x) discorde perciò nel grafico del confronto dei segni si considerano gli intervalli negativi Osserviamo che, come il quoziente, anche il prodotto di due termini è positivo se e solo se essi sono di segno concorde. Dunque, come per le disequazioni fratte, si tratta semplicemente si studiare separatamente il segno di ciascun termine e di impostare l opportuno schema per il confronto dei segni. 9

12 4 Sistemi di disequazioni Due o più disequazioni costituiscono un sistema di disequazioni se devono essere verificate contemporaneamente. Risolvere un sistema significa perciò determinare le soluzioni COMUNI a tutte le disequazioni che formano il sistema stesso. Ovviamente, essendo le soluzioni delle disequazioni rappresentate da intervalli, occorrerà sovrapporre tali intervalli per determinare un sottointervallo in cui tutte le disequazioni sono contemporaneamente soddisfatte. Il procedimento risolutivo di un sistema di questo tipo, perciò, non comporta altra difficoltà se non la predisposizione corretta di uno schema che consenta il confronto dei singoli intervalli risolutivi. Il confronto in sé non dipende dal grado delle disequazioni del sistema, le quali saranno risolte singolarmente con i metodi visti in questi appunti. 10

13 5 Equazioni e disequazioni con valori assoluti Elenchiamo alcune proprietà del valore assoluto di un numero: 1. a = 0 a = 0 2. a = a a R 3. a b = a b a, b R 4. a = a b b a, b R, b 0 5. a = b a = b o a = b a, b R 6. a b b a b a, b R, b 0 7. a b a b o a b a, b R, b 0 8. a b a 2 b 2 a, b R 9. a 2 = a a R 11

14 Equazioni e disequazioni con valori assoluti 10. a b a + b a + b a, b R (disuguaglianze triangolari) 5.1 Equazioni e disequazioni contenenti un valore assoluto Pertanto f(x) = g(x) f(x) := f(x) se f(x) 0 f(x) se f(x) < 0 f(x) 0 f(x) = g(x) f(x) < 0 f(x) = g(x) f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) 0 f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) > g(x) f(x) < 0 f(x) > g(x) In particolare per k R: k < 0 k = 0 k > 0 f(x) = k x R f(x) = 0 f(x) = ±k f(x) > k x R f(x) 0 f(x) 0 f(x) > k f(x) < 0 f(x) > k f(x) < k x R x R f(x) < k f(x) > k 5.2 Equazioni e disequazioni contenenti due o più valori assoluti Si suddivide l asse reale in sottoinsiemi in cui ciascun modulo ha segno costante. Le soluzioni della equazione o disequazione sono date dall UNIONE delle soluzioni dei sistemi ottenuti. 12

15 6 Equazioni e disequazioni irrazionali Soluzioni Soluzioni Soluzioni dell equazione della disequazione della disequazione A(x) = n B(x) A(x) > n B(x) A(x) < n B(x) n dispari (A(x)) n = B(x) (A(x)) n > B(x) (A(x)) n < B(x) n pari A(x) 0 (A(x)) n = B(x) B(x) 0 A(x) > 0 (A(x)) n > B(x) A(x) < 0 B(x) 0 A(x) 0 (A(x)) n < B(x) 13

16 7 Equazioni e disequazioni esponenziali 7.1 La funzione esponenziale y y 2 1 y = a x 2 1 y = a x 0 < a < 1 x a > 1 x 7.2 Equazioni esponenziali Un equazione si dice esponenziale se l incognita compare a esponente. 14

17 Equazioni e disequazioni esponenziali Equazione Soluzione a x = c (con a > 0, a 1) x = log a c ma f(x) = nb g(x) (con a, b > 0, a 1, b 1) lnm + f(x)lna = lnn + g(x)ln b f (a x ) = c (con a > 0, a 1) Si pone a x = t 7.3 Disequazioni esponenziali Disequazione Parametri Soluzione c 0 x R a x > c 0 < a < 1 x < log a c c > 0 (con a > 0, a 1) a > 1 x > log a c c 0 x R a x < c 0 < a < 1 x > log a c c > 0 (con a > 0, a 1) a > 1 x < log a c Osservando che per a > 0 si può scrivere a x = disequazioni con base maggiore di ( ) 1 x possiamo allora ricondurci sempre a a

18 Equazioni e disequazioni esponenziali 0 < a < 1 a > 1 a f(x) > a g(x) f(x) < g(x) f(x) > g(x) con a > 0 e a 1 a f(x) > b g(x) con a, b > 0 e a 1, b 1 lnm + f(x)ln a > lnn + g(x)lnb 16

