M A T E M A T I C A I. Lezioni ed Esercizi. a.a Corso di laurea in Scienze Strategiche

Transcript

1 M A T E M A T I C A I Lezioi ed Esercizi Corso di lure i Scieze Strtegiche Uiversità di Mode e Reggio Emili. Diprtimeto di Fisic, Iformtic, Mtemtic.

2 Prefzioe Quest dispes rccoglie le lezioi del corso di Mtemtic I per il corso di lure i Scieze Strtegiche. Il corso è di 6 CFU, 7 ore compresive di lezioi ed esercizi. Si svolge el primo periodo del o presso l Accdemi Militre di Mode. Sez trscurre l rigorosità, si è scelto di presetre i vri rgometi i u form semplice ed essezile, isistedo sui cocetti e sugli esempi. Questo per permettere coloro che i pssto ho già studito tli ozioi di richimrle ed pprofodirle co immeditezz e coloro che le icotro per l prim volt di ssimilrle i u form corrett e prtic. L dispes è mess disposizioe di tutti gli studeti qule usilio didttico. E reperibile ell pgi web di Crl Fiori ll voce Mterile didttico, Mtemtic. (

3 Mtemtic Cpitolo : RICHIAMI Cpitolo RICHIAMI I quest prte si richimo le pricipli formule di geometri pi reltive ll rett ed ll circoferez i quto soo pre-requisiti lle prti successive. Si fissto el pio euclideo u riferimeto crtesio ortogole e moometrico.. RICHIAMI SULLA RETTA Le equzioi y m + q e k, co,, R soo equzioi di rette el pio. Vicevers u quluque rett del pio h u equzioe del tipo y m + q (form esplicit) oppure k. Se si vuole esprimere co u sol equzioe tutte le rette del pio, llor si deve cosiderre l equzioe + by + c,,, R, (, ) (,), (form implicit). L distizioe fr form esplicit e form implicit è importte perché, come si vedrà, solo le rette esprimibili i form esplicit rppreseto delle fuzioi. Dt l rett di equzioe +, il umero rele si chim pedez dell rett (o coefficiete golre). Alle rette di equzioe si ttribuisce pedez ifiit. Equzioe dell rett All equzioe di u rett si può giugere oti due suoi elemeti, per esempio le coordite di due suoi puti, oppure le coordite di u puto e l pedez, ecc. (vedi esercizi ll fie del cpitolo). Ricordimo come trovre l equzioe dell rett ote le coordite di due suoi puti (, ) e (, ). Se e llor l rett per P e P h equzioe Oppure si può scrivere y y, y y m y y y y m( ) y y + m( )

4 Mtemtic Cpitolo : RICHIAMI Esempio Se P (,) e P (, ) si h,, y, y y y 99 m y. 75 Se llor l rett per P e P h equzioe Se y y llor l rett per P e P h equzioe Esempi.. L equzioe dell rett per P (; ) e P (; ) è y ( ) ( ), y +.. L equzioe dell rett per P (; ) e P (; ) è... L equzioe dell rett per P (; ) e P (,5; ) è y. Codizioe di prllelismo Due rette soo prllele,, qudo ho l stess pedez. Pertto: Se le rette ho pedez ifiit llor soo del tipo h e k e duque soo prllele. Se le rette ho pedez fiit ed, esse soo prllele se e soltto se Esempio. Le rette di equzioe y + e y 7 soo prllele perché ho l stess pedez.

5 Mtemtic Cpitolo : RICHIAMI Codizioe di perpedicolrità Due rette icideti, r ed s, si dicoo perpedicolri se icotrdosi formo goli di π 9. Se el pio è fissto u sistem di riferimeto ortogole, llor si h: el cso u delle rette si prllel d u sse, r s se e soltto se le equzioi di r ed s soo rispettivmete h e, o vicevers; el cso le rette bbio equzioe y m + q e y m' + t, esse soo perpedicolri se e soltto se Esempio. Le rette di equzioe y + e y 7 soo perpedicolri. Fscio proprio di rette di cetro P( ;y ) Si itede l isieme di tutte le rette del pio che psso per P( ; ). L equzioe ( ), R è dett equzioe del fscio proprio di cetro P. Al vrire di R si ottegoo tutte le rette pssti per P d eccezioe dell rett di equzioe. Esempio. Le rette del pio che psso per il puto P(; ) soo tutte e sole le rette di equzioe y m( ) ) e l rett. Fscio improprio di rette Si itede l isieme di tutte le rette del pio veti l stess pedez m. L equzioe +, R è dett equzioe del fscio improprio. Al vrire di R si ottegoo tutte le rette veti pedez m. Esempio. Le rette del pio co pedez 7 soo tutte e sole le rette di equzioe y 7 + k.

6 Mtemtic Cpitolo : RICHIAMI Distz di u puto P d u rett r Dti il puto P( ;y ) e l rett r di equzioe + +, l distz di P d r è d( P; r) + by + c + b Fre ttezioe perché occorre che l equzioe dell rett si dt i form implicit. Esempio. Per determire l distz di P(-;5) dll rett r di equzioe,5 +, si deve prim scrivere l equzioe di r come,5 + e poi si pplic l formul:,5( ) + ( )5 + d ( P; r) 5.,5 + Distz di due puti Dti i puti P( ; y ) e Q( ; y ), l misur dell loro distz è : PQ ( y ) + ( y ) Esempio. Dti i puti P(; ) e Q(-; 5), l misur dell loro distz è : PQ ( ( )) + ( 5) Puto medio del segmeto di estremi P e Q Sio P( ; y ) e Q( ; y ) due puti del pio. Le coordite del puto medio M del segmeto di estremi P e Q soo dte d : M + y + ; y Esempio. Se P(; ) e Q(; 5) soo i puti, le coordite del puto medio M del + ( ) + 5 segmeto di estremi P e Q soo : M ; ;.

7 Mtemtic Cpitolo : RICHIAMI Esercizi.. Scrivere l equzioe dell rett psste per P( ; ) e prllel ll rett r di equzioe +. Soluzioe. L rett r h pedez e quidi l rett richiest h l stess pedez (o coefficiete golre). Dll equzioe del fscio di rette per P si ottiee 7 pertto che l rett h equzioe y ( ( ) ), y +.. Scrivere l equzioe dell rett psste per P(; ) e perpedicolre ll rett r di equzioe 5 y +. 5 Soluzioe. L rett r h pedez, pertto l rett cerct dovedo essere perpedicolre d r vrà pedez. Dll equzioe del fscio di rette pssti 5 per P si ottiee che l equzioe cerct è y + ( ), y Trovre le coordite del puto P comue lle rette di equzioe y + e + y +. Soluzioe. Il puto P vrà come coordite l soluzioe del sistem: - y + + y + d cui 5 P ;.. I u sistem di riferimeto Oy, si r l rett d'equzioe + y. Determire: ) l'equzioe dell rett psste per A(; 5) e prllel r ; b) l'equzioe dell rett psste per B(; ) e perpedicolre r ; c) le coordite del puto C d'itersezioe tr l rett r e l rett s d'equzioe + y ; d) le coordite del piede H dell perpedicolre codott d D( ; 8) ll rett r ; e) l distz d del puto E(; ) d r ; Soluzioe. ) Poichè l rett r h coefficiete golre (pedez) m /, l rett cerct vrà lo stesso coefficiete golre e l'equzioe si otterrà d quell del fscio proprio di rette pssti per ( ; y ), ossi: () y y m ( ) dove ( ; y ) soo le coordite di A e m il coefficiete golre di r ; si ottiee: y + 5 / ( ) e quidi i form implicit + y +. b) Siccome due rette soo perpedicolri se i loro coefficieti golri soo uo il reciproco dell'ltro cmbito di sego, l rett cerct si otterrà iseredo ell () le coordite di B e il coefficiete golre / : y + / ( ) e quidi i form implicit y 8. c) Bst porre sistem le equzioi delle rette r e s : 5

8 Mtemtic Cpitolo : RICHIAMI + y, + y otteedo le coordite di C(; ). d) Si determi l'equzioe dell rett t psste per D e perpedicolre r : y 8 ; poi l si poe sistem co l'equzioe dell rett r: y 8, + y l soluzioe del sistem forisce le coordite di H(; ). e) Bst sostituire le coordite di E e i coefficieti dell'equzioe di r ell formul d( P; r) + by, + b + c + d(e; r) Dto il trigolo di vertici A( ; ), B( ; ) e C(; ), determire: ) le equzioi dei lti; b) i puti dell rett y che ho distz ugule dll rett AB. Soluzioe. ) AB : ; BC : y + ; AC : y (/5) + 7/5 ; b) E (; ), F( 5; ). 6. Nel fscio di rette di equzioe ( + k) ( k) y + 5k (k R) determire: ) le rette che ho distz ugule dll'origie O degli ssi; b) l rett r perpedicolre ll rett di equzioe y + 5 ; c) l rett r prllel ll bisettrice del primo e terzo qudrte. Soluzioe. Si ricordi che u rett di equzioe + by + c h coefficiete golre m /b. Nel fscio proposto + k, b ( k) k e c 5k. ) ; 5 + 6y 7 ; b) r : y + ; c) r : y. 7. Verificre che i puti P(; ), Q(; ) e R( ; ) soo llieti. Soluzioe. Occorre scrivere l'equzioe dell rett psste per due dei tre puti, per esempio l rett per P e Q e successivmete cotrollre se R pprtiee ll rett PQ sostituedo i ess le coordite di R. L rett per P e Q h equzioe y +, sostituedo i ess le coordite di R si ottiee + e quidi poiché l'equzioe è soddisftt R è llieto co P e Q. 8. Verificre che i puti A(; ) B( ; ) e C(; ) o soo llieti. Del trigolo d essi determito trovre: ) le equzioi dei lti; b) le equzioi delle prllele i lti codotte per i vertici opposti; c) il perimetro e l're. Soluzioe. ) y + 5 ; y ; + y + ; b) + y 7 ; y 6 ; y + 9 ; c) perimetro + + 7, re /. 6

9 Mtemtic Cpitolo : RICHIAMI. RICHIAMI SULLA CIRCONFERENZA Dto u puto (!,") ed u umero rele # >, si chim circoferez di cetro e rggio # il luogo geometrico dei puti del pio che ho distz # d. Se (, ) idic il geerico puto dell circoferez, l codizioe che crtterizz i puti dell circoferez è # ossi $(!) +(") # che è preferibile scrivere ell form () (!) +(") # Se il cetro dell circoferez è l origie degli ssi, circoferez è del tipo : + # (; ), l equzioe dell Ad esempio + 7 è l circoferez di cetro (; ) e rggio 7. I prticolre l circoferez di cetro l origie degli ssi e rggio, dett che circoferez uitri, h equzioe +. Sviluppdo () si ottiee l seguete equzioe () ,,, R, + > Quest equzioe crtterizz l circoferez; è u equzioe di secodo grdo i due icogite i cui i termii e y ho lo stesso coefficiete e mc il termie i y. Dt l equzioe () il cetro dell circoferez è (!,")( ; ) metre il rggio è # $ + Nell equzioe geerle () dell circoferez compioo tre prmetri b, c. Pertto qudo si vuole determire l equzioe di u circoferez, occorroo tre codizioi. Per esempio il cetro (due codizioi) e il rggio (u codizioe). Spesso occorre trovre l equzioe di u circoferez cooscedo le coordite di tre suoi puti, i questo cso per determire l equzioe dell circoferez si impoe che le coordite dei tre puti soddisfio l equzioe lgebric e medite sistem si clcolo i prmetri, b, c (si ved esercizio ). 7

10 Mtemtic Cpitolo : RICHIAMI Equzioe rett tgete ll circoferez el puto P( ;y ) (!)( )+( ")( ) Esempio. L equzioe dell rett tgete ll circoferez + 6 el puto (,) è. Esercizi.. Determire l equzioe dell circoferez di cetro C(; ) e rggio r. Soluzioe. Applicdo l () si h che l equzioe dell circoferez è + y d cui + y + 6y. ( ( )) ( ). Determire il cetro e il rggio dell circoferez di equzioe + y 6 y. Soluzioe. Cosidert l () si h 6, b, c e pertto l b circoferez h cetro C ( ; ) (; ) e rggio r Scrivere l equzioe dell circoferez psste per i puti (, ), (, ), (, ). Soluzioe. Cosidert l () impoimo il pssggio dell circoferez per i tre puti, ossi impoimo che le coordite dei tre puti soddisfio l () : + + b + c b + c b + c risolvedo il sistem si ottiee, b, c + e pertto l equzioe dell circoferez è: + y y +. 8

11 Mtemtic. Cpitolo : geerlità sugli isiemi e sulle fuzioi Cpitolo GENERALITA SUGLI INSIEMI E SULLE FUNZIONI. IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI U isieme può essere ssegto elecdo i suoi elemeti o eucido u proprietà che li crtterizzi. Useremo lettere miuscole per idicre isiemi, lettere miuscole per idicre gli elemeti di u isieme. Se è u elemeto dell isieme A diremo che pprtiee d A e scriveremo A. Per egre l pprteez scriveremo A. Dto u isieme A, si defiisce sottoisieme di A u quluque isieme B tle che ogi elemeto di B risulti che elemeto di A. I tl cso si scrive B A oppure B A secod che B poss o meo coicidere co A. Tr i sottoisiemi di u dto isieme vi è sempre l isieme vuoto, cioè l isieme privo di elemeti, esso si idic co.. GLI INSIEMI NUMERICI E I SIMBOLI CHE LI RAPPRESENTANO Numeri turli: N {,,,,, } NOTA - I quest trttzioe lo zero pprtiee ll isieme dei umeri turli. Numeri iteri: Z {, -, -,,,, } Numeri rzioli: Q { q p : p, q Z, q } è l isieme dei umeri che si possoo esprimere come frzioe. Numeri reli: R questo isieme è costituito di umeri rzioli e irrzioli (soo umeri decimli illimitti periodici come per esempio,56 e π,59 ) Numeri complessi: C { z + ib :, b R } dove i idic l uità immgiri. Si dice che è l prte rele e b è il coefficiete dell prte immgiri del umero complesso z. NOTA - Dl puto di vist isiemistico, le successive estesioi dell isieme dei umeri turli si possoo così schemtizzre: 9

12 Mtemtic. Cpitolo : geerlità sugli isiemi e sulle fuzioi N Z Q R C M ttezioe che, trttdosi di isiemi ifiiti, o è detto che u isieme bbi crdilità mggiore di u suo sottoisieme. Risult N Z Q < R C ossi gli elemeti dell isieme N soo tti quti gli elemeti di Z o di Q, così come R e C ho lo stesso umero di elemeti, metre Q h u umero di elemeti più piccolo del umero di elemeti di R. Per idicre che i u isieme umerico si esclude lo zero, si scriverà u i lto destr, per esempio R R {}. Per idicre che di u isieme umerico si cosidero solo i umeri positivi scriveremo + i lto destr; per idicre che i u isieme si cosider che lo zero, metteremo i bsso destr; logmete per i umeri egtivi. Avremo per R + umeri reli positivi umeri rzioli egtivi compreso lo zero. Q Rppresetzioe dei umeri reli su u rett I umeri reli possoo essere rppresetti di puti di u rett. Iftti, cosidert u rett oriett su cui è stto fissto il segmeto (uità di misur) di estremi e, d ogi puto dell rett rime ssocito uo ed u solo umero rele e vicevers d ogi umero rele rime ssocito uo ed u solo puto dell rett. rett r u R. INTERVALLI DI NUMERI REALI e INTORNI Tr i sottoisiemi di R prticolre importz rivestoo gli itervlli. Sio, b R, < b. Si defiisce: itervllo chiuso di estremi e b l isieme [,b] { R : b} itervllo perto di estremi e b l isieme (,b) { R : < < b} itervllo perto siistr e chiuso destr (,b] { R : < b}

13 Mtemtic. Cpitolo : geerlità sugli isiemi e sulle fuzioi itervllo chiuso siistr e perto destr [,b) { R : < b} itervlli illimitti (, + ) { R : < } [, + ) { R : } (, b) { R : < b} (, b] { R : b} (, + ) R NOTA I quest trttzioe l pretesi tod idic perto, l pretesi qudr idic chiuso. Si dice che (, b) è u itoro di se (, b). L itervllo [, b) è detto itoro destro di. L itervllo (, ] è detto itoro siistro di. L itervllo ( - δ, + δ) è detto itoro di cetro e di rggio δ. Si us idicrlo co I δ ). ( Gli itervlli (, + ) e [, + ) soo detti itori di +. Gli itervlli (, b) e (, b] soo detti itori di. Il puto A è detto puto itero d A se esiste δ tle che I δ ( ) A, ossi se esiste u itoro di tutto coteuto i A. U isieme A si dice perto se tutti i suoi elemeti soo iteri d A. U isieme si dice chiuso se il suo complemetre è perto. Esempio. L itervllo (,b) è u isieme perto, perché tutti i suoi puti soo iteri; l isieme [,b] è chiuso perché il suo complemetre è (, ) ( b, + ), i cui elemeti soo tutti iteri e quidi è perto. Si dice che L è u mggiorte (risp. miorte) di A se L A (risp. L A ). Esempio. Soo mggiorti dell isieme [,9] i umeri, 57, 569. Soo suoi miorti i umeri, 9, 98.

14 Mtemtic. Cpitolo : geerlità sugli isiemi e sulle fuzioi U isieme si dice superiormete (risp. iferiormete) limitto se mmette mggiorti (risp. miorti). U isieme si dice limitto se è si superiormete si iferiormete limitto. Esempio. L isieme [,9] è limitto, l isieme [, + ) è iferiormete limitto e superiormete illimitto. Si R. Si dice che M è il mssimo di A se (i) M A (ii) M A Si R. Si dice che m è il miimo di A se (i) m A (ii) m A Esempio. L isieme [,9] h come miimo m e M9 come mssimo. L isieme A, 6 h m come miimo e M6 come mssimo. [ ] { } Esempio. L isieme A(,9) o h mssimo é miimo: iftti il umero e il umero 9 o pprtegoo ll isieme. Essi soo detti estremo iferiore e estremo superiore dell isieme A. Si dice che L è estremo superiore dell isieme A se (i) L A (ii) < h < Si dice che l è estremo iferiore dell isieme A se (i) l A (ii) > h < L estremo superiore (iferiore) è duque il miimo (mssimo) dei mggiorti (miorti). Si idico rispettivmete co sup A e if A. Se l estremo superiore (iferiore) pprtiee ll isieme, llor è u mssimo (miimo) dell isieme. Se l isieme è superiormete (iferiormete) illimitto si scrive sup A+ ( if A ). Ad esempio, per R: > 7", si h sup A+.

