CAPITOLO XVIII CORRELAZIONE E COVARIANZA

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1 CAPITOLO XVIII CORRELAZIONE E COVARIANZA 8.. La correlazone 8.. Condzon d valdta e sgnfcatvta d r con ρ 0 e con ρ Sgnfcatvta della retta con R? Intervallo d confdenza d ρ Potenza a pror e a posteror per la sgnfcatvta d r Dfferenza tra due coeffcent d correlazone n campon ndpendent e calcolo del coeffcente comune Potenza a pror e a posteror del test per la sgnfcatvta della dfferenza tra due coeffcent d correlazone Test per la dfferenza tra pu coeffcent d correlazone; coeffcente d correlazone comune r w e sua sgnfcatvta Cenn su confront multpl tra pu r La correlazone parzale o netta d prmo ordne e d ordne superore; la correlazone semparzale Anals della covaranza per due grupp, con test t d Student per rette parallele e per rette non parallele Anals della covaranza per k grupp (ANCOVA) e rduzone proporzonale della varanza d errore Gl outler nell anals d regressone e correlazone L'anals de resdu per l'dentfcazone degl outler; resduals, studentzed resduals, standardzed resduals Hat value o leverage, studentzed deleted resduals La dstanza eucldea tra le statstche della retta e la dstanza d Cook; applcazon del jackknfe Lettura d tre tabulat d programm nformatc su regressone e correlazone lneare semplce Confronto tra quattro output nformatc sulla regressone lneare semplce: SAS, MINITAB, SYSTAT, SPSS 33

2 CAPITOLO XVIII CORRELAZIONE E COVARIANZA 8.. LA CORRELAZIONE La regressone lneare è fnalzzata all'anals della dpendenza tra due varabl, delle qual - una (Y) è a pror defnta come dpendente o effetto, - l'altra (X) è ndvduata come ndpendente o causa. L'nteresse della rcerca è rvolta essenzalmente all'anals delle cause o allo studo predttvo delle quanttà mede d Y, che s ottengono come rsposta al varare d X. Spesso anche nella rcerca ambentale, bologca e medca, la relazone d causa-effetto non ha una drezone logca o precsa: potrebbe essere ugualmente applcata ne due sens, da una varable all'altra. Le coppe d fdanzat o spos d solto hanno altezza smle: la relazone d causa effetto può essere applcata sa dall'uomo alla donna che vceversa; coppe d gemell hanno strutture fsche sml e quella d uno può essere stmata sulla base dell'altro. Altre volte, la causa può essere ndvduata n un terzo fattore, che agsce smultaneamente su prm due, n modo dretto oppure ndretto, determnando valor d entramb e le loro varazon, come la quanttà d polver sospese nell ara e la concentrazone d benzene, entramb dpendent dall ntenstà del traffco. In altre ancora, l nteresse può essere lmtato a msurare come due sere d dat varano conguntamente, per po andare alla rcerca delle eventual cause, se la rsposta fosse statstcamente sgnfcatva. In tutt quest cas, è corretto utlzzare la correlazone. Pù estesamente, è chamato coeffcente d correlazone prodotto-momento d Pearson (Pearson product-moment correlaton coeffcent), perché nella sua espressone algebrca è stato presentato per la prma volta da Karl Pearson ( ) n un lavoro del 895. In modo pù semplce, anche nel testo d Fsher è chamato coeffcente d correlazone oppure correlazone del prodotto de moment. Il termne correlazone era gà presente nella rcerca statstca del secolo scorso, anche se Galton (8-9) parlava d co-relaton. Sr Galton è stato l prmo ad usare l smbolo r (chamato reverson), ma per ndcare l coeffcente angolare b ne suo stud sull eredtaretà. La pratca d ndcare l coeffcente d correlazone con r dventa generale a partre dal 90. La scuola francese sovente utlzza la dzone coeffcente d correlazone d Bravas-Pearson, per rcordare l connazonale Bravas (846), che aveva presentato alcun concett mportant d tale metodo cnquanta ann prma d Karl Pearson. Per spegare le dfferenze logche nell uso della regressone e della correlazone, var test d statstca rcorrono a esemp dvertent o paradossal. Uno d quest è quanto evdenzato da un rcercatore de

3 paes nordc. In un ampa area rurale, per ogn comune durante l perodo nvernale è stato contato l numero d ccogne e quello de bambn nat. E dmostrato che all aumentare del prmo cresce anche l secondo. Rcorrere all'anals della regressone su queste due varabl, ndcando per ogn comune con X l numero d ccogne e con Y l numero d nat, mplca una relazone d causa-effetto tra presenza d ccogne (X) e nascte d bambn (Y). Anche nvolontaramente s afferma che bambn sono portat dalle ccogne; addrttura, stmando b, s arrva ad ndcare quant bambn sono portat medamente da ogn ccogna. In realtà durante mes nvernal, nelle case n cu è presente un neonato, la temperatura vene mantenuta pù alta della norma, passando ndcatvamente da 6 a 0 grad centgrad. Soprattutto ne perod pù rgd, le ccogne sono attratte dal maggor calore emesso da camn e ndfcano pù faclmente su d ess o v s soffermano pù a lungo. Con la correlazone s afferma solamente che le due varabl cambano n modo congunto. L'anals della correlazone msura solo l grado d assocazone spazale o temporale de due fenomen; ma lasca lber nella scelta della motvazone logca, nel rapporto logco tra due fenomen. Il coeffcente r è una msura dell ntenstà dell assocazone tra le due varabl. Una presentazone chara dell uso della correlazone è fornta da Fsher stesso. Nonostante l talano del traduttore rsenta del perodo, sulla base d una cultura bologca mnma è possble comprendere l ragonamento e la procedura che dovrebbero anche ogg caratterzzare l bologo. S rafferma l concetto d non attrbure troppa mportanza al puro aspetto statstco, se sgancato dal problema; è necessaro utlzzare le due competenze conguntamente. Nel caso partcolare, un aspetto culturale mportante è la presentazone dell eredtaretà nell uomo, tpca della cultura d Fsher, della sua scuola e del perodo storco a partre da Galton. In Metod statstc ad uso de rcercator, Torno 948, Unone Tpografca Edtrce Tornese (UTET), 36 p. traduzone d M Gorda, del testo Statstcal Methods for Research Workers d R. A. Fsher 945, nona edzone (la prma nel 95) a pag. 63 s legge: Nessuna quanttà è pù caratterstcamente mpegata n bometrca quanto l coeffcente d correlazone e nessun metodo è stato applcato a tanta varetà d dat quanto l metodo d correlazone. Specalmente ne cas n cu s può stablre la presenza d vare cause possbl contrbuent a un fenomeno, ma non s può controllarle, dat rcavat dall osservazone hanno con questo mezzo assunto un mportanza assolutamente nuova. In un lavoro propramente spermentale, peraltro, la poszone del coeffcente d correlazone è molto meno centrale; esso, nfatt, può rsultare utle negl stad nzal d una ndagne, come quando due fattor che sono rtenut ndpendent, rsultano nvece assocat; ma è raro che, dsponendo d condzon spermental controllate, s ntenda esprmere una conclusone nella forma d un coeffcente d correlazone.

