4. Calcolare il baricentro delle seguenti regioni del piano dotate di densità unitaria:

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1 INTEGRLI OPPI e TRIPLI Esercii risolti. Calcolare i seguenti integrali doppi: a b c d e f g h i j k y d dy,, y :, y }; d dy,, y :, y }; + y + y d dy,, y :, y }; y d dy,, y :, y }; y d dy,, y :, y + }; + y d dy,, y : y }; sin y y d dy,, y : π, y π}; + y d dy,, y :, min, } y ma, }}; sin y d dy,, y :, y }; sin y d dy,, y : π, y }; d dy,, y : y + / +, y, y + }.. Sia il triangolo di vertici,,, e, dotato di densità unitaria cioè densità costante. Calcolare il momento di ineria di rispetto al vertice.. Sia B il triangolo di vertici B,, B, e B, dotato di densità unitaria. Calcolare il momento di ineria di B rispetto al vertice B.. Calcolare il baricentro delle seguenti regioni del piano dotate di densità unitaria: a, y : y }; b B, y : + y, y }. 5. Calcolare i seguenti integrali doppi: a y d dy,, y : + y, y }; b + y d dy,, y : + y, y }; c d dy,, y : + y, y };

2 d y d dy,, y : + 9y 6, y }. 6. Sia un disco circolare dotato di densità unitaria, avente centro in C r, e raggio r. Verificare la relaione I I C + r, dove I e I C sono i momenti di ineria di rispetto a O e a C e è l area di. 7. Calcolare i seguenti integrali doppi impropri: a b c d e + y α d dy,, y : + y }; y + y d dy,, y : + y,, y }; + y d dy,, y : + y,, y }; + y d dy,, y : + y, y }; + y d dy,, y : + y, y }. 8. Calcolare l integrale triplo ye d dy d, dove è il parallelepipedo, ], ], ], y, :, y, }. 9. Calcolare. Calcolare d dy d, dove, y, :, y,, + y + }. + y + d dy d, dove, y, :, y +, + y}.. Calcolare il volume della calotta sferica, y, : + y + 9, }.. Calcolare il volume del solido di rotaione S ottenuto ruotando attorno all asse la figura piana contenuta nel piano y y, : y, y }.. Utiliando le coordinate polari sferiche, calcolare, y, : + y + }. + y + e +y + d dy d, dove. Calcolare + + y + d dy d, dove, y, : + y +, }.

3 INTEGRLI OPPI e TRIPLI Esercii risolti - SOLUZIONI. Calcolare i seguenti integrali doppi: a y d dy,, y :, y }. b c d e È possibile risolvere l integrale indifferentemente per oriontali o per verticali. Integrando per verticali si ottiene y d dy y dy d y d dy,, y :, y }. + y ] d d È possibile risolvere l integrale indifferentemente per oriontali o per verticali. Integrando per oriontali si ottiene d dy + y + y + + y + y d dy + y d dy,, y :, y }. ] + y dy log + y + log + y] ln ] dy. 5. La regione è sia oriontalmente che verticalmente convessa. È quindi possibile risolvere l integrale indifferentemente per oriontali o per verticali. Integrando per verticali si ottiene + y d dy y dy d d y d dy,, y :, y }. ] y + y ] d 5. La regione è sia oriontalmente che verticalmente convessa. È quindi possibile risolvere l integrale indifferentemente per oriontali o per verticali. Integrando per oriontali si ottiene y d dy 5 y 6y + y dy y d dy,, y :, y + }. y d dy ] 5 6 y y + y. y La regione è sia oriontalmente che verticalmente convessa, ma per la forma esplicita di è più conveniente integrare per verticali. Si ha quindi y d dy + y dy d d y ] + d ] y ] 5 8. dy

4 f + y d dy,, y : y }. La regione è sia oriontalmente che verticalmente convessa. È quindi possibile risolvere l integrale indifferentemente per oriontali o per verticali. Integrando per oriontali risulta + y d dy y + y/ y/ / y/ y/ + 5/ / + y d dy dy y5 5 y + y 6 + y5/ 5 ] y/ / y/ dy 7 / 5/ + y7/ ] 9 5. sin y g d dy,, y : π, y π}. y Sebbene la regione sia verticalmente e oriontalmente convessa, non è possibile calcolare esplicitamente l integrale per verticali, infatti la funione sin y/y non è integrabile elementarmente rispetto a y. Integrando per oriontali si ottiene invece sin y π y sin y π d dy d dy sin y dy cos y] π. y y h + y d dy,, y :, min, } y ma, }}. L insieme può essere visto come l unione dei due insiemi, y :, y },, y :, y } la cui interseione si riduce ad un punto delle relative frontiere. Possiamo quindi decomporre l integrale secondo: + y d dy + y d dy + + y d dy dove entrambi gli integrali a secondo membro possono essere risolti integrando per verticali. Si ha + y d dy + y dy d y + y ] d ] d e Quindi + y d dy + + d + y dy d ] y d dy y + y ] d i sin y d dy,, y :, y }. Poichè sin sin y y se y sin y se y >, si ha sin y d dy sin y d dy + sin y d dy dove, y :, y },, y :, y }