15 Mtemtic. Cpitolo : geerlità sugli isiemi e sulle fuzioi. FUNZIONI Spesso si devoo ffrotre e descrivere situzioi che fo riferimeto due o più qutità vribili i determiti isiemi e tli che il vlore di u diped dl vlore ssuto dlle ltre. Ad esempio : Il costo totle di u merce dipede dll qutità di merce cquistt. L re di u qudrto dipede dll lughezz del suo lto. Il motte di u cpitle depositto i bc dipede dl tempo di ivestimeto e dl tsso di iteresse. Nei primi due esempi soo preseti due grdezze vribili: u idipedete e l ltr dipedete d quest, ossi il vlore dell secod è determito o ppe è oto il vlore dell prim. Vribile idipedete (geerlmete idict co ) Vribile dipedete (geerlmete idict co y) Si dice che y è fuzioe di. DEFINIZIONE. Dti due isiemi o vuoti A e B si dice fuzioe di A i B u legge che d ogi A ssoci uo ed u solo elemeto y B. Scriveremo f : A B oppure y f(). f() idic l elemeto di B immgie di trmite f. è detto u cotroimmgie di f(). L isieme A è detto domiio dell fuzioe. L isieme B è detto codomiio dell fuzioe. Il simbolo f(a) deot l isieme delle immgii di f (o immgie di A). ATTENZIONE. No bst u legge per defiire u fuzioe, occorre che ssegre il domiio e il codomiio. L stess legge può defiire oppure o u fuzioe secod del domiio e/o codomiio i cui è cosidert. Ad esempio : f : N R, f() - è u fuzioe f : N N, f() - o è u fuzioe f : N R, f() è u fuzioe f : R R, f() o è u fuzioe Altri esempi di fuzioe : f : N R, f() +

16 Mtemtic. Cpitolo : geerlità sugli isiemi e sulle fuzioi f : R R, f() + se < se < se NOTA - Nell defiizioe di fuzioe o è richiesto che rimg ivrit l legge co cui f ssoci d ogi elemeto del domiio l su immgie; quello che occorre è che d ogi elemeto del domiio corrispod uo ed u solo elemeto del codomiio. Esercizio. Si cosideri l fuzioe f() defiit i R {}. Si clcolio: f(); f(k + ) ; f( ) ; f( ) ; f() +; f( +); f( ) ; [f()]. Soluzioe Sostituedo d il vlore idicto si ottiee: f(), f(k + ), k f( ), f( ), 7 f() + +, f( ) f( + ), [ ] ( + ) + f(). +, DEFINIZIONE. U fuzioe f : A A si chim fuzioe idetità se d ogi elemeto di A ssoci l elemeto stesso, ossi f(). Di orm si idic co Id A. DEFINIZIONE. U fuzioe f : A B si dice - suriettiv qudo f(a) B (fig..) - iiettiv qudo d segue f( ) f( ) (fig..) - biettiv (o biuivoc) se è iiettiv e suriettiv (fig..) A B A B A B fig.. fig.. fig..

17 Mtemtic. Cpitolo : geerlità sugli isiemi e sulle fuzioi f(), # f : R R è suriettiv, m o iiettiv f(), f : R R o è suriettiv é iiettiv f(), f : N Z è iiettiv, m o suriettiv f() +, f : R R è biiettiv Le fuzioi biettive rivestoo u ruolo prticolrmete importte. Qui ci limitimo d evidezire due proprietà : ) Permettoo di cofrotre e cotre gli elemeti di due isiemi: A e B ho lo stesso umero di elemeti se e solo se fr A e B è possibile stbilire u fuzioe biettiv. Esempio l isieme P {,,,,, } dei umeri pri e l isieme N {,,,,, } dei umeri turli ho lo stesso umero di elemeti (crdilità) perché fr essi è possibile stbilire u fuzioe biettiv: f : N P, f(). Fr gli isiemi Q ed R o esiste essu fuzioe biettiv perché Q < R. ) Le fuzioi biettive mmettoo l fuzioe ivers: Se f : A B è u fuzioe biuivoc, llor si può defiire u ltr fuzioe di B A, dett fuzioe ivers dell f e idict co f -, che d ogi y B ssoci l su cotroimmgie ell f, ossi f - (y) co f() y. A f B f - y Si osservi che : f - è biiettiv (f - ) - f f : A B iiettiv divet biiettiv e quidi ivertibile se si cosider f : A f(a) f - () [ f()] - Nelle ppliczioi ecoomiche spesso si deve fre uso delle fuzioi iverse. Ad esempio qulche volt pesimo il prezzo p come fuzioe dell qutità q e qulche volt l qutità come fuzioe del prezzo: pg(q), qf(p) Esempio L fuzioe qutità q: R R defiit d q.p è biuivoc e quidi ivertibile e pertto l fuzioe prezzo risult l ivers dell fuzioe qutità: pf - (q)(q)/.5.5q 5

18 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi CAPITOLO FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE E APPLICAZIONI FUNZIONI REALI di u vribile rele Soo le fuzioi veti come domiio e codomiio dei sottoisiemi di umeri reli; esse soo ll bse dei modelli mtemtici preseti i ogi cmpo dell sciez. L ultimo prgrfo, Appliczioi, h lo scopo di mostrre come, per risolvere co metodi mtemtici dei problemi cocreti, il primo psso si quello di costruire u modello mtemtico che e coset l trduzioe i uo o più problemi mtemtici. DEFINIZIONE. Sio A e B due sottoisiemi o vuoti di R. U fuzioe f : A B è dett fuzioe rele di vribile rele. Esempi f : [,] R f() f : R R f() f : R R f()/ Il cmpo di esistez dell fuzioe, è l isieme dei vlori dell vribile idipedete per i quli ho sigificto le operzioi che si devoo eseguire su di ess per vere il vlore corrispodete f(). I ltre prole è il più mpio domiio, sottoisieme di R, per ogi elemeto del qule è possibile determire l corrispodete immgie el codomiio. Tlvolt il domiio dell fuzioe f o è specificto; i tl cso si sottitede che è il suo cmpo di esistez. Per esempio se viee idict solo l legge f()/, si cosider come domiio l isieme R -. Se viee idict solo l legge f : si cosider come domiio l isieme R [, + ). OSSERVAZIONE Nello studio teorico di u fuzioe, di orm, come domiio si cerc e si cosider il suo cmpo di esistez, m occorre fre ttezioe che qudo si studi u problem cocreto, il domiio dell fuzioe che lo rppreset v cosiderto uitmete ll tur dell vribile idipedete. Ad esempio se i () l rppreset degli operi, il domiio deve essere u sottoisieme di N (o può esistere mezzo operio!) che se il cmpo di esistez dell fuzioe è R. 6

19 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi. RICERCA DEL CAMPO di ESISTENZA Per determire il cmpo di esistez di u fuzioe occorre teer presete che ell su espressioe litic : ) I deomitori devoo essere. ) Se figur b, pri, deve essere b. ) Se figur log b, deve essere b >,, >. g( ) ) Se figur f ( ) occorre porre f ( ) >, co () e () fuzioi rzioli itere. Se l fuzioe preset più situzioi fr quelle sopr idicte, per determire il cmpo di esistez, Dom, dovro essere richieste cotemporemete tutte le codizioi electe sopr. Esempio. + f() 6 Per l ricerc del cmpo di esistez si deve porre + (,) (, + ) Domf U 6 ±. Esempio. Per determire il cmpo di esistez dell fuzioe + si deve porre > + > > + f() l e, e pertto oppure + < < > > > < oppure < < Dom f (, ) U (, + ) 7

20 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Esercizi.. Determire il cmpo di esistez dell fuzioe + f(). ( ) Soluzioe Deve essere,. Il cmpo di esistez dell fuzioe è pertto R {}.. Determire il cmpo di esistez dell fuzioe f ( ). Soluzioe Deve essere >, >. Il cmpo di esistez dell fuzioe è pertto (,+ ).. Determire il cmpo di esistez dell fuzioe f ( ) l ( + ). Soluzioe Deve essere + >. Il cmpo di esistez dell fuzioe è pertto ( ) (, + ), U.. Determire il cmpo di esistez dell fuzioe f ( ).. + Soluzioe L fuzioe esiste purché si +, ossi oppure. Il cmpo di esistez dell fuzioe è pertto: R {, } (,) (,) (, + ). 5. Determire il cmpo di esistez dell fuzioe f ( ).. + Soluzioe Le codizioi d imporre si esplicito el seguete sistem : + oppure, d cui < oppure. +, U, +. Il cmpo di esistez dell fuzioe è ( ) [ ) 6. Si cosideri l fuzioe f() log( + ). Soluzioe L codizioe di esistez è + >. 8

21 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Poedo t, l disequzioe d risolvere divet t t + > che è sempre verifict per ogi t R, duque che per t > e quidi per ogi R. Il cmpo di esistez dell fuzioe è R. 7. Determire il cmpo di esistez dell fuzioe f ( ). log ( ) Soluzioe Occorre risolvere il seguete sistem: > >, log ( ), U, +. Il cmpo di esistez dell fuzioe è [ ) ( ) 8. Determire il cmpo di esistez dell fuzioe ( 7) f(). + Soluzioe, + >, U (, + ) il cmpo di esistez dell fuzioe è (, ) U, U (, + ). 9. Determire il cmpo di esistez dell fuzioe Soluzioe Deve essere ( ) f(). >. Il cmpo di esistez dell fuzioe è: (,+ ).. Determire il cmpo di esistez dell fuzioe Soluzioe >, ( ) f(). > (, ] U [, + ) il cmpo di esistez dell fuzioe è [,+ )., 9

22 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Esercizi d svolgere. Determire il cmpo di esistez delle segueti fuzioi: ) f() b) f() c) f() d) f()e e) f()l(+ ) f) f() % &'(() g) f() ) i) f()l ( h) f() &'() l) f() m) f() ) f(), * + o) f() + p) f(). q) f() ( r) f() / s) f() t) f() ( / u) f() /&' ( z) f() &' y) f() / + % v) f( ) w) f() + j) f()l(+ ) Risposte. ) R {, }; b) R {}; c) ; d) ; e) ; f) (, ) U (,) ; g) R {5}; h) (,) U (, + ) ; i) ( ) (, + ) l) ;, U ; m) R {}; ) (, ] U [, + ) ; o) (, + ); p) (, ) (,) U (, + ); U q) (, + ); r) (, ) U (, ) U (, + ); s) R {+, }; t) [,) U (, + ); u) (, ) (, + ); U v) R {}; z) R {e}; w) R {}; y) [,+ ) ; j) R.

23 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi. OPERAZIONI CON LE FUNZIONI. FUNZIONI COMPOSTE. Somm (ddizioe e sottrzioe) Dte le fuzioi f : A R e g : A R, A R, si defiisce l fuzioe somm (f ± g) : A R, A R, poedo, per ogi A, ( f ± g)( ) f ( ) ± g( ) Esempio. Sio f, g : R R, co f() + e g() ; llor risult (f g)() + ; (f + g)() + + Moltipliczioe per uo sclre Dti f : A R, A R, λ R si defiisce l fuzioe λf : A R, A R, poedo per ogi A ( λ f)( ) λf( ) Esempio. Sio f : R R, f() +, e λ 7; llor risult 7 f : R R, 7f() 7 ( + )+7. Prodotto di fuzioi Dte le fuzioi f : A R e g : A R, A R, si defiisce l fuzioe prodotto f g) : A R, A R, poedo, per ogi A, ()()()() Esempio. Sio f, g : R R, co f() + e g() ; llor risult ( )() (+ )( ) / + Composizioe di fuzioi Sio f : A B e g : B C due fuzioi tli che f(a) B (ossi l immgie di A è coteut el domiio di g), llor si può cosiderre l fuzioe go f : A C defiit, per ogi A, d ( g o f )( ) g( f ( )).

24 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi L fuzioe go f si dice fuzioe compost di f e g (tle scrittur prevede che prim si pplic l f e poi l g). Esempi.. Sio f : R R, f() + ; g : R R, g(). Allor risult ( g o f )( ) g( f ( )) g( + ) ( + ) +.. f() l( + ) è l composizioe di g() + e di h() l ; iftti ( ho g)( ) h( g( )) h( + ) l( + ).. f ( ) + è l fuzioe compost d g() + e d h ( ), iftti ( ho g)( ) h( g( )) h( + ) +. OSSERVAZIONI L esistez di go f o implic l esistez di fo g. L operzioe di composizioe o è commuttiv, ossi che el cso esist si go f che fo g, geerlmete risult go f fo g. Esempio. Sio f, g : R R defiite d f() + e g(), risult ( + ) ( go f)( ) g( f( )) g( + ) (fo g)() f(g()) f duque go f fo g. + + Attezioe o cofodere f () co [f()]. Esempio: se f : R{} R, f() / risult f () (fo f)() f(f()), metre [f()] (/). Se f è biiettiv, l su fuzioe ivers f è l fuzioe tle che fof f o f Id. (fuzioe idetità). Esempio. Se ()5, ()+5 e si h ( f o f )( ) f ( f( )) f ( 5) ( f o f )( ) f( f ( )) f( + 5) + 5 5

25 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Esercizio. Si f : R 5 R 5, f ( ) e g : (, ] R, g( ). Si determiio, se esistoo, le segueti fuzioi composte: ) fo g, b) go f, c) fo f, d) go g. Soluzioe ) fo g verific l codizioe di esistez, risult ( f g)( ) o. b) go f o esiste, perchè f(r ) (, ], per esempio f(6) (, ]. Però, se cosiderimo f : [, 9] R, f ( ) e g : (, ] R, g( ), llor l fuzioe esiste perché f([,9])[, ] (, ] e l su espressioe litic è ( go f )( ) g( f ( )) g( ) Cotrollimo il domiio: deve essere e d cui e 9. c) fo f verific l codizioe di esistez, risult ( f f)( ) o. d) go g o esiste, perchè g(, ] (, ], per esempio g() 5 (, ]. Esercizio. Sio f, g : R R defiite d f() e g() +. Si determiio, se esistoo, le segueti fuzioi composte: Soluzioe ) fo g, b) go f, c) fo f, d) go g. ) f o g verific l codizioe di esistez, risult ( fo g)( ) ( + ) b) g o f verific l codizioe di esistez, risult ( go f)( ) ( ) + +. c) fo f verific l codizioe di esistez, risult ( f o f )( ) ( ) 8 6 d) g o g verific l codizioe di esistez, risult ( go g)( ) ( + ) Esercizio. Si t : (, + ) R, t() l ( ). Si trovio f, g, h tli che t fo go h. Soluzioe f(), g() l, h(). Esercizio. Determire, se possibile, le fuzioi composte () g ( ) +, f ( ) + go f e f o g, e il reltivo domiio

26 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi (b) f ( ), g( ) l(/ ) (c) g ( ), f ( ) + (d) g ( ), f ( ) Soluzioe () ( go f )( ) g( f( )) g( + ) Dom( go f ) R ( f o g)( ) f ( g( )) f ( + ) ( + ) + ( + + ) Dom ( f o g) R (b) ( go f )( ) g( f( )) g( ) l( / ) Dom( go f ) R ( f og)( ) f( g( )) f(l( g) / )) [ l( / ) ] Dom( f o R (c) ( go f )( ) g( + ) ( + ) ( + ) + Dom ( go f ) R { } ( f o g)( ) f ( ) +, perché esist deve essere + e. Dll prim si h, cioè, che implic / e /. Pertto, Dom ( f o g),, +. (d) ( go f )( ) g( ). L fuzioe o è defiit i cmpo rele perché R si h <. ( f og)( ) f( ) ( ) Dom( f og) R. Esercizio. Si cosiderio le fuzioi f ( ), g( ) l, r( ) /. Si determiio, se possibile, le espressioi delle fuzioi composte ro f o g e go f o r. Soluzioe ( ro f o g)( ) r( f ( g( )) r( f (l )) r( (l ) ) (l ) l (l) ( (l) ( il cui domiio è (,) (, + ) poiché deve essere > e (l ). Quest ultim disugugliz implic l, cioè. ( go f o r)( ) g( f ( r( )) g( f (/ )) g( ) l( ) l( ) ( l (> L fuzioe o esiste, perché l rgometo del logritmo è sempre egtivo.

27 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi. GRAFICO Si f u fuzioe rele di vribile rele. Se el pio crtesio si cosidero i puti di coordite (; f()), essi determio u visulizzzioe geometric dell fuzioe dett grfico dell fuzioe. Se C è l curv grfico dell fuzioe f, si dice che che l curv C h equzioe y f().? (,@) () Esempi di grfici.. f ( ) h come grfico y. se f ( ) h come grfico se > y 5

28 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi. GRAFICO DELLA FUNZIONE INVERSA Se f : A B è u fuzioe ivertibile, il grfico di f e di f soo uo il simmetrico dell ltro rispetto ll bisettrice del e qudrte. Esempi.. Se f : R R, f ( ) llor y f f : R R, f ( ) +. f. Se f : [, ] [, 9], f ( ) llor f : [,9] [,], f ( ). y 9 f f - 9 6

29 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.5 FUNZIONI MONOTONE DEFINIZIONE. U fuzioe f : A B si dice mooto ell isieme A se si verific u delle segueti codizioi : A, < f ( ) < f ( ) (f strettmete crescete), A, < f ( ) f ( ) (f crescete), A, < f ( ) > f ( ) (f strettmete decrescete), A, < f ( ) f ( ) (f decrescete), NOTA - Per covezioe, si dice che u fuzioe :R R è crescete (decrescete) i u puto A se è crescete i u itoro di. NOTA - Se u fuzioe f è strettmete mooto, ossi strettmete crescete o strettmete decrescete, llor è ivertibile. Esempi.. () / è strettmete crescete. Iftti per ogi,, < risult <, ciò deriv dl ftto che ( ) ( + + ) ed essedo + + sempre positivo, se < che <. Nturlmete essedo () strettmete crescete, esiste l fuzioe ivers ().. ()+ è strettmete decrescete. Iftti per ogi,, co <, risult < d cui >, e quidi +> +. L () mmette l fuzioe ivers ( ) + f. 7

30 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.6 FUNZIONI LIMITATE DEFINIZIONE. Si f : A R, A R ; l fuzioe f si dice : Limitt superiormete se esiste L R ; f() L A (cioè se f(a) è superiormete limitto) Limitt iferiormete se esiste L R ; f() L A (cioè se f(a) è iferiormete limitto) Limitt se esistoo L,L R ; L f() L A (cioè se f(a) è limitto) y 7 y 7 y y y, y Grficmete u fuzioe limitt superiormete o iferiormete h il grfico tutto compreso l di sotto, rispettivmete l di sopr, di u rett y t e logmete se u fuzioe è limitt il suo grfico è compreso fr due rette y h e y k. 8

31 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.7 LE FUNZIONI ELEMENTARI. Soo così chimte le fuzioi medite le quli vegoo costruiti i modelli mtemtici. Si può che dire che soo le fuzioi che si uso come mttoi per costruire tutte le ltre fuzioi. Descrivimo brevemete le crtteristiche delle pricipli fuzioi elemetri..7.. L fuzioe vlore ssoluto R R, se se < Quluque si il umero rele, il vlore ssoluto (o modulo) di si idic co il simbolo. E strettmete decrescete i (, ), metre è strettmete crescete i (, + ). f() Del vlore ssoluto è importte ricordre che per ogi umero rele r risult : < r se e solo se r < < r cioè F(,G) r se e solo se r r cioè F(,G) G G r y r r r r <G vuol dire G< <G cioè G<< +G o, co otzioe equivlete, F(,G) Ioltre r se e solo se r oppure r > r se e solo se < r oppure > r. 9

32 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.7.. Le fuzioi lieri f() m, m R e le fuzioi lieri (ffii) f( ) m + q, m, q R Queste importti fuzioi ho tutte come grfico u rett, el cpitolo soo riportte le pricipli formule reltive ll rett. LE FUNZIONI f() m, m R :R R, ()K, m R Soo dette fuzioi lieri; ho il rpporto delle due vribili costte: questo si dice che le due vribili soo direttmete proporzioli. y m e per Duque le fuzioi ()K soo quelle che esprimoo l proporziolità dirett. Il loro grfico è sempre u rett psste per l origie. Precismete risult : m m m < < m < m < < m < LE FUNZIONI f() m + q, m, q R :R R, ()K+L, m, q R Co buso di liguggio è cosuetudie chimre lieri che le fuzioi lieri ffii ()K+L co q, il loro grfico è sempre u rett o verticle che si ottiee trsldo il grfico dell fuzioe liere ()K di q uità verso l lto se q è positivo, di q uità verso il bsso se q è egtivo.