4 Uno de prm e pù notevol success del metodo della correlazone s rscontrò nello studo bometrco dell eredtaretà. In un tempo n cu nulla s conosceva del meccansmo dell eredtaretà o della struttura della matera germnale, fu possble, con questo metodo, dmostrare l esstenza dell eredtaretà e msurarne l ntenstà ; questo n un organsmo nel quale non s potrebbero pratcare allevament spermental, coè nell Uomo. Comparando rsultat ottenut dalle msurazon fsche sull uomo, con quell ottenut su altr organsm, s stablì che la natura dell uomo è governata dall eredtaretà non meno d quella del resto del mondo anmato. Lo scopo dell analoga fu ulterormente allargato dalla dmostrazone che coeffcent d correlazone della stessa grandezza s potevano ottenere tanto per le msurazon fsche, quanto per le qualtà moral ed ntellettual dell uomo. Quest rsultat rmangono d mportanza fondamentale perché, non soltanto l eredtaretà nell uomo non è ancora suscettble d stud spermental e gl attual metod d prova rguardant l ntelletto sono, tuttora, nadatt ad analzzare le dsposzon ntellettual, ma perché, anche con organsm passbl d esperment e d msurazon, è soltanto nel pù favorevole de cas che coll auslo de metod mendelan possono essere determnat dvers fattor causant la varabltà ncostante e studat loro effett. Tale varabltà fluttuante, con una dstrbuzone pressoché normale, è caratterstca della maggoranza delle varetà pù utl delle pante e degl anmal domestc; e, quantunque, c sa qu una forte ragone per rtenere che n tal cas l eredtaretà è, n defntva, mendelana, l metodo bometrco d studo è, ogg gorno, l solo capace d almentare le speranze d un reale progresso. Questo metodo, che è antcamente basato sul coeffcente d correlazone, confersce a questa quanttà statstca un effettva mportanza anche per coloro che preferscono svluppare la loro anals con altr termn. Nella correlazone, le due varabl vengono ndcate con X e X, non pù con X (causa) e Y (effetto), per rendere evdente l'assenza del concetto d dpendenza funzonale. (Purtroppo, n var lavor sono usat ugualmente X e Y, senza voler mplcare l concetto della regressone). L'ndce statstco (+r oppure r) msura - l tpo (con l segno + o -) - e l grado (con l valore assoluto) d nterdpendenza tra due varabl. Il segno ndca l tpo d assocazone: - postvo, quando le due varabl aumentano o dmnuscono nseme, - negatvo, quando all'aumento dell'una corrsponde una dmnuzone dell'altra o vceversa. 3

5 Il valore assoluto vara da 0 a : - è massmo (uguale a ) quando c'è una perfetta corrspondenza lneare tra X e X ; - tende a rdurs al dmnure della corrspondenza ed è zero quando essa è nulla. L ndcatore della correlazone r è fondato sulla Codevanza e la Covaranza delle due varabl. La Codevanza e la Covaranza tra X e X (Cod X/X e Cov X/X ) hanno la propretà vantaggosa d contenere queste due nformazon sul tpo (segno) ed sul grado (valore) d assocazone; ma presentano anche lo svantaggo della regressone, poché l loro valore rsente n modo determnante della scala con la quale le due varabl X e X sono msurate. Quantfcando l peso n chlogramm oppure n gramm e l'altezza n metr oppure n centmetr, s ottengono valor assolut d Codevanza con dmenson dverse, appunto perché fondat sugl scart dalle mede ( x x ): Cod X/X ( x x) ( x x) E possble pervenre a valor drettamente comparabl, qualunque sa la dmensone de due fenomen, coè ottenere valor admensonal, solo rcorrendo ad untà standard, quale appunto la varazone tra e +. S pervene ad essa, - medante l rapporto tra la codevanza e la meda geometrca delle devanze d X e X : r ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) In realtà la defnzone è basata sulla covaranza e le due varanze: la stma della correlazone è l rapporto tra la covaranza e la meda geometrca delle due varanze. Tuttava, dato che le varanze sono ottenute dvdendo le devanze per n (oppure grad d lbertà n caso d campon come sempre usato nelle formule presentate), anche nel testo d Fsher s afferma che convene basare l calcolo sulla codevanza e devanze Per comprendere l sgnfcato geometrco dell ndce r d correlazone e dervarne la formula, un approcco semplce è l confronto tra le due rette d regressone, calcolate da valor d X e X : - la prma calcolata con X usata come varable dpendente e X come varable ndpendente; - la seconda scambando le varabl, qund utlzzando X come dpendente e X come ndpendente. (Per meglo dstnguere le due rette, anche se errato è qu convenente utlzzare X e Y per le due varabl) 4

6 Nella fgura precedente, l'ellsse (la superfce contenuta nella fgura pana chusa) descrve la dstrbuzone d una nuvola d punt. Quando s calcola la retta d regressone classca, presentata nel captolo relatvo, Y a + bx s ottene la retta ndcata con punt vuot (o banch). Se s scambano le varabl e s stma X a+by s ottene la retta ndcata da punt n nero. Entrambe passano da barcentro della dstrbuzone, ndvduato dall'ncontro delle due mede ( X e Y ), ma ognuna d esse è pù vcna, n modo smmetrco, alla meda della varable ndcata come effetto (la prma a Y e la seconda a X). Il valore d correlazone lneare r può essere rcavato da due coeffcent angolar b. Le due rette concdono solamente quando punt sono dspost esattamente lungo una retta. A..... r B r 0.8 C r 0.4 5

7 D r E r 0 F r 0.4 Le due rette, rportate n ognuna de 6 fgure precedent, sono calcolate sulle stesse coppe d osservazon, scambando appunto X e X. Esse - ntersecano nel barcentro della dstrbuzone, l punto che rappresenta l valore medo d X e d X ; - ma non sono dentche o concdent (eccetto nella fgura A, n cu r ), poché entrambe tendono ad avvcnars alla meda della varable assunta come dpendente. Quando le due rette sono tra loro perpendcolar (fgura D e fgura E) con angol d 90 e concdono con le due mede, le due varabl sono ndpendent e tra loro non esste alcuna correlazone (r 0); nversamente, quando le due rette tendono ad avvcnars con un angolo mnore, l valore assoluto della correlazone tende ad aumentare (fgura C e fgura B). Il valore massmo (r ) vene raggunto quando le due rette concdono e l angolo tra esse è nullo (fgura A). Il segno della correlazone dpende dal coeffcente angolare delle due rette: è postvo, se l loro coeffcente angolare è postvo, mentre è negatvo quando l coeffcente angolare è negatvo. Pertanto l valore d r può varare tra + e -. (Tra le fgure non sono stat rportat valor d r negatv: la dstrbuzone de punt avrebbe evdenzato una dmnuzone de valor della ordnata al crescere d quell n ascssa e qund le due rette avrebbero avuto una nclnazone verso l basso all aumentare dell ascssa.) E' mportante rcordare che un valore assoluto basso o nullo d correlazone non deve essere nterpretato come assenza d una qualsas forma d relazone tra le due varabl: - è assente solo una relazone d tpo lneare, - ma tra esse possono esstere relazon d tpo non lneare, espresse da curve d ordne superore, tra le qual la pù semplce e frequente è quella d secondo grado. L'nformazone contenuta n r rguarda solamente la quota espressa da una relazone lneare. 6

