P = r. o + r. O + ω r (1)

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1 1 5.1-MOTI RELATIVI Parte I 5.1-Moti relativi-cap Moti relativi Teorema delle velocità relative Riprendiamo l impostazione tracciata nel paragrafo 2.6 (moti relativi 2-D) e consideriamo un sistema fisso O ed uno mobile O P r P r P O O r O abbiamo che OP = r p = OO + O P = r o + r p Dimostriamoilteorema che afferma che per le velocità si ha: v = v + v O + ω r (1) Con ω la velocità angolare con cui ruotano gli assi di O rispetto ad O. Il termine che definisce la differenza di velocità tra i due sistemi è detta velocità di trascinamento ed è v t = v v = v O + ω r Due casi sono fondamentali (gli altri si possono pensare una sovrapposizione di questi due: il sistema mobile non ruota rispetto a quello fisso ω = 0 In questo caso si parla di moto di trascinamento traslatorio e v t = v O il sistema mobile ruota ma non trasla v O = 0 In questo caso si parla di moto di trascinamento rotatorio e avremo che v t = ω r Dimostrazione per la rotazione tra i due assi Cap.5-Moti relativi 1

2 2 ACCELERAZIONI RELATIVE Dimostrazione per la rotazione tra i due assi Consideriamo il sistema O fisso O in rotazione rispetto ad O con velocità angolare ω Possiamo indicare i raggi vettori r = xî+yĵ+zˆk e analogamente r = x î +y ĵ +z ˆk con r = r dato che l origine dei due sistemi e comune e quindi il vettore OP = r = r Ricordiamo che abbiamo detto che nei moti circolari si ha v = ω r e v = d r dt applichiamo queste due formule ad ognuno dei versori degli assi ottenendo dî dt = ω i ecc. Deriviamo i vettori r ed r : v = d r dt e d r dt = d(x î +y ĵ +z ˆk ) dt = dx dt î +x dî dx +... = dt dt î +x ω i +... = dx dt î + dy dt ĵ + dz dt ˆk +ω (x î +y ĵ +z ˆk ) = dx dt î + dy dt ĵ + dz dt ˆk +ω r = v + ω r Avendo usato la condizione r = r in quanto i due vettori sono identici ma sono gli assi a cambiare Teorema delle accelerazione relative 2 accelerazioni relative Teorema delle accelerazioni relative se a è l accelerazione del punto P rispetto al sistema fisso, a quella del punto rispetto al sistema mobile O, e a O l accelerazione del sistema mobile rispetto ad O si ha che: a = a + a O + ω ( ω r )+2 ω v (2) Quindi in generale le accelerazioni tra i due sistemi sono diverse e differiscono a = a + a t + a c con il termine a t = a O + ω ( ω r ) detta accelerazione di trascinamento e l ultimo termine della (2) a c = 2 ω v viene detta accelerazione di Coriolis e dipende dal moto del punto relativamente al sistema mobile Cap.5-Moti relativi 2

3 2 ACCELERAZIONI RELATIVE Dim.acc.relative Dim.acc.relative La dimostrazione completa la trovate a parte. Comunque partendo da v = v + ω r e derivando rispetto al tempo e tenendo conto dei passaggi precedenti relativamente alle derivate dei versori si ottiene in pochi passaggi la dimostrazione nel caso di moto relativo rotatorio. 5.2 Sistemi riferimento inerziali 5.2 Sistemi riferimento inerziali I sistemi di riferimento inerziali sono quelli per i quali vale rigorosamente la legge d inerzia. Se consideriamo un altro sistema di riferimento che si muove rispetto ad uno inerziale con moto rettilineo uniforme si ha ω = 0 a o = 0 e otterremo a = a per cui definito un sistema inerziale, tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto al primo sono anch essi inerziali relatività galileiana In conseguenza di questo risultato la legge di newton si esprime nella stessa maniera in tutti i sistemi di riferimento inerziali, che comporta che non è possibile a seguito di misure di meccanica, stabilire se un sistema è in moto o in quiete (non ha senso cioè il concetto di moto assoluto) Viceversa se la descrizione del moto è fatta in sistemi non inerziali avremo che la forza vera F = m a m a anzi se vogliamo specificare come appare la legge della dinamica nel sistema mobile rispetto alla legge nel sistema inerziale si ottiene moltiplicando per m le precedenti equazioni: m a = m a m a t m a c = F m a t m a c Che implica che per mantenere valida la legge della dinamica dobbiamo aggiungere delle forze apparenti che sono proporzionali alla massa (per cui vengono anche dette forze inerziali), queste non sono dovute ad interazioni fondamentali ma all uso di un sistema non inerziale, e NON esistono o NON si devono considerare nei sistemi inerziali 5.3 Trascinamento traslatorio rettilineo Cap.5-Moti relativi 3