33 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi y m + y m y m Il umero q è duque l ordit del puto i cui il grfico di ()K+L itersec l sse delle y e si chim itercett o ordit ll origie. ATTENZIONE dirett. Le fuzioi ()K+L, q, o esprimoo più l proporziolità Sigificto di m. Si ()K+L, m, q R e si r l rett grfico dell fuzioe f(). Si h che : Il vlore K esprime l pedez dell rett. Il vlore di K idic di quto umet l y qudo si umet di u uità l. Dimostrzioe - Sio M ( ) e M ( ) due puti dell rett r di equzioe y K + q. Poiché i puti pprtegoo d r, risult : y m( + ) + q e y m + q sottredo membro membro e semplificdo si ottiee y y + m.. Se d esempio si h l fuzioe f() y.5, d ogi umeto di u uità di, corrispode u umeto di.5 uità di y. Se si cosider ivece l fuzioe f() y + 7, ll umetre di di u uità, l y umet di uità, ossi dimiuisce di uità. D quto dimostrto segue che l fuzioe ()K+L è Strettmete crescete se m > Strettmete decrescete se m < Costte se m

34 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi il sego di m idic se l fuzioe è crescete o decrescete; il vlore ssoluto di m idic l velocità co cui y vri rispetto. I prticolre: se K l e l y vrio llo stesso modo; se K l y rime costte. Esempi.. y 7, y 6 + Cofrotdo le pedeze si può ffermre che l prim fuzioe cresce più rpidmete dell secod (idipedetemete dl vlore di q).. y,5 + 7, y + Cofrotdo le pedeze si può ffermre che decresce più rpidmete l secod fuzioe perché >.5. OP PROPRIETA del rpporto OQ Cosiderimo l e l vrizioe dell fuzioe i corrispodez dell icremeto dto ll vribile i. y Il rpporto (detto rpporto icremetle o tsso medio di vrizioe) è u costte: il rpporto icremetle è idipedete si dl puto i cui si cosider l y vrizioe si dll icremeto e vle m. Dimostrzioe - Comuque si predo due puti M ( ) e M ( ) pprteeti ll rett r di K + L, risult y f ( ) m + q, y f ( m + q d cui sottredo membro membro si ottiee : ) y y m ossi y m. y P ( ; y ) P ( ; y ) y y α

35 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi y Per l fuzioe ()K+L, il vlore dell costte m coefficiete golre dell rett r. y y è che detto OSSERVAZIONE Le K+L ho come grfico u rett, m o esuriscoo tutte le rette del pio, rimgoo escluse le rette prllele ll sse y (rette verticli). Queste rette iftti o rppreseto u fuzioe, l loro equzioe è del tipo k e si dice, per covezioe, che ho pedez ifiit. Esercizio. Rppresetre grficmete le segueti fuzioi: ) f() ; b) f() + ; c) f() ; d) f() ; e) f() ; f) f() +. Soluzioe ) Rett co pedez m. b) Si ottiee trsldo il grfico di ) di u uità verso l lto. c) Si ottiee trsldo il grfico di ) di due uità verso il bsso. d) Rett co pedez m +. e) Si ottiee trsldo il grfico di d) di due uità verso il bsso. f) Si ottiee trsldo il grfico di d) di tre uità verso l lto. y y y Soluzioe ) Soluzioe b) Soluzioe c) y y y Soluzioe d) Soluzioe e) Soluzioe f)

36 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.7.. Le fuzioi f() + b + c ;, b, c R, f: R R, f() + b + c ;, b, c R, Il grfico di quest fuzioe si chim prbol. I suoi puti ho l stess distz + b dll rett di equzioe y e dl puto F ; co b c ; l rett e il puto soo detti rispettivmete l direttrice e il fuoco dell prbol. Il grfico di u prbol dipede : dl sego di, dll vere oppure o itersezioi co l sse delle scisse, ossi se esistoo dei vlori per i quli + b + c, ossi dipede dll essere b c mggiore, ugule o miore di zero. I puti di itersezioe co l sse delle scisse soo due se >, uo se, essuo se <. Risult : > (cocvità verso l lto) o covessità y < > < (cocvità verso il bsso) y > < Come si vede questi grfici ho :

37 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi u rett di simmetri, dett sse dell prbol; ess è prllel ll sse delle b ordite ed h equzioe : u puto di itersezioe co l sse di simmetri; questo puto è detto vertice dell b b + c prbol ed h coordite V ;. Qudo > il vertice è il puto i cui l fuzioe rggiuge il miimo vlore; qudo < il vertice è il puto i cui l fuzioe rggiuge il mssimo vlore. Il cso f(), Queste fuzioi ho come grfico u prbol co vertice ell origie degli ssi e co sse di simmetri l sse y delle ordite. y > < L fuzioe f(),, è prticolrmete importte perché rppreset l y proporziolità qudrtic ( costte ) che trovimo i molti modelli ecoomici. Esercizio. Si descriv il grfico delle segueti fuzioi : ) f() ; b) f() ; c) f() ; d) f() + 6. Soluzioe. ) Prbol co l cocvità verso l lto; sse di simmetri l rett (sse delle ordite); vertice el puto (; ) che è che il puto i cui l fuzioe rggiuge il miimo vlore. b) Prbol co l cocvità verso il bsso; sse di simmetri l rett (sse delle ordite); vertice el puto V(; ) che è che il puto i cui l fuzioe rggiuge il mssimo vlore. c) Prbol co l cocvità verso il bsso; sse di simmetri l rett ; vertice el puto V(; ) che è che il puto i cui l fuzioe rggiuge il mssimo vlore. d) Prbol co l cocvità verso l lto; sse di simmetri l rett 5 ; vertice el puto V(5; 9) che è che il puto i cui l fuzioe rggiuge il miimo vlore. 5

38 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.7.. Le fuzioi f() k/, k R {} R R, ()S, S R Il grfico di quest fuzioe è u curv dett iperbole equilter : k > y y k < Il grfico è costituito d due prti dette rmi dell iperbole ed è simmetrico rispetto l origie degli ssi crtesii. Esistoo due rette dette sitoti dell iperbole cui i rmi dell iperbole si vvicio ifiitmete sez itersecrle (elle figure sopr soo gli ssi crtesii di equzioe e y ). Posto ()@, l S/, S VWX S, esprime l legge di proporziolità ivers: due vribili o ulle e y soo iversmete proporzioli se il loro prodotto è costte. Si oti che y k ( )( y ) k e gli sitoti soo gli ssi crtesii di equzioe e y. Se gli sitoti ziché essere gli ssi crtesii soo prlleli gli ssi crtesii, l equzioe dell iperbole equilter è ( )( y y ) k e gli sitoti soo le rette di equzioe, y y. 6

39 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi y k > y + b Ache l fuzioe f ( ), c, è u iperbole equilter co sitoti c + d d prlleli gli ssi crtesii e di equzioi e y. Il puto? ( Y c c Z,[) Z è il puto di simmetri dell fuzioe Le fuzioi potez f() Distiguimo tre csi secod che l espoete si itero positivo, itero egtivo, rziole. cso ) :R R, () ], X N H proprietà diverse secod che l espoete si pri o dispri. ) pri: l fuzioe è ull per e sempre positiv per, ioltre è strettmete decrescete per e strettmete crescete per, h miimo ssoluto i (, ). I figur soo rppresetti i csi f() e f(). y 7

40 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi b) dispri: l fuzioe è sempre strettmete crescete, i figur soo rppresetti i csi f() e f(). y OSSERVAZIONE L fuzioe potez f(), N *, ell itervllo [, + ) è strettmete crescete si el cso pri si el cso dispri e quidi, essedo strettmete mooto, i questo itervllo l fuzioe mmette l fuzioe ivers. L fuzioe ivers di f(),, si chim fuzioe rdice -esim e si idic co f ( ),. Le figure sotto illustro, rispettivmete, i grfici delle fuzioi,,. f ( ) e f ( ) per y 8

41 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi cso ) R R, () X, X N Il cmpo di esistez è R perché ] può che vedersi come quoziete I figur soo rppresetti i vlori di f() e f(). ^. Quest fuzioe, per ogi N*, f () delle fuzioi defiite d f () e f (). f () y y cso ) f : D R, m f ( ), m Q Ricordimo che e che L fuzioe potez m m, m m m, per ogi m, N *, R +. f ( ) co espoete rziole, è l fuzioe compost m otteut compoedo le fuzioi g() e h(), ovvimete limittmete l domiio D i cui si può effetture l operzioe di composizioe. A coclusioe, ricordimo le pricipli proprietà delle poteze : ` `, (), :` ` b c 9

42 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi

43 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.7.6. L fuzioe espoezile f(), >, R +. :R R, (), > E u fuzioe defiit per ogi R e risult sempre positiv. se l fuzioe espoezile è costte se > l fuzioe espoezile è strettmete crescete se < < l fuzioe espoezile è strettmete decrescete < < y > Si oti che per, >, l fuzioe espoezile f() è strettmete mooto e quidi l fuzioe è ivertibile. L fuzioe ivers è defiit sui umeri reli positivi (dto che l immgie di f() è costituit di umeri reli positivi), ess si chim fuzioe logritmo. Più i geerle, u fuzioe espoezile h l form f() k, dove k è l itercett y, cioè f() k. ()S, S R

44 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.7.7. L fuzioe logritmo f() log, >, Fissto u quluque umero rele positivo,, l fuzioe logritmo f() log è u fuzioe che h come cmpo di esistez R + (reli positivi) e come codomiio R (coicidete co l isieme delle immgii). L fuzioe logritmo è l ivers dell fuzioe espoezile e quidi f() log y se solo se y ; il umero è detto bse del logritmo e rgometo del logritmo. y log > < < Come si vede di due grfici riportti i figur, l fuzioe logritmo h comportmeti diversi secod che si > oppure < <. Se > l fuzioe è strettmete crescete ; è egtiv per < < ; è ull per ; è positiv per >. Se < < l fuzioe è strettmete decrescete ; è positiv per < < ; è ull per ; è egtiv per >. Prticolrmete importte è il cso i cui l bse del logritmo è il umero di Nepero e,7888 ; i questo cso si prl di logritmi turli e l otzioe per idicrli si bbrevi co l. Se l bse è il umero, si prl di logritmi decimle e, geerlmete, si omette di idicre l bse e si scrive semplicemete log. A coclusioe, ricordimo le pricipli proprietà dei logritmi : ( y) log log y log + log y log log y r log r log log log b. log b

45 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.8 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE D quto visto el prgrfo.7, le fuzioi reli di vribile rele medite le quli vegoo costruiti i modelli mtemtici, pprtegoo essezilmete due fmiglie: le fuzioi potez (co le loro iverse) e le fuzioi espoezili (co le loro iverse). Oltre queste due, vi è u fmigli di fuzioi che compre prevletemete ei modelli tti descrivere feomei periodici. Soo le fuzioi trigoometriche. Per l loro importz vegoo richimte fie di questo cpitolo che se il loro domiio o è l isieme R dei umeri reli o u sottoisieme di R. Il loro domiio ( o codomiio se si trtt delle loro fuzioi iverse ) è u isieme i cui elemeti soo goli. Iizieremo pertto riportdo le ozioi di bse reltive gli goli..8. Sego di u golo Dto u sistem di ssi crtesii ortogoli e u circoferez di cetro l origie O degli ssi, si P u quluque puto sull circoferez. Fcedo muovere sull circoferez il puto P si ottegoo gli goli co vertice i O e lti OP e l sse positivo delle scisse. Si dice golo giro l golo determito d u giro completo di P sull circoferez, prtire d P sull sse positivo delle scisse. Per poter ssegre u sego positivo o egtivo d u golo occorre fissre sull circoferez u verso di percorrez per il puto P. Di orm si fiss il verso tiorrio e perciò d u golo si sseg il sego positivo se P si muove i seso tiorrio, il sego egtivo se P si muove i seso orrio. II P y + α I II P y I O O III IV III α IV Agolo positivo + α Agolo egtivo α Le quttro regioi I, II, III, IV i cui gli ssi crtesii dividoo il pio, soo dette qudrti..8. Misurre gli goli Per misurre gli goli vi soo vri sistemi di misur, i due pricipli soo quello sessgesimle e quello i rditi. Nel sistem sessgesimle l uità di misur è l golo grdo defiito come l 6-esim prte dell golo giro.

46 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Nel sistem i rditi si defiisce rdite l golo che stcc sull circoferez co cetro il vertice dell golo, u rco ugule l rggio dell circoferez (NON dipede dl rggio dell circoferez cosidert). Come pssre di Grdi i Rditi e vicevers Dto u golo si può pssre dll su misur i grdi quell i rditi, e vicevers, medite l proporzioe: π : 6 α r : α π α 6 αr d cui α r e α dove α r e α 6 π dell golo α rispettivmete i rditi e i grdi. idico l misur Esempi. π. Se α llor αr π rditi π. Se αr π llor α 7 grdi. π 6 8. Se α r llor α 57 7' ' ' grdi. π π.8. Circoferez Goiometric Fissto u sistem di riferimeto crtesio ortogole, si chim circoferez goiometric l circoferez di cetro O (,) e rggio ; ess h pertto equzioe: + y Si oti che ell circoferez goiometric u golo e il suo rco ssocito sull circoferez ho l stess misur i rditi. y P O + α

47 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.8. Fuzioi seo, coseo, tgete Dto u sistem di riferimeto crtesio ortogole e u circoferez di cetro l origie O degli ssi, si P u quluque puto sull circoferez. Si K l proiezioe di P sull sse delle ordite e H l proiezioe di P sull sse delle scisse. Qudo il puto P si muove sull circoferez, il puto K si spost sull'sse delle ordite d C D, metre il puto H si spost sull sse delle scisse d A B. Le fuzioi trigoometriche pricipli (seo e coseo) studio il movimeto di K e H rispettivmete sull sse delle ordite e sull sse delle scisse, qudo il puto P percorre l circoferez. Poiché dopo u giro completo i puti P, K, H, si ritrovo elle stesse posizioi, si è i presez di fuzioi periodiche. Per questo le fuzioi trigoometriche soo tte descrivere feomei di tur periodic. Per uiformità di liguggio co le fuzioi reli di vribile rele, d or i vti u golo verrà idicto co l letter. C K P B O H A D Si Ω l isieme degli goli. Fuzioe seo f : Ώ e,f, f()si B C K O P H A L fuzioe seo descrive il movimeto di K fr C e D l muoversi di P sull circoferez. E defiit d PH Il vlore del rpporto OP PH si per ogi Ω. OP o dipede dll misur del D rggio e pertto el cso OP, circoferez goiometric, risult si PH OK. 5

48 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Dll defiizioe segue che i vlori di si vrio fr e perché è sempre PH OP. Ioltre si è positivo per gli goli del I e II qudrte e egtivo per gli goli del III e IV qudrte. Sego di si : + C P K + B O D A Vlore del seo degli goli fodmetli h h 6 5 si h 6 h 9 h 8 h 7 Grfico ysi O π π Alcue proprietà dell fuzioe si si si (+π), ossi è periodic di periodo π. si () si. Assume tutti e soli i vlori dell itervllo [, ]. π π E crescete fr e (qurto e primo qudrte). π E decrescete fr e π (secodo e terzo qudrte). 6

49 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Fuzioe coseo f : Ώ e,f, f()cos L fuzioe coseo descrive il movimeto di H fr A e B l muoversi di P sull circoferez. OH cos: Ω [, ], cos per ogi Ω. OP C P OH K Il vlore del rpporto o dipede dll misur OP del rggio e pertto el cso OP, circoferez B goiometric, risult cos OH. O H A Dll defiizioe segue che i vlori di cos vrio fr e perché è sempre OH OP. D Ioltre cos è positivo per gli goli del I e IV qudrte e egtivo per gli goli del II e III qudrte. Sego di cos : B C K O D P H + A + Vlore del coseo degli goli fodmetli h h 6 5 cos h 6 h 9 h 8 h 7 Grfico ycos O π π 7

50 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Alcue proprietà dell fuzioe cos cos cos (+π),ossi è periodic di periodo π. cos cos (). Assume tutti e soli i vlori dell itervllo [, ]. E crescete fr π e π (terzo e qurto qudrte). E decrescete fr e π (primo e secodo qudrte). Fuzioe tgete f : Ω R, f()tg π Ω Ω \ + m π : m Ζ si l isieme degli goli il cui coseo è diverso d zero. L fuzioe tgete è l fuzioe così defiit tg : Ω R, si tg per Ω. cos Se si cosider l circoferez goiometric, che l tgete di u golo può essere rppresett geometricmete d u segmeto. Iftti, cosidert l circoferez di rggio, si S (, ) e si T il puto di itersezioe di OP co l rett prllel ll sse delle ordite e psste per S. Il segmeto ST rppreset l tgete dell golo determito d P, ossi T (, tg ). P T O S E u fuzioe che ssume tutti i vlori reli ed è positiv el I e III qudrte, è egtiv el II e IV qudrte 8

51 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi sego di tg C P K + B O D H A + Vlore dell tgete degli goli fodmetli h h h tg h 9 h 8 o esiste h 7 o esiste grfico ytg 6 O π π 6 Alcue proprietà dell fuzioe tg E periodic di periodo π : tg tg ( + π ), E dispri : tg ( ) tg. Assume tutti e soli i vlori di R. E sempre crescete. Rppreset il coefficiete golre dell rett OP. 9

52 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Rissumedo O K P H T S PH si, OP OH cos, OP tg si cos Tbell del vlore degli goli fodmetli h h 6 5 si cos tg h 6 h 9 h 8 h 7 o esiste o esiste.8.5 Fuzioi Trigoometriche Iverse Le fuzioi si, cos, tg essedo periodiche o soo fuzioi biettive el loro domiio turle. Se però restrigimo il loro domiio i modo che su di esso sio biettive, su tle domiio si può cosiderre l loro fuzioe ivers. Fuzioe rcoseo: f() rcsi y rcsi E l fuzioe ivers dell fuzioe si. π π rcsi : [, ], 5

53 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Fuzioe rcocoseo: f() rccos E l fuzioe ivers dell fuzioe cos., π rccos : [, ] [ ] y rccos Fuzioe rcotgete: f() rctg E l fuzioe ivers dell fuzioe tg. rctg : R π π, yrctg 6 6 5

54 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.8.6 Formule dell Trigoometri FORMULA FONDAMENTALE Nel pio, u puto dell circoferez goiometric h coordite M (si,cos). Per il teorem di Pitgor si h pertto ( ) ( ) si + cos d cui si ricv si ± cos, cos ± si Quest formul ssicur che bst cooscere u fuzioe trigoometric per cooscere tutte le ltre e i questo seso si può dire che esiste u sol fuzioe trigoometric. Agoli ssociti ALTRE FORMULE dell TRIGONOMETRIA si ( ) si si ( π ) si si ( + π ) cos ( ) cos cos ( π ) cos cos( + π ) tg ( ) tg tg ( π ) tg tg ( + π ) si cos tg si cos tg ( π ) ( π ) ( π ) si cos tg π si cos π cos si π tg cotg si cos tg + π + π + π cos si cotg 5

55 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Formule di sottrzioe Formule di ddizioe Formule di dupliczioe si cos tg si cos tg ( y ) ( y ) ( y ) ( + y ) ( + y ) ( + y ) si cos y si y cos cos cos y + si si y tg tg y + tg tg y si cos y + si y cos cos cos y si si y tg + tg y tg tg y si si cos cos cos si si tg tg tg cos Formule di bisezioe si cos tg ± ± ± cos + cos cos + cos 5

