Alcuni equivalenti dell Assioma della Scelta

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1 Alcuni equivalenti dell Assioma della Scelta Giugno 2010 Gabriele Gullà Sommario Dimostreremo l equivalenza fra l assioma della scelta ed altri enunciati della matematica piú o meno noti. Enunciati: 1) Assioma della Scelta (AC) Data una famiglia (A i ) i I di insiemi non vuoti f : I i I A i che sceglie i I un elemento f(i) A i. (Dato un buon ordinamento su i I A i, definiamo f(i) come il primo elemento dell unione che appartiene ad A i ). 2) Lemma di Zorn (LZ) Se (P, ) è un insieme parzialmente ordinato che possiede per ogni sua catena C (ovvero un sottoinsieme totalmente ordinato) un maggiorante (cioè un m P : m c c C), allora P ammette un elemento massimale. 3) Proprietà del Prodotto Cartesiano (PPC) Il prodotto cartesiano i I X i = { f : I i I X i : f(i) X i i } di una 1

2 famiglia non vuota di insiemi non vuoti è non vuoto. 4) Teorema di Tichonoff (TT) Il prodotto topologico di spazi compatti è compatto. Tesi: AC LZ PPC TT Definizioni preliminari ) α è un ordinale se è transitivo (ovvero ogni suo elemento è anche un suo sottoinsieme) e bene ordinato da (ovvero ogni sottoinsieme γ ha un primo elemento). ) Per ogni insieme X esiste un cardinale h(x) tale che non esiste f : h(x) X iniettiva. h(x) è il numero di Hartogs di X. ) Dato un insieme X, un net è una mappa da un insieme diretto (ovvero un insieme parzialmente ordinato tale che se a, b A x A a x b x) in X. Un net è universale se ogni volta che E X il net appartiene definitivamente o a E o a X \ E. ) Una famiglia (A i ) i I di sottoinsiemi di un insieme X ha la proprietà dell intersezione finita (PIF) se ogni sua sottofamiglia finita {A 1...A n } soddisfa Teorema 1 LZ AC n A i i=1 Sia (A i ) i I una famiglia non vuota di insiemi non vuoti. L insieme X = {p : p è una funzione con dom(p) I, i dom(p) p(i) A i }, ordinato per inclusione, soddisfa LZ, quindi esiste f massimale. Se esistesse i 0 I \ dom(f) f {(i 0, ã)} X ã A i contro la massimalità di f. Quindi f 2

3 è una funzione di scelta per (A i ) i I. Teorema 2 AC LZ Sia (P, ) tale da soddisfare le ipotesi di LZ; sia P 0 = {elementi massimali di P }; x P \ P 0 y P : y x AC fornisce una funzione m : P \ P 0 P m(x) > x x Estendiamo m a tutto P ponendo m(x) = x se x P 0. Date le proprietà di P, con AC troviamo un altra funzione che sceglie per ogni catena C di P un suo maggiorante mag(c). Definiamo ricorsivamente per ogni ordinale α un elemento p α P : un qualunque p 0 P se α = 0 p α := m(p β ) se α = β + 1 mag {p β β α} α limite p α è ben definita perché m(x) x e mag(x) x. Quando α è limite i (p β ) β α formano una catena di P. Mostriamo che per ogni ordinale α se nessun β α verifica p β P 0 p β p γ coppia β, γ β < γ < α (1) Supposto che ciò sia falso per qualche α, sia γ il primo elemento di α β : β < γ p β p γ ; poiché comunque p β p γ p β = p γ e dunque p δ = p γ δ [β, γ]. La minimalità di γ impone che non possa esistere δ (β, γ), ovvero γ = β+1. Ma allora p γ = m(p β e dunque m(p β ) = p β, cioè p β P 0 contro l ipotesi. Per ogni α come in (1) i p β con β < α formano una catena p 0 < p 1 <... < p β <... sicchè β p β è iniettiva. Al più quando α = h(p ), (1) verrà a cadere quindi p β P 0 per qualche β h(p ) e quindi abbiamo trovato un elemento massimale di P. 3

4 Teorema 3 AC PPC Sia C = {A i } i I insieme di insiemi non vuoti, I. Mostriamo che B := i I A i è non vuoto: sia A = C, allora (per AC) f : C A f(x) X X C; allora definiamo g : I A tale che i f(a i ); segue che g B per definizione di prodotto cartesiano. Teorema 4 PPC AC Sia C insieme di insiemi non vuoti; se C = la funzione di scelta è quella vuota. Sia C non vuoto; indicizziamo i suoi elementi nel modo seguente: A x := x x C allora A x per ipotesi. Allora da PPC segue che il prodotto B degli A x è non vuoto. Ma un elemento di B è una funzione da C in C tale che f(a x ) A x, ovvero f(x) x x C, e il teorema è dimostrato. Lemmi di supporto Lemma (a) Un net (a α ) α A in i I X i converge a x in i I X i se e solo se convergono le coordinate. Lemma (b) X è compatto se e solo se ogni net in X ha un sottonet convergente. Supponiamo dapprima che X sia compatto. Sia I un qualsiasi insieme e sia {C i } i I una collezione di sottoinsiemi chiusi di X che gode della PIF. Allora i I C i, altrimenti {C c i } i I sarebbe un ricoprimento aperto di X che non 4

