DEFINIZIONE E CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI

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1 DEFINIZIONE E CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI Con il ermine segnale si indica una funzione, generalmene del empo, che rappresena la legge di variazione di una grandezza fisica: (acusica, elerica, oica, ) ad esempio: la pressione prodoa da un suono il campo eleromagneico irradiao da un anenna la ensione in uscia da un microfono l inensià luminosa di una scena elevisiva la emperaura in un processo chimico la velocià angolare di un albero moore sono ui esempi di grandezze fisiche che generano segnali. L/

2 SCHEMA LOGICO DI UN SISTEMA DI TELECOMUNICAZIONE Sorgene Sensore Codifica Modulaore Canale Segnale di Uscia Trasduore Decodifa Demodulaore L/2

3 ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI Tecnica ad eco-impulsi L/3

4 CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI Segnali Deerminai Periodici Aperiodici Segnali Ergodici Segnali Aleaori Sazionari Non Sazionari Non Ergodici L/4

5 ESEMPI DI SEGNALI DETERMINATI 2 () = X cos ( 2 π nf + θ ) x n = n n ( ) u () u se = se < Gradino Uniario T = f ( ) = ( ) ( ) y exp a u [ ] un se n = se n < [ ] un Gradino Discreo a n L/5

6 L Impulso Discreo δ [ n] = u[ n] u[ n ] Impulso discreo un [ ] = δ [ n k] Gradino discreo k= δ [ n] consene di rappresenare una sequenza x[ n ] come somma di impulsi raslai e pesai dai valori della sequenza sessa: x n = x m n m [ ] [ ] δ [ ] m= L/6

7 Il gradino uniario L Impulso di Dirac ( ) u presena nell origine una disconinuià di primo ipo (cioè un salo isananeo finio) che non esise in naura, cioè il segnale come si dice non è fisicamene realizzabile. Procedendo con un approccio inuiivo, si può considerare una funzione pseudogradino : se < uθ () = se < θ θ se θ L/7

8 u θ ( ) L impulso di Dirac δ θ ( ) θ θ δ θ () se < e θ duθ () = = d se < θ θ δ θ ende all impulso δ ha le proprieà di: Al endere a zero di θ, la funzione impulsiva ( ) di Dirac δ ( ). L impulso ( ) - endere ad infinio nell inorno infiniesimo dell isane = ed essere nullo alrove - soendere un area uniaria: δ () d = + θ L/8

9 L impulso di Dirac L impulso di Dirac si rappresena graficamene come: δ ( ) Relazione ra impulso di Dirac e funzione gradino uniario coninuo: () δ = du( ) discende immediaamene la relazione inversa: d () δ ( α) u = dα L/9

10 Proprieà di Campionameno dell Impulso Se x() è un segnale coninuo per ogni, il prodoo: () δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) δ( ) x x lim x θ inegrando si oiene la proprieà di campionameno dell impulso: + + ( α) δ( α) α = ( ) δ( α) α = ( ) x d x d x Se l impulso è cenrao in un isane : ( α) δ( α ) α = ( ) δ( α ) α = ( ) x d x d x θ + + Da cui si ricava l imporane risulao per la rappresenazione di x() + () ( ) ( ) x = x α δ α dα L/

11 Segnali Complessi: l Esponenziale L esponenziale complesso empo coninuo è definio come: Per le formule di Eulero: cosω = ( ) ( ) x = exp jω = cosω+ j sinω ( ω ) + ( ω ) exp j exp j 2 sinω = ( ω ) ( ω ) exp j exp j 2π x() è periodico di periodo: T =, ω è la pulsazione [ rad sec ] ω ω 2π 2 f = = π con T 2j f frequenza misuraa in cicli al secondo [Hz]. Rappresenazione di x( ) in modulo e la fase: ( ) 2 2 exp jω cos ω sin ω = + = ( ω ) sinω exp j = arcan = ω cosω L/

12 Segnali Complessi: l Esponenziale Sul piano complesso x( ) è un veore di modulo uniario che ruoa con velocià angolare cosane ω (la fase varia linearmene con il empo). { ( ) } Im x 2 π f { ( ) } Re x L/2

