La finanza quantitativa e i sistemi complessi

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1 La finanza quantitativa e i sistemi complessi Fulvio Baldovin Dip. Fisica, Sezione INFN e CNISM, Università di Padova

2 Attilio Stella, Enzo Orlandini, Francesco Camana Dip. Fisica, Sezione INFN e CNISM, Università di Padova Massimiliano Caporin Dip. Economia, Università di Padova Anomalous Scaling in Physics and Finance

3 Dow Jones Industrial (DJI) S(t) DJI dal 1900 al t [days]

4 ln S(t) 10 9 DJI dal 1900 al t [days]

5 Dinamica di un asset B senza rischio db(t) = r B(t) dt B(t) = B 0 e rt

6 ln S(t) 10 9 DJI dal 1900 al t [days]

7 ln S(t) [detrended] 2 DJI dal 1900 al t [days]

8 Theorie de la speculation (Prezzaggio delle opzioni ) L. Bachelier Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen (moto Browniano ) A. Einstein

9 Assets senza rischio B: bond, acconto bancario,... db(t) = r B(t) dt r: tasso d interesse B(t) = B 0 e rt

10 Assets con rischio S: azioni, partecipazioni,... : La loro evoluzione e caratterizzata dalla presenza di una componente casuale

11 Assets derivati Opzioni (calls, puts), future contracts, forward,... Derivano il loro valore dal prezzo di un asset primario di riferimento.

12 Call C(S(t), K, t, t E ): Opzione call europea S: asset soggiacente K: prezzo di strike dell opzione t: tempo presente t E : tempo di maturita dell opzione Proprietario dell opzione: ha il diritto, ma non l obbligo, di comprare l asset S al prezzo K nel giorno t E paga il prezzo C Sottoscrittore dell opzione: ha l obbligo (se richiesto) di vendere l asset S al prezzo K nel giorno t E riceve il prezzo C

13 C(K) 10 t=t E, S te =50 max (S te -K,0) K

14 C(K) 10 t=t E, S te =50 t<t E, S 0 =50 5 Problema di Bachelier K

15 Per risolvere il problema di Bachelier: 1. Determinare le proprieta empiriche delle serie di dati 2. Definire un modello stocastico che riproduca queste proprieta e che permetta delle predizioni probabilistiche 3. Usare questo modello stocastico per prezzare le opzioni

16 ln S(t) [detrended] DJI dal 1900 al t [days] W(t) 4 2 Processo di Wiener (moto Browniano) t [days]

17 r(t,1) ln S(t) - ln S(t-1) [detrended] DJI dal 1900 al t [days] W(t,1) W(t) - W(t-1) Processo di Wiener (moto Browniano) t [days]

18 r(t,1) ln S(t) - ln S(t-1) [detrended] 0.2 DJI dal 1900 al t [years]

19 Correlazione lineare C lin (τ, T ) r(t, T )r(t + τ, T ) t r(t, T ) t r(t + τ, T ) t r(t, T ) 2 t r(t, T ) 2 t r(t, T ) t t f : tempo totale della serie di dati tf T t=1 r(t, T ) t f T

20 Correlazione non-lineare C α,β (τ, T ) r(t, T ) α r(t + τ, T ) β t r(t, T ) α t r(t + τ, T ) β t r(t, T ) α+β t r(t, T ) α t r(t, T ) β t C 1,1 : correlazione di volatilita

21 1 0.8 C lin (τ,1) C 1,1 (τ,1) τ [days]

22 1 C lin (τ,1) C 1,1 (τ,1) τ [days]

23 The variation of certain speculative prices (1963) Mandelbrot

24 Variazione sulla scala di tempo T 1: r(t, T ) ln S(t) ln S(t T ) = T r(t T + i, 1) i=1 Istogramma di r(t, T ), al variare di t: p T (r) Scaling p T (r) = 1 T D g ( r T D )?

25 p T (r) T=1 DJI T=5 DJI T=30 DJI r

26 T 1/2 p T (T 1/2 r) T=1 DJI T=5 DJI T=30 DJI g Gaussian r

27 Riassumendo: Correlazione (non-lineare) che decade lentamente: processo non-markoviano Scaling anomalo (non-gaussiano)

28 Modelli proposti: Mandelbrot: distribuzioni stabili di Lévy (con scaling anomalo ma senza correlazione) Mandelbrot: moto Browniano frazionario (con correlazione ma con scaling Gaussiano) Mandelbrot: processi multifrattali a cascata (idee sulla turbolenza di Kolmogorov) Engle: ARCH, GARCH,... (metodi autoregressivi: includono la correlazione ma non lo scaling anomalo) Bouchaud, Stanley,...

