Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva

Transcript

1 Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione e Scienze Matematiche Università di Siena

2 Struttura delle reti logistiche Sistemi produttivi multistadio Struttura logistica lineare Sist. prod. / Fornitore Sist. prod. / Fornitore Sist. prod. / Fornitore

3 Struttura delle reti logistiche Struttura logistica ad assemblaggio 7 8 6

4 Struttura delle reti logistiche Struttura logistica arborescente (rete di distribuzione) 8 7 6

5 Costi in logistica Costo per l acquisizione dei materiali (soggetto a sconti e incertezze sul valore futuro) Costi di ordinazione Costi di mantenimento o perdita del valore delle scorte Costi fissi e variabili di trasporto Costi per la realizzazione di impianti e centri di distribuzione Costi legati alla movimentazione dei materiali nei magazzini

6 Progetto di reti logistiche e trasporti Determinare la struttura di una rete logistica significa dimensionare impianti di produzione, centri di distribuzione, punti vendita, flussi dei materiali. Il problema si pone ad un livello strategico. Tuttavia, il problema può porsi ad un livello tattico, nel caso in cui sia possibile acquisire risorse (mezzi di trasporto, siti di stoccaggio, ecc ) in affitto da fornitori di servizi logistici.

7 Teoria dei grafi La Teoria dei Grafi costituisce, al pari della Programmazione Matematica, un corpo metodologico per la modellazione e soluzione di problemi decisionali Molti problemi di ottimizzazione hanno una naturale rappresentazione grafica. Sono note efficienti tecniche risolutive basate sui Grafi.

8 Origini La Teoria dei Grafi è stata introdotta dal matematico svizzero Eulero (77-78) che formulò utilizzando i grafi il problema dei ponti di Könisberg (città Prussiana): C Fiume Pregel A D Partendo da una qualsiasi area di terra è possibile tornare al punto di partenza attraversando tutti i ponti una ed una sola volta? B

9 Se si associano alle zone di terra dei punti (nodi o vertici) e ai ponti dei tratti di linea (archi o spigoli) il problema dei ponti di Könisberg è modellato dal Grafo C A D B Eulero si servì di questo grafo per stabilire che era impossibile trovare il percorso richiesto, con i ponti così distribuiti. E invece possibile se il numero di archi incidente in ogni nodo è pari.

10 Definizioni Un grafo G=(V,E) è definito da: un insieme V di nodi; un insieme E di archi. Un grafo si dice orientato se gli archi hanno un orientamento altrimenti si dice non orientato C C A D A D B B

11 Definizioni (grafi non orientati) Dato l arco e=(a, b) a a, b sono detti i nodi estremi di e e è detto arco incidente in a e b a, b sono detti nodi adiacenti b due archi si dicono adiacenti se hanno un nodo in comune Dato il nodo a di G l Intorno di a, indicato con N(a), è l insieme dei nodi adiacenti ad a la stella di a, indicata con δ(a), è l insieme degli archi incidenti in a N() = {, } δ() = {(,), (,), (,)}

12 Definizioni (grafi orientati) Dato un arco orientato e=(a, b) e è detto arco uscente da a (nodo coda) e è detto arco entrante in b (nodo testa) a si dice predecessore diretto di b b si dice successore diretto di a a b Dato un nodo a di un grafo orientato G δ + (a) è l insieme degli archi uscenti da a δ - (a) è l insieme degli archi entranti in a un nodo con soli archi entranti è detto pozzo un nodo con soli archi uscenti è detto sorgente δ + () = {(,), (,)} δ - () ={(,), (,)}

13 Definizioni Dato un Grafo G=(V, E) con V={v,, v n } ed E={e,, e m } un cammino è una sequenza di archi p={e h, e h,, e hq }, tali che ogni due archi consecutivi sono adiacenti