5 Integrando per verticali otteniamo sin y d dy sin y dy d cos d ] sin sin e Quindi cos y] d sin y d dy sin y dy d cos y ] d cos d + ] sin sin + y d dy sin + sin sin. j sin y d dy,, y : π, y }. Poichè si ha dove sin y sin y se y sin y sin se y > sin, sin y d dy sin y d dy + y sin d dy, y : π, y sin },, y : π, sin y } Integrando per verticali otteniamo e Quindi sin y d dy π sin d π π sin sin y dy d cos d π y sin d dy π sin sin + d ] π sin + cos 8 π. y sin dy sin π π ] π sin π d π y cos sin + sin y d dy π + π π. ] sin y sin y d y sin ] sin d d k d dy,, y : y + / +, y, y + }. L insieme può essere visto come l unione dei due insiemi, y :, y + / + },, y :, + y + / + } aventi in comune solo punti delle relative frontiere. Possiamo quindi decomporre l integrale secondo: d dy d dy + d dy dove entrambi gli integrali a secondo membro possono essere risolti integrando per verticali.

6 Si ha e Quindi d dy d dy +/+ dy d +/+ dy d + d dy +. ] + d d 8 + ]. Sia il triangolo di vertici,,, e, dotato di densità unitaria. Calcolare il momento di ineria di rispetto al vertice. Essendo si ha I + y d dy y 8 y + y y + 8 dy, y : y y, y } y + y d dy + y y + y y + 8 ] y. ] y y dy. Sia B il triangolo di vertici B,, B, e B, dotato di densità unitaria. Calcolare il momento di ineria di B rispetto al vertice B. Risulta B, y :, y }. Poichè la distana del generico punto, y B dal vertice B è + y, si ha I B B + y d dy d ]. + y dy d ] y + y d. Calcolare il baricentro delle seguenti regioni del piano dotate di densità unitaria: a, y : y }. Siano e y le coordinate del baricentro di. Per simmetria risulta. Invece y y d dy M dove M è la massa di. Poichè M d dy e risulta y /5. y d dy dy d d ydy d d ] ] 5 5 5,

7 b B, y : + y, y }. Siano B e y B le coordinate del baricentro di B. Per simmetria risulta B. Invece y B y d dy MB B dove MB è la massa di B. Poichè e B y d dy risulta y B /π. MB ydy B d d dy π d ], 5. Calcolare i seguenti integrali doppi: a y d dy,, y : + y, y }. L integrale può essere calcolato utiliando le coordinate polari: ρ cos θ θ, π. y ρ sin θ Poichè + y ρ, la condiione + y diventa ρ, mentre y diventa sin θ, ossia θ π. L insieme di integraione nel piano ρ, θ è quindi il rettangolo: ρ, θ : ρ, θ π}. Essendo ρ lo Jacobiano della trasformaione, si ha: π y d dy ρ sin θ dθ dρ ρ θ sin θ ] π dρ π ρ dρ π ρ π ρ ] cos θ π 8. dθ dρ b + y d dy,, y : + y, y }; L integrale può essere calcolato utiliando le coordinate polari: ρ cos θ θ, π. y ρ sin θ c Poichè + y ρ, la condiione + y diventa ρ, mentre y diventa sin θ cos θ, ossia θ π/. L insieme di integraione nel piano ρ, θ è quindi il rettangolo: ρ, θ : ρ, θ π/}. Essendo ρ lo Jacobiano della trasformaione, si ha: π/ + y d dy ρ dθ dρ π d dy,, y : + y, y }. L integrale può essere calcolato utiliando le coordinate polari: ρ dρ π ρ ] π 6.

