Meccanica. 5. Moti Relativi. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia

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1 Meccanica 5. Moti Relativi Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 22 febbraio 2017

2 Traccia 1. Cambiamento del Sistema di Riferimento 2. Trasformazione del Vettore Posizionale 3. Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore 4. Trasformazione della Velocità 5. Trasformazione dell Accelerazione 2

3 Cambiamento di Sistema di Riferimento Esistono infinite terne ortogonali di riferimento, diverse tra loro per: Posizione dell origine O; Direzione orientata degli assi x, y e z; Stato di moto: Traslazione dell origine; Rotazione degli assi. L utilizzo dell una piuttosto che dell altra è essenzialmente arbitrario: E fisicamente equivalente. Di solito si sceglie una particolare terna ortogonale di riferimento sulla base di considerazioni di opportunità. La rappresentazione di una grandezza fisica dipende in generale dalla terna di riferimento scelta. Problema: Trovare la relazione tra le espressioni di una grandezza fisica data nelle diverse terne di riferimento, detta legge di trasformazione. 3

4 Cambiamento di Sistema di Riferimento (II) Come cambia la descrizione del moto se si sceglie un SdR differente? Consideriamo 3 oggetti: 1 punto materiale P ; 2 terne ortogonali di riferimento: O x y z che per fissare le idee pensiamo fisso ; Oxyz che per fissare le idee pensiamo mobile. N.B.: fisso e mobile sono termini puramente convenzionali: non esiste un SdR fisso o mobile in assoluto. Consideriamo l approssimazione non-relativistica (v c). 4

5 Cambiamento di Sistema di Riferimento (III) La proprietà di rigidità della terna ortogonale di riferimento limita drasticamente i possibili movimenti di Oxyz rispetto a O x y z, che si riducono ai seguenti: Pura traslazione di Oxyz rispetto a O x y z, senza variazione delle direzioni degli assi cartesiani; Pura variazione delle direzioni degli assi cartesiani di Oxyz rispetto a quelli di O x y z, senza traslazione relativa, ovvero rotazione attorno a un asse passante per l origine O; Traslazione e rotazione simultanee di Oxyz rispetto ad O x y z, ovvero la combinazione dei precedenti movimenti, detta anche roto-traslazione. 5

6 Trasformazione del Vettore Posizionale Consideriamo il punto materiale P che all istante di tempo t occupa una certa posizione dello spazio. La regola del triangolo per la somma di vettori applicata al triangolo O Ë O P conduce alla relazione vettoriale (legge di trasformazione del vettore posizionale): r = r + r O dove: r è il vettore posizionale del punto P nel riferimento fisso O x y z ; r è il vettore posizionale del punto P nel riferimento mobile Oxyz; r O è il vettore posizionale dell origine O nel riferimento fisso O x y z. 6

7 Vettori Costanti in un Riferimento Consideriamo il caso in cui il punto P è in quiete nel riferimento Oxyz, dunque il vettore r = r OP è costante nel riferimento Oxyz: Se Oxyz si muove ruotando o rototraslando rispetto a O x y z, allora il vettore r = r OP non è costante nel riferimento O x y z : La direzione di r in O x y z cambia nel tempo a causa della rotazione. Il vettore r è costante nel riferimento Oxyz ma è non-costante nel riferimento O x y z. La derivata temporale del vettore r è diversa nei due riferimenti. 7

8 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore La derivata dello stesso vettore rispetto alla stessa variabile può essere diversa in riferimenti diversi. Vogliamo trovare la relazione tra le due derivate. Per fissare le idee, immaginiamo che: Il riferimento O x y z sia fisso ; Il riferimento Oxyz sia mobile ; Il vettore α si muova rispetto a entrambi i riferimenti. La definizione di fisso e mobile, ovviamente, è convenzionale. 8