14 Definizioni Un cammino è detto semplice se gli archi e i nodi del cammino sono tutti distinti altrimenti si dice non semplice un cammino è orientato se per ogni arco e=(i, j) del cammino, il nodo i è la coda di e ed il nodo j è la testa di e

15 Definizioni Un cammino è detto chiuso se i nodi estremi del cammino coincidono Un cammino semplice e chiuso è detto ciclo Un Grafo G si dice connesso se per ogni coppia di nodi a e b esiste un cammino da a a b

16 Definizioni Un ciclo orientato Un ciclo non orientato

17 Definizioni Un cammino chiuso in un grafo è detto ciclo Euleriano se passa una ed una sola volta su tutti gli archi del grafo. Un ciclo Euleriano può non esistere in un grafo. Grafo non Euleriano Grafo Euleriano C A D B

18 Definizioni Un ciclo in un grafo è detto ciclo Hamiltoniano se passa una ed una sola volta su tutti i nodi del grafo. Un ciclo Hamiltoniano può non esistere in un grafo. Grafi Hamiltoniani C A D B

19 Definizioni Dato un grafo non orientato G=(V,A) e un sottoinsieme S di V Taglio in un grafo Una taglio δ (S) è l insieme di archi con un estremo in S e l altro in V\S S= {, } δ(s) = {(,), (,), (,)}

20 Definizioni Dato un grafo G=(V,A) orientato e un sottoinsieme S di V Taglio in un grafo Il taglio δ + (S) è l insieme di archi con coda in S e testa in V\S Il taglio δ - (S) è l insieme di archi con testa in S e coda in V\S S ={,,} δ + (S) = {(,),(,),(,)} δ - (S) ={(,)}

21 Grafo bipartito G=(V, V, A) Definizioni L insieme dei nodi V è divisibile in due sottoinsiemi V e V Non ci sono archi in A che collegano due nodi di V o due nodi di V

22 Definizioni Una foresta è un grafo senza cicli

23 Definizioni Un Albero T=(V,A) è un grafo che soddisfa una delle seguenti definizioni: è una foresta conessa è connesso e non contiene cicli è connesso ed ha V - archi per ogni coppia di nodi esiste un solo cammino che li connette è connesso e la rimozione di un arco lo rende disconnesso

24 Definizioni Dato un grafo G=(V,A) una foresta ricoprente F =(V,A ) di G è una foresta tale che V =V

25 Definizioni Dato un grafo G=(V,A) albero ricoprente T =(V,A )di G è un albero tale che V =V

26 Il Problema del Flusso su Reti a Costo Minimo (Minimum Cost Network Flow) Il problema di Flusso su Reti a Costo Minimo consiste nel determinare il modo più conveniente per trasportare una determinata quantità di bene da uno o più punti di produzione o immagazzinamento ad uno o più punti di consumo, attraverso una rete di trasporto data. Esistono algoritmi di soluzione estremamente efficienti per il calcolo della soluzione di Problemi di Flusso su Reti a Costo Minimo (più efficienti dei metodi utilizzati per la soluzione di problemi di PL generici).

27 Il Modello del Flusso su Reti a Costo Minimo (Minimum Cost Network Flow) Dati Il grafo G=(V, E) della rete Un insieme di nodi fornitori S V e la quantità di bene disponibile a(i) per ogni i S Un insieme di nodi domanda D V e la quantità di bene richiesta b(i) per ogni i D I costi unitari di trasporto c, le capacità superiori u e inferiori l ad ogni arco (i,j) di E

28 Il Modello del Flusso su Reti a Costo Minimo (Minimum Cost Network Flow) Il Problema Decidere quanto flusso inviare su ciascun arco in modo tale che le capacità sugli archi siano rispettate ad ogni nodo sia soddisfatto il bilanciamento del flusso: Flusso uscente da i Flusso entrante in i = a( i) se i è un nodo fornitore b( i) se i è un nodo domanda altrimenti il costo totale del flusso sulla rete sia minimo

