Un po di calcoli.. Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine 1

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1 Un po di calcoli.. Universita' di Udine 1

2 La notazione numerica Come si scrivono i numeri? UN PROBLEMA TECNICO Si ha spesso a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli Dipende dalle nostre unità di misura E dall enorme estensione dell Universo Inoltre non si conosce mai un numero esattamente : la fisica non è una scienza esatta! Universita' di Udine 2

3 La notazione numerica Soluzione Si usa la notazione scientifica O la notazione tecnica Di solito la notazione scientifica nei 4 calcoli ,67= 1, e la notazione tecnica nei risultati (non sempre) 12345,67= 12, Universita' di Udine 3 3

4 La notazione numerica Ogni numero è separato quindi in mantissa e ordine numero di grandezza Nella mantissa si scrivono solo le cifre di cui si è sicuri Cifre significative Ogni numero definisce quindi un intervallo Intervallo di confidenza Universita' di Udine 4

5 La notazione numerica Ogni numero deve sempre essere accompagnato dal suo intervallo di confidenza Esempi 1,2= 1,2± ,2± 0,07 1,2± 0,02 1, Senza di esso il numero non ha senso! Universita' di Udine 5

6 La notazione numerica Attenzione alle operazioni In prima approssimazione si accetta il fatto che il numero delle cifre significative si conserva nelle operazioni Eccezione: la differenza La differenza comporta sempre una perdita di precisione! Il controllo della precisione nei calcoli è un problema decisamente complesso Universita' di Udine 6

7 RICORDATE 1,2 1,2 = 1,4 NON 1,44! Universita' di Udine 7

8 La differenza Fate sempre molta attenzione a questa operazione Esempio: 1, , = 0, = 1, Universita' di Udine 8

9 Come si trasmettono gli errori? Un problema importante Universita' di Udine 9

10 La propagazione degli errori COSA VUOL DIRE PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI? Un semplice esempio Data un imprecisione su x, con che precisione ci è noto il valore di x 2? Universita' di Udine 10

11 La propagazione degli errori Facciamo un caso semplice: Poiché le formule sono di solito di tipo algebrico Prendiamo il logaritmo naturale del tutto Differenziamo Prendiamo i moduli del risultato ed avremo una regola semplice per calcolare come si propagano gli errori percentuali! In prima approssimazione, e con una sovrastima Universita' di Udine 11

12 Esempio Ecco un caso fittizio: x = ab c 3 2 f ln x ab 2 = ln f c 3 1 = ln + 2ln 3ln + ln 2 ( a) ( b) ( c) ( f ) Universita' di Udine 12

13 Esempio Differenziamo d dx da db dc 1 df ln = = x a b c 2 f [ x] Prendiamo i moduli d dx da db dc 1 df ln = = x a b c 2 f [ x] Universita' di Udine 13

14 Esempio Se gli errori sono piccoli rispetto alle quantità, potremo approssimare la formula precedente con x a b c 1 f [ lnx] = = x a b c 2 f Regola pratica molto comoda, che porta ad una leggera sovrastima dell errore Universita' di Udine 14

15 La notazione numerica Per quanto riguarda voi Difficilmente supererete la III cifra significativa Non pensate che calcoli precisi possano darvi precisioni che non esistono già in partenza Se gli operandi sono noti al 10% non potete pretendere che con operazioni matematiche otteniate precisioni di 1/ ! Universita' di Udine 15

16 La notazione numerica LA PRECISIONE UNA VOLTA PERSA, NON SI RIACQUISTA PIU PIÙ O MENO COME I SOLDI Universita' di Udine 16

17 QUINDI... Usate sempre la notazione scientifica Attenzione al numero di cifre significative Effettuate i calcoli con la massima precisione che avete a disposizione Date i risultati numerici con la precisione del vostro dato noto peggio Universita' di Udine 17

18 La notazione tecnica (engineer notation) Universita' di Udine 18

19 La notazione tecnica Nei risultati finali si preferisce spesso usare la notazione tecnica La mantissa varia da 0 a 1000 Gli ordini di grandezza variano di 1000 Si usano prefissi alle unità, per es. nm = nano-metro = 10 9 m kg = kilo-grammo = 10 3 g Universita' di Udine 19

