01CXGBN Trasmissione numerica. parte 6: calcolo delle probabilità I

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1 01CXGBN Trasmissione numerica parte 6: calcolo delle probabilità I 1

2 Probabilità di errore BER e SER Per rappresentare la bontà di un sistema di trasmissione numerica in termini di probabilità di errore useremo i seguenti parametri: SYMBOL ERROR RATE = SER = P s (e) = Probabilità che il generico segnale trasmesso s T sia ricevuto errato P S (e) = P( s R s T ) BIT ERROR RATE = BER = P b (e) = Probabilita che il generico bit trasmesso u T sia ricevuto errato P b (e) = P( u R u T )

3 Probabilità di errore Grandezze di interesse R b [bit/s] Data Rate (Bit Rate) velocità delle sequenze binarie di informazione T b = 1/ R b [s] Tempo di bit Durata di un bit di informazione T = k T b [s] Tempo di simbolo (segnale) Durata di un simbolo (segnale) della costellazione R = 1/T [ simboli/s] [baud] Symbol Rate (Baud Rate) velocità delle sequenze di simboli (segnali) trasmessi 3

4 Probabilità di errore Grandezze di interesse E b Energia per bit di informazione Energia media spesa per trasmettere un bit di informazione E S Energia di segnale (energia media della costellazione) Energia media spesa per trasmettere un segnale della costellazione S = E b R b =E S R[W] [dbm] Potenza del segnale Potenza media del segnale trasmesso sul canale 4

5 Probabilità di errore Grandezze di interesse N 0 Densità spettrale di rumore B [Hz] Banda Banda occupata dal segnale trasmesso N = N 0 B Potenza del rumore Potenza di rumore che cade nella banda occupata dal segnale trasmesso 5

6 Probabilità di errore Grandezze di interesse S/N Rapporto segnale/disturbo Rapporto tra le potenze di segnale e di rumore E b /N 0 Rapporto segnale/disturbo riferito al bit di informazione Legame: S E R E b b b N = N0 B = N η 0 R b Dove η = prenderà il nome di B efficienza spettrale 6

7 Probabilità di errore Le prestazioni in termini di probabilità di errore saranno calcolate in funzione del rapporto E b /N 0 Questo risulta proporzionale alla potenza del segnale tramite la bit-rate che è una grandezza fondamentale e ben definita del sistema di trasmissione numerica S E R E S = N = N B= R N N N B N b b b 0 b

8 Catena trasmissiva u Z v H s M r R s M v H u Z d T T k T R R k R P () e = P( s s ) S R T P () e = P( u u ) b R T Calcolo della probabilità di errore sul simbolo P s (e) (Symbol Error Rate - SER) sul bit P b (e) (Bit Error Rate - BER) 8

9 Calcolo SER Definizione: P S (e) = P( s R s T ) Il segnale trasmesso appartiene alla costellazione M T { } i s M = s Tutti i segnali sono equiprobabili P ( s = s ) = S T i 1 m 9

10 Calcolo SER Per il teorema della probabilità totale: m m 1 P () e P ( e s s ) P( s s ) P ( e s s ) S S T i T i S T i i= 1 m i= 1 Dobbiamo calcolare: = = = = = ( ρ ( ) ) P ( e s = s ) = P ( s s s = s ) = P V s s = s S T i R T T i i T i (ricordando il criterio di decisione basato sulle regioni di Voronoi) 10

11 Calcolo SER Prima formulazione: ( ρ ( ) ) P ( e s = s ) = P V s s = s = S T i i T i = 1 P( ρ V( s ) s = s ) i T i Seconda formulazione: ( ρ ( ) ) P ( e s = s ) = P V s s = s = S T i i T i = P( ρ V( sj) st = si) j i 11

12 Calcolo SER Per calcolare la SER useremo: m 1 P () e = P ( e s = s ) S S T i m i = 1 Dove: APPROCCIO 1 P ( e s = s ) = 1 P( ρ V( s ) s = s ) S T i i T i Oppure APPROCCIO PS( e st = si) = P( ρ V( si) st = si) = P( ρ V( sj) st = si) j i 1

13 Calcolo SER APPROCCIO 1 P ( e s = s ) = 1 P( ρ V( s ) s = s ) S T i i T i 13

14 Calcolo SER APPROCCIO PS( e st = si) = P( ρ V( si) st = si) = P( ρ V( sj) st = si) j i 14

15 Peso e distanza di Hamming H = v= ( u,.., u,.. u ) { } k 1 i k Dato un vettore binario (ad esempio con k componenti), si definisce peso di Hamming del vettore binario il numero di componenti uguali ad 1: w v = i: u = 1 H ( ) { } i Esempio v= (10110) w v = 3 H ( ) 15

