1. I TRIANGOLI RETTANGOLI CON EXCEL

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1 1. I TRIANGOLI RETTANGOLI CON EXCEL Con riferimento figur 1, i csi che si possono presentre sono i seguenti. n Conoscimo misur de'ipotenus e que di un ngoo cuto, cioeá conoscimo e. Ricvimo che ˆ 90 b ˆ c ˆ cos n Conoscimo misur de'ipotenus e que di un cteto, cioeá conoscimo e b. Ricvimo che p c ˆ 2 b 2 ˆ b ˆ 90 n Conoscimo misur dei cteti, cioeá conoscimo b e c. Ricvimo che p ˆ c 2 b 2 tn ˆ b ˆ 90 c Figur 1 n Conoscimo misur di un cteto e que di un ngoo cuto, cioeá conoscimo b e. Ricvimo che ˆ 90 c ˆ b tn ˆ b cos Aprimo or un fogio di voro e impostimo i ccoo inserendo stringhe, dti e formue nee cee specificte, come eá indicto di seguito. Ne preprzione de fogio, di cui puoi vedere un esempio in figur, bbimo tenuto conto de ftto che e funzioni goniometriche di Exce, come bbimo giá visto ne'esercitzione de'unitá precedente, usno ngoi cui misur eá espress in rdinti mentre noi prevedimo di ssegnre e misure degi ngoi in grdi (bbrevito ne fogio di esempio in "gr"); qundo uno dei vori noti eá un ngoo, eá quindi previst un ce in cui ccore i corrispondente vore de'ngoo in rdinti (bbrevito ne fogio di esempio in "rd"). A B C D E F G H 1 RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI o CASO - ipotenus e ngoo cuto:, bet RISULTATI 4 bet (gr) bet (rd) gmm (gr) b c ,5 0, ,5 4, , o CASO - ipotenus e cteto:, brisultati 8 b bet (gr) gmm (gr) c , , o CASO - i due cteti: b, c RISULTATI 12 b c bet (gr) gmm (gr) , , , o CASO - cteto e ngoo cuto: b, gmm RISULTATI 16 b gmm (gr) gmm (rd) bet (gr) c ,57 0, ,43 13, , Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA TRIGONOMETRIA 1

2 L funzione di Exce che esegue conversione d grdi rdinti eá funzione RADIANTI(ngoo), que che esegue conversione d rdinti grdi eá funzione GRADI(ngoo). Le funzioni di Exce che consentono di ricvre 'mpiezz di un ngoo not un dee sue funzioni goniometriche sono: n ARCSEN x n ARCCOS x n ARCTAN x dove x eá i vore de funzione goniometric. Per esempio ARCSEN(1/2) restituisce 'ngoo i cui seno ve 1 2. Retivmente primo cso, bbimo posto in A5 misur de'ipotenus (10) e in B5 misur in grdi ne form decime de'ngoo 27,5. Le formue d inserire sono poi e seguenti: C5 ˆ RADIANTI(B5) (formu per trsformre misur di in rdinti) F5 ˆ 90 B5 (formu per i ccoo di in grdi) G5 ˆ A5 SEN C5 (formu per i ccoo di b) H5 ˆ A5 COS C5 (formu per i ccoo di c) Prosegui impostndo gi tri csi come eá iustrto ne'esempio; ti indichimo somente e formue d inserire nee cee specificte scindo te i compito di inserire e stringhe. F9 ˆ GRADI ARCSEN B9=A9 (ccoo di in grdi) G9 ˆ 90 F9 (ccoo di in grdi) H9 ˆ RADQ A9 A9 B9 B9 (ccoo di c) F13 ˆ GRADI ARCTAN A13=B13 (ccoo di in grdi) G13 ˆ 90 F13 (ccoo di in grdi) H13 ˆ RADQ A13 A13 B13 B13 (ccoo di ) C17 ˆ RADIANTI B17 (conversione in rdinti de misur di ) F17 ˆ 90 B17 (ccoo di in grdi) G17 ˆ A17 TAN C17 (ccoo di c) H17 ˆ A17=COS C17 (ccoo di ) 2. I TRIANGOLI QUALUNQUE CON EXCEL Con riferimento figur 2, i csi che si possono presentre ne risouzione di un tringoo qusisi sono i seguenti. Figur 2 n Conoscimo misur di due ngoi e que di un to, d esempio, e b. Ricvimo che ˆ b c ˆ b n Conoscimo misur di due ti e que de'ngoo compreso, d esempio, c e. Usimo i teorem di Crnot: b ˆ p 2 c 2 2c cos cos ˆ b2 c 2 2 2bc n Conoscimo misur dei tre ti, cioeá conoscimo, b e c. Usndo i teorem di Crnot ricvimo che: cos ˆ b2 c 2 2 2bc cos ˆ 2 c 2 b 2 2c n Conoscimo misur di due ti e de'ngoo opposto d uno di essi, d esempio, b e. Ricvimo che: n se b esiste un soo tringoo (figur 3. di pgin seguente) ed eá : ˆ b cioeá ˆ rc b ; c ˆ 2 LA TRIGONOMETRIA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 n se b < b esistono due tringoi (figur 3b. e c.) i primo si risove con e stesse moditá de cso precedente per i secondo 0 ˆ ˆ c ˆ 0 n se < b i probem non mmette souzione (figur 3d.). Figur 3. b. c. d. Impostimo i fogio di voro in questo modo (osserv figur per inserire e stringhe, i dti e convertire gi ngoi, noi ti indichimo somente e formue di ccoo degi eementi de tringoo) 1 o CASO G5 H5 I5 2 o CASO G9 H9 I9 3 o CASO G13 H13 I13 ˆ 180 B5 C5 ˆ A5 SEN D5 =SEN RADIANTI G5 ˆ A5 SEN E5 =SEN RADIANTI G5 ˆ RADQ A9 A9 B9 B9 2 A9 B9 COS D9 ˆ GRADI ARCCOS G9 G9 B9 B9 A9 A9 = 2 G9 B9 ˆ 180 C9 H9 ˆ GRADI ARCCOS B13 B13 C13 C13 A13 A13 = 2 B13 C13 ˆ GRADI ARCCOS A13 A13 C13 C13 B13 B13 = 2 A13 C13 ˆ 180 G13 H13 4 o CASO Questo eá i cso piuá compesso percheâ, second dee misure ssegnte, dobbimo prevedere di risovere un soo tringoo, due tringoi o nessun tringoo. Formue per i cso di un soo tringoo (cso b): G17 ˆ SE A17 >ˆ B17; GRADI ARCSEN B17 SEN D17 =A17 H17 ˆ SE A17 >ˆ B17; 180 G17 C17 I17 ˆ SE A17 >ˆ B17; A17 SEN RADIANTI H17 =SEN D17 Formue per i cso di due tringoi (cso b < b): G19 ˆ SE E A17 < B17; A17 >ˆ B17 SEN D17 ; GRADI ARCSEN B17 SEN D17 =A17 H19 ˆ SE E A17 < B17; A17 >ˆ B17 SEN D17 ; 180 G19 C17 I19 ˆ SE E A17 < B17; A17 >ˆ B17 SEN D17 ; A17 SEN RADIANTI H19 =SEN D17 G20 ˆ SE G19; 180 G19 H20 ˆ SE G19; 180 C17 G20 I20 ˆ SE G19; A17 SEN RADIANTI H20 =SEN D17 Formue per i cso di nessun tringoo: G22 ˆ SE A17 < B17 SEN D17 ; VERO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA TRIGONOMETRIA 3