8 Per dervare la formula d r da quanto gà evdenzato sulla regressone lneare semplce, è utle rcordare che essa può essere vsta come la meda geometrca de due coeffcent angolar (b) d regressone lneare. Infatt, ndcando con - b x / x l coeffcente angolare della prma retta d regressone, - b x / x l coeffcente angolare della seconda retta d regressone, l coeffcente d correlazone r può essere stmato come r b b X X X X Poché b ( / j ) Cod. j Dev. e dato che le due Codevanze sono dentche, Cod. j Cod. j r Dev. Dev. j dopo semplfcazone, nella formulazone estesa con la consueta smbologa s ottene r ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) Per calcolare l coeffcente d correlazone da una sere d rlevazon, s possono presentare due cas dstnt: - l prmo, con poche osservazon, quando dat sono fornt come coppe dstnte d valor; - l secondo, con molte osservazon, quando dat sono stat raggruppat n class d frequenza. La formula sopra rportata è applcable nel caso d osservazon sngole. 7

9 ESEMPIO. In 8 lagh dell'appennno Tosco-Emlano sono state msurate la conducbltà e la concentrazone d anon + caton, ottenendo le coppe d valor rportat nella tabella Lagh Conducbltà (X ) Anon + Caton (X ) SILLARA INF. 0 0,38 SILLARA SUP. 0,375 SCURO CERR. 0,385 VERDAROLO 6 0,445 SQUINCIO 4 0,445 SCURO PARMENSE 8 0,50 PALO 7 0,503 ACUTO 6 0,50 SCURO 9 0,576 COMPIONE INF. 35 0,645 GEMIO INF. 33 0,650 PETRUSCHIA 37 0,675 GEMIO SUP. 34 0,680 SANTO PARMENSE 35 0,746 BICCHIERE 37 0,764 BALLANO 39 0,845 BACCIO 4 0,936 VERDE 45 0,954 Calcolare l coeffcente d correlazone tra queste due varabl a) - n modo dretto e b) - medante due coeffcent angolar, per meglo comprendere l equvalenza delle due formule. Rsposta. A) In modo dretto, con la formula che utlzza le sngole coppe d valor s ottene un valore d r r ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) uguale a 0,987. r, 893 0, , 778, 893 0, , 8

10 Utlzzando coeffcent angolar delle due regresson, che da calcol rsultano b 0, 06; b 37, 5 X X X X e che sono rappresentat nelle due fgure seguent ANIONI + CATIONI X CONDUCIBILITA' X CONDUCIBILITA' X ANIONI+CATIONI X Regressone d X su X Regressone d X su X l coeffcente d correlazone r b b 0, 06 37, 5 0, 9876 X X X X rsulta uguale a 0,9876 con una dfferenza, dalla stma precedente, determnata dagl arrotondament. Nel caso d osservazon raggruppate n class, l metodo per calcolare l'ndce d correlazone resta sostanzalmente nvarato, rspetto a quello presentato nel captolo sulla statstca descrttva. Per ogn classe, come valore rappresentatvo vene assunto l valore centrale; le dfferenze tra quest valor central d ogn classe ed l valore centrale d tutta la dstrbuzone devono essere moltplcate per l numero d osservazon. Per semplfcare calcol e per una esatta comprensone del fatto che le varazon d scala non ncdono assolutamente sul valore d r (che è admensonale) è possble utlzzare non valor 9

11 osservat ma gl scart delle grandezze da una qualsas orgne arbtrara. D norma è quella centrale, n quanto determna scart mnm e smmetrc. La classe d frequenza centrale o prossma al centro vene ndcata con zero e le altre con l numero progressvo, postvo a destra e negatvo a snstra, d dstanze untare da essa. Per esempo, la dstrbuzone d X n 7 class che potrebbe utlzzare valor central relatv (60, 80, 00, 0, 40, 60, 80) per l calcolo dell ndce r d correlazone può essere utlmente trasformata n una scala untara mentre la dstrbuzone della varable X n 6 class può essere trasformata n un altra dstrbuzone arbtrara equvalente, seppure non smmetrca come la precedente. E ntutvo che, con quest nuov dat, prodott e le somme necessare alla stma del coeffcente d correlazone r rsultano molto semplfcat, per un calcolo manuale. Sono qund tecnche del passato, superate dalle nuove possbltà offerte dall nformatca, con la quale non s pongono problem d semplfcazone de calcol. Restano però mportant concett: l ndce d correlazone r tra due varabl è admensonale, fornsce lo stesso valore al varare delle scale d msura. Rtornando al concetto dell nvaranza del valore d r rspetto al tpo d scala, nulla muterebbe nel suo valore se la prma o la seconda dstrbuzone fossero trasformate n una scala ancora dfferente, come la seguente 0

12 N Con dat raggruppat n dstrbuzon d frequenze, l coeffcente d correlazone r può essere ottenuto con la solta formula r Cod. X X Dev. X Dev. X n cu la Codevanza d X e X è data da Cod X X f d d. XX X X ( f X dx) ( f X dx) N e le due devanze da la prma e da la seconda, dove Dev f d ( fx dx ) f x x x x Dev f d ( fx dx ) f x x x x - d X e d X sono gl scart, msurat su una scala arbtrara, de valor delle class dall'orgne scelta; - f X e f X sono le frequenze de valor d X e d X entro cascuna classe; - f XX sono le frequenze delle coppe X -X entro cascuna coppa d class. ESEMPIO. Da una sere d rlevazon effettuate su un campone d acqua d 7 lagh (rportate nella tabella successva) A - costrure la relatva tabella a doppa entrata d dstrbuzone delle frequenze e B - calcolare da essa l coeffcente d correlazone semplce r.