4 3 MOTO RISPETTO ALLA TERRA 5.3 Trascinamento traslatorio rettilineo Supponiamo di avere la situazione più semplice O in moto rettilineo rispetto ad O per esempio sull asse x. Se il moto è rettilineo uniforme allora i due sistemi sono entrambi inerziali e si avrà a = a v = v + v O ed infine r = r + v O t Queste relazioni costituiscono le cosidette trasformazioni galileiane Nel caso in cui O sia in moto unif. accelerato si avrà : a = a + a O a = a a O e v = v v O ed infine r = r OO che proiettate sugli assi cartesiani (nel caso in cui a o è diretta lungo x) diventano: x o = v in t+ 1 2 a tt 2, v o = v in +a t t x = x v in t+ 1 2 a tt 2 y = y z = z v x = v x v in a t t v y = v y v z = v z a x = a x a t a y = ay a z = a z 5.4 Moto di trascinamento rotatorio uniforme 5.4 Moto di trascinamento rotatorio uniforme Nel caso in cui O ruoti rispetto ad O con moto circolare uniforme allora abbiamo v O = 0 e a O = 0 per cui si ottiene: v = v + ω r a = a + ω ( ω r)+2 ω v Ma abbiamo anche visto che ma = m a m a t m a c = F m a t m a c per cui confrontando possiamo riscrivere come m a = F + F centrif + F Cor con F centrif = m ω ( ω r) e F Cor = 2m ω v 3 Moto rispetto alla Terra Moto rispetto alla Terra Un sistema di riferimento che si possa considerare inerziale è con origine nel centro di massa del sistema solare e con assi orientati verso le stelle lontane che si possono ragionevolmente ritenere fisse. Di norma però tutte le descrizione dei moti vengono date rispetto la Terra, che non è un riferimento Cap.5-Moti relativi 4

5 3 MOTO RISPETTO ALLA TERRA inerziale. Vediamo cosa comporta la scelta di un sistema solidale alla Terra nella descrizione dei moti. Consideriamo la Terra che ruota intorno al proprio asse con T = 24h = 86400s da cui ω = 2π T = rad/s. Trascuriamo il moto della Terra intorno al Sole che ha una ω più piccola. L accelerazione di un corpo vicino la Terra utilizzando le trasformazioni relative diventa g 0 = g + ω ( ω r)+2 ω v con g 0 l accelerazione di gravità nel sistema inerziale Per cui l accelerazione riscontrata sulla Terra è g = g 0 ω ( ω r) 2 ω v il cui effetto è una diminuzione di g con la latitudine dovuto al termine centrifugo e uno scostamento dalla verticale (dell ordine di 0.1 ) N y F centrif θ L x Vediamo in dettaglio: nel caso v = 0 vogliamo determinare la direzione di g rispetto alla verticale e facciamo il prodotto vettoriale dell accelerazione centrifuga indicando la latitudine θ L l angolo tra equatore e zenith: ω r = ωrcos(θ L ) ed è uscente rispetto al piano e di conseguenza ω ( ω r) = ω 2 R T cosθ L = 0.024m/s 2 diretta centrifuga cioe a est della figura (il valore calcolato per θ L = 45 ) scomponiamo rispetto ad un sistema di coordinare polari (y radiale x tangenziale): tanφ = g x g y g x = +ω 2 R T cosθ L sinθ L g y = g 0 +ω 2 R T cos 2 θ L = ω2 R T sinθ L cosθ L g 0 ω 2 R T cos 2 θ L φ = Problema 5.7 Un corpo puntiforme di massa m A = 2kg è posto su un carrello che scorre su un piano orizzontale. Inizialmente il corpo è fermo ed è ad una distanza di d=1 m dal bordo del carrello, la cui massa è m B = 8 kg. Tra carrello e corpo il coefficiente di attrito dinamico è µ d = 0.2. Il carrello viene mosso da una forza F=30 N e anche il corpo A inizia a scivolare sul carrello. Quanto tempo occorre ad A per raggiungere il bordo? Cap.5-Moti relativi 5

6 3 MOTO RISPETTO ALLA TERRA F F att B A R Il diagramma delle forze lo ricostruiamo pensando a come avviene il moto: l attrito tra A e B si tramette in B e lo valutiamo col principio di azione e reazione Scriveremo allora: B : F +R = M B a B A : µ d N = µ d m A g = m A a A e R = µ d N dacuisiottieneche F+µ d m A g = m B a B a B = F µ dm A g m B = 3.26m/s 2 e a A = µ d g = 1.96m/s 2 Per i moti relativi si a t = a a O = a A a B = 1.96 ( 3.26) = +1.3m/s 2 Dalla cinematica abbiamo che d = 1 2 at2 t 2 = 2d a t = 1.24s Problema 5.8 Mazzoldi Un pendolo semplice di lunghezza l=0.4 m è appeso ad un supporto che avanza con accelerazione a=5 m/s 2 (orizzontale). Calcolare l angolo di equilibrio rispetto la verticale e il periodo delle piccole oscillazioni rispetto la posizione di equilibrio. Le forze agenti sono T della fune, P e nel sistema modile la forze apparente F a orizzontale. cotgθ = a g θ = 27 x : F ap +T cosθ = 0 y : T sinθ Mg = 0 e F ap = Ma M\a = T cosθ = M\g cosθ sinθ Periodo di oscillazioni: nel sistema in moto appare come una diversa accelerazione di gravità : g = g + a il modulo g = g 2 +a 2 perchè sono tra loro perpendicolari il cui valore è a = = 11m/s 2 e poichè T = 2π L g si ottiene T=1.25 s Cap.5-Moti relativi 6