13 Segnali Complessi: l Esponenziale Più generale un esponenziale complesso assume la forma: [ ] ( ) = ( ω + φ ) x A exp j A = ampiezza (modulo del veore roane); ω = pulsazione (velocià angolare del veore roane); φ = fase iniziale (angolo formao dal veore roane con l asse reale all isane iniziale, = ). Osservazione: nella rappresenazione veoriale la pulsazione (o la frequenza) può assumere anche valore negaivo (il segno della pulsazione è legao al verso di roazione del veore: posiivo verso aniorario, negaivo verso orario). L/3

14 Segnale Cosinusoidale Rappresenazione in ermini di veori roani: { ( π + φ) } + ( π + φ) { } exp j 2 f exp j 2 f Acos2 ( π f φ) A 2 + = somma veoriale di due veori roani di ampiezza A 2, eguale fase φ, che ruoano in verso aniorario ed orario rispeivamene. { ( ) } Im x 2 π f A 2 A 2 { ( ) } Re x 2 π f L/4

15 La funzione seno cardinale () sinc = sin π ( π) sinc() L/5

16 La funzione seno cardinale () sinc = sin π ( π).8 sinc() db L/6

17 La funzione seno cardinale In paricolare si definisce: con F cosane posiiva. δ F () = F ( π F) sin π F F () δ approssima la funzione impulsiva di Dirac, poiché: L inegrale + ( π F) sin F d = π F (si dimosra uilizzando la rasformaa di Fourier): Se F allora δ ( ) δ ( ). F L/7

18 Approssimazione della funzione impulsiva di Dirac (F = 4) F = F*sinc(F) L/8

19 ESEMPIO DI SEGNALE ALEATORIO (sazionario) X () X X 2 3 () () X n () Insieme di realizzazioni che definiscono il processo aleaorio X(). L/9

20 PROCESSO DI CONVERSIONE: ANALOGICO - NUMERICO SEGNALI CONTINUI E DISCRETI IN AMPIEZZA E NEL TEMPO ( ) x (a) Segnale Analogico (b) [ ] x nt T 2T 3T 4T nt Segnale Campionao L/2

21 PROCESSO DI CONVERSIONE: ANALOGICO - NUMERICO SEGNALI CONTINUI E DISCRETI IN AMPIEZZA E NEL TEMPO (c) 3 2 x q ( ) - Segnale Quanizzao -2-3 (d) 3 q [ ] = [ ] x nt x n q Segnale Numerico n -3 L/2

22 PROCESSO DI CONVERSIONE: ANALOGICO - NUMERICO SEGNALI CONTINUI E DISCRETI IN AMPIEZZA E NEL TEMPO Ampiezza Coninua Discrea x ( ) x ( ) q Tempo Discreo Coninuo Segnale Analogico ( ) x k Segnale Quanizzao q ( ) = [ ] x x k k Segnale Campionao Segnale Numerico L/22

23 QUANTIZZAZIONE E CODIFICA Cifra Rappresenazione Binaria Forma d onda L/23

24 QUANTIZZAZIONE E CODIFICA ( ) x Quanizzazione Codifica Segnale L/24

25 QUANTIZZAZIONE E CODIFICA (a) A Livelli del segnale campionao e enuo 3T s 2T s T s T s 2T s 3T s 4T s 5T s 6T s 7T s 8T s (b) A Livelli del segnale quanizzao 3T s 2T s T s T s 2T s 3T s 4T s 5T s 6T s 7T s 8T s L/25

26 ERRORE DI QUANTIZZAZIONE A Errore di quanizzazione 3T s 2T s T s T s 2T s 3T s 4T s 5T s 6T s 7T s 8T s L errore di quanizzazione ε q, essendo legao all isane di campionameno, è considerao una quanià aleaoria che assume valori posiivi e negaivi che si dispongono, senza alcuna q q preferenza, cioè uniformemene, nell inervallo, L/26