13 Lagh Conducbltà X Anon + Caton X SCURO PR 8 0,50 COMPIONE INF. 35 0,645 SANTO PARMENSE 35 0,746 COMPIONE SUP. 45 0,85 BALLANO 39 0,845 BACCIO 4 0,936 PRADACCIO 53,8 OSIGLIA 54,59 SANTO MODENESE 79,38 NERO PIACENTINO 6,530 BUONO 7,77 NINFA 96,6 PRANDA 08,9 CERRETANO 99,7 SCAFFAIOLO 08,37 PADULE CERRETO,563 LAME 0,66 Rsposte A) Da dat, è possble rcavare la tabella a doppa entrata, come quella d seguto rportata X X F XX f X Mede 0,5-0,8-3 3 (7) 3 0,63 0,8-, - 3 () 3 0,865,-,4 - () 3,86,4-,7 0,530,7-,0,77,0-,3 (4) (4) 3,08,3-,6 3 (4) (9),440,6-,9 4 (8),66 F X Mede 3,66 4,66 56,00 75,00 97,50 08,66,00

14 Nel rquadro nterno della tabella sono rportate le f xx e (tra parentes) prodott fx d x d x che saranno utlzzat per l calcolo della codevanza. Non sono state rportate le frequenze nulle. I var passagg necessar per stmare la Devanza d X da dat della dstrbuzone n class sono rportat nella tabella successva X f x d x fx d x fx d TOTALE x Con la formula abbrevata Dev x f x d x ( f x d x ) ( 7) 65 f x 7 7,88 s ottene la radce quadrata della devanza d X, utle a calcol successv, che è uguale a 7,88. Seguendo le stesse modaltà, l calcolo della Devanza d X e della sua radce quadrata ( cu passagg sono rportat nella tabella successva) X f x d x f d f d 0,5-0, ,8-, ,-, ,4-, ,7-,0 +,0-, ,3-, ,6-, TOTALE 7-89 x x x x 3

15 fornsce un rsultato d 9,43. ( ) , 7 Dalle due tabelle è possble ottenere dat necessar alla stma della Codevanza Cod f d d XX XX X X dove N f f X X che rsulta uguale a 7,588 ( f X dx) ( f X dx) ( 7)( ) N , 7 Il coeffcente d correlazone r r rsulta uguale a 0,963. Dev Cod XX Dev X X 7588, 0, 963 9, 43 7, 88 E semplce verfcare emprcamente, come dmostrano calcol successv, che anche cambando valor d d X e d X l coeffcente d correlazone non camba. X X F XX f X Mede 0,5-0, ,63 0,8-, 3 (3) 3 0,865,-,4 (8) (6) 3,86,4-,7 3 (6),530,7-,0 4 (),77,0-,3 5 (40) (5) 3,08,3-,6 6 (30) (36),440,6-,9 7 (35),66 F X Mede 3,66 4,66 56,00 75,00 97,50 08,66,00 S può nfatt notare le f X ed f X sono rmaste nalterate, mentre sono cambate le f XX La radce quadrata della Devanza d X cu passagg sono rportat nella tabella successva 4

16 X f x d x f d f d TOTALE x x x x x x x Dev f d ( fx dx) ( 44) 76 f 7 x 76 3, 88 6, 8 7, 88 rsulta uguale a 7,88 e la radce quadrata della devanza d X X f x d x f d f d 0,5-0, ,8-, 3 3 3,-,4 3 6,4-, ,7-, ,0-, ,3-,6 6 7,6-, TOTALE x x x x 5

17 ( f X dx ) ( 50) 36 f 7 X Dev X f X d X 36 47, , 94 9, 43 rsulta uguale a 9,43. La Codevanza d X e X Cod f d d X X XX X X ( f X dx) ( f X d X) N dove N f f X X ,4 7,588 7 rsulta uguale a 7,588. Essendo rmaste nvarate sa la Codevanza che le Devanze, l coeffcente d correlazone semplce r non può che rmanere dentco. 8.. CONDIZIONI DI VALIDITA E SIGNIFICATIVITA DI r CON ρ 0 E CON ρ 0 Le condzon d valdtà della correlazone, l cu ndce nel caso d una popolazone è ndcato con ρ (rho), sono le stesse della regressone. Tuttava, mentre nella regressone sono applcate solo alla varable Y, nel caso della correlazone, che utlzza ndstntamente entrambe le varabl, rchede che sa X che X sano dstrbute n modo approssmatvamente normale. Con due varabl, l potes d normaltà della dstrbuzone pretende la dstrbuzone normale bvarata, che è un'estensone a tre dmenson della curva normale. Mentre la superfce d una dstrbuzone unvarata è determnata n modo computo da due parametr (meda µ e devazone standard σ), la superfce normale bvarata è determnata da cnque parametr: - meda e devazone standard della varable X, - meda e devazone standard della varable X, - coeffcente d correlazone (ρ) tra X e X. La sua rappresentazone grafca, nel caso n cu non essta correlazone (ρ 0) tra le due varabl ed esse abbano varanza uguale, determna una fgura come quella rportata: 6

18 p Y X Dstrbuzone normale bvarata X e Y sono due varabl ndpendent (ρ 0) d uguale varanza (σ X Y σ ) La dstrbuzone normale bvarata assume la forma d una collna d forma crcolare, che degrada nello stesso modo su tutt versant; la pendenza dpende dal valore della varanza. p X Y Dstrbuzone normale bvarata X e Y sono due varabl ndpendent (ρ 0) con varanze dverse (σ X Y ; σ 0, 7) 7

19 Quando le varanze sono dverse, sempre nel caso che non essta correlazone, la rappresentazone grafca assume la forma d una collna a pendenze dverse, con un declno pù rapdo dove la varanza è mnore, con frequenze maggor lungo la retta ndvduata da X medo e da Y medo. Quando esste correlazone, come nella fgura successva, la dstrbuzone bvarata tende ad assumere la forma d una cresta d montagna, dstrbuta n dagonale rspetto alle due mede. La cresta è tanto pù sottle quanto pù alto è l valore ρ della correlazone. p X Y Dstrbuzone normale bvarata X e Y sono due varabl correlate (ρ 06, ) d uguale varanza (σ σ ) X Y Con ρ la rappresentazone grafca dventa un pano perpendcolare alla base, posto n dagonale rspetto alle ascsse e alle ordnate. Il segno della correlazone determna solo la drezone d tale pano rspetto alla base. Dopo l calcolo d un coeffcente d correlazone r, sempre valdo come ndce che msura la relazone tra due varabl n quanto solo descrttvo come l calcolo d una meda o d una varanza, può pors l duplce problema della sua sgnfcatvtà, coè d verfcare a) l potes nulla H 0 : ρ 0 ( non sgnfcatvamente dverso da zero) b) l potes nulla H 0 : ρ ρ 0 (non sgnfcatvamente dverso da un qualsas valore prefssato, ma dverso da zero) 8

20 con potes alternatva blaterale oppure unlaterale n entramb cas. A dfferenza de test sulla meda e sul coeffcente angolare b (oppure l ntercetta a), che possono assumere qualsas valore e qund essere sempre dstrbut normalmente rspetto al valore della popolazone, un test d sgnfcatvtà pone problem dfferent d valdtà se ntende verfcare l potes nulla a) ρ 0 b) ρ 0. Nel prmo caso (ρ 0), valor camponar r possono essere assunt come dstrbut n modo approssmatvamente normale e smmetrco rspetto alla correlazone della popolazone (ρ). Nel secondo caso (ρ 0), valor camponar r s dstrbuscono n modo scuramente asmmetrco ntorno alla correlazone della popolazone (ρ) e n modo tanto pù accentuato quanto pù essa s allontana da zero e s avvcna a uno de due estrem (- o +). E ntutvo che, consderando ad esempo rsultat postv, con un valore reale d ρ 0,9 l valore camponaro r non potrà ma superare, mentre potrebbe essere 6 se non 5 oppure 4, n funzone del numero d dat f X Grafco delle dstrbuzon camponare d 3 coeffcent d correlazone. La dstrbuzone è smmetrca solo quando l suo valore atteso (ρ) è zero. In questo secondo caso, occorre procedere ad una trasformazone d r, per rspettare la condzon d valdtà. 9