5 ammette un sottoricoprimento finito, cosa che si scontra con la compattezza di X. Sia ora A un insieme diretto e x α α A un net in X. Per ogni α A definiamo E α = {x β : β α}. Allora la collezione {cl(e α ) : α A} gode della PIF e quindi, per l osservazione iniziale, segue che i I cl(e α) e questo è esattamente l insieme dei punti di accumulazione del net, ovvero è l insieme dei limiti dei sottonet convergenti di x α α A che non è vuoto come volevasi dimostrare. Viceversa, per assurdo, sia {U i : i I} un ricoprimento aperto di X che non ammette un sottoricoprimento finito. Consideriamo D = {J I : J < }. Si osservi che D è un insieme diretto sotto l inclusione e per ogni C D esiste un x C X tale che x C / U a per ogni a C. Si consideri così il net x C C D : tale net non può avere un sottonet convergente perché per ogni x X esiste un c I tale che U c è un intorno di x e per ogni B {c} si ha che x B / U c. Questa contraddizione completa la dimostrazione. Lemma (c) Ogni net ha un sottonet universale. Sia x α α A un net in X e sia Φ = {F X : x α F α > α 0 }. Ovviamente se B, C Φ allora B C Φ. Quindi Φ ha le seguenti due proprietà: i) x α è frequentemente in ogni elemento di Φ ii) Φ gode della PIF Sia S l insieme di tutte le collezioni di insiemi di X che contengono Φ e hanno queste due proprietà. Allora S è ordinato dall inclusione. Se {Φ α } è una catena in S rispetto a, segue facilmente che anche Φ α gode di (i) e (ii). Dal Lemma di Zorn segue che esiste una collezione massimale Ω che contiene Φ e gode di (i) e (ii). Sia D X e assumiamo che D / Ω. Allora o x α è definitivamente in X \ D o esiste un T Ω tale che D T =. Se x α è definitivamente in X \ D allora X \ D Φ Ω. quindi supponiamo che esista un T Ω tale che D T =. Allora x α deve stare frequentemente in X \ D o altrimenti non potrebbe stare frequentemente in T e T X \ D. Quindi possiamo unire X \ D a Ω per ottenere una collezione più grande Ω che gode ancora di (i) 5

6 e (ii). Ma poichè Ω è massimale segue che Ω = Ω e X \ D Ω. Poichè x α è frequentemente in ogni elemento di Ω e Ω gode della PIF, segue che c è un sottonet y di x α che è definitivamente in ogni elemento di Ω. Sia D in X; se D Ω allora y è definitivamente in D, altrimenti, come mostrato sopra, X \ D Ω e y è definitivamente in X \ D. Quindi y è un sottonet universale di x α. Lemma (d) X compatto se e solo se ogni suo net universale è convergente. Sia X compatto e sia x α α A un net universale in X. -oichè esso si accumula necessariamente converge. Viceversa, se ogni net universale converge allora ogni net ha un sottonet universale e quindi ogni net ha un sottonet convergente e allora X è compatto. Teorema 5 AC TT Sia (a α ) α A in i I X i. Allora esiste (y β ) β B sottonet universale (lemma (c)). Ovviamente ogni sua coordinata è universale. Se X i è compatto (y i β ) β B è convergente (lemma (d)). Allora (y β ) β B converge in i I X i (lemma (a)). Quindi ogni net in i I X i ha un sottonet convergente e quindi i I X i è compatto (lemma (b)). Teorema 6 TT AC Sia C una collezione non vuota di insiemi non vuoti. Sia Y il prodotto carte- 6

7 siano degli elementi di C. Per ogni A C siano: X A := A {A} D := {X A A C} X = A C X A p A : X X A la proiezione Tesi: Y. 1) Y è equipotente a Z := { p 1 A (A) A C} : un elemento di X è una funzione da D in D tale che f(x A ) X A A C, ovvero o f(x A ) A o f(x A ) = A. Un elemento di Y è una funzione g da C in C tale che g(a) A A C. In conclusione h p 1 A (A) h(x A) A. data g Y si definisce g X come g (X A ) := g(a) A; poiché A è arbitrario g Z. Viceversa, data h Z si definisce h Y come h (A) := h(x A ) A (ed è ben definita). Allora φ : Y Z che manda g in g è una biiezione con inversa φ 1 (h) = h e dunque card(y ) = card(z). 2) Mettiamo su ogni X A una topologia in modo che siano compatti: sia τ A la topologia meno fine contenente quella cofinita su X A e il singoletto {A}; un aperto di X A o è vuoto o è della forma S {A} dove S è cofinito in A. Sia D un ricoprimento aperto di X A. Se X A D abbiamo finito, altrimenti prendiamo un elemento non vuoto S {A} di D così che A \ S e finito. Allora ogni elemento di A \ S appartiene a qualche aperto di D. Quindi per coprire A \ S serve un numero finito di aperti di D. Tali aperti insieme a S {A} ricoprono X A che è quindi compatto. 3) Proviamo che Z, e quindi Y, è non vuoto: con TT X è compatto con topologia prodotto. Inoltre p A è continua per ogni A C. Poiché {A} è aperto in X e A = X A \ {A} A è chiuso in X. Usiamo la seguente caratterizzazione: X è compatto ogni collezione di chiusi che hanno la PIF ha intersezione non vuota; consideriamo E = { p 1 A (A) : A C}, dati A 1, A 2,..., A n C prendiamo a i A i (A i per ipotesie gli A i sono in numero finito); definiamo 7

8 f : D D come f(x A ) := { a i se A = A i per qualche i A altrimenti Poiché f(x A ) = a i A i f p 1 A i (A i ) i, quindi f n i=1 p 1 A i (A i ). I p 1 A i (A i ) sono presi arbitrariamente in E che ha la PIF e X è compatto, quindi Z = E è non vuoto. 8