Derivata di una funzione

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1 Derivata di una funzione Prof. E. Modica Il problema delle tangenti Quando si effettua lo studio delle coniche viene risolta una serie di esercizi che richiedono la determinazione della retta tangente ad una delle coniche in un loro punto. Tale tangente interseca la conica in un solo punto. Questa considerazione trae in inganno quando si vuole definire la retta tangente ad una generica curva, in quanto, come mostrato nella figura sottostante, esistono rette tangenti alle curve in un punto che hanno con esse ulteriori punti in comune. P Q Per risolvere questo problema di definire la tangente ad una curva qualsiasi, si introduce la seguente Definizione 1 : Sia data una curva qualsiasi e sia P un suo punto. Si definisce retta tangente alla curva nel punto P la posizione limite, se esiste, della retta secante passante per P e per Q quando P tende a Q. P Q 2 Q 1 Q Quando si vuole determinare l equazione della retta tangente ad una conica in un suo punto P( 0 ;y 0 ), si procede come segue: si scrive l equazione del fascio proprio di rette passante per P: y y 0 = m( 0 ); si mette a sistema la precedente equazione con l equazione della conica considerata; si pone uguale a zero il del sistema e si ricava il valore di m. Esempio 1 : Determinare l equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = 2 nel suo punto P(1;1).

2 Scriviamo l equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P(1; 1): y 1 = m( 1) y = m m+1 Risolviamo il sistema: { y = 2 y = m m+1 Risolvere il sistema equivale a risolvere la seguente equazione: Calcoliamo il : Ponendo il = 0 si ottiene: 2 = m m+1 2 m+m 1 = 0 = m 2 4m+4 = (m 1) 2 (m 2) 2 = 0 m = 2 Sostituendo il valore m = 2 all equazione del fascio, si ottiene: y = 2 1 Quando si vuole determinare l equazione della retta tangente ad una curva che non sia necessariamente una conica, non si può sempre utilizzare questo procedimenti, in quanto è necessario risolvere sistemi non algebrici. Per tale ragione bisogna determinare un procedimento che permetta di risolvere il problema per ogni curva. Concetto intuitivo di derivata f( y 0 +h) B y = f( f( 0 ) A β C α 0 0 +h Com è possibile intuire da quanto precedentemente detto, esiste una relazione tra la derivata di una funzione in un punto e il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto. Proprietà 1 : Data la funzione y = f() sia 0 un punto appartenente al suo dominio. Il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico della funzione nel punto 0 è uguale al valore che la derivata assume nel punto 0, in formule: m = f ( 0 ) In virtù di tale proprietà è possibile effettuare le seguenti considerazioni relative ai vari grafici presentati. Grafico 1: La funzione è decrescente a sinistra di 0 e crescente a destra di 0. Nel punto 0 la retta tangente al grafico è parallela all asse delle ascisse, di conseguenza il suo coefficiente angolare è uguale a 0. Essendo il coefficiente angolare della retta tangente nel punto 0 uguale alla derivata della funzione in 0, si ha che f ( 0 ) = 0. Quindi nei punti di minimo la derivata prima è uguale a zero. 2

3 y 0 Grafico 2: La funzione è crescente a sinistra di 1 e decrescente a destra di 1. Nel punto 1 la retta tangente al grafico è parallela all asse delle ascisse, di conseguenza il suo coefficiente angolare è uguale a 0. Essendo il coefficiente angolare della retta tangente nel punto 1 uguale alla derivata della funzione in 1, si ha che f ( 1 ) = 0. Quindi nei punti di massimo la derivata prima è uguale a zero. y 1 Grafico 3: La funzione è crescente a sinistra e a destra di 2. Nel punto 2 la retta tangente al grafico è parallela all asse delle ascisse, di conseguenza il suo coefficiente angolare è uguale a 0. Essendo il coefficiente angolare della retta tangente nel punto 2 uguale alla derivata della funzione in 2, si ha che f ( 2 ) = 0. Quindi nei punti di flesso a tangente orizzontale la derivata prima è uguale a zero. y 2 Osservazione 1 : In seguito alle precedenti considerazioni, possiamo dare la seguente definizione. Definizione 2 : Data una funzione y = f(), un punto 0 domf si dice stazionario se f ( 0 ) = 0 3