21 VALORI CRITICI IN TEST BILATERALE DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE SEMPLICE r (DF N-) CON IPOTESI H 0 : ρ 0 DF α0.05 α0.0 α0.00 DF α0.05 α0.0 α0.00 0,9969 0,9999, ,346 0,48 0,589 0,9500 0,9900 0, ,3044 0,393 0, ,8783 0,9587 0, ,875 0,37 0, ,84 0,97 0, ,73 0,354 0, ,7545 0,8745 0, ,609 0,3385 0, ,7067 0,8343 0, ,500 0,348 0, ,6664 0,7977 0, ,405 0,37 0,39 8 0,639 0,7646 0, ,39 0,307 0, ,60 0,7348 0, ,4 0,99 0, ,5760 0,7079 0, ,7 0,830 0,3569 0,559 0,6835 0, ,08 0,748 0,3468 0,534 0,664 0, ,050 0,673 0, ,539 0,64 0, ,996 0,604 0,39 4 0,4973 0,66 0, ,946 0,540 0,3 5 0,48 0,6055 0, ,857 0,45 0, ,4683 0,5897 0, ,779 0,34 0, ,4555 0,575 0, ,70 0,35 0,83 8 0,4438 0,564 0, ,648 0,55 0, ,439 0,5487 0, ,593 0,083 0, ,47 0,5368 0, ,543 0,09 0,56 0,43 0,556 0, ,497 0,959 0,488 0,4044 0,55 0, ,455 0,905 0,40 3 0,396 0,505 0, ,47 0,855 0, ,388 0,4958 0, ,38 0,809 0,99 5 0,3809 0,4869 0, ,3 0,48 0,88 6 0,3739 0,4785 0, ,098 0,8 0,64 7 0,3673 0,4705 0, ,088 0,5 0,46 8 0,360 0,469 0, ,080 0,05 0,34 9 0,3550 0,4556 0, ,074 0,097 0,4 30 0,3494 0,4487 0, ,069 0,09 0, ,065 0,086 0, ,06 0,08 0,04 0

22 VALORI CRITICI IN TEST UNILATERALE DELCOEFFICIENTE DI CORRELAZIONE SEMPLICE r (DF N-) CON IPOTESI H 0 : ρ 0 DF α0.05 α0.0 α0.00 DF α0.05 α0.0 α0.00 0,988,000, ,75 0,38 0,49 0,900 0,980 0, ,57 0,358 0, ,805 0,934 0, ,43 0,338 0, ,79 0,88 0, ,3 0,3 0, ,669 0,833 0, ,0 0,307 0,40 6 0,6 0,789 0, , 0,95 0, ,58 0,750 0, ,0 0,84 0,37 8 0,549 0,75 0, ,95 0,74 0, ,5 0,685 0, ,89 0,64 0, ,497 0,658 0, ,83 0,57 0,336 0,476 0,634 0, ,78 0,49 0,37 0,457 0,6 0, ,73 0,4 0,38 3 0,44 0,59 0, ,68 0,36 0,30 4 0,46 0,574 0,7 00 0,64 0,30 0, ,4 0,558 0, ,56 0,0 0,89 6 0,400 0,54 0, ,50 0,0 0,77 7 0,389 0,59 0, ,44 0,0 0,67 8 0,378 0,55 0, ,39 0,95 0,57 9 0,369 0,503 0, ,34 0,89 0,49 0 0,360 0,49 0,6 60 0,30 0,83 0,4 0,35 0,48 0, ,6 0,77 0,34 0,344 0,47 0, , 0,7 0,8 3 0,337 0,46 0, ,9 0,68 0, 4 0,330 0,453 0, ,6 0,64 0,6 5 0,33 0,445 0, ,095 0,34 0,77 6 0,37 0,437 0, ,08 0,6 0,54 7 0,3 0,430 0, ,074 0,04 0,38 8 0,306 0,43 0, ,067 0,095 0,6 9 0,30 0,46 0, ,06 0,088 0,6 30 0,96 0,409 0, ,058 0,08 0, ,055 0,077 0, ,05 0,073 0,098

23 Quando l potes nulla è H 0 : ρ 0 la sgnfcatvtà del coeffcente angolare r può essere verfcata con 3 modaltà, che ovvamente fornscono rsultat dentc: la tabella de valor d r, n funzone d α e de gdl (oppure del numero n d osservazon), l test F d Fsher-Snedecor, 3 l test t d Student. La prma modaltà utlzza le tabelle snottche del valore d r, con grad d lbertà n-, come sono stat rportat nelle pagne precedent. D conseguenza, è evdente che occorrono almeno 3 coppe d osservazon (DF ). La semplce lettura de valor crtc nella tabella alle probabltà α 0.05, α 0.0 e α 0.00 DF α 0.05 α 0.0 α ,8783 0,9587 0, ,38 0,809 0, ,06 0,08 0,04

24 e quella del grafco mostrano come sa errata l affermazone semplcstca, rportata su alcun test, che un valore d correlazone r 0,3 sa ndcatvamente basso e un valore r 0,5 sa alto. La sgnfcatvtà della correlazone è fortemente nfluenzata da DF, n modo molto pù marcato d quanto avvene nella dstrbuzone t d Student e nella dstrbuzone F d Fsher-Snedecor. Dal semplce confronto delle due sere rportate nella tabellna precedente e dalla lettura del grafco grafco, rsulta evdente che, - con poch dat, potrebbe non essere sgnfcatvo alla probabltà α 0.05 un valore d r apparentemente alto quale 0,85; - con molt dat, potrebbe essere altamente sgnfcatvo, alla probabltà α 0.00, anche un valore apparentemente basso, quale 0,5. Poch test rportano valor crtc d r, vald per verfcare l potes nulla H 0 : ρ 0; quas sempre s deve rcorre alla dstrbuzone F o a quella t che tutt test, anche elementar, rportano. Pure programm nformatc, nseme con l valore d r, rportano la probabltà d F e/o d t. Rcorrendo a concett spegat nella regressone lneare semplce, anche nella verfca dell potes nulla relatva alla correlazone H 0 : ρ 0 l test F, con gdl e n-, r F,n- r n è dato dal rapporto tra - la varanza dovuta alla regressone (la devanza r / df) e - la varanza d errore (la devanza d errore - r / n- df) La formula semplfcata dventa F,n- ( n ) r r Con l test t, che ha df n-, rcordando nuovamente che t F n, n la formula abtualmente utlzzata 3

