11 Febbraio 2011 Fisica Generale 1 Compito di Meccanica Corso di Laurea in Fisica

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1 11 Febbraio 2011 Fisica Generale 1 Una pallina di massa m 1 = kg si muove con velocità v 0 = m/s parallela ad un lato di un tavolo quadrato, privo di attrito e di lato l=1.00 m. Il tavolo ha dei bordi completamente elastici per gli urti, eccetto che sul lato perpendicolare alla direzione della pallina, nel verso del moto, dove non c è bordo. Durante il moto la pallina urta centralmente una seconda pallina di massa m 2 = 1.20 kg ferma al centro del tavolo. La seconda pallina dopo l urto raggiunge la fine del tavolo dove non c è bordo e cade da una altezza h = 1.00 m toccando il suolo ad una distanza d= 3.00 cm dal tavolo. 1) la velocità dopo l urto di entrambe le palline mentre si muovono sul tavolo; 2) l energia dissipata nell urto tra le palline; 3) la distanza dalla fine senza bordo del tavolo alla quale le due palline si urterebbero per la seconda volta se l urto iniziale al centro fosse completamente elastico. 1) v 1f = m/s, v 2f =0.066 m/s 2) ΔE K =8.05x10-3 J 3) S bordo =0.100 m

2 21 Gennaio 2011 Fisica Generale 1 Una pompa eolica per sollevare l acqua sia approssimabile da tre pale con asse di rotazione orizzontale che intercettano il vento, connesse per un loro estremo all asse orizzontale di un rotore principale attorno al quale scorre, senza strisciare, una cinghia che lo collega, senza strisciare, ad un rotore secondario posto sulla verticale vicino al terreno. Il rotore secondario può essere connesso alla pompa attraverso una frizione. Il momento d inerzia delle pale è uguale a quello di tre lamine rettangolari, ognuna di massa M=10.0 kg, lunghezza l=9.00 m, larghezza a=25.0 cm e spessore trascurabile. Le tre pale sono disposte simmetricamente attorno all asse del rotore principale. Il rotore principale ha la forma di un cilindro omogeneo di massa m 1 =10.0 kg, raggio R 1 =50.0 cm. Il rotore secondario analogamente ha la forma di un cilindro omogeneo di massa m 2 =m 1 /4, raggio R 2 =R 1 /2. La cinghia di trasmissione ha massa trascurabile. Gli attriti del sistema generano sul rotore principale un momento della forza proporzionale alla sua velocità angolare τ A =kω parallelo all asse di rotazione con k=0.800 N m s. La pompa, quando connessa, esercita un momento della forza frenante costante sul rotore secondario τ 2 =1.50 N m. Con vento costante e pompa sconnessa, le pale hanno una velocità angolare costante ω 0 =7.00 rad/s. 1) il momento d inerzia delle pale e dei rotori; 2) le velocità angolari a regime delle pale e del rotore secondario quando la pompa è connessa al rotore secondario; 3) l energia cinetica totale del sistema (pale e rotori) quando la pompa è connessa. 1) I P =810 kg.m 2, I 1 =1.25 kg.m 2, I 2 =7.81x10-2 kg.m 2 2) ω L =3.25 rad/s, ω 2 =6.50 rad/sec 3) K TOT =4.29 kj

3 17 Settembre 2010 Una campionessa olimpica di ginnastica ritmica impartisce al suo cerchio, un anello sottile di plastica, omogeneo, di raggio R = 45.0 cm e massa M = 310 g, appoggiato verticalmente su un pavimento orizzontale, una velocità iniziale (riferita al suo centro di massa) in avanti pari a v 0 = 4.94 m/s e una velocità angolare iniziale pari a ω 0 = 14.2 rad/s che lo fa ruotare indietro, ovvero in senso opposto a quello in cui ruoterebbe se rotolasse senza strisciare sotto l effetto di v 0. Lo strisciamento rallenta il moto del centro di massa fino ad invertire la sua direzione di moto, facendo poi ritornare il cerchio indietro verso la ginnasta. Il coefficiente di attrito dinamico tra cerchio e pavimento è µ = Indicando con t 0 = 0 l istante iniziale, calcolare: 1) l'istante di tempo t 1 in cui il centro di massa del cerchio inverte la sua velocità e l istante di tempo t 2 >t 1 in cui cessa lo strisciamento tra cerchio e pavimento; 2) la velocità angolare del cerchio all istante di tempo t 3 >t 2 in cui passa dalla posizione iniziale occupata al tempo t 0 ; 3) l'energia dissipata dall'attrito nell'intervallo di tempo t 0 <t<t 3. 1) t 1 =1.07 s ; t 2 = 1.23 s 2) ω 2 = 1.61 rad/s 3) E dissp = 9.95 J

