(sqm ottenuto dividendo per n-1 ) =

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1 STATISTICA PER L ANALISI ORGANIZZATIVA AA Per casa Soluzioi Esercizio.. Durate ua ricerca soo state rilevate le lughezze di tre differeti variabili ecoomiche per ciascuo di 50 paesi i via di sviluppo. Alcui dati di sitesi soo riportati el seguito, dove per semplicità abbiamo idicato co X, Y e Z le tre variabili (tutti calcoli soo stati fatti co le misure espresse i milioi di dollari). X Y Z media mediaa variaza a. Ipotizzado che la distribuzioe di X sia ormale, costruire u itervallo di cofideza al 99% per la media della distribuzioe stessa (la variaza riportata i tabella è stata otteuta dividedo per ). [Schema di risposta] Il cotesto i cui siamo è quello del test t ad u campioe. L itervallo di cofideza è quidi (media dei dati) ± t 49,0.995 (sqm otteuto dividedo per - )/ dove t m,p idica il quatile p-simo di ua distribuzioe t di Studet co m gradi di libertà. I questo caso, la media vale 30,6. Lo scarto quadratico medio può essere calcolato come (sqm otteuto dividedo per - ) Ovvero, (variaza otteuta dividedo per ) 50,47 (sqm otteuto dividedo per - ), Il percetile della t può, visti i gradi di libertà, essere approssimato co quello di ua ormale stadard che vale,58. I defiitiva l itervallo cercato vale 30,6 ±,58,3/ 50 ovvero [30,5-3,05]. b. Quale delle assuzioi richieste dal test t a u campioe potrebbero o essere soddisfatte da Z? [Schema di risposta] Il test si basa sull assuzioe che la distribuzioe della variabile di cui soo dispoibili i dati sia ua ormale. La differeza tra media e mediaa per Z idica la possibile preseza di ua qualche forma di asimmetria. La ormalità di Z è quidi dubbia. Esercizio.. I Madagascar due appezzameti di terreo del tutto simili e coltivati co u certo ortaggio soo stati uo trattato co u uovo prodotto che dovrebbe ridurre la

2 velocità di crescita di ua piata ifestate e l altro o trattato. A distaza di ua settimaa è stato poi rilevato il peso (i grammi) delle piate ifestati trovate. Alcui risultati soo riportati ella seguete tabella appezzameto Numero di piate somma dei pesi delle piate somma dei quadrati dei pesi No trattato trattato E possibile affermare sulla base di questi dati che il uovo prodotto ha ridotto la velocità di crescita dell ifestate? [Schema di risposta]. Idichiamo co ell appezzameto o trattato e co, Κ, ( 0) i pesi delle piate trovate x, Κ, x ( x 6) i pesi delle piate trovate ell appezzameto trattato. Per poter rispodere co le teciche ote è ecessario assumere che le e le x siao determiazioi idipedeti ed ideticamete distribuite di due variabili casuali ormali di media rispettivamete µ e µ x e variaza comue (idichiamola co σ ). I questo caso il problema rietra el reame del test t a due campioi. Il sistema d ipotesi sotto verifica è H 0 : µ x µ H : µ x < µ o, alterativamete, H H 0 : µ : µ x x µ < µ La statistica test appropriata è t oss s x + x dove e x soo le medie campioarie delle e delle x metre ( ) + x s i ( xi x ). x + i i Calcoliamo quidi t oss. 33,7 34,36,69 x, s 0 ( 6,90 / 0,69 ) + 6( 48,93/ 6,3 ) 0,