25 è t (n-) r n r Con l test F, è possble - sa la verfca dell potes alternatva H blaterale H : ρ 0 - sa la verfca dell potes alternatva H unlaterale H : ρ > 0 oppure H : ρ < 0 assumendo sempre n una dstrbuzone blaterale al posto delle probabltà 0.05, 0,0 e 0.00 rspettvamente le probabltà 0.0, 0.0, 0.00, come nelle tabelle precedent su valor crtc d r. Ma è d pù dffcle comprensone, per ch non abba ancora abbastanza famlartà con test statstc, perché la dstrbuzone F con poch gdl, come d solto nella pratca spermentale, è asmmetrca. La dstrbuzone t, n quanto smmetrca come la dstrbuzone z, permette d meglo comprendere la scelta delle probabltà n rapporto alla drezone dell potes alternatva. Per molt è qund preferble al test F, n partcolare n test unlateral, pure fornendo valor dentc a due metod prma presentat. ESEMPIO. La tavola snottca d r per test blateral, con df 5 alla probabltà α 0.05, rporta l valore d 0,48. Verfcare la corrspondenza con l valor crtc a) della dstrbuzone F e b) della t d Student, che possono essere rntraccat nelle tabelle relatve. Rsposta. a) Con r 0,48 e n 7 la verfca dell potes nulla con potes alternatva blaterale medante l test F fornsce un rsultato F, n H 0 : ρ 0 H : ρ 0 r ( n ) r 4

26 uguale a 4,539. 0,48 5 F,5 0,48 3, , 768 4,539 b) Medante l test t d Student fornsce un rsultato uguale a,3. t (5) 0, , 48 t (n-) r n r 0, 48 3, ,,3 0, , 876 E semplce verfcare, sulle tabelle de valor crtc d F e d t, che due rsultat corrspondono esattamente a valor rportat per la probabltà α 0.05 n una dstrbuzone blaterale e che,3 4,539 a meno delle approssmazon de calcol. Per un test d sgnfcatvtà del coeffcente d correlazone r rspetto ad un qualsas valore d ρ 0 dverso da zero, qund per verfcare l potes nulla H 0 : ρ ρ 0 a causa de motv prma llustrat l valore d r deve essere trasformato. Tra le dverse proposte d trasformazone, è ancora molto dffusa l utlzzazone d quella d R. A. Fsher presentata - nel 95 nel dbattto su grand campon (ved l'artcolo Frequency dstrbuton of the values of the correlaton coeffcent n samples from an ndefntely large populaton, pubblcata su Bometrka, 0: 507-5) - e nel 9 per pccol campon (ved l'artcolo On the probable error of a coeffcent of correlaton deduced a small sample, pubblcato su Metron : 3-3). Il valore d r è trasformato n un valore z (zeta mnuscolo) medante z r ln r 5

27 Con questa trasformazone, - valor postv d r, che ovvamente varano da 0 a +, cadono tra 0 e + - valor negatv d r, che ovvamente varano da 0 a -, cadono tra 0 e - n modo smmetrco. In realtà, nella pratca spermentale dove valor d r asntotcamente vcn a sono rar, la varazone cade n un ntervallo mnore d poche untà, n modo smmetrco ntorno alla zero. Ad esempo - r +0,88 + 0,88,88 z 0,5 ln 0,5 ln 0,5 ln5,66 0,5,75 +,375 0,88 0, dventa z,375 - r +0,98 + 0,98,98 z 0,5 ln 0,5 ln 0,5 ln99 0,5 4,595 +,975 0,0 0,0 dventa z +,975 mentre - r -0,88 dventa z -,375 ( 0,88) ( 0,88) + 0, z 0,5 ln 0,5 ln 0,5 ln 0,0638 0,5 (-,75) -,375,88 - r -0,98 ( 0,98) ( 0,98) + 0,0 z 0,5 ln 0,5 ln 0,5 ln 0,00 0,5 (-4,595) -,975,98 dventa z -,975 Anche l valore teorco od atteso d confronto (ρ 0 ) è trasformato nello stesso modo e vene ndcato con ζ (zeta mnuscolo dell alfabeto greco). La verfca d una dfferenza sgnfcatva tra un generco valore camponaro r e l valore atteso ρ 0, con potes nulla H 0 : ρ ρ 0 ed potes alternatva blaterale oppure unlaterale, è qund effettuata con la dstrbuzone normale Z (mauscola) 6

28 z ζ Z σ z dove - Z (mauscola) è l valore che serve per stmare la probabltà α nella dstrbuzone normale, - z (mnuscola) è l valore d r trasformato, - ζ (zeta greca, mnuscola) è l valore d ρ 0 trasformato, - σ z è l errore standard d questa dfferenza (poché r e ρ 0 sono valor med), dato approssmatvamente da σ z n 3 ESEMPIO. Sulla base d numeros camponament, su una rvsta scentfca s afferma che la correlazone tra la presenza quanttatva della spece A e della spece B è postva e par a 0,85. Da una rlevazone camponara con 30 osservazon, l valore d r è rsultato uguale a +0,7. C è motvo d rtenere che n questo caso s abba un valore correlazone sgnfcatvamente dversa? Rsposta. Per verfcare l potes nulla con potes alternatva blaterale per applcare la formula H 0 : ρ +0,85 H : ρ +0,85 Z z ζ σ z - dapprma s deve trasformare n z l valore r +0,7 + 0,7,7 z 0,5 ln 0,5 ln 0,5 ln 5,8965 0,5, ,887 0,7 0,9 ottenendo z +0,887 - successvamente s deve trasformare n ζ l valore ρ 0 +0,85 + 0,85,85 ζ 0,5 ln 0,5 ln 0,5 ln,3333 0,5, 53 +,56 0,85 0,5 ottenendo z +,56 7

29 - e, con n 30, s calcola l errore standard σ z σ z 0, ,9 Per la sgnfcatvtà della dfferenza tra valore osservato (r +0,7) e valore arreso (ρ 0 +0,85), s ottene Z un valore Z -,9. 0,887,56 0,369 -,9 0,9 0,9 In una dstrbuzone normale blaterale è assocato ad una probabltà α 0.055; d conseguenza, l test non rsulta sgnfcatvo, ma per una dfferenza trascurable. Con n >30 molto faclmente rsulterebbe sgnfcatva. Se l test fosse stato unlaterale, coè se v fosse stato motvo d cheders se l valore calcolato fosse sgnfcatvamente mnore d quello stmato, con potes alternatva unlaterale fosse stata H 0 : ρ < ρ 0 l procedmento d calcolo sarebbe stato dentco. Sarebbe varata solo la lettura della probabltà α, che n una dstrbuzone unlaterale sarebbe rsultata uguale a 0.07 e qund avrebbe determnato un test sgnfcatvo SIGNIFICATIVITA DELLA RETTA CON R? Alla fne del captolo sono rportat alcun output d programm nformatc sulla regressone lneare semplce. Inseme con le rsposte sulla sgnfcatvtà de parametr - a (ntercetta), - b (coeffcente angolare), - è rportato l valore d R (R-square). Var rcercator, per valutare la sgnfcatvtà della retta d regressone utlzzano non l relatvo test t o l test F, l cu valore è sempre rportato come llustrato nel captolo precedente, ma semplcemente rportano l valore d r come stmandone la sgnfcatvtà. Il rsultato numerco è dentco a quello effettuato sulla retta, poché l valore d F, - sa nel test per la retta con coeffcente angolare b, - sa n quello per la correlazone r r R 8