56 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.9 APPLICAZIONI I questo prgrfo vegoo riportti lcui esempi di come problemi cocreti si possoo risolvere trducedoli i modelli mtemtici..9. Appliczioi ei modelli ecoomici I ecoomi u modello è u isieme di relzioi fr più vribili. Tli relzioi possoo essere rppresette grficmete o scritte come equzioi. I prticolre co le fuzioi lieri, le prbole e le iperboli equiltere si studio problemi quli l equilibrio di mercto, i costi di produzioe, il puto di idifferez. I prossimi esercizi soo degli esempi che illustro lcue ppliczioi. Riportimo l leged delle pricipli otzioi uste: q qutità merce; C u costo vribile uitrio (costo vribile per u uità di merce) ; C v costo vribile (dipede dll qutità di merce prodott C v C u q) ; C f costo fisso (o vri l vrire dell qutità) ; C t costo totle (dto d C t C v + C f C u q + C f ) ; R u ricvo uitrio (ricvo per u uità di merce); R t ricvo totle (dto d R t R u q); π profitto (dto d π R t C t ). Esercizio. (ppliczioe puto di equilibrio) I costi fissi C f di u impres mmoto. idipedetemete dll qutità q di merce prodott. I costi vribili mmoto. per ogi uità di merce prodott. Il prezzo di vedit (ricvo uitrio) R u del bee è pri 5.. Riportre grficmete l situzioe e discuterl. Soluzioe. R t B 6. E A C t. q q Il costo totle C t e il ricvo totle R t soo espressi rispettivmete dlle fuzioi C t C u q + C f, R t R u q, ossi C t. q +., R t 5. q. Etrmbe le fuzioi ho come grfico u rett; le due rette si iterseco el puto E(; 5.) detto puto di equilibrio perché i corrispodez dell qutità q risult C t R t ossi o si h é perdit é profitto e poiché l itercett di C t è mggiore dell itercett di R t si deduce che per u produzioe q < q l ttività è i perdit metre per u produzioe q > q si h u profitto che, reltivmete ll qutità q, è rppresetto dl segmeto AB. 5

57 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi Esercizio. (ppliczioe puto di equilibrio) Nell produzioe di u bee si h u costo fisso di.. e u costo di 5 per uità di bee prodotto. Se il ricvo totle è espresso dll fuzioe R t 75 q, determire : ) il vlore di q i corrispodez del qule si h il puto di equilibrio; b) l fuzioe costo totle se il govero itroduce u tss fiss di 5 e il uovo puto di equilibrio; c) l fuzioe costo totle se il govero, ziché u tss fiss, itroduce u tss di 5 per ogi uità di bee prodotto. Soluzioe. Il puto di equilibro si h per q tle che C t (q) R t (q). ) C t 5q +.. e quidi deve essere 5q q d cui q., i tle puto C t (.) R t (.) 9... b) C t 5q e quidi deve essere 5q q d cui q.. c) C t (5 + 5)q +.. e quidi deve essere 55q q d cui q 5.. Esercizio. (ppliczioe domd e offert) L qutità di domd Q d e di offert Q o di u bee dipedoo dl prezzo p (p ) dello stesso i bse lle segueti fuzioi: Q d (p) 7 p Q o (p) 5 + p ) si giustifichi perché l crescere del prezzo l qutità domdt decresce e l qutità offert cresce; b) si rppresetio el pio crtesio le fuzioi Q d (p) e Q o (p) ; c) si determii il puto di equilibrio di mercto idicdo si il vlore di p che quello di Q d (p) Q o (p). Soluzioe. ) Al crescere di p l fuzioe Q d (p) è decrescete perché l pedez dell rett che l rppreset è egtiv; l fuzioe Q o (p) è ivece crescete perché l pedez dell rett che l rppreset è positiv. b) Grfico; Q (p) c) p, Q d () Q o (). 5 5 Q d (p) p Esercizio (ppliczioe costi fissi e vribili) Il costo totle di u processo produttivo è di 85 per uità di prodotto e di 85 per 5 uità di prodotto. Determire. il costo fisso e il costo vribile uitrio 55

58 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi b. il costo totle per uità di prodotto Rppresetre grficmete i risultti otteuti. Soluzioe.. L fuzioe del costo è C ( ) CV ( ) + C f Cu + C f 85 Cu + C f 85 Cu 5 + C f C f 85 Cu 85 Cu Cu C f C u 85 5 C( ) 5 + b. C ( ) 5 + () C() Esercizio 5 (ppliczioe vedite). Le vedite cumulte di cidulto di riso presso NturSì soo, tutt oggi, pri litri, e umeto u ritmo di litri l mese.. Se oggi è il dicembre, quti litri di cidulto di riso vrà complessivmete veduto fr u o NturSì? b. Qul è il tsso medio di icremeto delle vedite cumulte tr febbrio e giugo? E tr geio e gosto? Soluzioe. Si t tempo espresso i mesi (t è dicembre) e si ( t) veduto ell itervllo [, t].. Bst usre l espressioe di u rett psste per u puto: l( t) + ( t ) + t l( ) + () l litri di cidulto di riso 56

59 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi b. r()r() /( ( s ( Il tsso medio di icremeto delle vedite è di litri per uità di tempo, cioè ogi mese si vedoo due litri di cidulto di riso. Nel periodo tr geio e gosto il tsso medio di icremeto delle vedite cumulte è lo stesso, poiché l fuzioe è ffie e il rpporto icremetle è costte. Esercizio 6 (ppliczioe ricvi e profitto). Il resposbile mrketig di u zied mooprodotto stim che l equzioe di domd per l zied si q.6 p + 6 dove q è il umero di prodotti veduti e p è il prezzo uitrio. I costi di gestioe mmoto 5.. Esprimere ricvi e profitti come fuzioi del prezzo p. R( p) p q( p) p(.6 p + 6).6 p + 6p π ( p) R( p) 5.6 p + 6p 5 b. Determire qule prezzo dovrebbe essere offerto il prodotto per preggire il bilcio. π ( p).6 p + 6 p 5 p 65.55, p. c. Determire qule prezzo dovrebbe essere offerto il prodotto per otteere il mssimo profitto. Il vertice h sciss b (.6) Pertto il profitto mssimo è π (8.).6(8.) + 6(8.) d. Determire se è possibile otteere il preggio che se i costi di gestioe slgo. π ( p).6 p + 6 p. No, perché quest equzioe o h soluzioi reli. Iftti π (8.).6(8.) π(p) + 6(8.) 8.< p 8. 57

60 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi.9. Appliczioi i vri cmpi dell sciez Esercizio (ppliczioe zoologi). Il friire del grillo dipede liermete dll tempertur. U ser d estte setite il grillo friire u ritmo di volte l miuto, e otte che l tempertur è di. Più trdi, l stess ser, il grillo h rlletto volte l miuto, e otte che l tempertur è clt. Il gioro dopo volete misurre l tempertur, m si è rotto il termometro. Setite il grillo friire u frequez di volte l miuto. Esprimete l tempertur T come fuzioe dell frequez r del friire del grillo e clcolte l tempertur mttuti. Soluzioe L rett che descrive grficmete l fuzioe pss per i puti (, ) e (, ). T T T T T ( r ) T r r r r r 5 T ( r).r T ( ).() 6 T(r) t Esercizio (ppliczioe epidemiologi). Nelle prime fsi dell epidemi dell AIDS, il umero delle persoe ifette rddoppiv ogi sei mesi, e il geio 985 gli ifetti ero. milioi. - Assumedo che l diffusioe dell epidemi si espoezile, trovre u modello che permett di prevedere il umero di persoe ifette dopo t i. - Utilizzre il modello per stimre il umero di persoe ifette ll dt dell ottobre 985. Soluzioe.. Ogi o il umero di persoe ifette dopo u o si qudruplic, cioè t ( t + ) ( t), e ioltre ( ).. Quidi ( t).().75. Ottobre 985 corrispode t9/.75. Pertto, (.75).()

61 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi NOTA Il modello espoezile o può essere vlido per u tempo molto lugo. Ad esempio, dopo i il ostro modello forisce u umero di ifetti pri ().() Più di u milirdo di milirdi, ossi più di milioi di volte l popolzioe um I modelli espoezili soo utilizzti elle prime fsi di u epidemi (gli epidemiologi prevedoo u feomeo di livellmeto d u certo puto i poi). Esercizio (Appliczioe previsioi). Di seguito soo riportti i dti storici di due ziede reltivi gli ultimi i, oché le previsioi per quest o (o ) e per i prossimi due i. D quli fuzioi possoo essere formlmete rppresetti questi dti? Si trovi l previsioe i per il profitto delle due ziede. f() 8 6 g() /9 / 6 8 Soluzioe y L f() umet di 6 per ogi icremeto uitrio dell. I geerle 6. Si trtt di u fuzioe ffie co pedez m6. L itercett y è f(). Quidi, f() 6 +. f() 6 () +. L g() cresce di u fttore moltiplictivo pri per ogi icremeto uitrio. Quidi si trtt di u fuzioe espoezile del tipo g() g() ( ) g() () 5 k co. Si h g()k, quidi Esercizio (ppliczioe coloi di bttèri). U coloi di btteri è compost iizilmete d btteri e l su dimesioe rddoppi ogi ore. Trovte u modello espoezile che esprim l dimesioe dell coloi come fuzioe del tempo t i ore, e utilizzte il modello per predire quti btteri vi sro dopo gioro. Soluzioe. B ( t) B ( t + ) B( t) t k t + k k t 59

62 Mtemtic. Cpitolo : fuzioi reli di u vribile rele e ppliczioi B ( t) B () t t ( ) ( ) / ( ) 56 Esercizio 5 (ppliczioe tsso lcolico). Dopo diversi drik il tsso lcolico del sgue di u perso è. mg\dl. Se l qutità di lcool el sgue dimiuisce espoezilmete riducedosi di u qurto ogi or, qul è il tsso lcolico del sgue dell perso dopo ore? Soluzioe. A(t)qutità di lcool el sgue dopo t ore t t A ( t) k( ) A ( ) k. A ( t).( ) A ().( ). 685 Esercizio 6 (ppliczioe decdimeto rdiottivo). Il crboio-, u isotopo rdiottivo del crboio, è utilizzto per clcolre l età dei reperti rcheologici. Esso decde trsformdosi i zoto: l qutità di crboio- rimete i u cmpioe che i origie e coteev k grmmi, è dt d t C ( t) k( ) dove t è il tempo i i. Recetemete è stt scopert u pit coteete.5 grmmi di crboio- e co u età di 5 i. Quto crboio- coteev i origie l pit? Soluzioe. C(5).5 per cui k ( ) 5. 5 d cui k. kc() Esercizio 7 (ppliczioe decdimeto rdiottivo). Il peso del crboio- che rime i u cmpioe che iizilmete pesv k grmmi è dto d t C ( t) k( ) dove t è il tempo i i. Trovte il tempo di dimezzmeto, ovvero il tempo perché metà del crboio- di u cmpioe decd. Soluzioe. d cui.5k C( t) k( ) log t. i circ. t.5 ( ) e quidi 578 t 6

63 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile CAPITOLO LIMITI. CONTINUITA. ASINTOTI. ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE.. LIMITE DI UNA FUNZIONE Si cosideri l fuzioe f()+. Cos ccde f() qudo si vvici (tede)? tede d siistr tede d destr f() Il vlore cui tede f() qudo si vvici, si d destr che d siistr, è 5. Questo vlore è detto limite di f() per che tede. Si scrive lim f ( ) 5 Alogmete, che se l fuzioe 8 f ( ) o esiste i, qudo si h tede d siistr tede d destr f() o defiito e pertto lim DEFINIZIONE. Si dice che R è puto di ccumulzioe per u isieme R se i ogi itoro di esiste lmeo u elemeto di A diverso d. Ossi: è u puto di ccumulzioe per u isieme A se esistoo puti di A vicii quto si vuole. 6

64 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esempio Il umero 6 è puto di ccumulzioe per l isieme dei umeri reli, perché i ogi itoro di 6 esiste lmeo u umero rele diverso d 6. Esso o è però puto di ccumulzioe per l isieme dei umeri turli, perché, d esempio, l itoro (5.5, 6.5) o cotiee essu umero turle diverso d 6. L ozioe di puto di ccumulzioe si estede che + e - (che o soo umeri reli). I ogi itoro di + e i ogi itoro di - esiste lmeo u elemeto di R perché e esistoo sempre ifiiti, quidi essi soo puti di ccumulzioe per R. Ricordimo che e che I ε (l) ( l ε, l + ε) e I ) ( δ, ) c I ( l) c l < ε δ ( + δ l ε < c < l ε + ε DEFINIZIONE. Si f u fuzioe defiit ell isieme R +, si u puto di ccumulzioe per A. Si dice che f h come limite l R + per che tede, e si scrive lim f ( ) l se per ogi itoro I (l) si può determire i corrispodez u itoro I δ ) tle ε che risulti f ( ) I ε ( l) per tutti gli distiti d e pprteeti I δ ( ). ( INTUITIVAMENTE : f() ssume vlori prossimi l quto si vuole i corrispodez di tutti gli bbstz vicii δ 5 lim f ( ) l R + A secod che ted d u umero rele oppure ted + oppure ted e che l si u umero rele oppure si l + oppure si l, l defiizioe di limite si crtterizz ei segueti ove csi. 6

65 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile DEFINIZIONE. Si f u fuzioe defiit ell isieme h come limite il umero rele l per che tede, e si scrive lim f ( ) l se per ogi ε > esiste > A R e si u puto di ccumulzioe per A. Si dice che f A I I ( ),, si h f ( ) l < ε. δ tle che per ogi δ DEFINIZIONE. Si f u fuzioe defiit ell isieme h come limite + per che tede, e si scrive lim f ( ) + se per ogi M > esiste ) DEFINIZIONE. Si f u fuzioe defiit ell isieme h come limite I M ( tle che per ogi A I ( ), M A R e si u puto di ccumulzioe per A. Si dice che f I, si h f () > M. A R e si u puto di ccumulzioe per A. Si dice che f per che tede, e si scrive lim f ( ) se per ogi M > esiste ) I M ( tle che per ogi A I ( ), M DEFINIZIONE. Si f u fuzioe defiit ell isieme che tede +, e si scrive. I, si h f () < M A R. Si dice che f h come limite il umero rele l per lim + f ( ) l se per ogi ε > esiste I (+ ) tle che per ogi AI I (+ ), si h f ( ) l < ε. DEFINIZIONE 5. Si f u fuzioe defiit ell isieme +, e si scrive ε lim + ε A R. Si dice che f h come limite f ( ) + se per ogi M > esiste I (+ ) tle che per ogi A I I (+ ), si h f ( ) > M. DEFINIZIONE 6. Si f u fuzioe defiit ell isieme +, e si scrive M lim + M A R. Si dice che f h come limite f ( ) se per ogi M > esiste I (+ M ) tle che per ogi A I I (+ M ), si h f ( ) < M DEFINIZIONE 7. Si f u fuzioe defiit ell isieme che tede, e si scrive + per che tede per che tede. A R. Si dice che f h come limite il umero rele l per lim f ( ) l se per ogi ε > esiste I ( ) tle che per ogi AI I ( ), si h f ( ) l < ε. DEFINIZIONE 8. Si f u fuzioe defiit ell isieme, e si scrive ε lim ε A R. Si dice che f h come limite f ( ) + se per ogi M > esiste I ( M ) tle che per ogi A I I ( M ), si h f ( ) > M. DEFINIZIONE 9. Si f u fuzioe defiit ell isieme, e si scrive lim A R. Si dice che f h come limite f ( ) se per ogi M > esiste I ( ) tle che per ogi A I I ( M ), si h f ( ) < M M + per che tede per che tede. 6

66 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Nell ricerc del limite, si possoo duque presetre le segueti situzioi: il limite esiste ed è fiito (l fuzioe è covergete) il limite esiste ed è + oppure (l fuzioe è divergete) il limite o esiste (l fuzioe è idetermit) Sez dre dimostrzioe, riportimo i pricipli teoremi sui limiti. Teorem Se il limite esiste, esso è uico. Teorem (teorem dell permez del sego) Se il limite di u fuzioe per che tede, è u umero rele l, llor esiste u itoro I ( ) di (escluso l più ) i cui f() e l soo etrmbi positivi o etrmbi egtivi. Ossi: se per l fuzioe tede u umero positivo, llor esiste u itoro di dove l fuzioe ssume sempre vlori positivi. (Alogmete per l < esiste u itoro di dove l fuzioe ssume sempre vlori egtivi). Teorem (teorem del cofroto) Sio h(), f(), g() tre fuzioi defiite ello stesso domiio R escluso l più. Se i ogi puto, A si h h( ) f ( ) g( ) e limh( ) limg( ) l, llor lim f ( ) l. Se si cosider solo u itoro destro o u itoro siistro di, llor si prl rispettivmete di limite destr e di limite siistr di le cui defiizioi si ottegoo dll defiizioe di limite impoedo l restrizioe > (per il limite destro) e < (per il limite siistro) e si uso i simboli Il lim f ( ) lim + f ( ) lim f ( ) esiste se esistoo i limiti destro e siistro e questi soo uguli: lim + f ( ) lim f ( ) lim f ( ) Esempio. Si cosideri l fuzioe: 6

67 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Risult lim f ( ) + + > f ( ) < lim( + ) 5, lim f ( ) lim + o esiste lim f ( ). y 5. FUNZIONI CONTINUE L esempio sopr riportto iut d itrodurre ed illustrre u prim ppliczioe del cocetto di limite. DEFINIZIONE. Si dice che u fuzioe f() è cotiu el puto del suo domiio se lim f ( ) f ( ). Ituitivmete. U fuzioe è cotiu i u itervllo [, b], se i questo itervllo il grfico dell fuzioe o preset buchi o slti. Esempio L seguete fuzioe è o cotiu el puto m cotiu per. f() se se < y 65

68 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esempio.L fuzioe f() + 5 se se è cotiu per m discotiu i. y 5 Esempio. Le fuzioi elemetri cosiderte el loro cmpo di esistez soo fuzioi cotiue. Esempio. L fuzioe f ( ) è cotiu el puto perché lim f ( ) lim lim( ) 6 8 f () L fuzioe è discotiu i? No, l fuzioe i o è defiit. TEOREMA (di B. Bolzo). U fuzioe f() defiit e mooto i u itervllo chiuso [, b], che ssume tutti i vlori compresi tr f() ed f(b), è cotiu i [, b]. 66

69 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile. CALCOLO DEI LIMITI Per clcolre il limite di u fuzioe, di orm, o si utilizz l defiizioe di limite m si pplico teoremi opertivi. Vlgoo iftti le segueti uguglize (sempre che esisto i limiti idicti ei secodi membri e l ugugliz o perd di sigificto). ) lim ( f ( ) + g( )) lim f ( ) + limg( ) ) lim λ f ( ) λ lim f ( ) ) limf ( ) g( ) lim f ( ) limg( ) ) f ( ) lim f ( ) lim g( ) limg( ) 5) lim (()) lim (), cotiu. lim!(())! lim () lim "() # lim () 6) lim () $() %lim ()& '() * * $() lim + $() ', -() + '() * *[$() ', -()] lim + $() + '() * * $() Regole opertive Per clcolre il limite di u fuzioe f, ell espressioe litic di f(), ll vribile si sostituisce il vlore cui tede e si esegue il clcolo. E pertto ecessrio estedere le usuli operzioi defiite ell isieme R, ll isieme R dei umeri reli cui soo stti ggiuti + e. L estesioe delle operzioi R è così defiit (il sego di ifiito è determito co l usule regol dei segi). 67