27 N bi di codifica x() compreso ra [ V,V ] ERRORE DI QUANTIZZAZIONE min MAX VMAX Vmin quano elemenare (ampiezza di ogni livello): q = N 2 Un sisema di DSP usa A/D converer a o 2 bi (a seconda delle applicazioni si arriva anche a 6 o 24 bi come avviene in ambio musicale). 2 = 24 oppure 2 2 = 496 Se il segnale di ingresso varia ra e 5 Vol, il bi meno significaivo (LSB) o quano elemenare vale: 4.88 mv per A/D a bi.22 mv per A/D a 2 bi L/27

28 ERRORE DI QUANTIZZAZIONE Mediamene l errore di quanizzazione risula nullo con una poenza media: P ε = q 2 q 2 Per converiori A/D a oppure 2 bi, Il livello di rumore di quanizzazione è generalmene rascurabile rispeo ad alre sorgeni di rumore del sisema. L/28

29 ENERGIA E POTENZA DI UN SEGNALE CONTINUO Si definisce energia di un segnale coninuo x(), reale o complesso, l inegrale: () 2 E = x d Il segnale x() è deo ad energia finia se E è finio e diverso da zero. Si definisce poenza media del segnale coninuo x() il limie: T 2 2 P = lim x() d T T per cui il segnale è deo a poenza finia se P è finio e diverso da zero. T 2 L/29

30 Esempio di segnale di ENERGIA ( ) = ( ) ( ) y exp a u a + () E = y d = a 2 2a 2a + = e u() d = e d = e = 2a 2a L/3

31 POTENZA DI UN SEGNALE PERIODICO Una classe imporane di segnali a poenza media finia è cosiuia dai segnali periodici; in al caso l energia è infinia e la poenza media coincide con quella calcolaa in un periodo T. T 2 2 P = x() d T T 2 Osservazioni sull energia e sulla poenza di un segnale Se un segnale ha energia finia la sua poenza media è nulla. Se ha poenza finia la sua energia è infinia. L/3

32 ENERGIA E POTENZA DI UN SEGNALE DISCRETO Per un segnale discreo (sequenza) x[n], reale o complesso, l energia é definia come: n Esempio: x[ n] a u[ n] E + = n= [ ] 2 x n =, con a < n 2n 2 [ ] 2 ( ) n E = a u n = a = a = a n= n= n= La poenza media del segnale discreo è: 2 P = N lim n 2N + n= N [ ] x n 2 L/32

33 ENERGIA E POTENZA DI UN SEGNALE DISCRETO Per sequenze periodiche di periodo N la poenza si calcola su un solo periodo: N P= x n N n = [ ] COMPONENTE CONTINUA DI UN SEGNALE Per un segnale (aperiodico o periodico) a poenza finia, la componene coninua (bias) è: b + = lim T T T 2 T 2 2 x d () NB: per segnali periodici, media sul periodo L/33

34 DINAMICA DI UN SEGNALE Segnale reale ampiezza limiaa, quanomeno inferiore alla ensione di alimenazione! Saurazione dei circuii (amplificaori ec.) relazione ingresso uscia non lineare. Dinamica (dynamic range): rapporo ra massima e minima ampiezza (espressa in db) L/34

35 SCALA LOGARITMICA Nel raameno dei segnali è molo usaa la scala logarimica dei Decibel, o db, che si riferisce a rappori di ampiezza o corrispondeni poenze. Siano x e x 2 le ampiezze di ineresse ( relaive poenze). P 2 k x =, P 2 2 k x2 = le Il rapporo ra i dei valori, in db è: x P rdb (, 2) = 2 log log x = 2 P 2 L/35

36 DINAMICA IN DECIBEL Se x 2 è il minimo segnale di ineresse (per es. il livello medio di disurbo) e x il segnale soo esame, r (, 2 ) definisce il livello relaivo di ale segnale. db In paricolare se x è il massimo valore del segnale soo esame, rdb (, ) 2 definisce la dinamica del segnale. L/36

37 LA SATURAZIONE x ou Dura: hard limiing x in x ou Dolce: sof limiing NB: La dinamica dopo la saurazione è normalmene misuraa rispeo al puno ( valore massimo ) a db di compressione x in L/37