29 Il Modello del Flusso su Reti a Costo Minimo (Minimum Cost Network Flow) Un esempio ed una soluzione ammissibile (i costi degli archi non sono riportati) a()= Nodi fornitori Nodi domanda 6 b(6)= a()= a()= i l, u, c j 7 b(7)= l = u = +

30 Il Modello del Flusso su Reti a Costo Minimo : Una formulazione di PL Definizione delle variabili: x la quantità di flusso che scorre nell arco (i,j), per ogni (i,j) E Funzione obiettivo: min ( i, j ) E c x

31 Upper bound sulle variabili: x u (i,j) E Lower bound sulle variabili: x l (i,j) E

32 Vincolo sul bilanciamento del flusso: = + altrimenti ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( D i i b S i i a x x i i j ji i j i δ δ Condizione: affinché il problema abbia una soluzione ammissibile deve essere: = D i S i i b i a ) ( ) (

33 ( i, j ) δ + x ( i ) x Formulazione complessiva min l ( j, i ) δ ( i, j ) E x ji ( i ) c x a( i) i S = b( i) i D altrimenti (i,j) E x u (i,j) E Proprietà: La matrice dei coefficienti è Totalmente Unimodulare (matrice di incidenza di un grafo diretto e matrici identità) Se le quantità a ( i), b( i), l, u sono intere allora esiste un flusso ottimo x* intero (calcolabile).

34 Il Modello del Flusso su Reti a Costo Minimo (Minimum Cost Network Flow) Metodi di soluzione: In pratica, un problema di flusso su reti a costo minimo può essere risolto con algoritmi combinatori estremamente efficienti (polinomiali), che sfruttano la struttura della rete. Inoltre, esiste una versione del metodo del simplesso, nota con il nome di simplesso su reti, messa a punto proprio per la soluzione di problemi di flusso su reti a costo minimo.

35 Ottimizzazione dei costi di trasporto e dimensionamento della capacità produttiva Descrizione del problema Un industria alimentare produce alimenti in diversi impianti. Gli alimenti una volta prodotti possono essere trasportati direttamente a diversi clienti, oppure trasportati e stoccati in magazzini e poi consegnati ai clienti. Dati Il costo di produzione è lo stesso per ogni impianto. Il costo di stoccaggio è lo stesso per ogni magazzino. Ogni impianto ha una capacità produttiva limitata. E nota la domanda di alimenti di ogni cliente. Sono dati i costi di trasporto e produzione/stoccaggio, per tonnellata di alimenti, tra ogni coppia di punti. Possono essere trasportate al più tonnellate di alimenti tra ogni coppia di punti. Obiettivo L industria vuole decidere quanto produrre in ogni impianto e quanto stoccare in ogni magazzino, in modo tale che il costo totale di trasporto dagli impianti verso i clienti sia minimo e la domanda dei clienti sia soddisfatta.

36 Ottimizzazione dei costi di trasporto e dimensionamento della capacità produttiva Impianti Clienti Capacità (ton per anno) 8 Domande (ton per anno) Costi di trasporto e produzione/stoccaggio (migliaia di Euro per ton) Magazzino Magazzino Cliente Cliente Impianto,,,, Impianto,, 8, 9, Impianto,,, 8, Magazzino - -,, Magazzino - -, 7,

37 Ottimizzazione dei costi di trasporto e dimensionamento della capacità produttiva Il problema può essere modellato con un grafo orientato, associando un nodo ad ogni impianto, magazzino e cliente. Un arco orientato esprime il fatto che può essere trasportata una certa quantità di alimenti tra i due nodi estremi dell arco. Impianti Magazzini Clienti 6 Capacità (ton per anno) 7 8 Domande (ton per anno) Ad ogni nodo impianto è associato un valore pari alla capacità produttiva Ad ogni nodo cliente è associato un valore pari alla domanda