16 Peso e distanza di Hamming H = v= ( u,.., u,.. u ) { } k 1 i k La distanza di Hamming tra due vettori binari è definito come il numero di componenti dove i due vettori sono diversi: d v, v = i: u u ( ) { } H 1 1i i Esempio: v v 1 = (10110) = (01101) d v, v = 4 H ( ) 1 16

17 Peso e distanza di Hamming H = v= ( u,.., u,.. u ) { } k 1 i k Introducendo la somma modulo (EXOR) tra elementi di Z possiamo definire la somma modulo tra due vettori binari come somma componente per componente: v = ( u,.., u,..., u ) i 1k v = ( u,.., u,..., u ) 1 i k v + v = ( u + u,.., u + u,.., u + u ) i i 1k k 17

18 Peso e distanza di Hamming H = v= ( u,.., u,.. u ) { } k 1 i k Chiramente, la distanza di Hamming tra due vettori è uguale al peso di Hamming della somma modulo dei due vettori Esempio: v v v 1 1 d v, v = w v + v H = (10110) = (01101) + v = ( ) ( ) 1 H 1 (11011) d v, v = w v + v = 4 H ( ) ( ) 1 H 1 18

19 Calcolo BER Il passaggio dalla SER alla BER non è immediato: per costellazioni non banali dipende fortemente dal labeling binario scelto. Se il segnale ricevuto è corretto (s R = s T ) anche il vettore binario di informazione è corretto (v R = v T ). Se il segnale ricevuto è sbagliato (s R s T ) sicuramente il vettore binario di informazione è sbagliato (v R v T ), ma il numero di bit sbagliati dipende dal labeling. In percentuale il loro numero vale: dh ( vr, vt) k (d H = distanza di Hamming tra vettori binari = numero di bit dove i vettori sono diversi) Il passaggio dalla SER alla BER non è quindi immediato: per costellazioni non banali dipende fortemente dal labeling binario scelto. 19

20 Calcolo BER Per calcolare la BER si usa ancora il teorema della probabilità totale: m 1 P () e = P( e s = s ) b b T i m i = 1 Il calcolo della BER deve sempre avvenire (a meno di costellazione banali) seguendo l approccio, perché è necessario separare il contributo alla BER di ogni segnale diverso da quello trasmesso: dh( vj, vi) Pb( e st = si) = P( ρ V( sj) st = si) k j i dove ( ) e ( ) v = e s v = e s 1 1 i i j j 0

21 Calcolo BER Per calcolare la BER useremo: Dove (APPROCCIO ): m 1 P () e = P( e s = s ) b b T i m i = 1 dh( vj, vi) Pb( e st = si) = P( ρ V( sj) st = si) k j i 1

22 Calcolo SER e BER costellazione binaria antipodale Calcolo della probabilità di errore per una costellazione binaria antipodale Consideriamo una costellazione binaria monodimensionale (d=1) con due segnali (m=) antipodali (simmetrici rispetto all origine). Le due regioni Voronoi sono: M = { s = ( + A) s = ( A) } 1 V( s ) = { ρ = ( ρ ), ρ 0} V( s ) = { ρ = ( ρ ), ρ 0} 1 1

23 Calcolo SER e BER costellazione binaria antipodale Applichiamo la definizione: 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m = m P S e = P S e s T i 1 = s i = PS e st = s 1 + P S e s T = s Calcoliamo e P ( e s = s ) S T 1 P ( e s = s ) S T 3

24 SER/BER computation for binary antipodal signals P ( e s = s ) Per calcolare usiamo ad esempio l approccio S T 1 P ( e s = s ) = P( ρ V( s ) s = s ) = P( ρ < 0 s = s ) S T 1 T 1 1 T 1 Abbiamo: r = st + n dove r = ρ = ( ρ ) s = s = ( + A) n= ( n ) 1 T 1 1 Di conseguenza, quando s T =s 1 : ρ = A + n 1 1 4

25 SER/BER computation for binary antipodal signals P ( e s = s ) = P( ρ < 0 s = s ) = P( A+ n < 0) = P( n < A) S T 1 1 T La variabile casuale n 1 è Gaussiana, con valor medio nullo e varianza N 0 / 1 A PS( e st = s1) = P( n1 < A) = P( n1 > A) = erfc N 0 5