30 è dato dal rapporto tra la devanza della regressone e la devanza d errore, F Varanza della regressone Varanza d' errore seppure l concetto sovente sa nascosto nelle formule abbrevate, d solto utlzzate. Ad esempo, con le msure d peso ed altezza rlevat su 7 govan donne Peso (Y) n Kg Altezza (X) n cm è stata calcolata la retta d regressone Y$ 73, , 796 X La sgnfcatvtà del coeffcente angolare b per verfcare l potes nulla H 0 : β 0 con potes alternatva blaterale H : β 0 può essere dervata dalla tabella rassuntva (ved tabulat nell ultmo paragrafo, dvers da calcol manual rportat nel captolo precedente, a causa delle le approssmazon), Font d varazone Devanza Gdl Varanza Totale 403, Della Regressone 33,08 33,08 Errore 80, ,0 che fornsce tutt gl element utl al calcolo d F, ottenendo un valore che 9

31 rsulta uguale a 0,07 con df e 5. F 33,08 6,0 (,5) 0,07 Utlzzando gl stess dat (come l precedente fornto dal tabulato del computer nell ultmo paragrafo), l valore d R (R-square) rsulta uguale a 0,8006 e R adj (Adj R-sq) uguale a 0,7607. La sgnfcatvtà del test F per verfcare l potes nulla H 0 : ρ 0 con potes alternatva H : ρ 0 medante la formula F, n r ( n ) r fornsce un F con df e 5 0, ,003 F, 5 0,07 0,8006 0,994 uguale a 0,07. E' dentco al precedente. Ma, nonostante l rsultato dentco, l due metod sottendono scop dfferent e hanno condzon d valdtà dfferent; d conseguenza, usare la sgnfcatvtà d r al posto d b è errato. Negl ultm ann, l coeffcente d correlazone ha assunto un ruolo nettamente pù lmtato rspetto al passato, quando sovente era preferto alla regressone lneare semplce: la sua generctà, coè l non rchedere specfcatamente una relazone d causa-effetto, venva nterpretata come maggore possbltà d adattamento alla varetà delle condzon ambental. Pù recentemente, s prefersce la regressone, n quanto dovrebbe ndurre l rcercatore a ragonare con attenzone maggore su rapport tra le due varabl, alla rcerca della relazone d causa effetto e alla sua drezone. I fattor prncpal che attualmente lmtano l uso della correlazone rspetto alla regressone lneare, per cu anche test d sgnfcatvtà non sono ntercambabl, sono almeno 5: - le dfferenze nelle condzon d valdtà tra correlazone e regressone: nella prma devono essere realzzate n entrambe le varabl X e X, mentre nella seconda solo per la varable Y; - l dverso sgnfcato d relazone tra le due varabl, che nella correlazone è solo d covarazone lneare e non d causa - effetto; 30

32 3 - la quanttà d nformazone contenute nelle anals e ne test d sgnfcatvtà: nella correlazone è pù rdotto, rspetto all nformazone data da a, b, r della regressone; 4 - la maggore complesstà della verfca d dfferenze da valor teorc che non sano null e de confront tra rsultat dfferent nella correlazone, a causa della sua asmmetra nella dstrbuzone per valor dstant da zero; 5 - l assenza d sgnfcato a fn predttv della correlazone. Attualmente, la correlazone vene preferta alla regressone solo quando non s vuole dcharare, n quanto prva d sgnfcato, una relazone d causa - effetto tra le due varabl consderate INTERVALLO DI CONFIDENZA DI ρ Pure nel caso della correlazone, la stma dell ntervallo d confdenza d un parametro rchede che campon sano dstrbut n modo smmetrco, rspetto al valore vero o della popolazone. Ma, come gù evdenzato nel paragrafo precedente, a dfferenza d quanto avvene per la meda camponara x rspetto a µ e per l coeffcente angolare b rspetto a β, valor camponar r - sono dstrbut normalmente solo quando - l valore d ρ è pccolo (teorcamente zero) - e campon sono abbastanza grand (teorcamente nfnt). Quando l valore d ρ s allontana da zero, la dstrbuzone de valor r camponar è sempre asmmetrca. D conseguenza, pure conoscendo l valore d r e la sua varanza oppure l suo errore standard s r s r r n s r r n non è corretto calcolare l errore fducale d ρ attraverso ρ r t ± α /, n s r applcando alla correlazone quanto è possble per la retta β b± t s α /,n b 3

33 Infatt, a causa dell asmmetra de valor camponar attorno alla meda quando ρ 0 - lmt d confdenza, che utlzzano l valore d t e l errore standard, non sono adatt a verfcare la sgnfcatvtà d un qualsas valore d correlazone rspetto ad un valore teorco atteso; - non è possble utlzzare l test t per l confronto tra due ndc d regressone r e r. L uso d questo test nferenzale è lmtato al solo caso n cu s vuole verfcare l assenza d correlazone, espressa dall potes nulla H 0 : ρ 0. Per l uso generale, con qualsas valore d r, dell ntervallo d confdenza, sono stat propost var metod. Ne possono essere ctat cnque: a) la trasformazone d r n z proposta da Fsher, valda soprattutto per grand campon, b) l precedente metodo d Fsher, ma con l uso della dstrbuzone t d Student al posto della dstrbuzone normale, pù cautelatva per pccol campon, c) la procedura proposta da M. V. Muddapur nel 988, che utlzza la dstrbuzone F (ved: A smple test for correlaton coeffcent n a bvarate normal populaton. Sankyd: Indan J. Statst. Ser. B. 50: 60-68), d) la procedura proposta da S Jeyaratnam nel 99, analoga alla precedente, ma con l uso della dstrbuzone t (ved: Confdence ntervals for the correlaton coeffcent. Statst. Prob. Lett. 5: ). e) metod grafc, come quell rportat gà nel 938 da F. N. Davd n Tables of the Correlaton Coeffcent (ed. E. S. Pearson, London Bometrka Offce). Il terzo e l quarto metodo, ctat anche da J. H. Zar nel suo test del 999 (Bostatstcal Analyss, 4 th ed., Prentce Hall, New Jersey, a pagg ), offrono l vantaggo d stmare un ntervallo generalmente mnore d quello d Fsher, oltre all aspetto pratco d non rchedere trasformazon d r e qund d essere pù rapd. Quest test, come qualsas ntervallo fducale, possono essere utlzzat anche per la verfca dell potes sulla dfferenza tra due mede, n un test blaterale. A) Il metodo d Fsher stma l lmte nferore L e l lmte superore L dell ntervallo d confdenza attraverso le relazon L z Z α / σ z dove L z Z + α / σ z 3