4 Derivata delle funzioni elementari Funzione costante Dk = 0 Funzione identica D = 1 Funzione potenza di base variabile ed esponente costante Regole di derivazione D n = n n 1 Derivata della somma algebrica di due funzioni Data la funzione h() = f()±g(), la sua derivata è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni, in formule: h () = f ()±g () Esempio 2 La derivata della funzione f() = 3 2 è: f () = Derivata del prodotto di una costante per una funzione Data la funzione h() = k f(), la sua derivata è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione f(), in formule: h () = k f () Esempio 3 La derivata della funzione f() = 3 5 è: Derivata del prodotto di due funzioni f () = 3 (5 4 ) = 15 4 La derivata del prodotto di funzioni due funzioni è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuna funzione per l altra non derivata. Data la funzione h() = f() g(), la sua derivata è data quindi dalla formula: Esempio 4 h () = f () g()+f() g () La derivata della funzione f() = ( ) ( ) è: f () = (4+1)( )+( )(8 3) = = =

5 Derivata del rapporto di due funzioni La derivata del rapporto di due funzioni è uguale ad una frazione che ha per denominatore il quadrato della funzione divisore e per numeratore la differenza tra il prodotto della funzione dividendo derivata per l altra non derivata e della funzione divisore per l altra non derivata. Data la funzione h() = f() g(), la sua derivata è data quindi dalla formula: Esempio 5 La derivata della funzione f() = è: h () = f () g() f() g () [g()] 2 f () = (4+1)(42 3+1) ( )(8 3) ( ) 2 = = ( ) 2 = = ( ) 2 Legame tra la derivata di una funzione e la crescenza e decrescenza Ricordiamo che esiste un legame tra il coefficiente angolare m di una retta e l angolo α che essa forma con il semiasse positivo delle ascisse, ovvero: se α è acuto, allora m > 0; se α è ottuso, allora m < 0. Consideriamo il grafico sottostante: y B A C α β Poiché la tangente in A forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle ascisse, il suo coefficiente angolare è positivo e, di conseguenza, la derivata della funzione è positiva. Quindi, se la derivata è positiva si deduce dal grafico che la funzione è crescente. Il punto B è un punto stazionario in quanto il coefficiente angolare della tangente è pari a zero e, quindi, la derivata della funzione è nulla. Invece, la tangente in C forma un angolo ottuso con il semiasse positivo delle ascisse, quindi il suo coefficiente angolare è negativo e, di conseguenza, la derivata della funzione è negativa. Quindi, se la derivata è negativa si deduce dal grafico che la funzione è decrescente. Proprietà 2 : Data una funzione y = f(), negli intervalli in cui la sua derivata prima è positiva la funzione è crescente, negli intervalli in cui la sue derivata prima è negativa la funzione è decrescente. 5

6 Osservazione 2 : Dopo aver studiato il segno della derivata prima e dopo aver determinato i punti stazionari della funzione ponendo f () = 0, si possono presentare i tre seguenti casi: se a sinistra di un punto stazionario la derivata prima è positiva e a destra è negativa, allora la funzione a sinistra cresce e a destra decresce, ovvero il punto stazionario è un punto di massimo; se a sinistra di un punto stazionario la derivata prima è negativa e a destra è positiva, allora la funzione a sinistra decresce e a destra cresce, ovvero il punto stazionario è un punto di minimo; se a sinistra e a destra di un punto stazionario la derivata prima è positiva, allora la funzione è crescente a sinistra a destra, ovvero il punto stazionario è un punto di flesso a tangente orizzontale ascendente; se a sinistra e a destra di un punto stazionario la derivata prima è negativa, allora la funzione è decrescente a sinistra a destra, ovvero il punto stazionario è un punto di flesso a tangente orizzontale discendente. Esempio 6 : Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione f() = La derivata prima della funzione è: Studiamo il suo segno risolvendo la disequazione: f () = ( ) ( ) 2 0 N D > 0 ( ) 2 > 0 domf Riportando i risultati ottenuti in un grafico si ha: Deduciamo che il punto 1 = 1 5 è un punto di minimo per la funzione f(), mentre il punto 2 = 1 è un punto di massimo. Le ordinate di tali punti si determinano sostituendo i due valori delle ascisse trovate all equazione della funzione. 6