26 Sulla funzione erfc Le distribuzioni f ( ρ s = s ) r T i sono ddp di tipo gaussiano. Incontreremo molto spesso il seguente problema: Data una variabile casuale n monodimensionale con ddp gaussiana - Valor medio µ - varianza σ - ddp f n 1 ( x µ ) ( x) = exp( ) πσ σ Calcolare + 1 x µ Pn ( > x) = fn( x) dx= erfc σ x 6

27 Sulla funzione erfc dove Infatti 1 1 ( x µ ) σ + t erfc( x) = e dt π x 1 ( x µ ) Pn ( > x) = fn( x) dx= exp( ) dx= πσ σ π x t x µ e dt = erfc σ x Nel caso di ddp gaussiana con valor medio nullo e varianza N 0 / si ottiene 1 x µ 1 x P( n > x) = erfc erfc = σ N 0 7

28 Sulla funzione erfc + t erfc( x) = e dt π x Per valutare numericamente la erfc, si può usare limitazione : erfc( x) e x 8

29 SER/BER computation for binary antipodal signals Calcoliamo ora P ( e s = s ) S T P ( e s = s ) = P( ρ V( s ) s = s ) = P( ρ > 0 s = s ) S T 1 T 1 T In questo caso: r = st + n r = ρ = ( ρ ) s = s = ( A) n= ( n ) Di conseguenza, quando s T =s : 1 T 1 ρ = A + n 1 1 9

30 SER/BER computation for binary antipodal signals P ( e s = s ) = P( A+ n > 0) = P( n > A) S T A PS( e st = s) = erfc N 0 30

31 Calcolo SER e BER costellazione binaria antipodale Abbiamo ottenuto P ( e s = s ) = P ( e s = s ) S T 1 S T E quindi : Si ha quindi 1 PS( e) = PS( e st = s1) + PS( e st = s) = PS( e st = s1) 1 A PS() e = PS( e st = s1 ) = erfc N 0 [ Risultato che ci servirà dopo: notiamo che si può scrivere, introducendo la distanza d tra i due segnali: 1 d PS () e = erfc 4N 0 31

32 Costellazioni GU I due segnali avevano regioni di Voronoi congruenti. Le due probabilità di errore sono risultate uguali. Possiamo indurre un ragionamento di validità generale sulle costellazioni geometricamente uniformi. 3

33 Costellazioni GU Una costellazione M è detta geometricamente uniforme se le regioni di Voronoi dei suoi segnali sono congruenti ovvero hanno tutte la stessa forma (sovrapponibili combinando traslazione, riflessione e rotazione). Usando l approccio 1 si ha: P ( e s = s ) = 1 P( ρ V( s ) s = s ) = 1 f ( ρ s = s ) dρ S T i i T i r T i V( s ) Le ddp Gaussiane hanno la stessa espressione analitica per ogni segnale trasmesso. Le aree di integrazioni hanno la stessa forma e quindi la probabilità PS( e st = si) è la stessa per ogni segnale trasmesso. 33 i

34 Costellazioni GU Per una costellazione geometricamente uniforme P ( e s = s ) S T i è la stessa per ogni segnale s i della costellazione trasmesso. Segue: m 1 P () e = P ( e s = s ) = P ( e s = s1 ) S S T i S T m i = 1 La probabilità di errore si può calcolare considerando un solo segnale qualsiasi della costellazione (ad esempio s 1 ) (Molte costellazioni usate in pratica sono GU) 34

35 Calcolo SER e BER costellazione binaria antipodale Abbiamo calcolato: P () e S 1 A = erfc N 0 Vogliamo esprimere questa probabilità di errore in funzione del rapporto E b /N 0. Abbiamo: E quindi: E S Es ( ) = Es ( ) = A 1 Es ( ) + Es ( ) = = 1 E S Eb = = ES = A k A 35

36 Calcolo SER e BER costellazione binaria antipodale Per una costellazione binaria antipodale si ha quindi: P () e S 1 E b = erfc N 0 36

37 Calcolo SER e BER costellazione binaria antipodale Per questa costellazione ad ogni segnale è associato un bit. Ad esempio possiamo stabilire questo labeling binario: e: H v v 1 M = (0) 1 1 = (1) s s In ogni caso, se il segnale è ricevuto errato anche il bit corrispondente viene ricevuto errato. Di conseguenza si avrà sicuramente: 1 E b Pb() e = PS() e = erfc N 0 37

38 Calcolo SER e BER costellazione binaria antipodale Se proprio si vogliono esplicitare i conti: dh ( v, v1) Pb( e st = s1) = P( ρ V( s) st = s1) = k = P( ρ V( s ) s = s ) = P ( e s = s ) T 1 S T 1 Segue: P () e = P() e S b 38

