Teoria dei Sistemi. Appunti. Paolo Di Giamberardino. 2- Sistema astratto: rappresentazione con lo spazio di stato

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1 Ver Teoria dei Sistemi Appunti Paolo Di Giamberardino 2- Sistema astratto: rappresentazione con lo spazio di stato A partire dai modelli matematici ricavati, nella precedente sezione, in diversi contesti applicativi, è possibile individuare le seguenti grandezze caratterizzanti. Innanzi tutto vi sono delle grandezze esterne, cheinfluenzano il comportamento del sistema; tali grandezze prendono il nome di ingressi e vengono indicate con u(t). Accanto alle grandezze di ingresso possiamo individuare le grandezze di uscita, costituite da tutte quelle grandezze di interesse che caratterizzano il sistema e che sono misurabili; esse vengono indicate con y(t). Un ultima classe di grandezze che è possibile individuare nelle equazioni scritte è quella delle grandezze delle quali si èdefinita la variazione nel tempo e che in un certo senso caratterizzano, istante per istante, le condizioni in cui si trova il sistema. Anzi, si può osservare che la conoscenza di queste grandezze in un certo istante di tempo è sufficiente a descrivere a tal punto il sistema che è possibile dimenticare qualunque altra informazione su ciò cheè accaduto fino a quel momento. Chiamiamo tali grandezze stato e lo indichiamo con x(t). A partire da tali osservazioni, sembra ragionevole ritenere corretto che: a. tutto quello che ha caratterizzato l evoluzione del sistema fino al tempo t è interamente contenuto nello stato x(t); b. l osservazione e/o l intervento su un sistema inizia in un certo istante t 0 e, per l ipotesi a., in tale istante èsufficiente conoscere il valore dello stato x(t 0 )=x 0 ; c. lo stato all istante t non può dipendere da quello che accadrà negli istanti di tempo successivi a t e deve essere univocamente determinabile; d. l uscita all istante t ècompletamentedefinita noti lo stato e l ingresso nello stesso istante t. 10

2 Queste affermazioni portano alla caratterizzazione dello stato mediante la seguente funzione che ne evidenzia le dipendenze x(t) =ϕ t, t 0,x 0,u [t0,t), ϕ : (T T ) X U X mentre per l uscita si ha y(t) =η(t, x(t),u(t)) η : T X U Y per le quali sono definitiiseguentispazi: - T spaziodeitempi;set R il sistema si dice a tempo continuo, set Z il sistema si dice a tempo discreto; -(T T ) tale che se (t 1,t 2 ) (T T ) allora t 1 t 2 ; - X spazio degli stati; - U spazio delle funzioni di ingresso; - U spazio dei valori dell ingresso; - Y spazio dei valori dell uscita. Proprietà delle rappresentazioni con lo stato: 1. causalità: (t, t 0 ) (T T ), x 0 X, u 1 [t0,t) = u 2 [t0,t) = ϕ t, t 0,x 0,u 1 [t0,t) = ϕ t, t0,x 0,u 2 [t0,t) ; 2. consistenza: t 0 X, u U, ϕ (t 0,t 0,x 0, 0) = x 0 ; 3. separazione: (t, t 0 ) (T T ), x 0 X, u U, t 1 [t 0,t], ϕ t, t 1, ϕ t 1,t 0,x 0,u [t0,t 1 ),u [t1,t) = ϕ t, t0,x 0,u [t0,t). 11

3 Ipotesidistazionarietà Una rappresentazione con lo spazio di stato viene detta stazionaria se, T, (t, t 0 ) (T T ), x 0 X, u U, conu chiuso rispetto alla traslazione 1 ϕ t, t 0,x 0,u [t0,t) = ϕ t +,t0 +,x 0,u [t0,t) (1) e T, t T, x X, u U η(t, x, u) =η(t +,x,u) (2) In paticolare, se in (1) si pone = t 0, si ottiene ϕ t, t 0,x 0,u [t0,t) = ϕ t t0, 0,x 0,u t0 [t0,t) evidenziando così che la dipendenza dal tempo è rappresentata solo dalla differenza tra t 0 e t, ossia dalla durata dell osservazione, mentre se si pone in (2) = t, siottiene η(t, x, u) =η(0, x, u) mettendo in luce il fatto che l uscita non dipende esplicitamente dal tempo. 1 u U u U, doveconu [t0,t) si indica la traslazione di ampiezza T del segmento di funzione u [t0,t). 12

4 Ipotesi di linearità Una rappresentazione con lo spazio di stato viene detta lineare se 1) gli spazi U, X ed Y sono lineari; 2) U è uno spazio lineare; 3) (t, t 0 ) (T T ) la funzione ϕ è lineare sul prodotto cartesiano X U; 4) t T la funzione η è lineare sul prodotto cartesiano X U. Se il sistema soddisfa la proprietà dilinearità, allora comunque si scelgano due stati x 1 e x 2, due segmenti di funzione u 1 e u 2 e due costanti α 1 e α 2,sihache In particolare, scegliendo ϕ t, t 0, α 1 x 1 + α 2 x 2, α 1 u 1 [t0,t) + α 2 u 2 [t0,t) = = α 1 ϕ t, t 0,x 1,u 1 [t0,t) + α2 ϕ t, t 0,x 2,u 2 [t0,t) α 1 =1, α 2 =1, x 1 = x 0, x 2 =0, u 1 =0, u 2 = u si ottiene ϕ t, t 0,x 0,u [t0,t) = ϕ (t, t0,x 0, 0) + ϕ t, t 0, 0,u [t0,t) = ϕl (t, t 0,x 0 )+ϕ F t, t0,u [t0,t) con ϕ L (t, t 0,x 0 ) lineare rispetto a x 0 e ϕ F t, t0,u [t0,t) lineare rispetto a u [t0,t). Per la funzione di uscita, si ha η(t, α 1 x 1 (t)+α 2 x 2 (t), α 1 u 1 (t)+α 2 u 2 (t)) = = α 1 η(t, x 1 (t),u 1 (t)) + α 2 η(t, x 2 (t),u 2 (t)) eponendo α 1 =1, α 2 =1, x 1 = x, x 2 =0, u 1 =0, u 2 = u si ottiene η(t, x(t)u(t)) = η(t, x(t), 0) + η(t, 0,u(t)) = η L (t, x(t)) + η F (t, u(t)) 13

5 Se le proprietàdistazionarietà e linearità valgono contemporaneamente, si hanno le seguenti strutture per le funzioni ϕ ed η: ϕ t, t 0,x 0,u [t0,t) = ϕ (t t0, 0,x 0, 0) + ϕ t t 0, 0, 0,u t0 [t0,t) = = ϕ L (t t 0,x 0 )+ϕ F t t0,u t0 [t0,t) η(t, x(t),u(t)) = η L (x(t)) + η F (u(t)) Riferimenti [1] A.Ruberti,A.Isidori,TeoriadeiSistemi,Boringhieri 14

6 3- Rappresentazione con lo spazio di stato: forma implicita e forma esplicita 15