38 Ottimizzazione dei costi di trasporto e dimensionamento della capacità produttiva Ad ogni arco (i,j) del grafo sono associati una capacità u, un costo di trasporto e produzione c per tonnellata (per gli archi uscenti dagli impianti) ed un costo di trasporto e stoccaggio c per tonnellata (per gli archi uscenti dai magazzini). i u, c u = per ogni arco j Costi di trasporto e produzione/stoccaggio (migliaia di Euro per ton) Magazzino Magazzino Cliente Cliente Impianto,,,, Impianto,, 8, 9, Impianto,,, 8, Magazzino,, Magazzino, 7,

39 Ottimizzazione dei costi di trasporto e dimensionamento della capacità produttiva Condizione di ammissibilità La somma delle capacità produttive (6) eccede la somma delle domande (8) Impianti Magazzini Clienti Capacità (ton per anno) Domande (ton per anno) Si introduce un nodo domanda fittizio con valore 6-8= connesso ai nodi fornitori con archi di capacità pari a e costo nullo

40 Ottimizzazione dei costi di trasporto e dimensionamento della capacità produttiva Condizione di ammissibilità La somma delle capacità produttive (6) eccede la somma delle domande (8) Impianti Magazzini Clienti Capacità (ton per anno) Domande (ton per anno) Si introduce un nodo domanda fittizio con valore 6-8= connesso ai nodi fornitori con archi di capacità pari a e costo nullo

41 Formulazione con Excel

42 Soluzione ottima del Problema Impianti Magazzini Clienti Capacità (ton per anno) Domande (ton per anno) Costo di trasporto complessivo: mila Euro

43 Il problema del Cammino di costo minimo su grafi Siano dati un grafo orientato G=(V, E) un costo c associato ad ogni arco (i, j) una coppia di nodi s e t il problema consiste nel trovare un cammino semplice orientato da s a t la cui somma dei costi degli archi ha valore minimo. s t

44 Il problema del Cammino di costo minimo modellato come problema di Flusso su reti a costo minimo Se si associa: un valore a(s)= al nodo s; un valore b(t)= al nodo t; una capacità inferiore pari a ad ogni arco di E; una capacità superiore pari a ad ogni arco di E. Il problema di trovare un cammino minimo da s a t può essere visto come caso particolare di problema di Flusso a costo minimo, con un solo nodo fornitore (s) ed un solo nodo domanda (t). a(s)= s b(t)= t

45 Il problema dei trasporti Siano dati un grafo orientato bipartito G=(A,B,E) A, insieme dei nodi fornitori B, insieme dei nodi domanda una quantità disponibile b i per ogni nodo fornitore in A una quantità richiesta d i per ogni nodo domanda in B un costo unitario di trasporto c associato ad ogni arco (i, j) di E Il problema Il problema consiste nel determinare quanto trasportare su ciascun arco in modo da soddisfare la domanda e minimizzare i costi di trasporto.

46 Il problema dei trasporti Definizione delle variabili: x la quantità di flusso che scorre nell arco (i,j), per ogni (i,j) E j B i A x x min ( i, j ) E c x b i i A d j j B x (i,j) E

47 Nodi domanda Il problema dei trasporti Nodi fornitore b d b b min c x (i,j ) E x b i i A j B x d j j B i A x (i, j) E Proprietà: La matrice dei coefficienti è Totalmente Unimodulare (matrice di incidenza di un grafo bipartito) Se le quantità b i e d j sono intere allora esiste un flusso ottimo x* intero. d

48 E j i c x ), ( min E (i,j) u x E (i,j) l x = + altrimenti ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( D i i b S i i a x x i i j ji i j i δ δ Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti

49 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Flusso lungo un arco: Il flusso di un arco aumenta se esso è percorso in modo concorde al verso dell arco Il flusso di un arco diminuisce se esso è percorso in modo discorde al verso dell arco