39 BER costellazione binaria antipodale Risultato fondamentale Per una costellazione binaria antipodale P() e b 1 E b = erfc N 0 Questa espressione lega la probabilità di errore sul bit al rapporto E b /N 0, che è proporzionale alla potenza ricevuta S. La rappresentazione usuale di queste curve di prestazioni viene effettuata ponendo: - sulle ascisse il rapporto E b /N 0 in db in scala lineare - sulle ordinate il valore della P b (e) in scala logaritmica 39

40 Calcolo SER e BER costellazione binaria antipodale P() e b 1 E b = erfc N 0 costellazione binaria antipodale BER E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-1 1E-13 1E Eb/N0 [db] 40

41 Calcolo SER e BER costellazione binaria antipodale Importante: L espressione della BER vs. Eb/N0 non dipende dalla forma dei segnali trasmessi ma solo dalla geometria della rappresentazione vettoriale di M. Ad esempio, nel caso della costellazione binaria antipodale, l espressione è la stessa sia per 1 b1 () t = PT () t T che per b1() t = PT ()cos( t π f0t) T 41

42 Calcolo SER costellazione 4-PSK Calcolo della probabilità di errore per una costellazione 4-PSK Consideriamo una costellazione bidimensionale (d=) con quattro segnali (m=4) equispaziati su un cerchio. M = { s = ( a, a) s = ( a, a) s = ( a, a) s = ( a, a) } s s 1 a s 0 1 a s 3 s 3 4 4

43 Calcolo SER costellazione 4-PSK Le regioni di Voronoi sono: V( s1) = { ρ = ( ρ1, ρ), ( ρ1 0) ( ρ 0)} V( s) = { ρ = ( ρ1, ρ), ( ρ1 0) ( ρ 0)} V( s ) = { ρ = ( ρ, ρ ), ( ρ 0) ( ρ 0)} V( s4) = { ρ = ( ρ1, ρ), ( ρ1 0) ( ρ 0)} Sono congruenti, la costellazione è GU: s s 1 a s 1 0 a s s s

44 Calcolo SER costellazione 4-PSK Si ha: m 1 P () e = P ( e s = s ) = P ( e s = s1 ) S S T i S T m i = 1 Usiamo l approccio 1: P ( e s = s ) = 1 P( ρ V( s ) s = s ) S T 1 1 T 1 44

45 Calcolo SER costellazione 4-PSK Calcoliamo Si ha: con: P( ρ V( s ) s = s ) = P(( ρ 0) ( ρ 0) s = s ) 1 T 1 1 T 1 r = st + n r = ρ = ( ρ, ρ ) s = s = ( a, a) n= ( n, n ) 1 T 1 1 Di conseguenza, quando s T =s 1 : a n ρ = a+ n ρ 1 =

46 Calcolo SER costellazione 4-PSK P( ρ V( s ) s = s ) = P(( a+ n 0) ( a+ n 0)) = P(( n a) ( n a)) 1 T n 0 e n 1 sono v.c. gaussiane statisticamente indipendenti P( ρ V( s ) s = s ) = P( n a) P( n a) 1 T

47 Calcolo SER costellazione 4-PSK Introduciamo Si ha 1 a p= P( n> a) = erfc N 0 P( n a) = 1 P( n a) = 1 p 1 1 P( n a) = 1 P( n a) = 1 p segue P( ρ V( s ) s = s ) = (1 p) 1 T 1 P () e = 1 P( ρ V( s ) s = s ) = 1 (1 p) = p p S 1 T 1 47

48 Calcolo SER costellazione 4-PSK Vogliamo esprimere questa probabilità di errore in funzione del rapporto E b /N 0. Abbiamo: Es ( ) = Es ( ) = Es ( ) = Es ( ) = a E quindi: ES = a Segue: E b ES ES = = = a k 1 a 1 E ( ) b p= P n> a = erfc = erfc N 0 N 0 48

49 Calcolo SER costellazione 4-PSK Per una costellazione 4-PSK (4 segnali equispaziati su un cerchio) abbiamo quindi: P () e = p p S con p 1 E b = erfc N 0 49

50 Calcolo BER costellazione 4-PSK (labeling di Gray) Per calcolare P b (e) consideriamo il seguente labeling (detto labeling di Gray): e: H M v = (00) s /s 4 a 11/s 3 v = (10) s a v v = (11) 3 3 = (01) s s /s 1 10/s 50

51 Calcolo BER costellazione 4-PSK (labeling di Gray) m 1 P () e = P( e s = s ) b b T i m i = 1 Dobbiamo usare l approccio : dh( vj, v1 ) P ( e s = s ) = P( ρ V( s ) s = s ) = b T 1 j T 1 j i k 1 1 = P( ρ V( s) st = s1) + P( ρ V( s3) st = s1) + P( ρ V( s4) st = s1) 51