3 t oss dove abbiamo utilizzato la relazioe i,69,3 0,9 / ( 0 + / 6),8 ( ) i i e la relazioe aaloga per le x. Osservado che se µ < µ x ci aspettiamo valori di t oss egativi; se µ x di libertà; se µ > µ x, ci aspettiamo che t oss assuma valori positivi µ, t oss si distribuisce come ua variabile casuale t di Studet co 44 gradi possiamo cocludere che i dati ci foriscoo delle idicazioi cotro H 0 (i ambedue le versioi precedeti) quado la statistica test assume valori più gradi di quelli che ci aspetteremmo di osservare da ua variabile casuale t di Studet co gradi di libertà. Possiamo approssimare questa distribuzioe co quella di ua ormale stadard. Il valore osservato di t oss è posizioato alla destra dei valori tipici di questa distribuzioe. Ad esempio, dalle tavole dispoibili dei percetili di ua ormale stadard troviamo che { ( 0,),8} < pr N <. I dati ci suggeriscoo quidi di rifiutare H 0 e, perciò di cocludere che il uovo prodotto ha ridotto la velocità di crescita delle piate ifestati. Si osservi tra l altro che la probabilità appea approssimata coicide i questo caso co il livello di sigificatività osservato. Procedere seguedo u test accetto-rifiuto ci porterebbe alla stessa coclusioe. Ifatti rifiuteremmo H 0 per t oss più grade del percetile α di ua t co 44 gradi di libertà. Quidi, poedo, ad esempio, α 0,0 e approssimado il percetile della t co quello corrispodete di ua ormale stadard arriviamo a ua regola che ci suggerirebbe di rifiutare se t oss >,36. i Esercizio.3. I u sodaggio codotto su 00 doceti dell Ateeo di Pavia è stato rilevato che 58 avevao itezioe di partecipare all elezioe del Rettore metre gli altri 4, per vari motivi, o si sarebbero recati a votare. Per la validità dell elezioe è ecessario che almeo il 50% degli elettori si rechi alle ure. Sulla base del sodaggio è possibile affermare che: (a) è sicuro che il quorum verrà raggiuto; (b) è molto plausibile che il quorum verrà raggiuto; (c) è poco plausibile che il quorum o verrà raggiuto; (d) i dati o ci permettoo di scegliere tra essua delle alterative precedeti. Rispodere sia utilizzado u itervallo di cofideza che u appropriato test. [Schema di risposta] Poiamo (um. idividui itervistati) 00 e

4 p percetuale di doceti che hao itezioe di adare a votare Suppoedo che sia possibile assumere che le risposte dei soggetti itervistati siao idipedeti ed ideticamete distribuite il umero di itezioi di voto espresse (58) può essere visto come ua determiazioe di ua variabile casuale biomiale co probabilità di successo p e umero di prove uguale a 00. La stima di p vale um. itezioi di voto 58 p ˆ 0,58 um. itervstati 00 U itervallo di cofideza per p può essere calcolato come ( ) ± z α Poedo α 0,05 otteiamo z α z0,975, 96 e quidi l itervallo di cofideza diveta 0,58 ±,96 0,58 0,4/00 [ 0,46;0,68] Questo calcolo mostra che valori della percetuale di votati iferiori al 50% o possoo essere esclusi sulla base dei dati. Quidi il raggiugimeto del quorum ecessario per redere le elezioi valide è icerto. Può d altra parte essere osservato, che la maggior parte dell itervallo di cofideza si estede su valori superiori al 50% dei votati. No possiamo quidi eache escludere la possibilità che il quorum vega raggiuto. Voledo utilizzare u test potremmo cosiderare l ipotesi H : p cotro l alterativa H : p 0.5 > e la relativa statistica test p 0,5 z,6 0,5 0,5 /00 Questo valore va cofrotato co i valori che ci aspetteremmo da ua ormale stadard sapedo che (a) valori più bassi di quelli previsti da ua N(0, ) ce li aspettiamo se p < 0,5; (b) valori uguali a quelli geerati da ua N(0, ) ce li aspettiamo se p 0,5; (c) valori pi`u alti di quelli previsti da ua N(0, ) ce li aspettiamo se p > 0,5. Ovviamete i primi due casi soo a favore di H 0, l ultimo caso a favore di H. Ora,,6 è all icirca il quatile 0,945 di ua N(0, ). Quidi il valore osservato è abbastaza grade ma o eormemete grade. I coclusioe sembra ragioevole cocludere a favore di ua dubbiosa accettazioe o, equivaletemete, di u dubbioso rifiuto di H 0. La coclusioe o cambierebbe se avessimo formulato il problema come uo di verifica di ipotesi bidirezioale. I coclusioe, tra le ipotesi formulate el testo del problema la (d) sembra essere la più vicia ai dati seguita dalla (b). Esercizio.4. Si vuole stimare mediate ua idagie campioaria la percetuale di persoe che farao meo di 7 giori di vacaza durate l estate prossima. Quate persoe dovrao essere itervistate per otteere alla fie u itervallo di cofideza per l igota probabilità di ampiezza certamete o maggiore di 0,05?