4 16 Luglio 2010 Un proiettile è descrivibile come un cilindro retto pieno di massa M= 20.0 g, raggio R= 1.50 mm e lunghezza L= 35.0 mm [per un refuso L è diventato molto piccolo, era 3.50 mm]. Il centro di massa del proiettile si trova sull asse del cilindro ad una distanza L/2 dalla punta. [Il testo originale citava una distanza di L/4 che comporta una soluzione decisamente difficile, tuttavia solo per quanto riguarda la componente del momento angolare relativa all asse parallelo al terreno e nessuna altra domanda ne era coinvolta]. Il proiettile viene sparato da una altezza h= 35.0 m con una velocità (del c.d.m.) v 0 = 350 m/s diretta parallelamente al terreno e la canna imprime al proiettile una velocità angolare parallela all asse del cilindro ω 0 = 5500 rad/s. Una piccola imperfezione della canna causa una ulteriore rotazione che spinge la punta del proiettile verso il basso con una velocità angolare ω = rad/s. Si trascuri l attrito dell aria e si operi nell approssimazione in cui le dimensioni del proiettile possono essere trascurate al momento dell impatto col terreno. 1) le componenti (in una terna di assi cartesiani) del momento angolare del proiettile all impatto col terreno e la distanza dal punto di lancio alla quale il proiettile tocca il terreno; 2) l angolo che l asse del proiettile forma col terreno all impatto; Se il proiettile incontra durante la sua traiettoria un ostacolo, ad una distanza l= 450 m dal punto di sparo, che imprime sulla punta del proiettile un impulso J= Ns diretto perpendicolarmente alla traiettoria e parallelamente al terreno, 3) lo spostamento laterale del proiettile all impatto col terreno e il momento angolare del proiettile (attraverso le sue componenti).

5 1) L x = 1.24x10-4 kg m 2 /s ; L z = -1.70x10-6 kg m 2 /s per il c.d.m a L/2 [se il c.d.m. è a L/4, vale L z = -7.72x10-7 kg m 2 /s ]; L y = 0 kg m 2 /s ; x MAX = 935 m 2) θ= rad ( -4π/3) 3) Δz= 34.6 m ; L x = 1.24x10-4 kg m 2 /s ; L z = -1.70x10-6 kg m 2 /s [L z = x10-7 kg m 2 /s]; L y = -4.38x10-3 kg m 2 /s

6 2 Luglio 2010 Un disco pieno, omogeneo, di massa M = 2.00 kg e raggio R = 15.0 cm, inizialmente fermo nella sua posizione di equilibrio stabile, è sospeso a un asse orizzontale ortogonale alle facce del disco, parallelo all asse di simmetria del disco che passa per il suo centro di massa e distante da esso d = 3.00 cm. In un punto del bordo esterno del disco è fissata una sottile linguetta piatta, rigida, di massa trascurabile, che esce radialmente, ed è inizialmente posizionata alla stessa quota del centro di massa del disco in modo da risultare nello stato iniziale perfettamente orizzontale. Ad un certo istante, una sfera metallica, puntiforme, di massa m = 0.10 kg in caduta libera urta (istantaneamente) la linguetta in punto approssimabile al punto di contatto tra linguetta e disco, ad una velocità v 0 = 9.0 m/s. L urto è perfettamente elastico, la sfera rimbalza verso l alto e il disco inizia a ruotare. Si trascurino tutti gli attriti. 4) la velocità angolare del disco subito dopo l urto con la sfera; 5) l altezza massima che la sfera raggiunge dopo l urto con la linguetta; 6) la velocità angolare del disco nell istante in cui il suo centro di massa si trova esattamente sopra l asse di rotazione. 1) ω 1 = 10.2 rad/s ; 2) h= 2.85 m ; 3) ω 2 = 2.57 rad/s.

7 11 Giugno 2010 Una navicella spaziale è descrivibile come un cilindro retto, omogeneo e cavo, di raggi R 1 = 2.0 m, R 2 = 2.1 m, lunghezza L= 8.0 m e massa M= 1x10 4 kg. Uno strumento di misura (da intendersi puntiforme) di massa m= 100 kg è alloggiato esternamente alla navicella e, nell approssimazione, esattamente al centro di una base del cilindro. La navicella viaggia nello spazio intergalattico con una velocità del suo c.d.m v cdm = 100 m/s diretta perpendicolarmente all asse del cilindro, e ruota intorno allo stesso asse con velocità angolare ω= 2.20 rad/s. Durante il volo lo strumento viene spostato, perpendicolarmente all asse del cilindro, tramite una barra telescopica rigida (di massa trascurabile) ancorata alla navicella, fino ad una distanza d= 12.1 m dalla posizione iniziale. 1) quando lo strumento è a riposo, il momento d inerzia del sistema (navicella + strumento), la quantità di moto del sistema ed il momento angolare del sistema; 2) quando lo strumento è stato spostato, la variazione della quantità di moto del sistema, la variazione del momento angolare del sistema e la posizione del centro di massa del sistema rispetto al centro della navicella; 3) la velocità angolare del sistema attorno all asse passante per il c.d.m. con lo strumento spostato. 1) I Sistema =4.21x10 4 kg.m 2, P tot =1.01x10 6 kg.m/s, L tot =9.25x10 4 kg.m 2 /s 2) ΔP=0, ΔL=0, 3) ʹ ω =1.64 rad s yˆ