9 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (II) Nella base cartesiana {î, ĵ, ˆk} l osservatore in quiete rispetto al riferimento mobile Oxyz rappresenta un generico vettore α come: α O = α x (t) î + α y (t) ĵ + α z (t) ˆk î, ĵ e ˆk sono costanti in quanto sono solidali al riferimento Oxyz, dunque sono fissi per un osservatore in quiete rispetto a Oxyz. Nella stessa base cartesiana {î, ĵ, ˆk} l osservatore in quiete rispetto al riferimento fisso O x y z rappresenta un generico vettore α come: α O = α x (t) î(t) + α y (t) ĵ(t) + α z (t) ˆk(t) î, ĵ e ˆk, in questo caso dipendono dal tempo in quanto sono solidali a Oxyz che si muove rispetto al riferimento O x y z dell osservatore. 9

10 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (III) La derivata temporale di α, calcolata dall osservatore in quiete nel riferimento mobile Oxyz vale (essendo î, ĵ e ˆk costanti): d α = dα x O î + dα y ĵ + dα z ˆk La derivata temporale di α, calcolata dall osservatore in quiete nel riferimento fisso O x y z vale invece (essendo î, ĵ e ˆk variabili): d α = dα x O î + α dî x + dα y ĵ + α dĵ y + dα z ˆk dˆk + α z = ï dαx = î + dα y ĵ + dα z ˆk ò [ ] dî + α x + α dĵ y + α dˆk z Confrontando le due espressioni, si ottiene: d α = d α [ ] dî O + α x O + α dĵ y + α dˆk z 10

11 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (IV) Per completare l espressione dobbiamo calcolare: [ ] dî α x + α dĵ y + α dˆk z contenente le derivate temporali dei versori cartesiani mobili î, ĵ e ˆk nel riferimento fisso O x y z. Per l osservatore nel riferimento fisso O x y z la base di versori cartesiani {î, ĵ, ˆk} è animata dallo stesso moto roto-traslatorio del riferimento mobile Oxyz. Le traslazioni di Oxyz non interessano la base di versori {î, ĵ, ˆk}: Determinano spostamenti dei versori che ne preservano la direzione, lasciando i versori immutati Essendo il modulo dei versori identicamente unitario per definizione. 11

12 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (V) Al contrario, le rotazioni di Oxyz modificano la base di versori {î, ĵ, ˆk}: Vista nel riferimento fisso O x y z : In quanto varia nel tempo la direzione dei versori {î, ĵ, ˆk}, rendendo diversa da zero la loro derivata temporale. Ci limitiamo quindi a considerare soltanto le rotazioni di Oxyz rispetto ad O x y z. In un generico istante t, il sistema Oxyz appare a O x y z in rotazione attorno a un asse istantaneo. La direzione di tale asse può essere individuata da un versore ˆn, il cui verso può essere scelto utilizzando la regola della mano destra. 12

13 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (VI) I tre versori cartesiani î, ĵ e ˆk ruotano attorno all asse individuato dal versore ˆn(t): I loro vertici descrivono nell intervallo temporale archi infinitesimi sulle tre circonferenze tracciate in figura; Proprio questa rotazione è causa della variazione dei versori î, ĵ e ˆk nel tempo: Quindi è causa della derivata temporale diversa da zero di tali versori. Si ricordi tuttavia che lo stato illustrato in figura è uno stato istantaneo: Nel caso più generale, l asse di rotazione ˆn modifica continuamente nel tempo la propria direzione: ˆn = ˆn(t). 13

14 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (VII) Determiniamo ora la derivata dî. Il vertice del versore î descrive nell intervallo un arco infinitesimo P P della circonferenza in figura. Il segmento OP ha lunghezza unitaria: Avendo il versore î = r OP modulo unitario. Consideriamo il triangolo rettangolo O Á CP : Il raggio R della circonferenza vale: R = CP = sin θ dove θ è l angolo formato dai versori î e ˆn. Detto dϕ l angolo al centro corrispondente all arco P P, la lunghezza dell arco risulta: P P = sin θ dϕ 14