50 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Idea: A partire da un flusso ammissibile sulla rete, l idea alla base del simplesso su reti è quella di migliorare la soluzione di partenza aumentando il flusso in cicli con costo unitario negativo, o diminuendo il flusso in cicli con costo unitario positivo. Ciclo con costo negativo: -++-= - Ciclo con costo positivo: -++-= (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) i (x, c ) j i (x, c ) j

51 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Definizioni Dato un flusso ammissibile x sulla rete G, un arco (i,j) è detto libero se l < x < u vincolato se x = l oppure x = u

52 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Definizioni Dato un flusso ammissibile x sulla rete G, un arco (i,j) è detto libero se l < x < u vincolato se x = l oppure x = u Soluzione senza cicli (cycle free solution): un flusso ammissibile x tale che in ogni ciclo (non orientato) della rete esiste almeno un arco vincolato Soluzione ad albero ricoprente (spanning tree solution): dato un albero ricoprente T di G, un flusso ammissibile x tale che ogni arco che non appartiene a T è vincolato (gli archi di G che appartengono a T possono essere liberi o vincolati)

53 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Soluzione senza cicli (cycle free solution): un flusso ammissibile x tale che in ogni ciclo della rete esiste almeno un arco vincolato Soluzione ad albero ricoprente (spanning tree solution): dato un albero ricoprente T di G, un flusso ammissibile x tale che ogni arco che non appartiene a T è vincolato (gli archi di G che appartengono a T possono essere liberi o vincolati) È possibile mostrare che un problema di flusso a costo minimo ammette sempre una soluzione ottima senza cicli e ad albero ricoprente.

54 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti E sempre possibile trasformare una soluzione ammissible in una soluzione senza cicli Esempio: Ciclo con costo negativo Tutti gli archi con capacità massima infinita e capacità minima Costo del ciclo per flusso unitario D: -++-= - (,) (,) i (,) (,) (x, c ) j (,) +a -a -a +a +a

55 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Aumentando a il costo nel ciclo diminuisce. a può essere aumentato fin quando i flussi sugli archi si mantengono positivi (non negatività del flusso) (e non eccedono la capacità massima): a -a a +a 8 +a a -a +a 7 Il flusso è ancora ammissibile, un arco è vincolato (ha ora flusso nullo), ed il costo della soluzione è diminuito

56 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Esempio: Ciclo con costo positivo Tutti gli archi con capacità massima infinita e minima Costo del ciclo per flusso unitario D: -++-= (,) (,) i (,) (,) (x, c ) j (,) +a -a -a +a +a

57 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Poiché diminuendo il flusso nel ciclo diminuisce il costo, il valore di a può essere diminuito il più possibile a condizione che i flussi sugli archi non diventino negativi (e che le capacità massime degli archi siano rispettate): a -a +a +a a a a -a +a Il flusso è ancora ammissibile, un arco ha ora flusso nullo (è vincolato), ed il costo della soluzione è diminuito 6

58 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Dato un flusso ammissibile sulla rete, il procedimento sopra descritto si può applicare a tutti i cicli della rete, anche ai cicli con costo unitario nullo (in questo caso non avremo nessun miglioramento della soluzione), per portare il flusso di un arco del ciclo al valore, ottenendo quindi una soluzione ammissibile senza cicli. Se assumiamo lower bound diversi da ed upper bound finiti sulle variabili x, è possibile con ragionamenti analoghi modificare i flussi sugli archi in modo da non peggiorare la soluzione, mantenere l ammissibilità e portare il flusso su un arco del ciclo al suo valore minimo (l ) o massimo (u ) Applicando il ragionamento a tutti i cicli della rete si ottiene il seguente risultato. Teorema Se la funzione obiettivo di un problema di flusso a costo minimo non è illimitata inferiormente, esiste sempre una soluzione ottima senza cicli.