8 ρ cos θ y ρ sin θ θ, π. Poichè + y ρ, la condiione + y diventa ρ, mentre y diventa θ π. L insieme di integraione nel piano ρ, θ è quindi il rettangolo: ρ, θ : ρ, θ π}. Essendo ρ lo Jacobiano della trasformaione, si ha π d dy ρ cos θ dθ dρ ρ θ + sin θ ] π dρ π ρ dρ π ρ π ρ ] + cos θ 5 8 π. dθ dρ d y d dy,, y : + 9y 6, y }. La disequaione che definisce si può riscrivere come + y. Quindi è una mea ellisse di semiassi a e b. Utiliiamo la trasformaione di coordinate ρ cos θ θ, π y ρ sin θ l insieme di integraione nel piano ρ, θ diventa il rettangolo: ρ, θ : ρ, θ π}. Essendo 6ρ lo Jacobiano della trasformaione, si ha π y d dy ρ sin θ dθ dρ ρ cos θ] π dρ ρ dρ 8ρ ] Sia un disco circolare dotato di densità unitaria, avente centro in C r, e raggio r. Verificare la relaione I I C + r, dove I e I C sono i momenti di ineria di rispetto a O e a C e è l area di. Risulta I poichè per simmetria risulta + y d dy r + r + y d dy r + r r + r + y d dy r + y d dy + r I c + r + r I c + r r d dy r d dy. d dy + r r d dy 7. Calcolare i seguenti integrali doppi impropri:

9 a Sia allora + y α d dy,, y : + y }. Utiliando le coordinate polari si ha R, y : + y R }, R > + y α d dy lim + y α d dy. R + R + y α d dy R R π π α R α+ se α π log R se α. ρ α+ dθ dρ π R ρ α+ dρ b c Pertanto + y α d dy lim R + π α R α+ se α π log R se α. e quindi l integrale diverge positivamente se α, vale π/α se α >. y + y d dy,, y : + y,, y }. Sia R, y : + y R,, y }, R > allora Utiliando le coordinate polari si ha dove I π/ in quanto Sia allora R y y + y d dy lim R + R + y d dy. y + y d dy π/ R sin θ cos θ cos θ + sin θ dθ π/ sin θ cos θ ρ cos θ + sin θ dθ dρ R ρ dρ Ilog R log, sin θ cos θ cos θ+sin θ dθ >. Si può calcolare che I π. Tuttavia l integrale diverge positivamente y + y d dy I lim log R log. +. R + + y d dy,, y : + y,, y }. Utiliando le coordinate polari si ha Pertanto R R R, y : + y R,, y }, R > + y d dy lim R + R + y d dy. + y d dy R π/ ρ dρ ] R ρ R. R cos θ dθ dρ sin θ]π/ ρ ρ dρ + y d dy lim. R + R

10 d Sia + y d dy,, y : + y, y }. ɛ, y : ɛ + y, y } ɛ >, allora + y d dy lim ɛ + ɛ + y d dy. Utiliando le coordinate polari si ha ɛ + y d dy ɛ π/ cos θ dθ dρ ɛ sin θ] π/ dρ ɛ dρ ɛ. e Pertanto Sia + y d dy lim ɛ + ɛ + y d dy,, y : + y, y }.. ɛ, y : ɛ + y, y } ɛ >, allora + y d dy lim ɛ + ɛ + y d dy. Utiliando le coordinate polari si ha Pertanto ɛ + y d dy cos θ dθ dρ ɛ π/ ρ ρ dρ ] ρ ɛ. Quindi l integrale diverge positivamente. 8. Calcolare l integrale triplo ɛ + y d dy lim ɛ + ɛ +. ye d dy d, dove è il parallelepipedo, ], ], ], y, :, y, }. ɛ ρ sin θ] π/ dρ Il calcolo dell integrale triplo può essere ridotto al calcolo di tre integrali semplici successivi. ye ye d d dy y e ] d dy 9. Calcolare e y e d dy y y dy e ] ye ] dy e. d dy d, dove, y, :, y,, + y + }. è la regione del primo ottante che sta al di sotto del piano di equaione + y +. Questo piano passa per i punti P,,, P,, e P,,. unque è la piramide tetraedro di vertici P, P, P e,,. Integrando per strati paralleli al piano y si ha d dy d d dy d, dove è la seione di livello dell insieme, cioè l insieme degli, y tali che, y,, per ogni fissato tra e. unque è la regione del piano y definita dalle disequaioni y.