70 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile k k R : + ± k +, k + +,,, ± k, k, k k R, k : k k k,,, ( ± ) ( ± ), (+ ) +, (+ ). M si possoo presetre che i segueti csi : +, +,,,,,, detti forme idetermite perché o si può dire ull sul risultto, per determire quto vlgoo si deve procedere cso per cso (vedremo qulche esempio). Attezioe che è form idetermit solo qudo l bse idic u qutità che tede, se l bse è costte, l qutità o è u form idetermit perché + e. ESEMPI di clcolo di limiti Esempio. lim + lim + lim Esempio. lime + + lim e + + lim + e Esempio. lim ( + ) lim + lim + Esempio. lim 5 5 lim 5 5 Esempio 5. lim + lim + lim

71 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esempio 6. Esempio 7. lim 68 9:; lim + D u certo puto i poi, + < + e pertto lim + lim ( ) ( ) + Esempio 8. Esempio 9. Esempio. lim ; +? 6 + '()? 6 + 9; lim l( 5)? 6 l[ lim ( 5)? 6 ] l(+ ) + lim ( + )? lim +? ',(E) + * 7F '() (? ',(E)) + + Esempio. lim H + H lim ( + ) Clcolo di Forme Idetermite Se el clcolre il limite di u fuzioe si ottiee u form idetermit, occorre cercre u rtificio che permett di superre l form idetermit. Come vedremo, i prticolri csi esistoo rtifici stdrd e/o teoremi che iuto superre le forme idetermite. Esempio lim J 9 9 K E E + E + E E E + E M + E + N E E E + + # + lim E + + # + 6 E + 69

72 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Ifiiti e Ifiitesimi Se lim f ( ) l fuzioe f si dice u ifiito. Se lim f ( ) l fuzioe f si dice u ifiitesimo. Spesso le forme idetermite che si icotro coivolgoo fuzioi il cui limite è oppure. Per risolvere queste forme idetermite è molto utile cosiderre l velocità co cui le fuzioi tedoo oppure. Ad esempio per + l fuzioe () E v + più velocemete dell fuzioe () 6 e pertto se dovessimo clcolre lim + +, vice () E e quidi lim metre lim + +. Qudo per + cosiderimo l fuzioe potez () O P!Q Q N, l fuzioe logritmo ()! T P!Q U >, e l fuzioe espoezile () U, U >, si dimostr che vlgoo le segueti gerrchie. ) I u fuzioe poliomile il termie più veloce è quello di grdo mssimo e quidi bst cosiderre questo termie. ) L fuzioe potez è più veloce dell fuzioe logritmo (Q, W N, U > ) b lim + + b (log ), (log ) lim +. ) L fuzioe espoezile è più veloce dell fuzioe potez (Q N, U > ) lim +, lim. + + I sitesi: l espoezile (co bse mggiore di ) è più veloce dell potez (co espoete positivo) l qule è più veloce del logritmo (co bse mggiore di ). Queste gerrchie permettoo di risolvere subito lcue forme idetermite. 7

73 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esempio. 5 + lim lim Esempio. lim lim lim Esempio. + l lim e + l + lim + e Limiti delle fuzioi poliomili per X ± I u poliomio il termie più veloce è quello di grdo mssimo, perché lim (U Y + U 9 Y9 + + U Y ) U Y + U 9 Y9 + + U Y Y (U + U U Y Y) lim Y (U + U U Y Y) Y (U ) Per clcolre il lim delle fuzioi poliomili itere e frtte, bst pertto cosiderre il termie di grdo mssimo dei poliomi. Risult: + ) se > r r lim ( L r + se < se si procede i modo logo teedo coto dell regol dei segi. lim + r + b s + b r s + L + + L + b r s + b se se se se r > s r > s r s r < s e e b b > < se si procede i modo logo teedo coto dell regol dei segi. 7

74 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esempio. Il seguete limite risult u form idetermit. m lim lim lim lim Esempio. lim Esempio. Esempio. Esempio lim lim lim 5-5 Esempio lim Limiti otevoli Qudo el clcolre il limite di u fuzioe si ottiee u form idetermit, u rtificio è quello di riportre il clcolo del limite l clcolo di u limite già oto. Per questo soo fodmetli lcui limiti detti limiti otevoli; ricordimoe lcui: lim + e, + lim + e, lim l + se, lim Esempio. + lim + + lim e e

75 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esempio. Clcolre lim Poedo t +, si h t + per + e pertto t + + lim + e, lim + e. t + t + + Esempio. Clcolre lim. + Si h lim + + lim Poedo t ( +), si h t + per e pertto lim + t + t t t lim t + t + (+ t ) t + lim t + t t+ lim + + t + t t t e e. Esempio. Clcolre lim ( + ). t Poedo t si ottiee lim ( + ) e. ± t Esempio 5. Clcolre log( + ) lim. log ( + ) lim lim log ( + ) log lim( + ) l( + ) i prticolre per U +, lim. \ log e l Esempio 6. Clcolre tg lim. tg lim lim si cos si lim lim cos. 7

76 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile cos Esempio 7. Clcolre lim. ( cos ) ( + cos ) ( + cos ) ( cos ) cos si lim lim lim lim ( + cos ) ( + ) cos si lim lim + cos si lim lim + cos.. ASINTOTI Nello studio delle fuzioi elemetri si è osservto che lcue di esse ho u grfico che si vvici ifiitmete d u o più rette. Le rette che, rispetto l grfico di u fuzioe, ho u comportmeto di questo tipo soo dette sitoti e poiché soo rette possoo risultre verticli, orizzotli, oblique. L rett è u sitoto verticle se lim f ( ) ± sitoto verticle destro se lim f ( ) ± + sitoto verticle siistro se lim f ( ) ± L rett rett [h è u sitoto orizzotle se lim () h R sitoto orizzotle destro se lim () h R sitoto orizzotle siistro se lim () h R L rett y m + q è u sitoto obliquo se esistoo ], ^ R tli che f ( ) m lim, q lim ( f ( ) m ). f ( ) sitoto obliquo destr se m lim, q lim ( f ( ) m ) + + f ( ) sitoto obliquo siistr se m lim, q lim ( f ( ) m ) NOTA Si l sitoto orizzotle che l sitoto obliquo possoo esistere solo dove il domiio v + oppure e pertto dove si trov u sitoto orizzotle è iutile cercre u sitoto obliquo. L sitoto verticle v cercto egli evetuli puti di ccumulzioe i cui l fuzioe o è defiit. 7

77 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esempio Poichè lim m 6 5 l rett y è u sitoto orizzotle destro e siistro per l fuzioe () _ `6 6 _ ` Esempio. Poiché limlog log + l rett è u sitoto verticle per l fuzioe f ( ) log. Grfico di f ( ) log Esercizio. fuzioe Si verifichi l esistez di evetuli sitoti orizzotli e verticli per l f ( ) ( )( + + ) Soluzioe Il cmpo di esistez dell fuzioe è (, ) (, + ). + + lim lim ± ± + + l rett y è sitoto orizzotle destro e siistro. L rett è sitoto verticle destro e siistro perché U Poiché lim ( ) ( + ), lim ( ) ( ) +. 75

78 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esercizio. Determire gli evetuli sitoti dell fuzioe f ( ) Soluzioe Il cmpo di esistez dell fuzioe è (, ) U (, + ) U ( +, + ). lim +, lim + llor l rett è sitoto verticle destro e siistro. lim + +, lim llor l rett è sitoto verticle destro e siistro. lim + +, lim + llor l rett [ è sitoto orizzotle destro e siistro. Poiché c è u sitoto orizzotle si destr che siistr, o possoo esserci sitoti obliqui. Esercizio 5. Determire gli evetuli sitoti dell fuzioe f ( ) Soluzioe Il cmpo di esistez dell fuzioe è (, ) U (, + ) U ( +, + ). lim + +, lim llor l rett è sitoto verticle destro e siistro. lim + +, lim llor l rett [ è sitoto orizzotle destro e siistro. ( ) lim lim + + ( + )( ) ( ), lim lim ( + )( ) llor i o c è u sitoto, è solo u puto di discotiuità. Esercizio 6. Determire gli evetuli sitoti dell fuzioe 76

79 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile 8 f ( ) Soluzioe Il cmpo di esistez dell fuzioe è (, ) U (, + ) U ( +, + ). 8 lim + 8, lim + llor i sitoto verticle destro e siistro. 8 lim + 8, lim + llor i sitoto verticle destro e siistro. 8 lim + + obliqui: llor destr o ci soo sitoti orizzotli, cerco 8 lim + ( ) 8, lim + llor [ è sitoto obliquo destr. 8 lim obliqui: llor siistr o ci soo sitoti orizzotli, cerco 8 lim ( ) 8, lim llor [ è sitoto obliquo siistr. 77

80 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile.5 DERIVATA DI UNA FUNZIONE Nello studio di u fuzioe rele di vribile rele h prticolre importz il rpporto y icremetle, detto che tsso medio di vrizioe, perché idic quto vri l y l vrire di. Se y f () idic l fuzioe e h l icremeto che si dà ll vribile idipedete el puto risult y f( + h) f( ) h. Se cosiderimo il cso più semplice di fuzioe, ossi le fuzioi lieri, come bbimo dimostrto el Cpitolo, per esse il rpporto icremetle rime costte ossi è idipedete si dl puto dove si clcol l vrizioe di si dl vlore dell icremeto h. I prticolre si è dimostrto che per f() m + q risult y m tg α dove α è l golo che l rett grfico dell fuzioe form co l sse positivo delle scisse. Se ziché u fuzioe liere si cosider u geeric fuzioe y f () defiit i y [,b], il rpporto o è più costte m dipede dl puto i cui si clcol e dll y mpiezz dell icremeto. Rime però molto stretto il legme tr, clcolto i prossimità di, e l rett tgete i ll curv grfico dell fuzioe. Pesimo di esmire molto d vicio, o co u lete di igrdimeto, il grfico dell fuzioe f() i prossimità del puto P( ; f ( )) : f() f( +h) f( ) P Q +h Se d si dà u icremeto h, rime determito il puto Q( + h; f ( + h)) e l pedez (o coefficiete golre) dell rett PQ è m f( + h) f( ) y ( + h) Rimpiccioledo sempre più l icremeto, il puto Q si vvici sempre di più l puto P e l rett PQ viee sovrpporsi ll rett tgete l grfico i P. Duque 78

81 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile qudo divet piccolissimo (ossi qudo h ), il rpporto misur m dell pedez dell tgete l grfico i P. y pprossim l Prim dell fodmetle prossim defiizioe, ricordimo che le segueti scritture soo tutte equivleti: b -()-( ) -( $)-( ) $ (co h ) DEFINIZIONE. U fuzioe: (U, W) R si dice derivbile i (, b) se esiste, fiito, il limite f ( ) f ( lim ) Tle limite si chim derivt di f i e si idic co f ( ). I modo equivlete, l derivt può essere defiit d u puto di vist geometrico. DEFINIZIONE. U fuzioe : R, itervllo perto di R, si dice derivbile i X g se el puto (, ( )) del suo grfico esiste l rett tgete e quest h pedez ] R. Il umero ] si dice derivt di i e si idic co f ( ). U fuzioe o è derivbile i se il grfico dell fuzioe i o h tgete (fig., puto goloso); h tgete u rett di equzioe k (fig., cuspide) f() f() fig. fig. I questi due csi il limite del rpporto icremetle o esiste (puto goloso) oppure è ± (puto cuspide). 79

82 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Se esiste fiito il limite destro (rispettivmete siistro), si dice che l fuzioe è derivbile destr (rispettivmete siistr) e si prl di derivt destr (rispettivmete siistr): f ( ) f ( lim ) f ( ) f ( lim ) + Ovvimete, u fuzioe è derivbile se e solo se esistoo fiiti i limiti destro e siistro e questi soo uguli: f ( ) f ( ) L derivt destr e l derivt siistr rppreseto evidetemete l pedez dell rett tgete destr e siistr el puto P(, f( )). Alizzimo il seguete grfico I l fuzioe o è derivbile perché esiste solo l derivt destr: f () <. -( I l fuzioe o è derivbile perché lim $)-( ) $. Risult f ( 9 ) >, f ( 6 ), f ( E ) < perché le tgeti ho, rispettivmete, pedez positiv, ull, egtiv. I ; l fuzioe o è derivbile perché f ( ; ) <, f ( ; ) >. I ` l fuzioe o è derivbile siistr f (`). $ 8

83 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile DEFINIZIONE. U fuzioe si dice derivbile ell itervllo (i,j) (può essere tutto R) se è derivbile i ogi puto dell itervllo. L derivt (o derivt prim) si idic co: f df ( ) '( ), Df ( ),, d df d Se f è derivbile i ogi puto di A, llor si può cosiderre l fuzioe derivt f : A R che d ogi A ssoci f ' ( ), quest fuzioe può essere, oppure o, derivbile. Se i l fuzioe f ' è derivbile, l su derivt (f ' )' si chim derivt secod dell f clcolt i e si idic co f ' ( ). Alogmete si può defiire f ' ' ( ) e così vi. ' Rissumedo ' L derivt di u fuzioe i u puto. è il limite del rpporto icremetle di qudo l icremeto h tede zero ;. rppreset il tsso di vrizioe istteo di el puto ;. esprime l pedez dell rett tgete l grfico di el puto..6 DERIVATA DELLE FUNZIONI ELEMENTARI. REGOLE DI CALCOLO DELLE DERIVATE Si : R R, () P, P R, u fuzioe costte. Allor f (), iftti: f '( ) lim h f ( + h) h f ( ) c c lim h h lim h Si : R R, () 6. Allor f (), iftti: f () lim h ( + h) () h ( + h) 6 6 lim h h lim h h 6 + h h lim h (h + ) 8

84 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Si dimostr che le fuzioi elemetri mmettoo l derivt i ogi puto del loro cmpo di esistez, f eccezioe l fuzioe vlore ssoluto per l qule deve essere. Tbell delle derivte delle fuzioi elemetri fuzioe f () derivt f '( ) f ( ) c, c R f ' ( ) f ( ), Q f ( ), R f ' ( ) f ' ( ) ( ), > f f ' ( ) l f ( ) e f( ) log, R f( ) l f( ) si f ' ( ) e f ' ( ) log f '( ) f' ( ) cos e f( ) cos f( ) tg f( ) rctg f' ( ) si f' ( ) cos f' ( ) + Esempi.. () 9 h come derivt f (). () E h come derivt f () 6. ()? 8 h come derivt f () 6 E o 8. () ` h come derivt f () 5 : 5. () 7 h come derivt f () 7 Q 7 6. ()! E h come derivt f () 9! E+ 9 qoe 8

85 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile I seguito, se o è specifictmete richiesto verrà clcolt l derivt formle dell f (), trlscido l ricerc degli evetuli puti del cmpo di esistez di f () i cui l fuzioe o è derivbile. REGOLE DI DERIVAZIONE Regol. Se f e g soo due fuzioi derivbili i u puto, llor soo derivbili i che l loro somm, il loro prodotto e il loro quoziete (purché il deomitore si diverso d zero). Vlgoo le segueti regole di clcolo:. ( f + g)'( ) f '( ) + g'( ). ( f g)'( ) f '( ) g' ( ). ( f g)'( ) f '( ) g( ) + f ( ) g' ( ). f g ' ( ) f '( ) g( ) f ( ) g'( ) g( ), g ( ). 5. P) f () P f (), P R Esempi. ) () 9 6 E + h come derivt f () b) () h come derivt f () 7 6 c) () 6 Q h come derivt f () Q d) () 8 69 h come derivt f () (E? 6)? ( 8 69)6 8 66? (? )? 8 e) () 7 E h come derivt f () 7 6 8

86 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Regol. DERIVATA dell FUNZIONE COMPOSTA Se g è u fuzioe derivbile i e se f è u fuzioe derivbile el puto g(), llor l fuzioe compost f o g è derivbile i e si h : ( g( ) ) g'( ) ( f o g)'( ) f ' I prticolre risult : t s "() O s Q () f () () s () O Q() O9 f () s () O u Q ] ()O u 9 f () Esempi. ) h ( ) + h come derivt h'( ). + b) h() l ( + ) h come derivt h '( ) (6 + ) + c) d) h() ( + 5 ) h come derivt h '( ) ( + 5) (6 + ) h ( ) l h come derivt h' ( ) e) h( ) l h come derivt h' ( ) l Per l Regol. si h : ( w) () yzw(){ f zw(){ w f () Esempio. h() "l( 6 + ) h f () "l( 6 + ) 6 ( + ) + 8

87 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esempio. t) l E ~ f () E E (; ) ; E Regol. - Se f e g soo fuzioi derivbili i e f è u fuzioe positiv, si h : D f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) g'( ) l f ( ) + g( ) f '( ) f ( ) quest ugugliz è otteut ricorddo che g( ) g( )l f ( ) f ( ) e. I prticolre si h D D e g( ) g ( ) e g ( ) l g'( ), U R g( ) g'( ) Esempi.. ( ) h come derivt h' ( ) l + (l + ) h.. h( ) + + e h come derivt h'( ) e ( + ) + + h ( ) h come derivt h '( ) l PRIME APPLICAZIONI dell DERIVATA.7 TEOREMI di de L Hôpitl Lo strumeto derivt forisce utili teoremi per clcolre limiti che si preseto ell form idetermit oppure. A completmeto di quto presetto per il clcolo dei limiti, riportimo i teoremi di de L Hôpitl (66-7). 85

88 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile TEOREMA. Sio f() e g() due fuzioi derivbili i u itoro di, dove è u umero rele oppure che ( ) e si h ±, e sio tli che lim f ( ) lim g( ). Suppoimo ioltre g per vicio d. Se esiste f lim g ( ) ( ) lim ( ) ( ) f lim llor esiste che g f g ( ) ( ) f lim g ( ) ( ) TEOREMA. Sio f() e g() due fuzioi derivbili i u itoro di, dove è u umero rele oppure che ( ) si h ±, e sio tli che lim f ( ) lim g( ) ±. Suppoimo ioltre g per vicio d. Se esiste ( ) ( ) ( ) ( ) f lim llor esiste che lim g ( ) ( ) f f lim lim. g g f g ( ) ( ) e e Esercizio. Clcolre, se esiste, lim. + g, Soluzioe Simo ell form idetermit, le fuzioi soo derivbili e ( ) quidi possimo pplicre il teorem di de L Hôpitl. Otteimo f lim + g e quidi che il limite dell fuzioe dt esiste e si h lim. ( ) ( ) e lim + Esercizio. Clcolre, se esiste, lim. - g, Soluzioe Simo ell form idetermit, le fuzioi soo derivbili e ( ) quidi possimo pplicre il teorem di de L Hôpitl. Otteimo quidi che il limite dell fuzioe dt esiste e si h lim. - f lim g ( ) ( ) lim - 86

89 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile Esercizio. Clcolre, se esiste, log lim. + g, Soluzioe Simo ell form idetermit, le fuzioi soo derivbili e ( ) quidi possimo pplicre il teorem di L Hôpitl. Otteimo log quidi che il limite dell fuzioe dt esiste e si h lim. + f lim + g ( ) ( ) lim +.8 DERIVABILITA e CONTINUITA TEOREMA. l fuzioe è cotiu. Se u fuzioe è derivbile el puto, llor i questo puto f( ) f( ) Dimostrzioe - Per risult f( ) f( ) ( ) e pertto f ( ) f ( ) lim( f ( ) f ( )) lim ( ) f '( ) lim f( ) lim f( ) f( ) ATTENZIONE - Il vicevers del teorem o vle, ossi se u fuzioe è cotiu el puto o è detto che i si che derivbile (esempio ei puti golosi e cuspidi)..9 EQUAZIONE dell RETTA TANGENTE i (X g ; (X g )) Si f() u fuzioe derivbile i ogi puto dell itervllo perto A e si ƒ( ; ( )) u puto del suo grfico. Ricorddo che l equzioe dell geeric rett per P co pedez m R è [ [ ]( ) e che ] f ( ), l equzioe dell rett tgete l grfico di f el puto ƒ( ; ( )) è 87