15 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (VIII) Quando il vertice del versore î si sposta da P a P : Il versore î passa da î(t) = r OP a î(t + ) = r OP ; La variazione vettoriale dî = î(t + ) î(t) ha modulo pari alla lunghezza della corda P P. La lunghezza della corda P P è asintoticamente equivalente alla lunghezza dell arco P P per P P 0. Il modulo del vettore dî vale quindi: dî = î(t + ) î(t) = P P P P = sin θ dϕ, P P 0 15

16 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (IX) Per quanto riguarda la direzione orientata del vettore dî: Essa è perpendicolare al piano OCP su cui giacciono i versori ˆn e î: Essendo l angolo dϕ infinitesimo. Possiamo quindi esprimerla come la direzione orientata del prodotto vettoriale ˆn î: vers(dî) = vers(ˆn î) = ˆn î ˆn î = ˆn î = ˆn î sin θ = ˆn î sin θ 16

17 Essendo: Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (X) dî = sin θ dϕ, vers (dî) = ˆn î sin θ Possiamo scrivere la variazione dî come: dî = dî vers (dî) = sin θ dϕ ˆn î = dϕ (ˆn î) sin θ Dividendo ora, membro a membro, per l intervallo di tempo elementare otteniamo: dî = dϕ (ˆn î) O 17

18 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (XI) Il precedente risultato suggerisce l introduzione dell vettore velocità angolare ω ~ relativo alla rotazione del riferimento Oxyz rispetto al riferimento O0 x0 y 0 z 0 : di rotazio dϕ nso n n = ϕ n se Il vettore ω ~ ha quindi: Direzione lungo l asse di rotazione istantanea n ; Verso dipendente dal senso della rotazione in accordo con la regola della mano destra; Modulo ottenuto dalla derivata temporale dell angolo di rotazione ϕ. e ω ~ = Utilizzando il vettore ω ~ possiamo scrivere: dı =ω ~ ı O0 Cambiamento Riferimento Vettore Posizionale Derivata Temporale Velocità Accelerazione 18

19 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (XII) Procedendo in modo analogo per i vettori ĵ e ˆk otteniamo le formule di Poisson: dî dĵ = ω î, dˆk O = ω ĵ, = ω O ˆk Sostituendo otteniamo, sfruttando la proprietà omogenea del prodotto vettoriale e la proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto alla somma di vettori : d α O = d α = d α = d α O [ ] dî + α x O + α dĵ y + α dˆk z = + î α x ω î + α y ω ĵ + α z ω ˆk ó = O + ω î d α α x î + α y ĵ + α z ˆkó = + ω α O O 19

20 Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore (XIII) Otteniamo in questo modo la relazione di Poisson o regola di derivazione di Poisson: d α = d α O + ω α O tra le derivate temporali di un generico vettore α eseguite nei riferimenti Oxyz e O x y z. 20

21 Trasformazione della Velocità Dalla legge di trasformazione del vettore posizionale: r = r + r O derivando membro a membro rispetto al tempo nel riferimento fisso O x y z, otteniamo: d r = d r + d r O O O O d r = v è la velocità del O punto P nel riferimento fisso O x y z ; d r O O = v O è la velocità del punto O nel riferimento fisso O x y z ; 21

22 d r O Trasformazione della Velocità (II) invece, non è una velocità, in quanto, in essa, il vettore r è relativo al riferimento Oxyz mentre la sua derivata è calcolata nel riferimento O x y z. Ricordando la regola di derivazione di Poisson, tale derivata può essere scritta come: d r = d r + ω r O O Sostituendo otteniamo l espressione: d r d r = + ω r + O O d r O O in cui i vettori derivati nel tempo sono relativi allo stesso riferimento nel quale sono calcolate le loro derivate. 22