38 TRASFORMAZIONE DEI SEGNALI SENZA MEMORIA: ZMNL (Zero-Memory Non Lineariy) ( ) g x( ) y = CON MEMORIA: Lineari (ra cui il Filraggio) Non Lineari L/38

39 TRASFORMAZIONI SENZA MEMORIA (ISTANTANEE) ( ) y Limiazione dura y M ( ) x > ( ) ( ) ( ) () () y = x se x < x y = y M se x x M M ( ) y x M ( ) x Compressione logarimica ( ) x > ( ) ( ) ( ) () () () y = a log b x se x > x y = k x se x x ( ) y x ( ) x Espansione (es. Trasmissione Voce, legge A e μ ) Zona di silenziameno ( ) x L/39

40 TRASFORMAZIONI CON MEMORIA y() dipende dai valori PRECEDENTI (olre che dall auale) di x() R x ( ) C y ( ) (a) x () y ( ) (b) x () y ( ) (c) x () y ( ) (d) ( ) ( ) x y d = C R d () y d x RC y y d () = () + () ( ) = π ( ) + ( ) X f RCj2 f Y f Y f H H ( f ) ( ) ( ) Y f = = X f + j2π f RC ( f ) = π f RC ( ) ( π ) H f = arcan 2 frc L/4

41 TRASFORMAZIONI CON MEMORIA (segue circuio RC) Ponendo: ft = 2π RC L/4

42 TRASFORMAZIONI CON MEMORIA (segue circuio RC) L/42

43 CONVERSIONE ANALOGICO DIGITALE (A/D) Segnale Filro Passa-Basso Campionameno Tenua Livelli del segnale campionao L/43

44 CONVERSIONE ANALOGICO DIGITALE (A/D) (Con.) Livelli del segnale campionao Livelli quanizzai del segnale campionao L/44

45 CONVERSIONE ANALOGICO DIGITALE (A/D) (Con.) L/45

46 SISTEMA COMPLETO DI ELABORAZIONE DEL SEGNALE Conversione A/D Elaborazione Conversione D/A L/46

47 Esempio di Elaborazione del Segnale Cross-correlazione ra il segnale rasmesso (radar, sonar,...) e quello ricevuo per la deerminazione del empo di arrivo L/47

48 DSP (Digial Signal Processing) Vanaggi dell Elaborazione Numerica del Segnale Programmabilià Adaabilià Sabilià Funzioni Speciali (Noch filers, ) Porabilià Compressione dai Riduzione dei disurbi L/48

49 La ecnologia DSP segue la legge di Moore L/49

50 Sisemi di comunicazione Si dividono in: Analogici: la sorgene è empo-coninua a valori coninui. Numerici: la sorgene è empo-discrea a valori discrei. Sorgene Segnale Ricevuo Modulaore Demodulaore Rumore Trasmeiore H(f) Riceviore CANALE Schema di un sisema di comunicazione analogico. L/5

51 Sisemi di comunicazione Sorgene Numerica Segnale Ricevuo Codifica Sorgene Decodifica Sorgene Codifica Canale Decodifica Canale Modulaore Demodulaore Rumore Trasmeiore H(f) Riceviore CANALE Schema a blocchi di un sisema di comunicazione numerico. L/5

52 Sisemi di comunicazione Vanaggi dei sisemi numerici rispeo agli analogici: o La progeazione del sisema non dipende dal ipo di sorgene. o Un segnale numerico può essere memorizzao e poi rasmesso con una cadenza indipendene da quella della sorgene. o Tecniche di codifica della sorgene consenono un miglior sfruameno del canale. o Tecniche di codifica di canale rendono il sisema robuso ai disurbi, oppure di proeggere l informazione (criografia). L/52

53 Sisemi di comunicazione Svanaggi dei sisemi numerici rispeo agli analogici Limiazioni di naura ecnologica in ermini di massima frequenza di campionameno e numero di livelli nei converiori A/D. Aualmene si è arrivai a frequenze di campionameno di.5 GHz e la endenza è a raddoppiare la frequenza di campionameno ogni circa 3 anni. Quese considerazioni preliminari giusificano il fao che i moderni sisemi di comunicazione sono numerici. L/53