90 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile [ ( ) + f ( )( ) Esercizio. Scrivere l equzioe dell rett tgete ll curv di equzioe [ el puto di sciss. Soluzioe L curv è il grfico dell fuzioe () 6 + 7, e quidi l equzioe dell rett tgete i P(; f()) è [ () + () ( ). Poiché () 6 risult () ed essedo () 5, l rett tgete cerct h equzioe: [ 5 + ( ) 5 +. Esercizio. Scrivere l equzioe dell rett tgete ll curv di equzioe y e + el puto di sciss. Soluzioe L curv è il grfico dell fuzioe f() e +, e quidi l equzioe dell rett tgete i P(; f()) è y f() + f () ( ). Poiché f () e + risult f () e 7 ed essedo f() e 7, l rett tgete cerct h equzioe: y e 7 5e 7. Esercizio. Scrivere l equzioe dell rett tgete ll curv di equzioe y + l el puto di sciss. Soluzioe L curv è il grfico dell fuzioe f() + l, e quidi l equzioe dell rett tgete i P(; f()) è y f() f () ( ). Poiché f ( ) + risult f ( ) ed essedo f(), l rett tgete cerct h equzioe: y. L rett tgete gioc u ruolo importte ello studio dell fuzioe che descrive u determito feomeo. M o solo, iftti dimo u esempio umerico di utilizzo dell equzioe dell rett tgete, esmido u problem di clcolo pprossimto dei vlori di u fuzioe. Normlmete o è immedito il clcolo del vlore umerico di u fuzioe i u puto. Ad esempio, è fcile clcolre i vlori umerici dell fuzioe solo per prticolri vlori dell. Al f() cotrrio, è sempre R elemetre clcolre i vlori f( ) + f ( ) ( ) T umerici delle fuzioi f( y m + q, che ho per ) P S grfico u rett. L ide è 88 quell di sostituire u fuzioe dt, co l equzioe dell su rett tgete i u puto di sciss, co vicio l puto i cui si vuole clcolre l fuzioe. Dll figur si ituisce l errore che si commette qudo el pssre d + h ziché l fuzioe si cosider l tgete i, Questo errore è rppresetto dl segmeto

91 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile RT ed è tto più piccolo quto più è vicio ll sciss del puto di tgez. Cioè l qutità f( ) + f ' ( ) ( ) rppreset u pprossimzioe di f(), tto migliore quto più è vicio d ; scriveremo () ( ) + f ( )( ) per ( + h) ( ) + f ( ) h per h (h ) Segue che l differez tr primo e secodo membro tede zero qudo tede zero l icremeto dto. Cioè, l rett tgete rppreset u buo pprossimzioe dell fuzioe el puto se il puto è sufficietemete vicio. Il termie f ( ) h si chim differezile (primo) dell fuzioe i reltivo ll icremeto h. Il differezile rppreset l icremeto dell [ qudo el pssre d + h ziché l fuzioe si cosider l tgete i, i figur è rppresetto dl segmeto TS. Il differezile di u fuzioe () si idic co () f ()ˆ oppure () f (). ESERCIZI. Clcolre l derivt prim delle segueti fuzioi pplicdo le regole di derivzioe ) f() + l b) f() l c) + + f() d) f() e) f( ) l ( ) f) f() e g) f( ) h) l f() ( + 7) i) f() l l) f() ( + ) m) f( ) (l ) ) f() + o) f() l ( l ( + 7 )) og p) f()

92 Mtemtic. Cpitolo : elemeti di clcolo differezile. Sio f() e g() due fuzioi d R i R veti le derivte prime uguli. Questo ftto è sufficiete per ffermre che f() è ugule g()?. Si cosideri l fuzioe f : R R defiit d f() + ; si determii per quli vlori di ess o è derivbile.. Trovre l equzioe dell rett tgete ll curv grfico dell fuzioe f() el puto di sciss. Soluzioe f (), d cui f (). Essedo f(), si h l espressioe dell rett tgete: y f() + f ()( ) + ( ) Trovre i puti i cui l tgete ll curv di equzioe f ( ) h pedez ugule. Soluzioe L pedez dell rett tgete è l derivt dell fuzioe, quidi deve essere f ( + ) (). Si h, quidi f '( ) se e solo se, cioè oppure 6. Trovre i puti i cui l tgete ll curv di equzioe f ( ) è perpedicolre ll rett di equzioe y +. Soluzioe I puti richiesti soo quelli i cui l tgete h pedez e pertto soo i puti di sciss tli che f 6 () d cui (6)? e pertto soo i puti co Trovre l equzioe dell rett tgete ll curv grfico dell fuzioe f ( ) el puto di sciss. Soluzioe ( ) () f '( ) quidi f '(). 565, d cui ( ) ( ) ( ) 6 y f ( ) + f '()( ).565( ) Trovre gli evetuli puti i cui l tgete l grfico dell fuzioe f ( ) h pedez zero o pedez positiv. Soluzioe No esistoo di questi puti perché l derivt dell fuzioe è sempre egtiv. 9

93 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile CAPITOLO APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Studio del grfico di u fuzioe rele d u vribile rele L uso delle derivte cosete l idividuzioe di lgoritmi che permettoo di risolvere problemi mtemtici. I prticolre gli lgoritmi che verro qui presetti, soo molto utili qudo si vuole studire l dmeto di u fuzioe e trccire il grfico.. FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI Per le sue importti cosegueze riportimo il seguete Teorem di Lgrge oto che come teorem del vlor medio: TEOREMA DI LAGRANGE. Si f() u fuzioe cotiu i [, b] e derivbile i (, b). Esiste lmeo u puto (, ) per cui ( ) () () D u puto di vist geometrico, il Teorem di Lgrge fferm che, per u fuzioe f() cotiu i [, b] e derivbile i (, b), esiste u puto (, b) i cui l rett tgete è prllel ll cord di estremi i puti (, f()) e (b, f(b)). Si ricordi che il coefficiete golre dell rett tgete i è ( ), metre il coefficiete golre dell cord è y ()(). b U importte coseguez del Teorem di Lgrge è il seguete criterio di mootoi. Esso stbilisce il legme fr il sego dell derivt prim di u fuzioe e l crescez o decrescez dell fuzioe. 9

94 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile Criterio di mootoi Si f() u fuzioe derivbile i (, b). f() è crescete i [, b] f () per ogi (, b) f() è decrescete i [, b] f () per ogi (, b) f() è costte i (, b) f () per ogi (, b) Qule esempio, dimostrimo l prim e l terz ffermzioe. Dimostrzioe prim ffermzioe () codizioe ecessri: ( è () ) Se è crescete, per ogi, (,) (si el cso < che el cso <) si h () ( ) f ( ) f ( ) llor per il Teorem dell permez del sego, lim ( ). (b) codizioe sufficiete: ( () è ) Si () per ogi (,). Comuque presi <! (,), per il Teorem di Lgrge esiste lmeo (,! ) tle che ( ) (!) ( )! e poiché! >, si h (! ) ( ) d cui ( ) (! ) e pertto l fuzioe è crescete.. Dimostrzioe terz ffermzioe () Codizioe ecessri: ( è % ()) Si () &. Allor, per ogi (, b) si h (+h) () && ()lim lim lim * h * h * (b) Codizioe sufficiete : ( () è %) Si () ell itervllo (, b). Comuque presi,! (,), <!, per il Teorem di Lgrge esiste lmeo (,! ) tle che ( ) (!) ( )! e poiché per ipotesi ( ), si h (! ) ( ), ( ) (! ) e pertto l fuzioe è costte. 9

95 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile NOTA Si presti ttezioe l ftto che si prl di derivt ull o i u puto m i tutto u itervllo (, b). Solo i tl cso l fuzioe è costte i tutto (, b). U fuzioe strettmete mooto su u itervllo [, b] e derivbile i (, b), può che vere derivt ull i qulche puto di (, b) m o su tutto u itervllo coteuto i (, b). Ad esempio l fuzioe f() è strettmete crescete su tutto R e h derivt ull i U fuzioe strettmete mooto su u itervllo [, b] e derivbile i (, b), può che vere derivt ull i qulche puto di (, b) m o su tutto u itervllo coteuto i (, b). Ad esempio l fuzioe f() è strettmete crescete su tutto R e h derivt ull i. Esempi.. L fuzioe f() e è strettmete crescete su tutto R perché l su derivt f () e è positiv per ogi R.. L fuzioe f() l è strettmete crescete su tutto il domiio R + perché l su derivt f () / è positiv per ogi R +.. L fuzioe f() h derivt f () che risult positiv per ogi > e egtiv per <. L fuzioe è llor strettmete crescete per > e strettmete decrescete per <.. L fuzioe f() + h derivt f () e risult f () per ogi e e f () per. L fuzioe cosidert è pertto crescete per e e decrescete per. Esercizi. Studire l mootoi delle segueti fuzioi sul proprio cmpo di esistez.. f ( ) Soluzioe Dom f R e risult ()> R. Quidi l fuzioe è strettmete crescete i tutto il suo cmpo di esistez.. f ( ) l + Soluzioe Dom f R + e risult () (l) + > R 6. Quidi l fuzioe è strettmete crescete i tutto il suo cmpo di esistez. 9

96 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile. f ( ) Soluzioe Dom f (,) (, + ) ; f ' ( ) < Domf. ( ) Quidi l fuzioe è strettmete decrescete i oguo dei due itervlli (,) e (, + ). Attezioe che solo co quest specific l rispost è corrett perché se cosiderimo (,) e (, + ), si h < < < < f ( ) < f ( ) Quidi o è corretto dire che l fuzioe è decrescete i tutto il domiio, m si deve dire che è decrescete seprtmete ei suoi itervlli di esistez.. Si studi l mootoi dell seguete fuzioe f ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) + + Soluzioe f '( ) ( + ) ( + ) ( + ) Si h f '( ) se e solo se + + d cui f '( ) Pertto, l fuzioe è crescete i ( 5, + 5) e decrescete i (, 5) e i ( + 5, + ). 5. Si studi l mootoi dell seguete fuzioe () l (! ) Soluzioe Per l esistez deve essere >, llor Dom f (, ) (, + ) f '( ) se e solo se umertore e deomitore ho lo stesso sego. Pertto, l fuzioe è crescete i (, + ) e decrescete i (, ). 6. Determire i vlori di & R per i quli l fmigli di fuzioi f ( ) k + è strettmete decrescete el puto di sciss. Soluzioe f '( ) k, f' () 6k f' () < per k < /. Pertto l fuzioe è strettmete decrescete per & <!. 7. Determire i vlori di & R per i quli l fmigli di fuzioi strettmete crescete el puto di sciss. Soluzioe + k f ( ) è + 9

97 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile ( + )(6 + k) ( + k) f '( ), f '() k f '() > per k >. ( + ) Pertto l fuzioe è strettmete crescete per & >.. MASSIMI e MINIMI DEFINIZIONE. Si :9 R, 9 R, e si 9. Si dice che i l h mssimo ssoluto se () ( ) A miimo ssoluto se () ( ) A Il mssimo M (miimo m) ssoluto di u fuzioe :9 R è duque il mssimo (miimo) dell isieme (9). I simboli: : ; (9), : < %> ; (9) e? ; (9),? < %> ; (9). DEFINIZIONE. Si :9 R, 9 R, e si 9. Si dice che i l h u mssimo reltivo se esiste tle che () ( 9 miimo reltivo se esiste tle che () ( 9 Ossi se esiste u itoro di tle che, per ogi pprteete ll itoro e l domiio dell fuzioe, si bbi () ( ) (mssimo reltivo) oppure () ( ) (miimo reltivo). NOTA - Co l locuzioe >B <C% è C?>?% (?>>?%)" si itede che il mssimo (miimo) si h el puto (, ( )) di cui è l sciss e ( ) è il vlore del mssimo (miimo) Nel cso che il domiio dell fuzioe o si u perto m si u itervllo che iclude lmeo u estremo, ell ricerc dei mssimi e miimi reltivi si cosider che questo estremo. I mssimi e miimi reltivi di u fuzioe soo detti che estremti dell fuzioe o puti di estremo reltivo (o locle). I mssimi e i miimi ssoluti di u fuzioe soo detti che gli estremi dell fuzioe. 95

98 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile Secodo le defiizioi dte, u puto di mssimo (rispettivmete miimo) ssoluto è che u puto di mssimo (rispettivmete miimo) reltivo. I geerle o vle il vicevers, ossi il vlore ssuto dll fuzioe f : A R, A R, i u puto di mssimo o di miimo reltivo, o è ecessrimete il più grde o il più piccolo vlore fr quelli che ess ssume i tutto A, m è soltto il più grde o il più piccolo vlore fr quelli che l fuzioe ssume i u itoro di. Ne segue che l fuzioe può vere più di u mssimo o più di u miimo reltivi, come può che ccdere che u mssimo reltivo si più piccolo di u miimo reltivo. Esempio. Si f : [, 6] R l fuzioe così defiit : se f() se <.5 se < 6 per si h u puto di miimo reltivo i cui l fuzioe ssume il vlore f() per si h u puto di mssimo reltivo i cui l fuzioe ssume il vlore f() per si h u puto di miimo reltivo i cui l fuzioe ssume il vlore f() per 6 si h u puto di mssimo reltivo i cui l fuzioe ssume il vlore f(6) per si h che u puto di miimo ssoluto (il puto P(; )) per 6 si h u puto di mssimo ssoluto (il puto Q(6; )) tutti i puti dell itervllo [, ) soo puti di mssimo reltivo tutti i puti dell itervllo (, ] soo puti di miimo reltivo. f() 5 6 A coclusioe del prgrfo, riportimo, limitdoci ll eucito, due importti teorem. 96

99 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile TEOREMA di Weierstrss Si f() u fuzioe cotiu i u itervllo chiuso e limitto [, b]. Allor l fuzioe i tle itervllo mmette il miimo e il mssimo ssoluti, ossi esistoo, [, b] tli che per ogi [, b] risult f( ) f() f( ). TEOREMA di Drbou dei vlori itermedi Si f() u fuzioe cotiu i u itervllo chiuso e limitto [, b]. Allor l fuzioe ssume, lmeo u volt, tutti i vlori compresi tr il mssimo e il miimo.. MASSIMI E MINIMI RELATIVI Or ci occuperemo dell ricerc dei puti di mssimo e miimo reltivi di u fuzioe defiit i u itervllo [, b] e derivbile i (,). Le cosiderzioi che verro esposte soo vlide per i puti di mssimo e miimo reltivo che cdoo itermete ll itervllo [, b] (ossi (, b)). Se è u puto di mssimo o miimo reltivo i cui, come ipotizzto, l fuzioe è derivbile, l situzioe che si preset geometricmete è rispettivmete rppresett dlle figure sotto riportte Come si vede, l tgete l grfico i è prllel ll sse delle, ossi è u rett co pedez ull, ossi f ( ). Quest proprietà è espress dl seguete teorem. TEOREMA DI FERMAT. Si () u fuzioe defiit i u isieme A e si u puto di mssimo o di miimo reltivo itero d A. Se ( ) è derivbile i, risult 97

100 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile Dimostrzioe Si u puto di miimo reltivo itero (dimostrzioe log se puto di mssimo reltivo itero). Allor, esiste u tutto coteuto i 9 e tle che f ( ) f ( ) per Pertto per secod che si > oppure < si h rispettivmete f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim. + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim. Poiché f è derivbile i, i due limiti devoo coicidere, e quidi deve essere f '( ). NOTA - Il teorem precedete forisce solo u codizioe ecessri per vere puti di mssimo o miimo reltivo. L codizioe o è sufficiete, vle dire: i u puto può essere ull l derivt sez che i quel puto l fuzioe bbi u mssimo o u miimo reltivo. Ad esempio l fuzioe f() h derivt ull el puto, m i tle puto o si h é u mssimo é u miimo reltivo. y Puto critico è u puto i cui f ( ) oppure l derivt o esiste. Puto stziorio è u puto i cui f ( ). NOTA - U puto critico o stziorio (ossi u puto i cui l derivt o esiste) può essere mssimo o miimo reltivo che se per esso o si può pplicre il Teorem di Fermt. 98

101 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile Esempi.. L fuzioe f() h u puto di miimo reltivo i pur o essedo derivbile i questo puto (fig.).. L fuzioe f ( ) h u puto di miimo reltivo i pur o essedo derivbile i questo puto (fig.).. L fuzioe f ( ) è tle che el puto h derivt ull (e quidi è u puto critico, zi stziorio), m i esso l fuzioe o h é mssimo é miimo reltivo (fig.). f() f() f() fig. fig. fig.. RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI E ASSOLUTI Ricerc dei mssimi e miimi reltivi medite lo studio dell derivt prim. Si f() u fuzioe derivbile i (, b) e si (, b) tle che f ( ). Se risult.. < per < f () > per > llor è u puto di miimo reltivo. > per < f () < per > llor è u puto di mssimo reltivo.. f () mtiee lo stesso sego si prim che dopo, llor il puto o è é u mssimo é u miimo reltivo. 99

102 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile GRAFICAMENTE. Supposto f ( ), si ho i csi rppresetti i figur f ()< f ()> f ()> f ()< mssimo reltivo. miimo reltivo. f ()< f ()< f ()> f ()> é mssimo é miimo. é mssimo é miimo. Esercizio. fuzioe Determire gli evetuli puti di miimo e di mssimo reltivi dell f() 8 +. Soluzioe L fuzioe è ovuque derivbile ed h derivt f () 6 +. L derivt si ull per e e pertto questi puti possoo essere dei mssimi e miimi. Dl sego dell derivt prim si tre che l fuzioe è strettmete crescete per < e >, metre è strettmete decrescete per < <. Si coclude che è puto di mssimo reltivo, è puto di miimo reltivo. f ()> f ()< f ()> Nel puto di mssimo reltivo l fuzioe vle f() ; el puto di miimo reltivo l fuzioe vle f(). Ricerc dei mssimi e miimi reltivi medite lo studio delle derivte successive. Si () u fuzioe derivbile volte ( ) ell itervllo (,) e si (,). Se risult

103 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile. F ( ) ( )<. F ( ) ( )> llor è u puto di mssimo reltivo. llor è u puto di miimo reltivo.. H ( ) ( ) ( ) llor o è é di mssimo é di miimo (è u flesso) Il metodo or esposto si può geerlizzre. I quest trttzioe, per semplicità, ci si è limitti d esporre il cso che coivolge l più l derivt terz. Esercizio. Determire gli evetuli puti di mssimo e miimo reltivi dell fuzioe f() 8. Soluzioe. L fuzioe è ovuque derivbile più volte. ) Cerchimo gli evetuli puti stziori: f () 6 6, f () per e che risulto pertto puti stziori. b) Clcolimo l derivt secod ei puti stziori trovti: f () 6, f () 8 < e quidi è puto di mssimo reltivo; f () 8 > e quidi è puto di miimo reltivo. Ricerc dei mssimi e miimi reltivi i puti i cui l fuzioe è cotiu m o derivbile. Si è già osservto che u fuzioe può vere dei mssimi o dei miimi reltivi i puti i cui o è derivbile, si pesi d esempio ll fuzioe f() che i h u miimo pur o essedo derivbile i questo puto. Per l ricerc di questi evetuli puti di mssimo e miimo o si possoo quidi pplicre i due metodi precedeti, m se l fuzioe è cotiu ell itervllo i cui si f l ricerc, studido il sego dell derivt prim, ossi l crescez e l decrescez dell fuzioe, si può stbilire se u puto è di mssimo o di miimo reltivo. Precismete: Si f() cotiu [, b] e si (, b) u puto i cui l fuzioe o è derivbile. Se risult:

104 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile. f () < f () > per per < > llor è u puto di miimo reltivo.. f () > f () < per per < > llor è u puto di mssimo reltivo. Di orm mssimi e miimi di questo tipo si trovo ello studio delle fuzioi ell cui espressioe litic figuro dei vlori ssoluti oppure delle rdici di idice pri. Esempio. L fuzioe () preset u miimo el puto dove l fuzioe esiste m o è derivbile perché è u puto goloso. ()K, > ()K < Per l derivt ssicur che per > l fuzioe cresce metre per < decresce. Duque il puto è u puto di miimo e il miimo vle (). Esempio. L fuzioe derivbile. ()L h u miimo el puto dove esiste m o è Ricerc dei mssimi e dei miimi ssoluti. Ricorddo il Teorem di Weierstrss, il mssimo e il miimo ssoluto di u fuzioe () cotiu i u itervllo M,N, è ssuto i: (i) (ii) (iii) puti iteri stziori puti iteri di o derivbilità estremi dell itervllo. Per determire il mssimo e miimo ssoluti, occorre pertto trovre tutti i mssimi e miimi reltivi. Il vlore più grde ssuto dll fuzioe i questi puti srà il mssimo ssoluto dell fuzioe, il vlore più piccolo srà il miimo ssoluto dell fuzioe. Esercizio. Determire il vlore del mssimo ssoluto e il vlore del miimo ssoluto dell fuzioe f( ) e ell itervllo [, ].

