Sottospazi associati a matrici e forma implicita. Sottospazi associati a una matrice Dimensione e basi con riduzione Sottospazi e sistemi. Pag.

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1 Spazi vettoriali Sottospazi associati a ua matrice Dimesioe e basi co riduzioe Sottospazi e sistemi 2 Pag Politecico di Torio 1

2 Spazi delle righe e delle coloe Sia A M m, ua matrice m x. Allora Lo spazio delle righe di A, deotato co R(A), è il SSV di K geerato dalle righe di A cosiderate come vettori di K. Lo spazio delle coloe di A, deotato co C(A), è m il SSV di K geerato dalle coloe di A m cosiderate come vettori di K. R(A) e C(A) si dicoo sottospazi associati a A. 4 Pag Politecico di Torio 2

3 Spazio delle righe e matrici equivaleti Osserviamo che se A, B M m, soo equivaleti per righe, allora le righe di B soo CL di quelle di A. Ifatti dopo ua OE su A, ua riga delle matrice trasformata A può solo essere uguale u multiplo di ua riga di A oppure essere la somma di ua riga di A co u multiplo di u altra riga di A. Quidi A B implica che R(A) = R(B). 5 Esempio (1/2) Applichiamo quato fatto al calcolo della dimesioe di R(A), dove A =. Allora A A' = Pag Politecico di Torio 3

4 Esempio (2/2) Evidetemete R(A ) = R(A) è geerato da X 1 = (1, 0, 0, 0), X 2 = (0, -1, 1, 3), X 3 = (0, 0, 2, 1). Per vedere che formao u isieme libero (e quidi ua base di R(A)) verifichiamo che la matrice M che ha tali vettori come coloe ha rago Osserviamo che M è equivalete a ua matrice a scala co gli stessi pivots di A. 7 Dimesioe e basi dello spazio delle righe Geeralizzado l esempio precedete abbiamo che, data A M m,, dim R(A) = r (A). Se A è ua forma a scala di A, allora le righe o ulle di A soo ua base di R(A). 8 Pag Politecico di Torio 4

5 Esempio (1/2) Studiamo ora lo spazio delle coloe. Sia A = Allora A A' = Esempio (2/2) Le coloe di A i cui idici soo quelli delle coloe di A coteeti i pivots, cioè [A ] 1, [A ] 2 e [A ] 4, C soo ua base di (A). Ifatti: r (M ([A ] 1, [A ] 2, [A ] 4 ) = 3, quidi soo LI. Per j = 3, 5, r (M ([A ] 1, [A ] 2, [A ] 4, [A ] j ) = 3, cioè [A ] j ècl di [A ] 1, [A ] 2 e [A ] 4 ; quidi tali coloe geerao C (A ). 10 Pag Politecico di Torio 5

6 Dimesioi e basi dello spazio delle coloe Geeralizzado l esempio precedete abbiamo che, data A M m,, dim C(A) = r (A). Se j (1),...,j (r ) soo gli idici delle coloe di ua forma a scala di A che cotegoo i pivots, allora le coloe [A ] j (1),..., [A ] j (r ) della matrice A soo ua base di C (A) 11 Rago della trasposta Dalla discussioe precedete si deduce che se A M m,, allora r (A) = r ( A). t Ifatti poiché t A si ottiee scambiado le righe co le coloe, abbiamo C( A) t = R(A) da cui r ( A) t = dim C ( A) t = dim R (A) = r (A). 12 Pag Politecico di Torio 6

7 Basi di K e matrici ivertibili Altre cosegueze riguardao le matrici ivertibili. Se A GL, le righe e le coloe di A formao ua base di K. Se A M e se le righe o le coloe A formao ua base di K allora A GL. Ifatti A GL r(a) = dim R(A) = dim C(A) = R(A) = C (A) = K. 13 Sottospazi associati a matrice e forma implicita Pag Politecico di Torio 7

8 Estrazioe di ua base Se ora L è u SSV di K e L = L(X 1,..., X k ). Se M = M (X 1,..., X k ), evidetemete L = C (M ) = R( t M ), quidi: diml = r (M ). Se j (1),..., j (r ) soo gli idici delle coloe di ua forma a scala di M che cotegoo i pivots, allora i vettori X j (1),..., X j (r ) soo ua base di L. 15 Esempio (1/5) Quato fatto ci permette, a partire dai geeratori di u SSV L di K, di estrarre ua base estededola cotemporaeamete a ua base di K. Cosideriamo il seguete esempio. Siao X 1 = (1, -1, 0, 1), X 2 =(0, -3, -1, 2), X 3 = (2, 1, 1, 0), X 4 = (3, 0, 1, 1) e sia L = L(X 1,..., X 4 ). Vogliamo estrarre da {X 1,..., X 4 } ua base di L e estedere tale base 4 a ua base di K. 16 Pag Politecico di Torio 8

