Oscillazioni smorzate, forzate RISONANZA

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1 Oscillazioni smorzate, forzate RISONANZA 1

2 Consideriamo un punto materiale P di massa m vincolato ad una guida rettilinea liscia e fissa e soggetto alle seguenti forze: Una forza elastica, esercitata da una molla, di costante elastica k, che unisce il punto all origine O Una forze di attrito viscoso, dovuta all attrito con il fluido in cui il punto è immerso (es. aria, acqua) Una forza dipendente dal tempo, detta forzante. L equazione di moto del punto è: (1) che si può trasformare nella seguente equazione: (2) ponendo:, e 2

3 R Resistenza C Capacità L Induttanza ε Forza Elettromotrice Figura 1 Si noti che un equazione differenziale formalmente identica alla Eq.(1) si può scrivere anche per un circuito RCL (Fig. 1) in cui è presente una forza elettromotrice assegnata. Infatti, l equazione cui soddisfa la corrente nel circuito è: La soluzione della equazione (2) ha la forma: (3) dove è soluzione della equazione omogenea: (4) 3

4 e è un integrale particolare. L equazione caratteristica associata alla (4) è: (5) le cui radici sono : (6) (7) e quindi ha la seguente forma : (8) 4

5 Sono possibili evidentemente i seguenti casi: 1. Oscillatore Sottosmorzato in tal caso si ha : (9) (10) (11) 2. Oscillatore Sovrasmorzato in tal caso si ha : (12) (13) (14) 5

6 3. Oscillatore Criticamente Smorzato (15) (16) (17) 6

7 Figura 1 x(t) Oscillatore sottosmorzato X t 7

8 Figura 2 x(t) Oscillatore sovrasmorzato X t 8

9 Nel caso ci sia una forzante, come integrale particolare si può prendere la seguente funzione: (18) da cui si ottiene: (19) (20) 9

10 sostituendo le espressioni (19) e (20) nella (2): si ottiene: (21) L equazione precedente equivale alle seguenti due relazioni: (23) (24) Dalla (24) si ottiene immediatamente : (25) 10

11 mentre elevando al quadrato le equazioni (23) e (24) e sommando si ottiene: (26) e finalmente si ha : (27) Le relazioni (25) e (27) permettono di caratterizzare completamente l integrale particolare. Si noti che se allora per e quindi, ciò significa che per tempi grandi la soluzione sarà sostanzialmente rappresentata dall integrale particolare, cioè da un moto oscillatorio avente la stessa frequenza della forzante, ma avente in generale una fase non nulla ed un ampiezza proporzionale a. 11

12 12

13 Si noti che la funzione, per e fissati, presenta, al variare di un picco in prossimità di. Il picco è tanto più marcato quanto più è piccolo. Se allora: (28) L espressione scritta sopra perde di significato per, in tal caso infatti l integrale particolare trovato sopra non è più valido e deve essere sostituito dal seguente: (29) 13

14 Oscillatore armonico forzato nel caso termine detto secolare. Si ha la vera e propria RISONANZA. L ampiezza delle oscillazioni cresce linearmente. Radio: circuito in cui c è un condensatore di capacità variabile. Variando varia la frequenza di risonanze. Questa è la frequenza del segnale che si vuol ricevere, proveniente dalla trasmittente. 14

15 Ponte di Tacoma Il Ponte di Tacoma è un opera di ingegneria civile comprendente due ponti sospesi paralleli che attraversano il canale di Tacoma Narrows, Washington. La struttura fu aperta al traffico il 1 luglio 1940, prima di crollare il 7 novembre dello stesso anno. Il crollo avvenne verso le 10 del mattino del 7 novembre del 1940 iniziò la torsione del tratto centrale del ponte, che collassò un ora e dieci minuti dopo. Le immagini del disastro furono riprese da un docente di ingegneria che strava studiando i movimenti delle struttura. Le cause del crollo sono da ricercarsi nelle oscillazioni torsionali indotte dal distacco periodico di vortici di von Karman (fenomeno di instabilità aereo elastica detto anche flutter o stall-flutter) infatti, sotto l azione del vento costante di circa 30 nodi la scia dei vortici di von Karman trasmetteva alla stessa frequenza torsionale del ponte, innescando un fenomeno di risonanza con ampiezza via via crescenti e non compensate da un adeguato smorzamento. Il ponte venne poi ricostruito nel 1950 facendo tesoro della drammaticità dell esperienza (più largo, più rigido torsionalmente e con maggiore capacità di smorzamento) con una struttura più stabile nei confronti degli effetti del vento. I movimenti torsionali del ponte 15

16 L attimo del crollo 16

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