52 Calcolo BER costellazione 4-PSK (labeling di Gray) 1 1 Pb() e = P( ρ V( s) st = s1) + P( ρ V( s3) st = s1) + P( ρ V( s4) st = s1) 1 a 1 E ( ) b p = P n > a = erfc = erfc N N 0 0 P( ρ V( s ) s = s ) = P( n < a) P( n > a) = p(1 p) T P( ρ V( s ) s = s ) = P( n < a) P( n < a) = p 3 T P( ρ V( s ) s = s ) = P( n > a) P( n < a) = (1 p) p 4 T A lezione: calcolate in modo grafico 1 1 Pb () e = p(1 p) + p + (1 p) p= p 5

53 Calcolo BER costellazione 4-PSK (labeling di Gray) Per una costellazione 4-PSK con labeling di Gray si ha quindi P() e b 1 E b = erfc N 0 come per una costellazione binaria antipodale. 53

54 Modulazione 4-PSK Giustificazione: Quando si usa il labeling di Gray, la costellazione 4-PSK può essere vista come il prodotto cartesiano di due modulazioni -PSK una sul canale I (primo bit) e una sul canale Q (secondo bit) Il canale di trasmissione introduce due componenti di rumore statisticamente indipendenti sul canale I e sul canale Q. 54

55 Modulazione 4-PSK Dato il simbolo ricevuto ρ[n]=(ρ 1 [n], ρ [n]), quando si effettua la decisione basata sulle regioni di Voronoi: il segno della componente ρ 1 [n] lungo l asse x determina univocamente la scelta del primo bit il segno della componente ρ [n] lungo l asse y determina univocamente la scelta del secondo bit. La 4-PSK con labeling di Gray si comporta come costellazioni -PSK trasmesse in parallelo. 55

56 Calcolo BER costellazione 4-PSK (labeling diverso) Proviamo ore a calcolare P b (e) con il seguente labeling, diverso dal precedente: e: H M v v v = (00) 1 1 = (01) = (10) s s s /s 4 a 10/s 3 a v = (11) s /s 1 01/s 56

57 Calcolo BER costellazione 4-PSK (labeling diverso) m 1 P () e = P( e s = s ) b b T i m i = 1 dh( vj, v1 ) P ( e s = s ) = P( ρ V( s ) s = s ) = b T 1 j T 1 j i k 1 1 = P( ρ V( s) st = s1) + P( ρ V( s3) st = s1) + P( ρ V( s4) st = s1) Pb () e p(1 p) p (1 p) p p = + + = p 57

58 Calcolo BER costellazione 4-PSK Per una costellazione 4-PSK con labeling di Gray si ha, detto 1 E b p= erfc N 0 P () b e = p Per una costellazione 4-PSK con labeling naturale si ha invece 3 Pb () e p = p > p La probabilità di errore è peggiorata. 58

59 Labeling binario e BER Analizzando l espressione della P b (e) dh( vj, vi) Pb( e st = si) = P( r V( sj) st = si) k j i si intuisce che, quando scelgo un labeling binario, cioé una corrispondenza tra segnali di M e vettori binari, devo cercare di minimizzare la distanza di Hamming dei vettori associati a segnali adiacenti. (Infatti, gli eventi di errore con probabilità più alta sono quelli di cadere nelle regioni di Voronoi dei segnali a minima distanza da quello trasmesso. Questo è tanto più vero quanto più cresce il rapporto Eb/N0. Infatti, fissata Eb, se Eb/N0 cresce, N0 diminuisce, quindi diminuisce la varianza delle componenti di rumore. Se la varianza è piccola significa che le distribuzione Gaussiane sono concentrate attorno all origine: quando si sbaglia, si sbaglia solo su regioni di Voronoi vicine a quelle del segnale trasmesso.) 59

60 Labeling di Gray Data una costellazione, un labeling di Gray è definito in questo modo: Considero ogni segnale s i. Ad esso è associato il vettore binario u i =e -1 ( s i ). Considero tutti i segnali adiacenti a s i (a minima distanza Euclidea da s i ) e gli associo dei vettori binari a distanza di Hamming 1 da u i.. In questo modo viene minimizzata la BER asintotica (alto E b /N 0 e bassa BER) 60

61 Labeling di Gray [Esempio: Gray Labeling 8-PSK] IMPORTANTE: cambiando il labeling cambia il solo BER. La SER riguarda solo la forma della costellazione e non dipende dal labeling binario. 61