Prerequisiti. A(x) B(x).

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1 Prerequisiti 4 Equazioni e disequazioni irrazionali Proprietà: la casistica delle equazioni e disequazioni irrazionali è ilitata, potendosi presentare un qualsivoglia numero di radici in ogni membro Noi ci iteremo ad alcuni casi, cercando di comprendere il metodo per affrontare casi più complicati Centrale, nella risoluzione, è la determinazione dell insieme di definizione delle radici, che ci indica in quale sottoinsieme di R andranno cercate le soluzioni Più precisamente, bisogna ricordare che l argomento di una radice pari deve sempre essere non negativo, mentre nessun vincolo si ha per il caso di radici dispari Come esempio, consideriamo le due disequazioni a) A() B() b) A() B() In entrambi i casi, occorre imporre A() 0 e distinguere i due sottocasi e B() < 0 Indichiamo con A l insieme dove sia A() che B() sono non negativi e con B l insieme dove A() è non negativo, mentre B() è negativo Nel caso a), la disequazione proposta si riconduce alla disequazione A() B 2 () in A, mentre è sempre verificata in B Pertanto, le soluzioni sono date da (2) cioè A() B 2 () A() B 2 () A() 0 B}, A() 0 B() < 0 Tenendo conto che la condizione A() B 2 () è più restrittiva di A() 0, si ottiene, infine, che le soluzioni sono date da A() B 2 () A() 0 B() < 0 Nel caso b), la disequazione proposta si riconduce alla disequazione A() B 2 (), da risolversi nell insieme A, mentre non è mai verificata nell insieme B Pertanto le soluzioni sono date da A() B A() B 2 () 2 () () ovvero A() 0 Infine, se al posto della disequazione, consideriamo l equazione A() = B(), occorre sempre imporre A() 0 e distinguere ancora i due sottocasi e B() < 0 Infatti, se A e B sono i due insiemi precedentemente definiti, si ha che l equazione proposta si riconduce 29

2 M Amar AM Bersani all equazione A() = B 2 () in A, mentre essa non è mai verificata nell insieme B Pertanto, le soluzioni sono date da A() = B 2 () (4) A() = B 2 () A() = B 2 () ovvero A() 0 ovvero Esercizi ) 2) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) 2) ) 4) 5) 2 + = ( ) + 2 = ± = ( = ; ; 6) = 2 2 ( = 8/) 2 = + (impossibile) > 2 ( R) 2 +, 5 ( R) ( 2) 27 ( 0; ) ( / 0 27 e = ) + 8 < + 2 ( > 0) 4 + > 2 (0 < /2) ( 4 2) ( /4) < 9 (impossibile) > + ( < < 4) 6) 2 < 2 ( 2 < < ; < < 2) 7) 2 > 2 4 ( 2; 2) 8) > + ( 2) 2 4 9) > + 2 ( 2 < < ) + 20) 2 ( ) Svolgiamo, a titolo d esempio, alcuni dei precedenti esercizi Svolgimento ): Poiché abbiamo delle radici pari, dobbiamo innanzitutto imporre la condizione di esistenza e poi elevare ambo i membri al quadrato: ; da cui = + 2 = ± 2 ovvero = ± 2 0

3 Numeri complessi CAPITOLO 2 NUMERI COMPLESSI 2 Richiami Ricordiamo che un numero complesso z si può rappresentare in forma cartesiana, algebrica, trigonometrica ed esponenziale Riportiamo qui di seguito le quattro espressioni e le relazioni che intercorrono fra loro: z = (a, b) z = a + ib z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) z = ρe iϑ forma cartesiana forma algebrica forma trigonometrica forma esponenziale * * * a = ρ cos ϑ b = ρ sin ϑ ρ = a 2 + b 2 cos ϑ = a b sin ϑ = a2 + b 2 a2 + b 2 dove a R è detta parte reale e si indica con Re(z), b R è detta parte immaginaria e si indica con Im(z), ρ [0, + ) è detto modulo, ϑ R è detto argomento e si indica con arg z (se ϑ ( π, π] o, in alcuni testi, ϑ [0, 2π), esso è detto argomento principale e si indica con il simbolo Arg z), i è l unità immaginaria (i 2 = ) L espressione e iϑ si può leggere come una forma compatta per indicare cos ϑ+i sin ϑ; essa, però, non è solo una scrittura stenografica, ma, come vedremo in seguito, gode effettivamente delle ben note proprietà dell esponenziale per quanto riguarda il prodotto, il rapporto e le potenze intere Bisogna, però, tenere ben presente che, contrariamente all esponenziale reale, l esponenziale complesso è periodico in ϑ Ogni numero complesso, scritto in forma cartesiana o algebrica z = (a, b) = a + ib, è in corrispondenza biunivoca con un punto del piano cartesiano (detto anche piano complesso) di coordinate cartesiane (a, b), mentre ogni numero complesso, scritto in forma trigonometrica o esponenziale z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) = ρe iϑ, quando ρ è non nullo e ϑ è l argomento principale, è in corrispondenza biunivoca con un punto del piano di coordinate polari (ρ, ϑ) Due numeri complessi z e w coincidono se e solo se, scritti in forma algebrica, hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria, oppure se, scritti in forma trigonometrica o esponenziale, hanno lo stesso modulo e gli argomenti che differiscono per multipli interi di 2π, cioè: z = a + ib = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) = ρe iϑ z = w w = c + id = r(cos φ + i sin φ) = re iφ a = c b = d oppure ρ = r ϑ = φ + 2kπ I numeri complessi che hanno parte immaginaria nulla (b = 0 ovvero ϑ = kπ, con k Z) sono gli usuali numeri reali (positivi per ϑ = 2kπ e negativi per ϑ = (2k+)π) I numeri della forma z = ib, cioè quelli con parte reale nulla (a = 0 ovvero ϑ = (2k + ) π 2, con k Z), sono detti immaginari 5

4 M Amar AM Bersani ESERCIZIO 526 Calcolare tan(arcsin ) 0 Svolgimento : Poiché, per 0, arcsin e, per t 0, tan t t, ponendo t = arcsin, avremo tan(arcsin ) arcsin = ESERCIZIO 527 Calcolare + ( + 2 ) Svolgimento : Osserviamo innanzitutto che il ite proposto si può riscrivere nella forma ( + 2 ) 4 + [ +5 4 ( + ep log + 2 )] Ricordando che log( + t) t, per t 0, e ponendo t = 2/, si ottiene Pertanto il ite richiesto vale e 2 4 ( log + 2 ) = 2 ESERCIZIO 528 Stabilire se la funzione f : R R definita da 2 + se 0, f() = cos cos() se < 0 è continua in R Svolgimento : La funzione proposta è continua e derivabile in R \ 0}, in quanto somma, composizione e rapporto di funzioni continue Resta da studiare solo il suo comportamento in = 0 Ovviamente per 0 + si ottiene f() 0 = f(0) D altra parte, ricordando che cos t 2 t2, per t 0, e ponendo t = o t =, si ottiene cos cos() cos + cos() f() / / = 0 Quindi f è continua in = 0 ESERCIZIO 529 Stabilire se la funzione è prolungabile con continuità in = f() = + ( log( + ) ) 4 50

5 92 Grafici relativi agli esercizi proposti M Amar AM Bersani In questo paragrafo, per comodità del lettore, le figure seguono la numerazione dell esercizio a cui il grafico si riferisce Figura 59 Grafico di un esempio di funzione con un salto di ampiezza in = 0 e = 2, e un punto angoloso in = Figura 57 Grafico di f() =