105 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile Soluzioe Poiché l fuzioe è derivbile i tutto l itervllo (, ), per cercre i mssimi e miimi reltivi si può usre il metodo bsto sullo studio dell derivt prim; f ( ) ( ) e e quidi f () per ossi è u puto stziorio; ioltre f () > per > e f () < per < e pertto è puto di miimo reltivo. No ci soo ltri puti di miimo o di mssimo reltivi iteri. Cofrotimo or i vlori f() e, f() e, f() e 8. Poiché il vlore più grde fr questi è f(), il mssimo ssoluto dell fuzioe è per e vle e 8 ; il miimo ssoluto dell fuzioe è per e vle e. OSSERVAZIONE. Se l fuzioe f() è cotiu i u itervllo o chiuso o illimitto, oppure se è discotiu i u itervllo, il teorem di Weierstrss o si può pplicre per quell fuzioe i quell itervllo e f() può essere oppure o essere dott di mssimo e di miimo ssoluti. I questi csi l ricerc degli evetuli mssimo e miimo ssoluti v ftt co cosiderzioi di vri tur secod del tipo di fuzioe che si st studido. Esercizio. Trovre mssimi e miimi per l fuzioe P! ;R R, () ST Soluzioe Cerchimo i puti stziori: () ST S T ST ( ) U U () ; ()> < > ; ()< < <. Allor è puto di miimo reltivo e il miimo è (). Negli estremi del domiio l fuzioe vle ( ) e () SU.!! Poiché SU > >, si h che è u puto di miimo ssoluto e è u! puto di mssimo ssoluto. Esercizio. Rppresetre grficmete l seguete fuzioe ed idividure i puti di mssimo e miimo: Y! +, M,) (), X WL Z, (,N Soluzioe Dom f [, ]. L fuzioe o è derivbile gli estremi (i esiste solo derivt destr, i solo derivt siistr) e o è derivbile i perché o è ivi cotiu. +, (,) ()\ Z, (,), f '( ).! Il puto o è ccettbile perché (,). L fuzioe è strettmete crescete i (, ) perché f () > i (,). Il puto è di mssimo reltivo perché i

106 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile u itoro siistro di l derivt è positiv, metre i u itoro destro l derivt è egtiv. Il mssimo reltivo è f(). Ioltre f().5, f(), f()8, llor il mssimo ssoluto è 8 ed il miimo ssoluto è.5. 8 f() FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE. PUNTI DI FLESSO Formlizzimo u ozioe già icotrt qudo si è studit l prbol. E l ozioe di fuzioe covess (o cocv verso l lto) e di fuzioe cocv (o cocv verso il bsso) i u itervllo [, b]. Quest ozioe è molto utile per studire il comportmeto di u fuzioe. Iizimo co il defiire i cocetti di fuzioe covess e di fuzioe cocv i u itervllo.

107 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile DEFINIZIONE. Si dice che u fuzioe () è i [, b] covess se () ( )+ ( U )( ] ) U ] ( ) per ogi,! [, b] cocv se () ( )+ ( U )( ] ) U ] ( ) per ogi,! [, b] DEFINIZIONE. Si dice che u fuzioe () è i [, b] covess se per ogi [, b] il grfico dell fuzioe è l di sopr dell rett tgete el puto (, f( )) cocv se per ogi [, b] il grfico dell fuzioe è l di sotto dell rett tgete el puto (, f( )) DEFINIZIONE. Si f() u fuzioe derivbile i (, b). Si dice che f() è i [, b] covess se e solo se f() f( ) + f ( ) ( ) per ogi, (, b) ; cocv se e solo se f() f( ) + f ( ) ( ) per ogi, (, b). 5

108 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile Esempi L fuzioe f() è strettmete covess i R. L fuzioe f() è strettmete cocv i R. L fuzioe f() è strettmete covess i (, + ), è strettmete cocv i (, ), metre o è é cocv é covess i R. L fuzioe f() / è strettmete covess i R +, è strettmete cocv i R. L fuzioe f() è si covess che cocv i tutto R. Quest prticolre proprietà vle i geerle per tutte le fuzioi lieri (ffii). OSSERVAZIONE - Se f() è covess i [, b], l crescere di cresce l pedez dell rett tgete el puto di sciss e quidi, suppost l fuzioe derivbile, l derivt dell pedez deve essere positiv, ossi deve essere f () poiché l pedez è dt d f (). Alogmete per le fuzioi cocve. f() b L osservzioe precedete giustific il seguete criterio di covessità e cocvità. Si u fuzioe derivbile i (, b). Allor i (, b) si h che covess crescete () (,) cocv decrescete () (,) ATTENZIONE. Se f() è defiit i [, b] e i (, b) è derivbile lmeo due volte, llor il criterio fferm che soo equivleti le segueti codizioi ), b), c) e, logmete, soo equivleti le segueti codizioi d), e), f): 6

109 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile ) f() è covess i (, b) ; b) f () è crescete i (, b) ; c) f () per ogi (, b). d) f() ) è cocv i (, b) ; e) f () è decrescete i (, b) ; f) f () per ogi (, b). ATTENZIONE che i puti b) ed e) o sigifico ecessrimete f () e f () rispettivmete, m solo che f () è crescete e f () è decrescete, rispettivmete. DEFINIZIONE. Si f() u fuzioe defiit i [, b] e si (, b). Si dice che l fuzioe h i u puto di flesso se è covess per < e cocv per >, o vicevers. Per cercre i puti di flesso di u fuzioe due volte derivbile, si studi il sego di f () (studido l disequzioe f () > ) l fie di verificre se ci soo puti i corrispodez dei quli il sego cmbi (ossi cmbi l cocvità). Se l cocvità cmbi llor è u puto di flesso. NOTA - E possibile che i u puto di flesso l fuzioe o si derivbile. Ad esempio, ()! h u puto di flesso si i si i, m i questi puti l fuzioe o è derivbile. Orizzotle ( ) Ntur di u puto di flesso ^_ Verticle i tgete co pedez ± Obliquo () OSSERVAZIONE. Sppimo che ( ) è solo codizioe ecessri perché i vi si u mssimo o u miimo. Iftti se ( ) e o è é mssimo é miimo, llor è u flesso perché sigific che si verific u delle due situzioi rppresette elle segueti figure : f ()< f ()< f ()> f ()> p.to flesso orizzotle crescete p.to flesso orizzotle decrescete 7

110 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile Esercizio. ESERCIZI SVOLTI Cosidert l fuzioe ()B(! 5+), determire il cmpo di esistez, mssimi e miimi, itervlli di crescez e decrescez, cocvità e covessità, flessi, evetuli sitoti. Soluzioe Cmpo di esistez: Deve essere! 5+> poiché! 5+ per, si h c%? (,) (,+ ). Mssimi e miimi: Cerchimo evetuli puti stziori poedo Risult () per f! ()!ef e U fe6g. m questo vlore o pprtiee l domiio e pertto, o essedoci dei puti stziori, o possoo esserci mssimi o miimi iteri. Crescez e decrescez: ()!ef > per > f. Pertto, l fuzioe è e U fe6g! strettmete crescete ell itervllo (,+ ) e strettmete decrescete ell itervllo (,). Cocvità, covessità, flessi: Occorre studire il sego di (). () (! 5+)(5)! (! 5+)!! +7 (! 5+)! () < ± 6 Pertto, poiché il poliomio (! +7) è grficmete rppresetto d u R prbol cocv sez itersezioi co l sse delle scisse, si h l fuzioe i (,) e i (, + ) è strettmete cocv. Asitoti verticli: ()<, ossi lim kl(! 5+)l lim k (! 5+)l 6 è >%% l>b lim g ml(! 5+)l lim (! 5+)l 6 è >%% l>b g m Asitoti orizzotli: Nessuo perché lim ± l(! 5+)l lim ± (! 5+)l lim ±! o 5 +!p+ Esercizio. Determire gli itervlli di cocvità e covessità oché i flessi dell seguete fuzioe: ()(! +) Soluzioe Dom f R. 8

111 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile Occorre studire il sego dell derivt secod: () +(! +) (+! +) () (+! +)+ (+) (! ++) L fuzioe è strettmete covess se e solo se ()>, cioè se e solo se! ++ >. Le rdici del poliomio soo e il poliomio è positivo per vlori esteri lle rdici, quidi ()> se e solo se < oppure >. L fuzioe è strettmete covess i (,) e i (,+ ) e strettmete cocv i (,). I puti e soo puti di flesso. Esercizio Determire l itervllo i cui è decrescete l fuzioe ()B( g +! +7). Soluzioe L fuzioe è decrescete dove risult (). Poiché () w 6! deve essere w 6!! y 6 U 6z e quidi l fuzioe è decrescete i (,).! y 6 U 6z Esercizio Determire i vlori del prmetro k R per i quli l fuzioe ()! &+5 è strettmete crescete el puto di sciss. Soluzioe Deve essere ()> e poiché ()& e ()8& si deve porre 8& > d cui & <. Esercizio Dire per qule vlore di l fuzioe ()+ h u mssimo ell itervllo M,;5N. Soluzioe Occorre studire l derivt prim () Z y ; ess è sempre egtiv e quidi l fuzioe è sempre strettmete decrescete. D ciò segue che ell itervllo chiuso M,; 5N l fuzioe vrà mssimo i, e tle mssimo vle (,). Esercizio Determire i puti di flesso e l equzioe dell reltiv rett tgete, dell fuzioe () Z + 9

112 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile Soluzioe Studimo l derivt secod ()6. Risult () per ; ()< per <; ()> per >. I si h quidi u puto di flesso. L equzioe dell rett tgete i h equzioe ( ) ( ) ( ) e pertto i, essedo (), (), l equzioe dell rett tgete è (), + ESERCIZI d SVOLGERE. Si cosideri l fuzioe f : R R defiit d f ( ) +. Dl sego dell derivt che cos si può dedurre reltivmete ll dmeto dell fuzioe?. Trovre per quli vlori di le segueti fuzioi soo cresceti o decresceti: ) f ( ) b) f ( ) + + c) f ( ) l ( ) d) f ( ) + e. Determire i vlori del prmetro k R per i quli l fuzioe f : R R defiit d f() k + è decrescete el puto di sciss.. Determire i vlori del prmetro k R per i quli l fuzioe f : R R defiit + k d f ( ) è crescete el puto di sciss Determire le scisse dei puti di mssimo reltivo, di miimo reltivo e di flesso delle segueti fuzioi cosiderte el rispettivo domiio: ) f ( ) + b) f ( ) c) f( ) d) + f ( ) e) g) f ( ) f f) e ( ) h) f ( ) l f ( )

113 Mtemtic. Cpitolo : ppliczioi del clcolo differezile 6. Determire l sciss del mssimo ssoluto e del miimo ssoluto delle segueti fuzioi reltivmete ll itervllo scritto lto : ) + f ( ) [, ] b) f ( ) [5, ] c) e f ( ) e [, ] d) f ( ) [, ] 7. Delle segueti fuzioi studire l cocvità, l covessità e determire gli evetuli puti di flesso: ) c) f ( ) ) ( e b) f ( ) l f ( ) + l d) + f ( ) 8. Determire i puti di flesso delle segueti fuzioi e l equzioe dell tgete i ciscuo di essi: ) f ( ) + b) f ( ) e 9. Delle segueti fuzioi studire domiio, crescez, decrescez, mssimi e miimi reltivi, cocvità, covessità, sitoti e trccire il grfico qulittivo:. y.. y.. y y.. y ( + ) ( ) ( ) y. y. + y. y. + y. y y. 5 + y y y. y. + y. + y e. e y e.. log ( 5 + ) y.

114 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli CAPITOLO 6 ELEMENTI DI TEORIA DELL INTEGRAZIONE DI FUNZIONI REALI L teori dell itegrzioe permette di risolvere: ) Problemi di misur: clcolo di ree, volumi, ecc.. b) Il problem iverso delle tgeti: dt l fuzioe f() trovre u fuzioe F() l cui derivt si f(). Fr le due tipologie di problemi c è uo stretto legme messo i evidez dll Formul fodmetle del Clcolo itegrle. Iizieremo co i problemi di tipo b) che se storicmete l teori dell itegrzioe si f rislire Eudosso d Cido, IV sec..c., per risolvere problemi di tipo ). 6. L INTEGRALE INDEFINITO Nel cpitolo è stto ffrotto il problem di determire l derivt di u fuzioe f(). Co il clcolo differezile si è risolto, per esempio, il problem delle tgeti, iftti si è visto che l rett tgete l grfico di u fuzioe f i u puto di sciss h l pedez ugule ll derivt f '( ) di f i. Co l itegrle idefiito si ffrot il problem iverso dell derivzioe: si trtt di determire u fuzioe dell qule si ot l derivt. Ciò risolve che il cosiddetto problem iverso delle tgeti che cosiste el costruire il grfico di u fuzioe defiit i u itervllo [,b] cooscedo soltto l pedez delle rette tgeti i tutti i puti del grfico stesso. I modo formle il problem si poe ei segueti termii: dt u fuzioe f() defiit i u itervllo I, determire u fuzioe F() derivbile i I tle che F '( ) f( ) i ogi di I. Si è detto u e o l fuzioe F() perché se F() è tle che F ' ( ) f( ) llor, quluque si il umero c, che l fuzioe G() F() + c è tle che l su derivt è f() perché G '( ) F'( ) + F'( ) f( ). DEFINIZIONE. Si f() u fuzioe rele di vribile rele defiit su I. Si chim primitiv di f() u qulsisi fuzioe F() tle che F ' ( ) f( ) i ogi puto di I. Dt u fuzioe f() si può sempre trovre u su primitiv?

115 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli L rispost è o, m, come già otto, se e esiste u e esistoo ifiite otteute u dll ltr sommdo u costte. Ioltre questo (sommre u costte) è il solo modo per otteere primitive diverse, ossi se F () e F () soo etrmbe primitive dell stess f() su u itervllo I si h F () F () + c dove c è u umero. Iftti l fuzioe F () F () h derivt ' ' () F () f( ) f( ) e quidi, vedo derivt ull, è u fuzioe costte. F Ache se i geerle o è vero che ogi fuzioe h u primitiv, esistoo delle codizioi sufficieti che ssicuro l esistez dell primitiv per ogi fuzioe pprteete prticolri clssi. Ad esempio vle il seguete teorem. TEOREMA Se f() è u fuzioe cotiu i [,b ] llor esiste u fuzioe F() tle che F '( ) f( ) per ogi (,b ). DEFINIZIONE. L isieme delle ifiite primitive di f() è detto itegrle idefiito di f() rispetto ll vribile, si idic co ( d e si legge «itegrle idefiito di f() i di». Per quto osservto sopr si può scrivere: f ( ) d F( ) + c co F ' ( ) f( ) e c R. Esempi.. () d + c, c R ; iftti D( + c).. cos d si + c, c R ; iftti D( si + c) cos d + c, c R ; l7 7 iftti D + c 7. l7

116 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli E importte ricordre che il simbolo di itegrle o dipede dll vribile, metre il differezile d idic che l operzioe di itegrzioe viee effettut rispetto ll vribile. Ciò per evitre cofusioi qudo ell espressioe dell fuzioe f() compioo ltre lettere che fugoo d prmetri o coefficieti. Ad esempio, si h: ( + t + cos t )d + ( t + cost) + c perchè l fuzioe d itegrre è u fuzioe ell vribile e l t è d riteersi u costte. M si h ( + t + cos t)dt t + t + si t + c perchè l fuzioe d itegrre è u fuzioe ell vribile t e l è d riteersi u costte. Per verificre il risultto dell esempio precedete bst verificre che l fuzioe itegrd si ottiee come derivt dell fuzioe l secodo membro, ovvimete el primo cso si deve derivre rispetto d metre el secodo cso si deve derivre rispetto t. 6. COME CALCOLARE UN INTEGRALE INDEFINITO Il clcolo degli itegrli idefiiti è u delle prti dell mtemtic dove si icotro mggiori difficoltà perché il problem o si può risolvere co u formul. Si può dire che ogi cso è sé che se esistoo vrie teciche che foriscoo metodi di itegrzioe pplicbili d mpie clssi di fuzioi. Per trovre u primitiv di u fuzioe esistoo ttulmete sistemi di computer lgebr grzie i quli l ricerc mo di u primitiv si può limitre i csi più semplici. Come el pssto i sistemi di clcolo umerico ci ho liberto dl bisogo di estrrre mo u rdice qudrt o di cosultre u tvol di logritmi, così oggi i sistemi di clcolo simbolico foriscoo u prezioso iuto per i csi più difficili di ricerc di u primitiv. Rime comuque idispesbile spere clcolre, qudo esiste, l primitiv di fuzioi esprimibili medite fuzioi elemetri; che sez l usilio di u sistem di clcolo simbolico. Illustrimo di seguito le teciche muli bsilri per l ricerc di itegrli idefiiti.

117 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli 6... Itegrli elemetri Ogi tbell di derivte lett l cotrrio divet u tbell di primitive e pertto dll tvol di derivzioe delle fuzioi elemetri si ottegoo gli itegrli idefiiti delle stesse. Nell seguete tbell è riportto l itegrle idefiito delle fuzioi elemetri; co c si idic u quluque umero rele. Tbell fuzioe f () primitiv F() f() h f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) e f( ) si f( ) cos f( ) + tg cos f( ), k + k F ( ) hd h + c. + F( ) d + c +,. F ( ) d l + c,. F( ) d + c. l F( ) e d e + c. F ( ) si d cos + c. F ( ) cos d si + c. F( ) d tg + c cos F( ) d rctg + c, k. + k k k Oltre gli itegrli idefiiti riportti ell tbell, vlgoo le segueti regole e i segueti teoremi coseguez delle regole e dei teoremi di derivzioe. Regol h f( ) d h f( ) d, h costte. Regol ( f( ) + g( ) ) d f( ) d + g( ) d.

