POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA MECCANICA (Corso B) A.A. 2011/2012. per ogni n N

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1 POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea i INGEGNERIA MECCANICA Corso B) A.A. / ) Dimostrare, utilizzado il pricipio di iduzioe, che a) b) c) d) k= log + ) = log + ) per ogi N k k + ) 3 = + ) 4 k= kk + ) = k= + kk! = + )! k= e) 3! per ogi N per ogi N per ogi N per ogi N ) Stabilire se i segueti isiemi soo aperti, chiusi, limitati, illimitati. Determiare, ioltre, estremo superiore ed estremo iferiore, specificado se soo massimo e miimo. a) A = {x R log x = log x} b) B = {x N log x = log x} { c) C = x R 3x + } 9x 3x + 9x { d) D = x R arcta arcsi e) E = x R f) F = N g) G = N x x x ) x+ ) x + x x x + x x ] +, [ ] [ e, e } > arcta x ) > 3) Stabilire se i segueti isiemi soo separati, cotigui e, se esistoo, trovare gli elemeti di separazioe { } { } + a) A = N B = N } [ [ b) A = {arcta e + N B =, + { π ) } { π ) } c) A = ) si N B = ) cos N

2 d) A = { x [, π] si x si x < } B = { x [, π] cos x > 3 } 4) Determiare i puti di accumulazioe i R) ed i puti isolati per i segueti isiemi { } a) A = N { } b) A = N ], ] { } [ c) A = N, 3 ] { } + ) d) A = N { ) } e) A = + si N + { } f) A = x R 3 x x 3 x > Problema Dimostrare che, per ogi a, b, c >, a b log a c = c log a b Problema Dimostrare che, per ogi a, b, > ) 3 log a log 3 3 log b = log a b Problema 3 Dimostrare che, per ogi a, b R a + b ) a + b Problema 4 Dimostrare che, per ogi a, b R arcta a arcta a + b

3 POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea i INGEGNERIA MECCANICA Corso B) A.A. / ) Stabilire se le segueti successioi soo mootoe ) arcta log + ) + log ) + ) log π + π ) )) si si π + cos π) ) )! 5)! si π + cos π ) ) Dimostrare che, esiste ν tale che a) per ogi ν b) + ) + 3 arcsi e < per ogi ν c) e d) cos + cos ) + per ogi ν ) + > per ogi ν 3) Sia a ) la successioe di umeri reali defiita poedo, per ogi N, { se è pari a = e se è dispari. Calcolare, se esiste, lim a. + 4) Sia a ) la successioe di umeri reali defiita poedo, per ogi N, a = { si π se è pari se è dispari. Calcolare, se esiste, lim a. + 5) Siao a ) e b ) due successioi di umeri reali tali che a = per ogi { se =,,, 3, 4 b = Dimostrare che a b per +. 3 se 5. Problema Sia a ) ua successioe di umeri reali covergete. Dimostrare che la successioe a + 3a ) è limitata. Problema Sia a ) ua successioe di umeri reali divergete positivamete. Dimostrare che la successioe e a ) è limitata.

4 Problema 3 Sia a ) ua successioe di umeri reali defiita, per ricorreza, poedo Calcolare, se esiste, lim a. + a + = a + log + a ) per ogi. Problema 4 Sia a ) ua successioe ) di umeri reali tale che a, per ogi. Calcolare, se esiste, lim arcsi + + a Problema 5 Siao a ) e b ) due successioi di umeri reali tali che lim + b =. Dimostrare che a b defiitivamete. lim a = e +

5 POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea i INGEGNERIA MECCANICA Corso B) A.A. / ) Determiare domiio, asitoti, itervalli di mootoia, itervalli di cocavità/covessità, puti di massimo/miimo relativo, puti di flesso delle segueti fuzioi: fx) = x + x + x fx) = 4 x fx) = x x + fx) = x 4 e x fx) = log x 3x) fx) = log x 3 x Ioltre a) disegare u grafico approssimativo di f; b) dedurre u grafico approssimativo delle fuzioi: g x) = arcta fx) g x) = e fx) g 3 x) = log fx) + ) g 3 x) = fx + ) g 4 x) = f x )) g 5 = e g x) ) Determiare domiio, asitoti ed itervalli di mootoia delle segueti fuzioi: fx) = x x fx) = log x log x log x + fx) = arcta x 3 + x 3 fx) = x ) + x 4 fx) = log + arcta x ) fx) = x arcsi x fx) = x x + 4x 5 fx) = arccos + e x fx) = arcsi x 4 x fx) = ta x +ta x fx) = π x+si x fx) = x x 5 Ioltre a) disegare u grafico approssimativo di f; b) determiare sup f ed if f, specificado se soo rispettivamete massimo e miimo di f; c) determiare gli itervalli di ivertibilità; d) dati gli isiemi A = {x R fx) > } e B = {x Z fx) > }, determiare i puti di accumulazioe i R e stabilire se tali isiemi soo aperti, chiusi, é aperti é chiusi, limitati, illimitati. 3) Studiare l ivertibilità delle segueti fuzioi e calcolare, dove possibile, l iversa: fx) = arcsi log + x 3 ) fx) = 3 arcta x fx) = x 5 + x x x x > Problema Siao f : R R covessa e g : R R strettamete crescete e covessa. Dimostrare che la fuzioe composta g f è covessa. Problema Dimostrare che, per ogi x, y R e x + y) 4 ex + e y. ) π