59 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti È possibile convertire una soluzione senza cicli in una soluzione ad albero ricoprente Infatti, data una soluzione senza cicli, possono accadere due cose:. Il grafo che si ottiene eliminando tutti gli archi vincolati è connesso: soluzione ad albero ricoprente. Il grafo che si ottiene eliminando tutti gli archi vincolati non è connesso: foresta ricoprente Nel caso, è possibile aggiungere archi vincolati alla foresta ed ottenere una soluzione ad albero ricoprente

60 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Nel caso, è possibile aggiungere archi vincolati alla foresta ed ottenere un soluzione ad albero ricoprente (,) (,) (,) (,) (,6) (,) i (,) j (x, u ), l = Soluzioni ad alberi ricoprenti

61 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Si ottiene quindi il seguente risultato. Teorema Se la funzione obiettivo di un problema di flusso a costo minimo non è illimitata inferiormente, esiste sempre una soluzione ottima ad albero ricoprente per il problema.

62 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Data una soluzione ad albero ricoprente, gli archi in A della rete G possono suddividersi in tre categorie:. Gli archi appartenenti all albero T. Gli archi non appartenenti all albero il cui flusso è pari alla capacità minima (insieme L). Gli archi non appartenenti all albero il cui flusso è pari alla capacità massima (insieme U) E possibile ottenere una (unica) soluzione ad albero ricoprente conoscendo la struttura T,L,U (ammissibile). Basta porre x =l per ogni (i,j) in L x =u per ogni (i,j) in U calcolare il flusso sugli altri archi di T attraverso le condizioni di bilanciamento dei nodi

63 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Diremo che la struttura di un albero ricoprente T,L,U è ammissibile se la relativa soluzione ad albero rispetta i bound di ciascun arco della rete G Data una soluzione ad albero ricoprente, diremo che l albero relativo T è non degenere se tutti gli archi in T sono liberi, altrimenti l albero si dice degenere

64 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Data una struttura ad albero ricoprente T,L,U E possibile calcolare un flusso ammissibile sugli archi di T Per semplicità, assumiamo che tutti gli archi abbiano upper bound infinito e lower bound (gli archi non in T sono in L e quindi hanno flusso ). Dato un arco, siano T e T i due sottoalberi ottenuti eliminando l arco. a()= b()= a()= a()=b()= Si noti che deve essere: b()= ( a(i) b(i) ) + ( a(i) b(i) ) = i T i T T a()= T a()= x = a()=b()= b()= b()=

65 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti In modo simile è possibile calcolare il flusso anche nel caso in cui la capacità massima degli archi sia finita (supponiamo che gli archi (,) e (,) siano in U) a()= u = u = b()= a()= a()=b()= b()= a()= T b()= T a()= x = a()=b()= b()=

66 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Test di ottimalità per una soluzione ad albero ricoprente Definiamo per ogni arco di G un costo ridotto nel seguente modo: c' = c π( i) + π( j) ( i, j) Dove π(i) è detto potenziale al nodo i Teorema La struttura di un albero ricoprente T,L,U è ottima per il problema di flusso a costo minimo se è ammissibile e se esiste una scelta dei potenziali dei nodi π(i) tale che: c' c' c' = ( i, ( i, ( i, j) T j) L j) U A

67 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Teorema La struttura di un albero ricoprente T,L,U è ottima per il problema di flusso a costo minimo se è ammissibile e se esiste una scelta dei potenziali dei nodi π(i) tale che:. c' = ( i, j) T. c' ( i, j) L. c' ( i, j) U Dim Sia x* la soluzione associata alla struttura T,L,U e supponiamo che esistano dei potenziali ai nodi che soddisfano le condizioni -. Si noti che minimizzare c x equivale a minimizzare (i,j ) A c ' x = (i,j ) A = min (c π(i) + π( j))x = min c x + π(i)x + π(i)x ji (i,j ) A (i,j ) A i V (i,j ) δ(i ) + ( j,i ) δ(i ) π ( i ) a( i ) se i π ( i ) b( i ) se i se i costante nodo fornitore nodo domanda nodo di transito

68 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Dim (segue) Dalle condizioni Si ha min... c' c' c' = ( i, j) T ( i, j) L ( i, j) U c ' x = min c ' x c ' x (i,j ) A (i,j ) L (i,j ) U Consideriamo una qualsiasi soluzione ammissibile x per il problema. Dalla definizione di x* si ha e quindi: c' ( i, j ) A x c' ( i, j ) A x x x * x x * * = = l u ( i, ( i, c ( i, j ) A x j) L j) U c ( i, j ) A x * c.d.d.