5 [Schema di risposta]. Suppoedo che le persoe itervistate rispodao idipedetemete siamo el cotesto di u campioameto di tipo biomiale. Ua volta codotte le iterviste, l itervallo di cofideza verrà quidi calcolato utilizzado la formula ( ) ± z α dove è la stima della percetuale delle persoe che farao meo di 7 giori di vacaza durate l estate prossima, metre z p idica il percetile p-simo di ua ormale stadard. Quello che viee richiesto è di determiare i maiera tale che l ampiezza di questo itervallo risulti, qualsiasi siao i risultati campioari ovvero qualsiasi sia, miore di 0,05. Poiché (lo si verifichi), se 0 x, x( x) 4, troviamo ampiezza z α z α. 4 Quidi l ampiezza dell itervallo di cofideza risulterà sempre miore di 0,05 qualsiasi siao i dati campioari se 0.05 z α cioè se 0.05 z α che, esplicitado, diveta z α. 0,05 Per forire ua risposta umerica, è poi ovviamete ecessario prefissare la α. Ad esempio, se si vuole u itervallo di cofideza che icluda co probabilità 0,95 la vera percetuale, α0,05, z α, 96 e,96 536,7 0,05 Quidi il più piccolo umero di iterviste da fare per garatire la codizioe richiesta è 537. Esercizio.5. Per capire se il peso iflueza l ordie alla ascita ei gemelli, per dieci coppie di gemelli è stata calcolata la differeza (i Kg). D peso alla ascita primo gemello ato - peso alla ascita secodo gemello ato La media e la variaza (calcolata dividedo per - ) delle 0 differeze otteute valgoo rispettivamete 0,7 e,. Suppoedo che sia possibile assumere che la distribuzioe di D sia ormale, dire se i dati idicao o meo che l ordie alla ascita è ifluezato dal peso utilizzado (a) u itervallo di cofideza

6 [Schema di risposta] Siamo el reame della t di Studet. U itervallo di cofideza al 90% (tato per fare u esempio) può essere calcolato come, 0,7 ± t 9,0, 95 [ 0,37;0,9]. 0 L itervallo iclude lo 0. Ovvero, ci dice che o possiamo escludere che i media il peso alla ascita del primo gemello sia uguale a quello del secodo. (b) u test di ipotesi. [Schema di risposta] Siamo el reame della t di Studet La statistica test ormalmete utilizzata può i questo caso essere calcolata come t oss 0 0,7, 0,78 Il valore osservato deve essere cofrotato co i valori previsti da ua variabile casuale t di Studet co 9 gradi di libertà. Il valore osservato è compreso tra i quatili 0,75 e 0,9 di questa distribuzioe. Ovvero è u valore prevedibile. Il livello di sigificatività osservato i questo caso risulta maggiore di 0, (e miore di 0,5). Esercizio.6. I u ospedale italiao è stato rilevato il peso di eoati i 89 ascite ed è stata fatta ua classificazioe i base alle abitudie al fumo della madre. Il vettore peso.fumo cotiee il peso (i grammi) di 74 eoati co madre fumatrice e il vettore peso.o.fumo il peso (i grammi) di 5 eoati co madre o fumatrice. Si commeti l'output di alcue aalisi statistiche di seguito riportato, otteute usado u software comue: > t.test(peso.fumo,peso.o.fumo) Stadard Two-Sample t-test data, peso.fumo ad peso.o.fumo t -.779, df 87, p-value alterative hpothesis, true differece i meas is ot equal to 0 95 percet cofidece iterval, sample estimates, mea of x mea of