6 Problema 3 Sia f : R R ua fuzioe periodica e tale che f) = 3. Quate soluzioi ha l equazioe fx)) 3 3 fx)) + fx) = 3? Problema 4 Siao f : [, ] R crescete e g : [, ] R decrescete. Dimostrare che π f)+g) π f)+g). Problema 5 Determiare il umero di soluzioi dell equazioe 8x + 4x + 8x 3 + x 4 + = Problema 6 Siao f : R R limitata e g : R R tale che gx) fx), per ogi x R. La fuzioe g è limitata? Problema 7 Dimostrare che, se f : R R è ua fuzioe limitata iferiormete, allora gx) := e 3 fx) x R) è ua fuzioe limitata.

7 POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea i INGEGNERIA MECCANICA Corso B) A.A. / ) Studiare al variare di λ R la cotiuità delle segueti fuzioi x λ x+ ) a) fx) = x + x se x > ; se x = ) x + ) λ + si x + b) fx) = se x + si x + ; se x = ) logta ] x + ta x) + log log x se x, π ] c) fx) = ta x 4 si λ se x = log d) fx) = cos4 x )) arcsix )) log x se < x <. λ x 3 + 3λx + se x = ; ) Stabilire se le segueti fuzioi soo prolugabili co cotiuità a) fx) =sigx x)x ) i x = e x = ; b) fx) = log x + log x log x i x = ; log x c) fx) = log + x arcta x) ) i x = e x =. 3) Stabilire, utilizzado il teorema di Weierstrass e le sue cosegueze, se le segueti fuzioi soo limitate a) fx) = si x ) si x + ) x 4 x ; + x 3 b) fx) = x 3 3x + 3x ) x x ; logx + ) + ta x x 3 + x + x π se x ], ] c) fx) = se x = e ) x e x se x [, [ x x. Problema Dimostrare che ua fuzioe f : R R cotiua che ammette u asitoto orizzotale è limitata. Cambia qualcosa se f o è cotiua?

8 Problema Siao f, g : R R fuzioi cotiue. Dimostrare che a) l isieme A = {x R < fx) < } è aperto; b) l isieme B = {x R fx) < } {x R gx) > } è aperto; c) l isieme C = {x R fx) gx)} è chiuso. Problema 3 Dimostrare che l isieme A = } {x R arcta x > x3 x è aperto. + Problema 4 Sia f : R R ua fuzioe cotiua tale che lim fx) = e lim fx) = x + x +. Provare che l equazioe fx) = 3x 5 ammette almeo ua soluzioe. Problema 5 Siao f, g : [, 3] R fuzioi cotiue e tali che i) f) < g) e f3) > g3), ii) f è strettamete crescete e g è strettamete decrescete. Dimostrare che l equazioe arcta fx) = arcta gx) ammette ua sola soluzioe. Cambia qualcosa se ua delle due fuzioi o è cotiua? Problema 6 Dimostrare che l equazioe 3 3x5 +3+arcsi x = ammette ua sola soluzioe egativa. Problema 7 Sia f : [, ] R tale che fx) x i u itoro di x =. Provare che f è cotiua i.

9 POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea i INGEGNERIA MECCANICA Corso B) A.A. / Itegrazioe secodo Riema e fuzioi itegrali Problema Siao f, g : [a, b] R tali che fx) gx), per ogi x [a, b]. Se la fuzioe g è itegrabile secodo Riema, lo è ache f? Problema Siao f, g : [a, b] R. tali che fx) = gx) per ogi x [a, b]\{c,..., c }. Se la fuzioe g è itegrabile secodo Riema, lo è ache f? Problema 3 Calcolare, se esistoo, i segueti limiti lim x lim x +3 logt + )e t dt, x logt + )e t dt arcsi x ) + x. Problema 4 Sia f : R R\{} ua fuzioe cotiua e si cosideri la fuzioe itegrale F x) := ft)dt x R). Dimostrare che esiste u solo puto c R tale che F c) =. Problema 5 Sia f : [, + [ R ua fuzioe itegrabile secodo Riema su ogi itervallo [a, b] [, + [ e si cosideri la successioe di umeri reali a ) defiita poedo ) Esiste lim + a? a := ) Cambia qualcosa se f è cotiua? 3) Cambia qualcosa se f è positiva? ft)dt ). Problema 6 Sia f : R R ua fuzioe Riema-itegrabile su ogi itervallo [a, b] e tale che fx) x per ogi x R. Calcolare, se esistoo, i segueti limiti lim x + ft)dt, lim x ft)dt. Problema 7 Sia f : [, ] R e si cosideri la fuzioe gx) := fx) e x x [, ]). Se g è crescete, allora la fuzioe f è itegrabile secodo Riema? Problema 8 Stabilire se ua fuzioe f : [, ] R cotiua su [, [ e decrescete su ], [ è itegrabile secodo Riema.