69 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Idea dell algoritmo: Il simplesso su reti è un algoritmo iterativo che passa da una struttura ad albero ricoprente ad un altra, e termina quando viene individuata una struttura ottima. Ad ogni iterazione l algoritmo sostituisce un arco dell albero ricoprente con un altro non appartenente all albero: L arco che entra a far parte dell albero è un arco che viola la condizione di ottimalità. Aggiungendo tale arco all albero, si viene a formare un ciclo con costo unitario negativo (ciclo negativo). Il flusso lungo il ciclo viene aumentato finché qualche arco non raggiunge la sua capacità minima o massima. Uno di questi archi con capacità minima o massima è rimosso, producendo una nuova struttura ad albero.

70 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Data una struttura ad albero ricoprente T,L,U l algoritmo calcola come prima cosa i potenziali ai nodi in modo da soddisfare la condizione Come? c' = ( i, j) T Si noti che aggiungere una costante k a tutti i potenziali non modifica i costi ridotti c' = c π( i) + π( j) = c [ π( i) + k] + [ π( j) + k] Al nodo può essere assegnato un potenziale I potenziali di tutti gli altri nodi sono calcolati in modo tale che c' = c π( i) + π( j) = ( i, j) T

71 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Esempio: calcolo dei potenziali ai nodi a partire da una struttura ad albero ricoprente T,L,U, in modo tale che: i c j c' = c π( i) + π( j) = ( i, j) T π() = c c π() + π() = + π () = π() = π() + π() = + + π () = π() =... Teorema Se nel problema di flusso a costo minimo tutti i costi degli archi sono interi allora esiste una soluzione ottima in cui i potenziali dei nodi π(i) sono tutti interi.

72 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Algoritmo: simplesso su reti calcola una struttura ad albero T,L,U ammissibile calcola il relativo potenziale ai nodi π ed il flusso x su ogni arco della rete controlla la condizione di ottimalità while (esiste un arco non in T che viola la condizione di ottimalità) begin seleziona un arco che viola la condizione di ottimalità, da far entrare nell albero determina l arco da rimuovere dall albero aggiorna la struttura T,L,U e calcola il relativo potenziale ai nodi, π, ed il flusso x su ogni arco della rete controlla la condizione di ottimalità end

73 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Calcolo di una struttura ad albero ammissibile iniziale T,L,U (archi tutti con capacità minima ) Supponiamo che fra ogni coppia di nodi esista un cammino diretto in cui ogni arco ha capacità infinita Data una rete G=(V,A) è sempre possibile rispettare questa condizione aggiungendo degli archi fittizi (,j) e (j,) per ogni nodo j di V\{}, con capacità massima infinita e costo infinito (di fatto non saranno mai scelti in una soluzione ottima) Una struttura ad albero iniziale è ottenibile aggiungendo in T l arco (j,) se il nodo j è un nodo fornitore (a(j)>) o di transito (a(j)=b(j)=) con un flusso pari ad a(j) aggiungendo in T l arco (,j) se il nodo j è un nodo domanda (b(j)>) con un flusso pari a b(j) tutti gli altri archi sono inseriti nell insieme L (a flusso nullo) l insieme U è vuoto