9 Esempio (2/5) Se cosideriamo {X 1,..., X 4, e 1,..., e 4 }, questo isieme cotiee la base caoica, duque è u 4 isieme di geeratori di K. Se estraiamo da tale 4 isieme ua base di K coteete ua base di L abbiamo risolto il ostro problema. Posto M = M (X 1,..., X 4, e 1,..., e 4 ), abbiamo che la matrice 17 Esempio (3/5) M = è equivalete alla matrice a scala. 18 Pag Politecico di Torio 9

10 Esempio (4/5) M ' = Esempio (5/5) Le coloe di M coteeti i pivots soo la prima, la secoda, la quita e la sesta: duque X 1 = [M ] 1, X 2 = [M ] 2, e 1 = [M ] 5, e 2 = [M ] 6 4 formao ua base di K e X 1, X 2 ua base di L. 20 Pag Politecico di Torio 10

11 Osservazioi Evidetemete tale procedura si geeralizza. Possiamo fare le segueti osservazioi: La base caoica può essere sostituita da ua qualsiasi base di K. Se si parte da ua base di L, si ottiee subito u estesioe a ua base di K. Se {X 1,..., X k } L è u isieme libero, possiamo estedere tale isieme a ua base di L co la stessa procedura utilizzado ua base di L al posto di ua base di K. 21 Pag Politecico di Torio 11

12 Forma implicita e esplicita Abbiamo visto che, dato u sistema omogeeo S : AX = O, co A M m,, l isieme sol (S ) è u SSV di K. Il SSV L = sol (S ) viee allora detto sottospazio i forma implicita. Ivece, se u SSV L di K è dato assegado u isieme fiito L di geeratori, allora L = L( L ) viee detto i forma esplicita. 23 Passaggio alla forma implicita (1/4) Il Teorema di Fiitezza ci garatisce che ogi SSV L di K può essere dato i forma esplicita. Partiamo da u esempio per vedere che L ammette sempre ache ua forma implicita. 4 Sia L il SSV di K geerato da X 1 = (1, 1, 1,1), X 2 = (-1, 0, -1, 0), X 3 = (0, 1, 0, 1). Per il Criterio di Dipedeza, X = (x, y, z, t ) L se e solo se le matrici M = M (X 1,..., X 4 ) e M = M (X 1,..., X 4, X ) hao lo stesso rago. 24 Pag Politecico di Torio 12

13 Passaggio alla forma implicita (2/4) Trasformiamo M i modo che M (otteuta da M elimiado l ultima coloa) sia i forma a scala x x y x y M ' = z z y t t y 25 Passaggio alla forma implicita (3/4) Allora r (M ) = r (M ) (e quidi X L) se e solo X è soluzioe del sistema omogeeo x z = 0 S : y t = 0 Duque L = sol (S ). Osserviamo che diml = r (M) = Pag Politecico di Torio 13

14 Passaggio alla forma implicita (4/4) Geeralizzado l esempio precedete, possiamo affermare che, se L è u SSV di K, allora esiste u sistema omogeeo S tale che L = sol (S ). Osservazioi: Per qualsiasi A GL se S : AX = O allora sol (S ) = {O } per il teorema di Cramer (forma implicita dello spazio ullo). K è l isieme delle soluzioi di ogi sistema O m, X = O (matrice dei coefficieti ulla). 27 Passaggio alla forma esplicita (1/3) Dati u SSV di K i forma implicita, diamo u metodo per determiare ua base, quidi ua forma esplicita e ua formula per la dimesioe. Sia L = sol (S ), co x + y + z + t = 0 S : 2x y + 2z + t = 0 3x + 3z + 2t = 0 28 Pag Politecico di Torio 14

15 Passaggio alla forma esplicita (2/3) Le soluzioi di S i forma vettoriale soo date da: 2 x 1 3 y 0 1 X = = z + t. z 1 3 t Passaggio alla forma esplicita (3/3) Duque posto X 1 = (-1, 0, 1, 0), X 2 = (-2/3, -1/3, 0, 1), ogi X L ècl di X 1, X 2, quidi L = L(X 1, X 2 ). Osserviamo ioltre che X 1, X 2 soo LI, e quidi soo ua base di L. 30 Pag Politecico di Torio 15

16 Formula della dimesioe L esempio precedete mostra che possiamo trovare ua base di u SSV L di K i forma implicita L = sol(s ) co tati elemeti quate soo le variabili idipedeti di S i qualsiasi delle sue risolveti. Se L = sol(s ) co S : AX = O e A M m,, abbiamo diml = dim sol(s ) = r (A ) I altri termii: la dimesioe di L è uguale alla differeza tra il umero di variabili di S e il rago della matrice dei coefficieti di S. 31 Pag Politecico di Torio 16

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