10 Problema 9 Sia f : R R ua fuzioe cotiua e T-periodica. Dimostrare che, per ogi a R a T fx)dx = fx)dx = T +a T T +a Problema Sia f : R R ua fuzioe cotiua. dispari), allora ache F x) = a fx)dx, fx)dx. ft)dt è pari risp. dispari). Dimostrare che, se f è pari risp. Problema Data si x x π fx) = x si x π + x > π, determiare l espressioe aalitica della fuzioe F x) = ft)dt. Problema Scrivere il poliomio di MacLauri della fuzioe F x) = Problema 3 Sia f : [, + [ R ua fuzioe cotiua e tale che Dimostrare che la fuzioe F x) = ) lim si fx) e x 3 =. x + 3 x 3 ft)dt è limitata. cos t dt. Problema 4 Determiare, al variare di λ R, il umero di soluzioi dell equazioe arcta t dt = λ. + t Itegrali impropri ) Stabilire se i segueti itegrali esistoo e soo fiiti: + x + x 4 + x log x dx log x arcsi x dx x arccos x + + x + ) si x dx x 5 log x + x) six + ) x + ) α dx 3 + x x 4 3 six ) dx arcta x arcta x + α )dx al variare di α R

11 ) Stabilire se i segueti itegrali esistoo e, i caso affermativo, calcolarli: e x log + e x + e x )dx ) log dx x 6 dx 3x + x x + 5 x + dx Calcolo di aree Calcolare l area delle segueti parti di piao: A = {x, y) R x π, y si x} B = {x, y) R x 5x + 4 <, x y x + } C = {x, y) R e e x e 5, x 3 y log x}

12 POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea i INGEGNERIA MECCANICA Corso B) A.A. / Curve. Data la curva γt) = t cos 3t, si 3 t, cos 3 t) determiare il vettore tagete i t = π 3.. Determiare la lughezza della curva γt) = cos t, si t, log cos t) co t [, 5 6 π]. 3. Riscrivere i coordiate polari l equazioe della curva x + y ) 3 = 4xy. 4. Calcolare l itegrale di fx, y) = x + y lugo la curva γt) = t cos t, t si t) co t [, 3]. 5. Calcolare xyds γ lugo il triagolo di vertici, ),, ),, ). Forme differeziali e campi vettoriali. Dimostrare che il campo vettoriale F x, y) = e x y ex e x +, ex + e y ) e y + è coservativo e determiare u suo poteziale. Calcolare, ioltre, il lavoro del campo di forze F lugo il segmeto di estremi, ) a, ).. Stabilire se il campo F x, y) = x + y + xy + i + + x + y) j è irrotazioale. Calcolare, ioltre, il lavoro del campo di forze F lugo la circofereza di cetro,) e raggio Data la forma differeziale ωx, y) = y x y dx + y x y x dy, stabilire se è esatta ed, i caso affermativo, calcolare ua sua primitiva.

13 4. Data la forma differeziale ωx, y) = x log xydx + x y dy, determiare i sottoisiemi di R i cui ω è esatta. 5. Stabilire se il campo è coservativo. 6. Calcolare ω, dove 7. Calcolare ω, dove γ γ F x, y) = ) + x + x) + y, y + x) + y ωx, y, z) = y + z)dx + x + z)dy + x + y)dz, γt) = cos t, si t, t) co t [, 3]. ωx, y, z) = + e z )dx + dy + xe z )dz, e γ è la curva che si ottiee itersecado Σ := {x, y, z) R 3 x + y + z = } co il piao π di equazioe z =. 8. Siao A u aperto di R N ed f : A R ua fuzioe di classe C. Dimostrare che f) =. 9. Dimostrare che la somma di due campi di forze coservativi è acora u campo coservativo.. Siao F e G due campi coservativi co poteziale f e g, rispettivamete. Dimostrare che la fuzioe f + g è u poteziale del campo somma F + G.