11 È facile vedere che è il triangolo di vertici,,,,,. Integrando per verticali su otteniamo ] d dy dy d y d ] + d + 6 e successivamente d dy d 6 d 6 ]. Possiamo anche integrare per fili paralleli all asse. Osserviamo che la seione di livello dell insieme, }, y :, y, è il triangolo di vertici,,,,, nel piano y. Fissato, y, la variabile varia lungo il filo y. Possiamo dunque riscrivere l insieme nella forma, y, :, y, y }. Integrando per fili, ed integrando successivamente per verticali nell insieme, otteniamo d dy d y y d + ] d d dy y d dy dy d y ] y d + d. + d. Calcolare + y + d dy d, dove, y, :, y +, + y}. è la regione dello spaio compresa tra il grafico della funione + y che è il piano passante per i punti,,,,, e,, e il piano y con e y che variano nell insieme, y :, y + }:, y, :, y, + y}. Integrando per fili paralleli all asse si ha + y + d dy d +y + y + d d dy. è il triangolo di vertici,,, e,. pplicando su la formula di integraione per verticali, si ottiene: +y + +y + y + d d dy + y + d dy d + ] +y + y + ] + + y d ] dy d d 8. + y dy d

12 . Calcolare il volume della calotta sferica, y, : + y + 9, }. è la calotta della sfera di raggio e centro l origine che si trova al di sopra del piano. Integrando per strati paralleli al piano y si ha Vol d dy d d dy d, dove per ogni fissato tra e, è l insieme, y : + y 9 }, cioè il cerchio centrato nell origine di raggio 9. Essendo si ottiene Vol d dy area π9, π9 d π 9 ] 8π. Possiamo anche integrare per fili paralleli all asse. Notiamo che la proieione del punto P, y, nel piano y varia nell insieme, y : + y 8} il cerchio chiuso centrato nell origine di raggio 8, come si vede intersecando la sfera + y + 9 con il piano. Ne segue che l insieme si può descrivere come, y, :, y, 9 y }, cioè al variare di, y in, varia lungo il filo, 9 y ]. Integrando per fili e integrando successivamente in coordinate polari nel piano y, otteniamo Vol 9 y d ddy 9 y ddy π 8 9 r r dr 8π π 9 r /] 8 8π 8 π.. Calcolare il volume del solido di rotaione S ottenuto ruotando attorno all asse la figura piana contenuta nel piano y y, : y, y }. Procediamo con la formula generale VolS π y dy d che fornisce il volume del solido S ottenuto ruotando attorno all asse la regione del piano y. Nel nostro caso è la regione compresa tra l asse y e la parabola y nel tratto y. Integrando per verticali otteniamo: y VolS π π y d y y + y dy π dy π yy dy y y + ] y 7 6 π.. Utiliando le coordinate polari sferiche, calcolare, y, : + y + }. Ricordiamo che le coordinate polari sferiche r, θ, ϕ sono definite da r sin θ cos ϕ y r sin θ sin ϕ r cos θ, + y + e +y + d dy d, dove

13 dove r, θ π, ϕ π. Lo jacobiano della trasformaione r, θ, ϕ, y, è, y, r, θ, ϕ r sin θ. Essendo + y + r, r, θ, ϕ : r }, otteniamo + y + e +y + d dy d π π r e r dr sin θ dθ dϕ π π π r e r r sin θ dr dθ dϕ r e r dr. Ponendo r t e integrando per parti si ha r e r dr t e t dt t e t + t e t e t] e + e e. ] e t dt In definitiva, l integrale proposto ha il valore π e e. Calcolare πe. e + + y + d dy d, dove, y, : + y +, }. In coordinate polari sferiche r, θ, ϕ il dominio diventa r, θ, ϕ : r, θ π/}, cioè il parallelepipedo, ], π/], π]. Pertanto π/ π r cos θ + + y d dy d + + r r sin θ dr dθ dϕ π/ r π sin θ cos θ dθ + r dr π ] π/ r sin θ π r log + r ] r + r dr π log 5. Possiamo anche integrare per strati paralleli al piano y. Per ogni fissato con, l insieme, y :, y, } è il cerchio centrato nell origine di raggio,, y : + y }. Utiliando le coordinate polari ρ, ϕ nel piano y, otteniamo + + y d dy d d dy + y π + ρ dρ dϕ d π + ρ π π π ] log + + ρ log 5 ] 5 } log t dt log 5 5 log d π π log 5 π log 5. d log 5 log + d t log t t ] 5 } + + ρ ρ dρ d bbiamo fatto il cambio di variabile + t nell integrale log + d. Infine possiamo integrare per fili paralleli all asse. Fissato, y tale che + y, la variabile varia nell insieme },y :, y, : } y.

14 Otteniamo y + + y d dy d + +y } + + y + d d dy +y } +y } π ] y log + + y + d dy log 5 log + + y d dy log 5 log + ρ ρ dρ dϕ π ρ log 5 ρ log + ρ dρ. Questo è lo stesso integrale ottenuto sopra e riotteniamo lo stesso risultato.