4 A B C D E F G H I 1 RISOLUZIONE TRIANGOLI QUALSIASI o CASO - due ngoi e un to: f, gmm, brisultati 4 b f (gr) gmm (gr) f (rd) gmm (rd) bet (gr) c ,25 50,65 0, , ,1 8, , o CASO - due ti e 'ngoo compreso:, c, bet RISULTATI 8 c bet (gr) bet (rd) b f (gr) gmm (gr) , , , , , o CASO - tre ti:, b, c RISULTATI 12 b c f (gr) bet (gr) gmm (gr) , , , o CASO - due ti e 'ngoo opposto d uno di essi:, b, f RISULTATI 16 b f (gr) f (rd) bet (gr) gmm (gr) c , tringoo FALSO FALSO FALSO tringoi 69, , , , , , nes. tring. FALSO 3. LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI: UN CASO PARTICOLARE CON GEOGEBRA Verifichimo che se di un tringoo sono ssegnte e misure di due ti e b e de'ngoo opposto d uno di essi, per esempio 'ngoo opposto to, si possono presentre tre possibiitá second de misur di. Eiminndo d finestr grfic gi ssi crtesini, disegnimo dunque un ngoo e fissimo su uno dei suoi ti un punto C in modo che si AC ˆ b. Seguimo desso quest procedur. costruimo uno sider che rppresenti misur de segmento ssumendo zero come estremo istro e un vore superiore unghezz di b come estremo superiore de rnge di vori (ne nostr simuzione, essendo b ˆ 5, bbimo posto ugue 7 'estremo destro) Disegnimo circonferenz di centro C e rggio ugue d usndo o strumento 6 - Circonferenz dti centro e rggio indicndo come misur de rggio. Con o strumento 2 - Intersezione di due oggetti trovimo i punti d'intersezione de circonferenz con semirett r (i to de'ngoo che non contiene i punto C). Agimo desso suo sider e fccimo vrire unghezz de segmento ; ci ccorgimo che fino d un certo vore non esistono intersezioni tr circonferenz e semirett r, poi ne ce sono due e infine ne trovimo un so. Cerchimo di cpire che cos corrispondono queste situzioni. Trccimo d C rett perpendicore r e indichimo con H i suo punto d'intersezione con r; definimo quindi i segmento CH (ne figur eá evidenzito in bu) e nscondimo perpendicore. L misur di CH viene ccot utomticmente d GeoGebr e corrisponde vore b ; puoi controre ppicndo i primo teorem dei tringoi rettngoi tringoo CAH. Questo eá i vore de rggio di sotto de que circonferenz non intersec rett r e non puoá quindi definire cun tringoo. 4 LA TRIGONOMETRIA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 Otre questo vore trovimo inizimente due punti di intersezione e dobbimo concudere che esistono due tringoi. Qundo i rggio divent piuá ungo de to b, vieá un soo punto d'intersezione con semirett r e dunque vi eá un soo tringoo. Per costruiri dobbimo usre o strumento 5- Poigono e indicre i tre vertici de primo tringoo (ne figur ACE) tornndo su primo punto per chiudero e poi i vertici de secondo (ACD). Per evidenziri in modo che si possno distinguere, d menu contestue, bbimo poi usto due tipi differenti di trtteggio che si possono scegiere d sched Stie. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA TRIGONOMETRIA 5