74 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Controllo dell ottimalità della struttura ad albero T,L,U Dopo aver calcolato i potenziali ai nodi π(i) Possiamo controllare le condizioni di ottimalità:... c' c' c' = ( i, j) T ( i, j) L ( i, j) U Se la struttura ad albero non rispetta queste condizioni, gli archi che possono essere scelti per entrare nell albero sono: (i,j) L con (i,j) U con c' c' < > Diversi sono i criteri di selezione dell arco entrante (pivot rule), e.g., Dantzig rule: seleziona l arco con il massimo c

75 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Calcolo dell arco uscente dall albero Sia (k,l) l arco selezionato per entrare nell albero Aggiungendo l arco (k,l) all albero si viene a creare esattamente un ciclo (pivot cycle) W Definiamo l orientamento del ciclo W concorde con l arco se (k,l) è in L e discorde se (k,l) è in U i (x, u ) j (,) (,) (,) (,6) (,) 6 (,) (,) 7 8 (,6) (,) 9 (,) k l

76 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Calcolo dell arco uscente dall albero Il flusso del ciclo è aumentato (il flusso aumenta sugli archi concordi con l orientamento del ciclo e diminuisce sugli archi discordi) fin quando il flusso su uno o più archi raggiunge il relativo lower o upper bound (blocking arcs). L arco uscente è selezionato tra gli archi blocking. Diversi sono i criteri di selezione dell arco uscente, e.g., seleziona il primo arco blocking incontrato scandendo la lista degli archi, oppure l arco con costo max. i j (x, u ) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) 6 (,) 7 8 (,6) (,) 9 k (,) l Ciclo di pivot archi blocking: (,), (7,) e (6,)

77 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Esempio a()=9, b(6)=9, tutti gli altri nodi sono di transito (,8) (,) i (,7) (,) (,) (,) j (,) (,) (,6) 6 Siano dati T, L, U: calcolo dei potenziali e flussi L={(,), (,)} U={(,), (,6)} (c, u ), l = π() = c c c π() + π() = + π() = π () = π() + π() = + π() = π () = π() + π() = + + π () = π() = π(i) i - - x π(j) j

78 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti π(i) i - - π(j) x L={(,), (,)} U={(,), (,6)} j Calcolo arco entrante: c =+-=>, (,) in U, il massimo incremento sul ciclo è, l arco (,) diventa blocking ed esce (entra in U) c' c' c' c' 6 = c = c = c = c 6 π() + π() = + > π() + π() = + 8 > π() + π() = + = > π() + π(6) = = > π(i) i x π(j) j

79 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Esempio Nuovo albero ricoprente π(i) i - -6 π(j) x L={(,), (,)} U={(,), (,6)} j - 6 c c 6 c' c' c' c' Calcolo dei potenziali: c' = c π( i) + π( j) = ( i, j) T π() + π() = + + π() = π() = 6 π() + π(6) = π(6) = π(6) = Test di ottimalità: 6 = c = c = c = c 6 π() + π() = + > π() + π() = > π() + π() = + 6 < π() + π(6) = + 8 >

80 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti (,8) (,) i (,) (,7) (,) (c, u ), l = (,) j (,) (,) (,6) 6 Nuovo arco entrante: c 6 =+8-=>, il massimo incremento sul ciclo è, Gli archi (,) e (,) diventano blocking Scegliamo l arco (,) che esce da T 7 π(i) i - - x π(j) j

81 Un algoritmo per il problema del flusso su reti a costo minimo: il simplesso su reti Esempio Nuovo albero ricoprente π(i) i x π(j) j -8-7 L={(,), (,)} U={(,), (,)} Trovata una soluzione ottima - 6 Calcolo dei potenziali: c' π() = c c c c c 6 6 = c π( i) + π( j) = ( i, j) T π() + π() = + π() = π() = π() + π() = + π() = π() = π() + π() = + + π() = π() = 8 π() + π(6) = π(6) = π(6) = π() + π() = π() = π() = 7 Test di ottimalità: c' c' c' c' = = = = c c c c π() + π() π() + π() π() + π() π() + π() = + > = + 7 < = + 7 < = >