20 Prefissi per grandi dimensioni Yotta Y 24 Zetta Z 21 Exa E 18 Peta P 15 Tera T 12 Giga G 9 Mega M 6 kilo k 3 Universita' di Udine 20

21 Prefissi per piccole dimensioni milli m -3 micro µ -6 nano n -9 pico p -12 femto f -15 atto a -18 zepto z -21 yocto y -24 Universita' di Udine 21

22 Le grandezze fisiche Universita' di Udine 22

23 I campioni delle grandezze Nello studio della Natura si individuano anzitutto delle grandezze fondamentali Ciò avviene anche in tecnologia Viscosità, durezza, potere detonante di una benzina, rendimento termico di una stufa a legna Si può passare dalla grandezza fisica (potere detonante, ad es.) al numero solo Definendo un campione Definendo una procedura di misura Universita' di Udine 23

24 I campioni delle grandezze Campioni e procedure vengono stabiliti da organismi appositi National Bureau of Standards (USA) Istituto Colonnetti (TO) Universita' di Udine 24

25 I campioni delle grandezze Vengono definiti da Commissioni Internazionali NIENTE DI IDEALISTICO/CONCETTUALE Universita' di Udine 25

26 I campioni delle grandezze I criteri che si usano per scegliere i campioni sono Disponibilità Facilità di riproduzione Precisione Assieme al campione dev essere garantita la sua portabilità Universita' di Udine 26

27 I campioni delle grandezze Esempio Quando comprate un misuratore di lunghezza vi è garantito Che un millimetro sia un millimetro... Entro certe tolleranze E la precisione la pagate! Per ogni grandezza è definito un campione Per ogni misura è definito un metodo Universita' di Udine 27

28 I campioni delle grandezze La definizione di ogni grandezza fisica è basata esclusivamente sulla ricetta che definisce la sua misura Definizione operativa delle grandezze fisiche Il tempo? Ciò che si misura con gli orologi! Universita' di Udine 28

29 Lo spazio Universita' di Udine 29

30 Lo spazio Inizialmente si erano prese delle sbarre di ferro spesso murate sulle facciate dei Palazzi del Comune Poi si definì il metro Prima 1/ del meridiano terrestre Poi la distanza fra due tacche di una sbarra di Pt- Ir conservata a Parigi Circa uguale ad una yard Circa la lunghezza di un braccio Universita' di Udine 30

31 Lo spazio È sempre importante la riproducibilità, la disponibilità ed anche il fatto che il campione sia in qualche modo intuitivo Sia basato più o meno su una scala umana Tenete presente che Noi non abbiamo percezioni istintive di lunghezze superiori ai 100 m ed inferiori al mm Più o meno come l uomo delle caverne Universita' di Udine 31

32 Lo spazio Oggi non viene più definito un campione di lunghezza né di tempo Vengono definiti infatti Un campione di frequenza (reciproco di un tempo) Un campione di velocità e da questi si derivano tempo e lunghezza Universita' di Udine 32

33 Il tempo Universita' di Udine 33

34 Il tempo Inizialmente definito più o meno sul battito del polso poi definito come 1/86400 del giorno solare medio Ci si basa sul fatto che la rotazione della Terra avvenga con velocità angolare costante! Il che è falso... infine su orologi sempre più sofisticati Meccanici, al quarzo, atomici Universita' di Udine 34

35 Il tempo Oggi siamo agli orologi atomici (1967) Si definisce un secondo come il tempo che occorre ad un atomo di 133 Cs a compiere vibrazioni (per una particolare linea spettrale) Universita' di Udine 35

36 Il tempo In fisica classica il tempo si considera assoluto = indipendente dai sistemi di riferimento Misure precise danno deviazioni di già con aerei a 900 km/h Precisioni attuali degli orologi _ Circa 1s in anni Quindi in realtà spazio e tempo sono intercorrelati! Universita' di Udine 36

37 Il tempo Pertanto un sistema di riferimento dovrà stabilire Posizioni Tempi Per definire degli CON OROLOGI SINCRONIZZATI EVENTI Universita' di Udine 37