29 Esistono situazioni simili in sistemi fisici?

30 Modello di Ising

31

32 Gruppo di rinormalizzazione Coarse graining: H H (in finanza): r 1 r 2 r = r 1 + r 2 T T T = 2T

33 Gruppo di rinormalizzazione H(s 1, s 2,...) Z = s 1,s 2,... e βh(1) (s 1,s 2,...), p(s 1, s 2,...) = e βh(s 1,s 2,...) Z, Formazione di blocchi: M 1 = N 1 i=1 s i,... Riscalamento, rinormalizzazione H, Z, p, Punto fisso H, Z, p Coarse graining Scaling anomalo

34 Gruppo di rinormalizzazione H(s 1, s 2,...) Z = s 1,s 2,... e βh(1) (s 1,s 2,...), p(s 1, s 2,...) = e βh(s 1,s 2,...) Z, Formazione di blocchi: M 1 = N 1 i=1 s i,... Riscalamento, rinormalizzazione H, Z, p, Punto fisso H, Z, p Fine graining Scaling anomalo

35 Partendo dalla distribuzione g(r) e da un esponente di scaling D si puo ricostruire un processo stocastico compatibile con lo scaling anomalo e con le correlazioni rilevate nelle serie di dati finanziari. Risultati analitici Simulazioni numeriche

36 T 1/2 p T (T 1/2 r) T=1 DJI T=5 DJI T=30 DJI g Gaussian T=1 Sim. T=5 Sim. T=30 Sim r

37 C 1,1 (τ,1) DJI Sim τ [days]

38 So what?!

39 Modello standard della finanza db = r B(t) dt ds = µ S(t) dt + σ S(t) dw (t) [equivalentemente: d ln S = µ dt + σ dw (t)] C(S(t), K, t, t E ) dc = [ C t + µ S C S σ2 S 2 2 C S 2 ] dt + σ S C S dw

40 -hedging Portafoglio: Π = C S dπ = dc ds dπ = [ C t + µ S C S + 1 ] 2 σ2 S 2 2 C S 2 µ S ( ) C +σ S S dw dt = C S portafoglio senza rischio!

41 dπ = [ C t + 1 ] 2 σ2 S 2 2 C S 2 dt Principio di non-arbitraggio: Un portafoglio senza rischio deve dare la stessa resa di un asset senza rischio dπ = r Π dt = r C r S C S

42 Equazione di Black-Scholes (1973) C t σ2 S 2 2 C S 2 + r S C S r C = 0 C(S(t E ), K, t E, t E ) = max(s te K, 0)

43

44 Il modello di evoluzione non-gaussiano non-markoviano per r(t, T ) permette di fare un calcolo analogo? Ci sono differenze significative con il modello di Black-Scholes per il prezzaggio delle opzioni?

45 C(K) 10 t=t E, S te =50 Black-Scholes Non-Gaussian model K

46 (K) 1 Black-Scholes Non-Gaussian model K

47 Π = C- S 0 Black-Scholes Non-Gaussian K

48 Conclusioni La soluzione del problema centrale della finanza, il prezzaggio delle opzioni, richiede: 1. Analisi delle proprieta statistiche delle serie di dati 2. Formulazione di modelli non-markoviani 3. Estensione del calcolo differenziale stocastico Le metodologie della fisica dei sistemi complessi permettono il raggiungimento di questi obiettivi.

49 Conclusioni L economia classica e a tutt oggi largamente basata su posizione dogmatiche. Molti pero rivendicano anche in questo settore l applicazione di test oggettivi e di standard simili a quelli delle scienze naturali, anche nei curriculum formativi. E prevedibile che i fisici possano giocare un ruolo molto importante nello sviluppo futuro di questo settore.

50

51 F.B., A.L. Stella, Phys. Rev. E 75, (R) (2007) PNAS 104, (2007) A.L. Stella, F.B. Pramana - Journal of Physics 71, 341 (2008) J. Stat. Mech., in press (2010) F.B., D. Bovina, A.L. Stella arxiv: (2009)

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