19 8 Equazioni e disequazioni logaritmiche 8.1 Proprietà dei logaritmi Sia a > 0, a Se b 1 > 0 e b 2 > 0 allora log a (b 1 b 2 ) = log a b 1 + log a b Se b 1 > 0 e b 2 > 0 allora log a ( b1 b2 ) = log a b 1 log a b Se b > 0 allora log a b k = k log a b. 4. log a 1 = log a a = log a (a c ) = c. 7. Se c > 0 allora a log a c = c. 8. Se b > 0 allora log a b = log c b log c a In particolare vale la seguente successione di uguaglianze: con c > 0 e c 1 (Regola del cambiamento di base). 1 log a x = log a x = log 1 x = log 1 a a 17 1 x = 1 log x a

20 Equazioni e disequazioni logaritmiche 8.2 La funzione logaritmica y y y = log a x y = log a x x 0 < a < x a > Equazioni logaritmiche Un equazione si dice logaritmica se l incognita compare nell argomento dei logaritmi. Equazione Soluzione log a x = c (con a > 0, a 1) x = a c log x a = c x > 0 x 1 x = a 1/c log a f(x) = c (con a > 0, a 1) f(x) > 0 f(x) = a x log a f(x) = log a g(x) (con a > 0, a 1) f(x) > 0 g(x) > 0 f(x) = g(x) f (log a g(x)) = c Deve essere g(x) > 0 (con a > 0, a 1) Si pone log a g(x) = t 18

21 Equazioni e disequazioni logaritmiche 8.4 Disequazioni logaritmiche 0 < a < 1 a > 1 log a x > c 0 < x < a c x > a c log a x < c x > a c 0 < x < a c log a f(x) > c 0 < f(x) < a c f(x) > a c log a f(x) < c f(x) > a c 0 < f(x) < a c log a f(x) > log a g(x) 0 < f(x) < g(x) f(x) > g(x) > 0 log a f(x) < log a g(x) f(x) > g(x) > 0 0 < f(x) < g(x) Poiché per a > 0, a 1 si può scrivere log a x = log 1/a x è sempre possibile ridursi a disequazioni con base maggiore di 1. 19

22 9Esercizi 1. m 2 x 2 + m 1 = a 1 a 2 x2 2x a a 2 = 0 x 2 4x + 6 x 2 3x x 2 = x x x = 0 5. x 6 7x 3 8 = x x 2 3x + 1 > x 2 + x + 2 > x 2 3x < < x x 2 + x > x 12 0 x > 0 x 2 5x + 6 > x 6 10x 4 + x (x3 1) 12x x 4 x

23 Esercizi 14. x 2 16 = x 5 = x x x = x x 2 1 < x x > x 2 3 x > x x = x + 2 2x 1 = 3 x x x+9 1 x = x = 3 3 2x 1 x x+1 2 x 1 = x > x+2 > 32 4x+1 ( ) 1 x 27. > x x x > x 30. ln(e x + e) = log 3 (x 2 2x) = ln ( 3 ) = ln(x 2 4) lnx ln(x 1) = ln ln5 34. ln 3 x + 2 ln 2 x 3 lnx = log 2 3 > log 2 x 36. log 1/2 x < log 1/ log 1/4 (1 x) < log 1/4 (2x + 3) 38. ln(x 3) < 1 21

24 Esercizi 39. lnx 2 lnx log 1/2 (3 2x 3 x + 1) > 0 1. x x + 40 < 0 3x x 2 + 3x (3x 3 + 1) > 2x 4 + 9x 2 + x x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x < x2 + 2x + 2 x 2 + 2x 2 1 x x 2 < x 2 x + 1 x 1 < 4 6. x + 2 < 1 + x 1 7. log 100 x = lnx + ln3 = ln(5x 2) 9. ln(10 x) ln(4 x) = log 2 x + log 1/2 (3 x 2 ) log 2 ( 1 x ln(x 1) = ln5 ) = ln(2 x) ln(3 + x 2 ) = x+4 = x = 12 7x x 2 3 x + 2 x = e 2x + e x 2 = x x + 1 = 2 2 x

25 Esercizi 18. ( ) 1 x 2 3x < x2 > x2 +2x x 81 5 x+2 x x x > log 1/2 (x 2 8) > (log 3 x) 2 + log 3 x 6 > 0 Soluzioni: 1. 3 x < < x < 1 1 < x < < x < < x < 2 0 < x < < x < 1 4. x < 2 1 < x < 1 x > 2 5. x < 3 5 x > x < 0 7. x = x = 1 ; x = x = x = e+5 e 12. x = x = x = x = x = x = x < 1 x > x < 2 x > x 2 x x 4 0 < x < x < x < < x < < x < 1 27 x > 9 23