23 Trasformazione della Velocità (III) Possiamo riscrivere l espressione: d r d r = + ω r + O O d r O come: v = v + ω r + v O O (legge di trasformazione della velocità) dove: v = d r è la velocità del punto materiale P nel riferimento O x y z ; O v = d r è la velocità del punto materiale P nel riferimento Oxyz; O ω è la velocità angolare del riferimento Oxyz rispetto a O x y z ; r è il vettore posizionale del punto materiale P nel riferimento Oxyz; v O = d r O O è la velocità del punto O nel riferimento O x y z. 23

24 Trasformazione della Velocità (IV) Nell espressione: v = v + ω r + v O La somma v T = v O + ω r è detta velocità di trascinamento: È la velocità che avrebbe il punto materiale P se esso fosse in quiete nel riferimento Oxyz: Pertanto il suo moto rispetto a O x y z fosse dovuto esclusivamente al suo trascinamento da parte del riferimento Oxyz. Si può anche scrivere la legge di trasformazione della velocità nella forma: { v = v + v T v T = v O + ω r 24

25 Trasformazione dell Accelerazione Derivando membro a membro rispetto al tempo nel riferimento fisso O x y z la legge di trasformazione della velocità: v = v + ω r + v O otteniamo: d v = d v + d v O + d O O O O ( ω r) = = d v + d v O + d ω r + ω d r O O O O d v e d r O non possono essere considerate rispettivamente O un accelerazione e una velocità, in quanto, in esse, i vettori v e r sono relativi al riferimento Oxyz mentre le loro derivate sono calcolate nel riferimento O x y z. 25

26 Trasformazione dell Accelerazione (II) Ricordando la regola di derivazione di Poisson, tali derivate possono essere scritte come: d v = d v + ω v O O d r = d r + ω r O O Sostituendo, otteniamo l espressione: d v d v = + ω v + O O d v O + d ω r + O O d r + ω + ω r = O = d v + ω v + d v O + d ω r + ω d r + ω ( ω r) O O O O 26

27 Trasformazione dell Accelerazione (III) Nell espressione: d v = d v + ω v + d v O O O O + d ω O r + ω d r + ω ( ω r) O i vettori derivati nel tempo sono relativi allo stesso riferimento nel quale sono calcolate le loro derivate. Questa circostanza consente di identificare tali derivate temporali con altrettante velocità o accelerazioni e di scrivere: a = a + ω v + a O + ω r + ω v + ω ( ω r) 27

28 Trasformazione dell Accelerazione (IV) Raccogliendo i termini simili e riarrangiando, otteniamo: a = a + a O + ω r + ω ( ω r) + 2 ω v dove: a = d v è l accelerazione del punto O materiale P nel riferimento O x y z ; r, v = d r e a = d v O sono, rispettivamente, il vettore posizionale, O la velocità e l accelerazione del punto materiale P nel riferimento Oxyz; ω e ω = d ω sono, rispettivamente i vettori velocità angolare e O accelerazione angolare del riferimento Oxyz rispetto a O x y z ; a O = d v O O è l accelerazione del punto O (origine del riferimento Oxyz) rispetto al riferimento O x y z. 28

29 Trasformazione dell Accelerazione (V) Nell espressione: a = a + a O + ω r + ω ( ω r) + 2 ω v La somma a T = a O + ω r + ω ( ω r) è detta accelerazione di trascinamento: È l accelerazione che avrebbe il punto materiale P se esso fosse in quiete nel riferimento Oxyz: Pertanto il suo moto rispetto a O x y z fosse dovuto esclusivamente al suo trascinamento da parte del riferimento Oxyz. Il termine a C = 2 ω v è invece detto accelerazione complementare o accelerazione di Coriolis. Essa è nulla: Se non vi è rotazione di Oxyz rispetto a O x y z (pura traslazione). Se P è solidale a Oxyz. Se v ω. 29

30 Trasformazione dell Accelerazione (VI) Si può anche scrivere la legge di trasformazione dell accelerazione nella forma: a = a + a T + a C a T = a O + ω r + ω ( ω r) a C = 2 ω v 30

31 Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia

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