118 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli TEOREMA f ' ( ) d l f( ) + c. f( ) TEOREMA + f() f '() f () d + c +,. TEOREMA f ( ) f() f '( ) d + c. l f() f ( ) TEOREMA f '( ) e d e + c. f '() + f () TEOREMA 5 d rctg [ f( ) ] + c. TEOREMA 6 f f ( ) cos f( ) d sif( ) + c. ( ) sif( ) d cos f( ) + c Illustrimo co lcui esempi come pplicre le regole e i teoremi sopr riportti. Come si vedrà, spesso occorre trsformre l fuzioe itegrd operdo opportumete co costti o utilizzdo ltri rtifici. Clcolre i segueti itegrli idefiiti. + Soluzioe. + + cos d per l regol d + d + cos d per l regol. ( + cos ) d. ( ) d + d + cos d d tbell + + si + c.. d. Soluzioe. d d d tbell + + c c 5 + c.. + e 7 d. 5 Soluzioe e 7 d per l regol d e d 7d 5 + e 7 + c + e 7 + c. d tbell

119 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli 6 5. d. 5 + Soluzioe. 6 5 d per il teorem l c. si 5. cos e d. Soluzioe. si cos e d per il teorem e si + c. 6. ( ) d. 7 + Soluzioe. 7 + d divido e moltiplico per l fie di pplicre il teorem 8 7 ( ) ( + ) d + c. + 8 ( ) e 7. d. Soluzioe. e d divido e moltiplico per l fie di pplicre il teorem e d e + c. 8. cos d. Soluzioe. cos d divido e moltiplico per l costte cos d si + c. cosσ 9. dσ. + siσ Soluzioe. cosσ dσ + siσ. e d. Soluzioe. per il teorem l + siσ + c. 5

120 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli e d per l regol e d teorem e d e + c. divido e moltiplico per l fie di pplicre il +. d. + Soluzioe. L fuzioe itegrd h il umertore di grdo mggiore del deomitore; per risolvere l itegrle dividimo il umertore per il deomitore. Otteimo: + ( ) Possimo pertto scrivere: + d d per l regol + d d d + dll tbell e per il teorem + l + + c.. d. + e Soluzioe. + e e e Si h:. + e + e + e Possimo pertto scrivere: e e d d d d l + e + c. + e + e + e 6... Itegrzioe per sostituzioe Questo metodo cosiste el sostituire opportumete l vribile idipedete co u ltr vribile i modo d otteere u itegrle risolvibile più fcilmete perché ricoducibile ll tbell o d uo dei teoremi riportti ll iizio di quest trttzioe. Si f( ) d l itegrle idefiito d clcolre e si g(t) u fuzioe di t derivbile. Allor il differezile d espresso i fuzioe dell uov vribile t è dto d d g'( t) dt e pertto vle l seguete idetità: { f[ g( t) ]} g'( t dt f ( ) d ). Nturlmete dopo ver clcolto l itegrle destr dell ugugliz occorre ritorre ll vribile. Illustrimo il metodo co lcui esempi. 6

121 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli +. d. Soluzioe. + Poimo t si ottiee: + d ossi t d cui d dt. Applicdo l sostituzioe t dt t dt t + t dt + c t +. cos ( ) + + c + c. + d. Soluzioe. t Poimo + t ossi d cui d dt. Applicdo l sostituzioe si ottiee: cos ( + ) d cos t dt cos t dt si t + c si ( + ) + c.. d. Soluzioe. Poimo t ossi t d cui d ( ) dt. Applicdo l sostituzioe si ottiee: d ( ) dt l t + c l + c. t. e d. e + e Soluzioe. Poimo e t ossi l t d cui d dt. Applicdo l sostituzioe si t ottiee: e t t t d dt dt dt l t + + c l e + + c. e + e t + t t t + t Itegrzioe per prti Questo metodo può essere di iuto per trovre l primitiv di u fuzioe l cui espressioe è il prodotto di due fuzioi. Il metodo si vvle dell seguete formul: u ) v '( ) d u( ) v ( ) ( u'( ) v( ) d. 7

122 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli L formul o risolve l itegrle dto, m lo trsform i u espressioe i cui figur u ltro itegrle. E detto per prti i quto prim si itegr l prte v ' ( ) dell fuzioe itegrd e poi si itegr l fuzioe u '( ) v ( ). Il metodo è efficce solo se l fuzioe v ' ( ) e l fuzioe u ' ( ) v( ) si possoo itegrre co metodi elemetri. L fuzioe u () è chimt fttore fiito, metre v '( ) è chimt fttore differezile. Qudo el prodotto dell fuzioe itegrd figur l fuzioe espoezile, di orm, quest coviee cosiderrl come fttore differezile; qudo figur l fuzioe logritmo, di orm, questo coviee cosiderrl come fttore fiito. Negli ltri csi o esiste u regol co cui scegliere qule fuzioe è d cosiderre fttore fiito e qule fuzioe è d cosiderre fttore differezile, occorre solmete che l scelt red risolubile l itegrle ssegto. I segueti esempi illustro i modo cocreto l ide che st ll bse di questo metodo d itegrzioe. Esercizi svolti Clcolre l itegrle idefiito pplicdo l itegrzioe per prti.. cos d. Soluzioe. Itegrimo per prti prededo come fttore fiito e cos come fttore differezile; poimo quidi u ( ), v' ( ) cos. Allor u '( ) e v () cos d si e pertto pplicdo l formul si h: cos d si si d si + cos + c.. e d. Soluzioe. Itegrimo per prti prededo come fttore fiito ed e come fttore differezile; poimo quidi u ( ), v '( ) e. Allor u '( ) e v () e d e e pertto pplicdo l formul si h: e e e e e d d + c. 6. l d. Soluzioe. 8

123 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli Itegrimo per prti prededo l come fttore fiito ed come fttore differezile; poimo quidi u( ) l, v '( ). Allor u' ( ) e v () d e pertto pplicdo l formul si h: l. l d. d l d l + + c. Soluzioe. Itegrimo per prti prededo l come fttore fiito come fttore differezile; poimo quidi u( ) l, v '( ). Allor u '( ) e v () d e pertto pplicdo l formul si h: l d l d d c. l + l 5. l d. Soluzioe. Coviee leggere l come prodotto l, i questo modo l è il fttore fiito e è il fttore differezile; poimo quidi u( ) l, v '( ). Allor u '( ) e v () d e pertto pplicdo l formul si h: l d l d l d l + c. Soluzioe. 6. ( ) e d. Itegrimo per prti prededo ( ) differezile; poimo quidi u ) ( ) Allor u '( ) e come fttore fiito ed e come fttore (, v '( ) e. v () e d e e pertto pplicdo l formul si h: ( ) e d ( ) e e d ( ) e e + c. 7. ( ) si d. + Soluzioe. Itegrimo per prti prededo ( + ) come fttore fiito e si come fttore differezile; poimo quidi u ( ) ( + ), v' ( ) si. Allor u '( ) e v () si d cos e pertto pplicdo l formul si h: ( ) si d ( + ) ( cos ) cos d ( + ) cos + si + c. + 9

124 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli ESERCIZI DA SVOLGERE Clcolre per prti i segueti itegrli idefiiti verificdo il risultto idicto.. si d si cos + c.. l d l + c.. e d e e + c.. ( ) e d ( ) e ( ) e + e + c. 5. e si d e ( si cos ) + c. 6. cos d si + cos si + c. 7. l d l l + + c. 8. ( 5) + e d - ( + 5) e e + c ( + 5) e d e ( + 5) 8 e 8 e + c ( si + l cos ). cos d + + l c Itegrzioe delle fuzioi rzioli frtte Le fuzioi rzioli frtte soo quelle espresse d u rpporto di poliomi. Se A () e B () idico due poliomi ell vribile, per A( ) determire d si f uso di u metodo, volte lborioso come clcoli, m che B( ) ssicur di rrivre sempre ll soluzioe. Per illustrre il metodo si presuppoe il grdo di A () miore del grdo di B (). Se così o fosse bst eseguire l divisioe fr A () e B (), idicdo co Q () e R () rispettivmete il quoziete e il resto dell divisioe, A( ) R( ) risult A() Q() B () + R() d cui Q( ) + e B( ) B( ) A( ) R( ) pertto d Q d d B ( ) + ossi l itegrle risult l somm dell itegrle ( ) B( ) di u poliomio, Q( ) d, per risolvere il qule bst ricordre che + d + R( ),, e dell itegrle d i cui il grdo del umertore (essedo il resto) è B( ) miore del grdo del deomitore, ecco perché ell illustrre il metodo ci si limit ll trttzioe di quest ultimo cso.

125 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli Dopo ver cotrollto che l itegrle o si risolubile co metodi elemetri, per R( ) risolvere d, co grdo di R() miore del grdo di B(), si scompoe i modo B( ) opportuo l fuzioe itegrd i modo tle che l itegrle si ricodotto ll somm di itegrli del tipo del Teorem e del Teorem se B() h tutte le rdici reli; si ricodotto ll somm di itegrli del tipo del Teorem e del Teorem 5 se B() o h tutte rdici reli. I quest trttzioe o pprofodimo ulteriormete il metodo m ci limitimo d illustrrlo co lcui esempi. Clcolre i segueti itegrli idefiiti di fuzioi rzioli frtte.. d. ( + ) Soluzioe ( ) e pertto si h: d d + d + d l + l + + ( + ) + c d. Soluzioe. Poiché il grdo del umertore è mggiore del grdo del deomitore, occorre zitutto effetture l divisioe: ( + 8) d d l + c. e pertto si h: 7 ( ) d d + 8 d + 7 d. + d. ( ) Soluzioe.

126 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli + ( ) ( ) ( ) + e pertto si h: + ( ) ( ) ( ) ( ) + l + c ( ) ( ) - d d + d d + d ( ) + l + c.. d. + Soluzioe. d d rctg + c. + + ( ) 5. d. + Soluzioe. d d d rctg + c d. + Soluzioe. + + e pertto si h: d + + d + d per il teorem e + l + + rctg + c. per il teorem 5 rctg ( ) c d. + 7 Soluzioe. + d + 7 l d rctg 7 d c. d ( 7) d 8. d. + Soluzioe. d + d + d + d + d +

127 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli l + rctg ( ) + c. 6. L INTEGRALE DEFINITO Si f() u fuzioe cotiu sull itervllo [,b] e si F() u su primitiv. Si defiisce itegrle defiito dell f() i [,b] il umero rele dto d F(b) F(). Il umero F(b) F() viee usulmete espresso co il simbolo ( ) d e si legge «itegrle tr e b di f() i di»; è l estremo iferiore di itegrzioe, b è l estremo superiore di itegrzioe, f() è l fuzioe itegrd, è l vribile di itegrzioe. E covezioe scrivere [ F ( ) per idicre l differez F(b) F(). Possimo duque scrivere: ] b b f b f( ) d F( b) F( ), co F ( ) f( ). Quest ugugliz è dett formul fodmetle del clcolo itegrle. L itegrle defiito gode delle segueti proprietà di immedit verific: Proprietà f ( ) d. Proprietà f( ) d f( ) d. b b Proprietà b c b f( ) d f( ) d + f( ) d, co < c < b c. Clcolre i segueti itegrli defiiti.. d. Soluzioe. L fuzioe f() è cotiu ell itervllo [,] e u su primitiv è risult pertto: d. F() ;

128 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli. d. Soluzioe. L fuzioe f() è cotiu ell itervllo [, ] e u su primitiv è F() ; risult pertto: d. π. cos d. Soluzioe. L fuzioe F() si f() cos è cotiu ell itervllo π π, e u su primitiv è ; risult pertto: cos d [ si ] si si.. d. + Soluzioe. L fuzioe f( ) è cotiu ell itervllo [,] perciò l itegrle defiito + cosiderto esiste. Poiché d ( ) d l + + c ; + + risult: 5. d l l l l e d Soluzioe. L fuzioe. π f() e è cotiu ell itervllo [,] e u su primitiv è F() e e ; risult pertto: e d [ e e ] ( e e ) ( e e ) e. π 5.

129 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli 6. SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL INTEGRALE DEFINITO DI UNA FUNZIONE Cosiderimo l fuzioe,9 e si A l prte di pio rcchius fr il grfico di f( ), l sse delle scisse e le due rette verticli e y 9 (Figur 6..). Idichimo co I l re di A che è u trpezio di ltezz 9 5, bse miore, bse mggiore 7. f() sull itervllo [ ] yf() 7 f() A Figur ( + 7) 5 95 Dll geometri elemetre sppimo che l re di A vle I. Poiché f ( ) ell itervllo [,9 ] è cotiu, possimo clcolre l itegrle defiito e risult: 9 d Abbimo duque trovto che l itegrle defiito vle esttmete l re di A. Ciò o è u cso m quest proprietà vle sempre ogiqulvolt l fuzioe itegrd f () è positiv o ull ell itervllo di itegrzioe. Duque o solo si è trovto u ltro modo per clcolre l re di figure pie quli il trpezio m quello che è importte è che i questo modo si può trovre l re di superfici co cotori curviliei perché o è richiesto che il grfico di f () si liere m è richiesto solmete che f (), oltre che itegrbile, si o egtiv. I sitesi: L itegrle b I f ( ) d di u fuzioe f o egtiv d b è esttmete l re dell prte di pio compres fr il grfico dell fuzioe f, l sse delle scisse e le rette e b. 5

130 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli Esercizio. Si dt l prbol ell itervllo [,] e idict i figur. f ( ). Clcolre l re dell prte di pio delimitt dl grfico f()² Soluzioe. L fuzioe è o egtiv e itegrbile e pertto l re richiest è dt d: d 9. Esercizio. Clcolre l re dell prte di pio delimitt dl grfico dell fuzioe f( ) si e, π (vedi figur). dll sse delle scisse ell itervllo [ ] f()si π Soluzioe. L fuzioe ell itervllo [, π] è o egtiv e itegrbile e pertto l re richiest è π dt d: si d [ cos ] cosπ ( cos ). π Esercizio. Clcolre l re dell prte di pio delimitt dl grfico dell fuzioe f ( ) ell itervllo [, ] e dll sse delle scisse (vedi figur). 6

131 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli f() Soluzioe. L fuzioe ell itervllo [ ] dt d: d [ l ] l l l l. Se ell itervllo [ b], è o egtiv e itegrbile e pertto l re richiest è, l fuzioe f () ziché positiv o ull è sempre egtiv o ull, l re dell prte di pio compres fr il grfico di f (), l sse delle scisse e le rette e b b f è cor l itegrle defiito ( ) d? Esmiimo l questioe studido il seguete cso. Cosiderimo l π fuzioe f( ) cos ell itervllo, π, i questo itervllo l fuzioe è sempre egtiv o ull. f()cos π π π Clcolimo π cos d [ si ] π si π si. π Abbimo otteuto il vlore che o può certo essere l misur di u re perché egtivo. Duque el cso i cui ell itervllo [ b] π, l fuzioe f () si egtiv o ull o è vero che il vlore dell itegrle defiito b f ( ) d si l misur dell re dell prte di pio delimitt dl grfico di f (), dll sse delle scisse e dlle rette e b. Osservimo che se (), b llor l fuzioe f() è positiv o ull i [, b] e ioltre le due prti di pio A e A delimitte dll sse delle scisse, dlle rette e b e, rispettivmete, dl grfico di f () e dl grfico di f(), ho l stess re perché soo simmetriche rispetto ll sse delle scisse (vedi Figur 6..). f è egtiv o ull i [ ] 7

132 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli -f() A Figur 6.. A f() b Quest osservzioe ci permette di esprimere l re A di A co l itegrle defiito b f( ) d, iftti si h: A f( ) d f( ) d. b b Esercizio. Clcolre l re dell prte di pio delimitt dl grfico dell fuzioe dll sse delle scisse e dlle rette e 5. f() 6, 5 5 f() -6 Soluzioe. Nell itervllo [ 5] A 5, l fuzioe è sempre egtiv e pertto l re A richiest vle: ( 6 ) d Ifie per clcolre l re di u prte di pio delimitt dll sse delle scisse, dlle rette e b e dl grfico di u fuzioe che ell itervllo [, b] è trtti positiv e trtti egtiv (vedi prte evidezit i Figur 6..), bst pplicre l proprietà degli itegrli defiiti eucit el prgrfo 6. (Proprietà ). Si suddivide l itervllo [, b] ei sottoitervlli i cui l fuzioe è solo positiv o solo egtiv e si clcol l re come somm di ree pplicdo opportumete i rispettivi itegrli defiiti. f() Figur 6.. c b c c f ) d f( ) d + A ( f( ) d è l misur dell re dell zo evidezit. c b c c 8

133 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli Esercizio 5. Clcolre l re dell prte di pio delimitt dl grfico dell fuzioe dll sse delle scisse e dlle rette e π. f( ) cos, f() π π Soluzioe. π π Nell itervllo, π l fuzioe cos è positiv i, e egtiv i π, e pertto l re dell prte di pio idict è: π π π π A cos d π π cos d si si si si si π si. π π 6.5 APPLICAZIONI DELL INTEGRALE DEFINITO Clcolo di ree e di volumi Are di figure pie Nel prgrfo 6. si è già visto come l itegrle defiito permett di clcolre l re di figure pie. Il metodo usto si può pplicre che per clcolre l re di figure pie delimitte d cotori curviliei che soo grfici di più fuzioi, bsterà operre co opportue somme o differeze di ree. Illustrimo co lcui esempi. Esempio. Clcolre l re dell prte di pio delimitt dlle curve ell itervllo [,5], (vedi re evidezit i figur). f( ) + 6 e g ( ) 9

134 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli f() g() 5 Soluzioe. L re richiest si ottiee come differez delle ree delle prti di pio delimitte dll sse delle scisse, dlle rette e 5 e, rispettivmete, d f () e g (). L re richiest è pertto dt d: ( + 6 ) d d +. A Esempio. Clcolre l re dell prte di pio delimitt dlle curve f() + e g( ) + ell itervllo [,] (vedi re evidezit i figur). f() g() Soluzioe. L re richiest si ottiee come differez delle ree delle prti di pio delimitte dll sse delle scisse, dlle rette e e, rispettivmete, d g () e f (). L re richiest è pertto dt d: 7 5 ( + ) d ( + ) d + +. A Esempio. Clcolre l re dell prte di pio delimitt dlle curve ell itervllo [,] (vedi re evidezit i figur). f() + e g() 5

135 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli f() g() Soluzioe. L re richiest si ottiee come somm delle ree delle prti di pio delimitte dll sse delle scisse, dlle rette e e, rispettivmete, d f () e g (). L re richiest è pertto dt d: A ( + ) d + d Volume di solidi di rotzioe Esiste u prticolre clsse di solidi dei quli è possibile clcolre il volume medite itegrli. Essi soo i solidi di rotzioe. Si dto il rettgoloide A (vedi Figur 6.5.) reltivo ll fuzioe f () cotiu ell itervllo [, b]. Fcedo ruotre il rettgoloide di u giro completo itoro ll sse delle scisse viee geerto u solido che si chim solido di rotzioe dell fuzioe f () itoro ll sse delle scisse (vedi Figur 6.5.). A f() b b Figur 6.5. Figur 6.5. Il volume V del solido di rotzioe si può clcolre medite l itegrle defiito utilizzdo l seguete formul V π b f() d Illustrimo co lcui esempi. 5

136 Mtemtic. Cpitolo 6: elemeti di teori dell itergrzioe di fuzioi reli Esempio. Si cosideri l fuzioe f ( ) ell itervllo [,5] e il trpezio delimitto dl grfico dell fuzioe, dll sse delle scisse e dlle rette e 5. Clcolre il volume del troco di coo geerto dl trpezio ell rotzioe di u giro completo itoro ll sse delle scisse. 5 Soluzioe. 5 5 Il volume del solido è dto d: V π d π π 9 π. Esempio. Clcolre il volume del solido otteuto d u rotzioe complet itoro ll sse delle scisse del grfico di f ),6. ( ell itervllo [ ] 5 6 Soluzioe. 6 6 Il volume del solido è dto d: V π d π π 8 π. 6 5