RANGO DI UNA MATRICE ρ(a)

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1 RANGO DI UNA MATRICE (A) a,... a A M M am,... a, n mn, K É il massimo ordine di un minore estratto con determinante non nullo. Equivalentemente è il massimo numero di righe (colonne) linearmente indipendenti. A K m,n (A) < min { m, n} Osservazione Il rango è un invariante tra le matrici ottenute con trasformazioni elementari T, T e T che non coinvolgano la moltiplicazione per lo scalare. Quindi potremo usare le trasformazioni elementari citate per semplificare la matrice e studiare i minori. Osservazione (teorema degli orlati) Una matrice di K m,n ha rango p se e solo se esiste un minore estratto M di ordine p con determinante non mn, Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

2 nullo e tutti i minori di ordine p+ che orlano M hanno il determinante nullo. Osservazione (teorema di Kronecer) Dato un insieme finito di vettori C e indicata con A la matrice nelle cui colonne (righe) sono state trascritte le componenti dei vettori rispetto ad una base, ne segue che: dim L(C) (A). Dalle colonne (righe) di A che entrano nel minore estratto, con ordine massimo e determinante diverso da (utilizzato per determinare il rango), posso ricavare una base di L(C). Riportare le componenti dei vettori nelle righe della matrice o nelle colonne per studiare la dimensione della copertura lineare è indifferente. Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

3 Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- Esercizio Determinare il rango delle seguenti matrici: ) ( A R M,5 5 B R Svolgimento: I modo (con le trasformazioni elementari) (A) < perché il determinante di A è nullo, mentre

4 Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- (B) < II modo Per A calcolare il determinante di A, scoprendo che era nullo ((A)<);

5 determinare un minore di ordine estratto da A con determinante diverso da : per esempio A,. Concludere (A). Per B Trovare, per tentativi, un minore di ordine estratto da B con determinante diverso da. Per esempio: 5 Concludere (B). III modo Per A avrei potuto trovare un minore di ordine con determinante diverso da e controllare che i determinanti di tutte le matrici orlate fossero nulli, in questo caso deta. Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-5

6 Esercizio Studiare al variare del parametro reale il rango di: + A + Svolgimento: (A) < perché la matrice è una x. Estraggo un minore di ordine e calcolo il determinante: + det M ( + ) Se - il rango è. Per analizzare cosa accade per o - sostituisco in A tali valori con la possibilità, eventualmente, di cambiare minore rispetto a M. Se A (A) Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6

7 Se - Concludo: A (A) Se - il rango è Se - il rango è. Esercizio Studiare al variare del parametro reale h il rango di: A h R (A)<. Osservo che la prima riga e la terza coincidono dunque il numero delle righe linearmente indipendenti è al massimo. Estraggo un minore * di ordine con, Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7

8 determinante, diverso da per ogni valore di h. (A) per ogni valore di h reale. Oppure orlo il minore * con le due possibili matrici ottenute da A e controllo che i determinanti siano nulli. Esercizio Studiare al variare del parametro reale h il rango di: + h A h R, Osservo che (IV colonna) x (I colonna)+ (II colonna). Pongo l attenzione sulle prime tre colonne: + h h ( h) h Se h il rango è. Se h, sostituendo nella matrice tale valore Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-8

9 A Si conclude che (es.) il rango è. Riassunto: Se h il rango è. Se h il rango è. Esercizio 5 Determinare la dimensione delle coperture lineari generate dai seguenti insiemi e trovare una base di tali sottospazi: a) A {(,,-),(,-,),(-,,),(-,,-)} R ; b) A {(,-,,-),(,,-,-),(,,,-),(-,,,)} R ; c) A {(,,),(,-,),(,,-),(,,),(,,)} R ; d) A {(,,-,),(,,,),(,,,),(,,,)} R ; Svolgimento: a) in virtù del teorema di Kronecer, dim L(A ) è pari al rango della matrice costruita mettendo nelle Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-9

10 Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- colonne (righe) le componenti dei vettori di A rispetto alla base canonica di R : La (IIIC)-(IC). Togliendo la terza colonna si ottiene: La I e la II colonna sono linearmente indipendenti perché. Il rango è quindi. dim L(A ) e una base estratta è ((,,-),(,-,)). b) La dim L(A )rango della matrice

11 Noto che la (IR)-(IVR) e concludo che il rango non è. Trovo un minore di ordine con determinante diverso da, per esempio: Concludo che il rango è. dim L(A ) e una base è ( (,,-,-), (,,,-), (-,,,) ). dim L(A ) e una base è la base canonica. dim L(A ) e una base è ((,,-,), (,,,), (,,,)). Esercizio 6 Con riferimento all esercizio 5, per quali valori del parametro reale : a) il vettore v(, -,) appartiene a L(A ); b) il vettore u(,,,) appartiene a L(A ); Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

12 Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- c) il vettore w(,,-) appartiene a L(A ); d) il vettore t(,,,) appartiene a L(A ). Svolgimento: a) nell esercizio precedente abbiamo determinato dimensione e base di L(A ) e ora osserviamo che v L(A ) L(A {v}) L(A ) se e solo se v è combinazione lineare dei due vettori della base ((,,-),(,-,)), se e solo se Se e solo se - det +.

13 Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- b) il vettore u(,,,) appartiene a L(A ) L(A {u})l(a ) diml(a {u})diml(a ) det ) ( det det + - det + c) per ogni. d) per.

14 Esercizio 7 Studiare al variare del parametro reale a la dimensione dello spazio vettoriale generato dai vettori (h+,h), (h+,) e (,h) di R. Svolgimento: Mettendo le componenti dei vettori rispetto alla base canonica in colonna ottengo h+ h+ h h che è la matrice trasposta della matrice A dell esercizio con h. Traducendo i risultati ottenuti in tale esercizio, concludo che per quanto riguarda la dimensione della copertura lineare: se h la dimensione è... Base canonica B( ) di R. se h la dimensione è... Base B( ). Lezione 7 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-