34 - z è l valore camponaro d r trasformato, attraverso la relazone z 0,5 + r ln r - Z α / è l valore della Z nella dstrbuzone normale alla probabltà α/, prescelta per defnre l ntervallo, - σ z è l errore standard (approssmato) d r trasformato n z che dpende da n. σ z n 3 Successvamente, due valor stmat L e L, calcolat ovvamente n una scala z, devono essere rportat sulla scala d r, con la trasformazone r e e z z + In questo ultmo passaggo, s perde la smmetra d L e L rspetto al valore centrale, quando r 0. L asmmetra ntorno ad r rsulta tanto pù marcata quanto pù esso s avvcna a + oppure a -. B) Pù recentemente, n var test è proposta la msura pù cautelatva, che fornsce un ntervallo maggore n rapporto alla dmensone camponara n, con la dstrbuzone t d Student. Il lmte nferore L e l lmte superore L dell ntervallo d confdenza sono calcolat attraverso le relazon L z t α /, ν σ z L z t + α /, ν σ z dove t è l valore alla probabltà α/ prescelta per defnre l ntervallo, con ν n, - α /, ν mentre tutt gl altr parametr restano dentc a quell appena presentat. Nulla camba rspetto al metodo classco d Fsher, per quanto rguarda - dapprma la trasformazone d r n z - successvamente le trasformazon de valor L e L n scala r. 33

35 C) Il metodo proposto da Muddapur, meno noto del metodo classco d Fsher, pù recente e pù raro n letteratura, ma pù rapdo n quanto non rchede alcuna trasformazone, con L [( + F ) r ] + ( F ) L ( + F ) + [( F ) r] e L dove [( + F ) r ] ( F ) L ( + F ) [( F ) r] - F è l valore corrspondente nella dstrbuzone F d Fsher alla probabltà α per un test blaterale e con df ν ν n- fornsce una stma uguale a quella classca d Fsher. D) Il metodo proposto da Jeyaratnam, che può essere letto come una varante del precedente, una sua formula abbrevata n quanto ancor pù rapdo con L L r r α, ν α, ν t + ν α, ν α, ν t t t + ν e L L r + + r α, ν α, ν t + ν α, ν α, ν t t t + ν dove - t è l valore corrspondente nella dstrbuzone t d Student alla probabltà α per un test blaterale (come n tutt gl ntervall fducal) e con df ν n- - ν n-. ESEMPIO. Con 30 coppe d dat, è stato calcolato l coeffcente d correlazone lneare semplce r 0,7. Entro quale ntervallo s colloca l valore reale o della popolazone (ρ), alla probabltà α 0.05? 34

36 Calcolare valor estrem L e L dell ntervallo fducale con 4 dvers metod. Rsposta A) Con l metodo classco d Fsher dopo aver trasformato r 0,7 n z con + 0,7 z 0,5 ln 0,5 ln 5,8965 0,5,7744 0,887 0,7 ottenendo z 0,887 s stma l suo errore standard σ z, ovvamente su scala z, con la formula approssmata ottenendo σ z 0,94 σ z 0,037 0, Successvamente, con Z α/,96 (valore della dstrbuzone normale standardzzata alla probabltà α 0.05 blaterale) s stmano due lmt dell ntervallo L e L : con s ottene L 0,50 e con s ottene L,643 L 0,887,96 0,94 0,887 0,377 0,50 L 0,887 +,96 0,94 0,887 0,377, Per l confronto d L e L con r 0,7, è necessaro rtrasformare due valor z ottenut ne corrspondent valor n scala r. Rcordando che e,78 per z 0,50 con 0,50,00,78,78,7735,7735 r 0,470 0,50,00,78 +,78 +, ,7735 s ottene L 0,470 e per z,643 con 35

37 ,643,586,78,78,537,537 r 0,85,643,586,78 +,78 +, ,537 s ottene L 0,85 Con l metodo classco d Fsher, l ntervallo d confdenza d r 0,7 calcolato su 30 cope d dat è compreso tra lmt 0,470 e 0,85 con probabltà α B) Utlzzando sempre l metodo d Fsher, ma con la dstrbuzone t al posto della dstrbuzone z, prm due passagg sono dentc a punt e precedent, ne qual s era ottenuto z 0,887 e σ z 0,95 Dopo aver scelto l valore d t che, con α 0.05 blaterale e df ν 8 è t 0.05, 8,048 3 s ottene (sempre n scala z) un valore d L 0,493 e un valore d L,84 L 0,887,048 0,95 0,887 0,394 0,493 L 0,887 +,048 0,95 0,887 0,394, Infne, come nella fase 4 precedente, s rportano quest due valor z n scala r: per z 0,493 con 0,493 0,986,78,78,680,680 r 0,457 0,493 0,986,78 +,78 +, ,680 s ottene L 0,457 e per z,84 con,84,568,78,78,9686,9686 r 0,857,84,568,78 +,78 +, ,9686 s ottene L 0,

38 Con l metodo d Fsher nel quale sa utlzzata la dstrbuzone t con df n-, l ntervallo d confdenza d r 0,7 calcolato su 30 cope d dat è compreso tra lmt 0,457 e 0,857 con probabltà α C) Con l metodo proposto da Muddapur, - dapprma s trova l valore d F alla probabltà α 0.05 blaterale con df ν ν 8; rlevato n una tabella molto pù dettaglata d quella rportata nelle dspense esso rsulta uguale a,3; successvamente s calcolano L con ottenendo L 0,469 e L con ottenendo L 0,853 ( +,3) 0,7+ (,3),3,3,093 ( +,3) + (,3) 0,7 3,3 0,803, 377 L 0,469 ( +,3) 0,7 (,3),3+,3 3,353 ( +,3) (,3) 0,7 3,3+ 0,803, 933 L 0,853 D) Con l metodo proposto da Jeyaratnam, - dapprma s trova l valore d t alla probabltà α 0.05 blaterale con df ν 8; esso rsulta uguale a,3; successvamente s calcolano L con 0,7 L 0,7,048, ,048, ,7 0,7 4,943 3,943 4,943 3,943 0,7 L 0,7 0,303 0,303 0,7 0,36 0,349 0,469 0,7 0,36 0,744 ottenendo L 0,469 37

39 e L con L 0,7+ + 0,7,048, ,048, ,7+ + 0,7 4,943 3,943 4,943 3,943 L 0,7+ + 0,7 0,303 0,303 0,7+ 0,36,07 0, ,7 0,36,56 ottenendo L 0,853 Questo calcolo dventa molto pù rapdo se dapprma, separatamente, s stma la parte sotto radce, che rsulta uguale a 0,36:, 048, , , 0, 36 3, 943 0,7 0,36 0,349 L 0,7 0,36 0,744 0,469 L 0,7+ 0,36,07 + 0,7 0,36,56 0,853 I rsultat de 4 metod, con dat dell esempo, sono rportat nella tabella sottostante: METODO L L Fsher 0,470 0,85 Fsher, con dstrbuzone t 0,457 0,857 Muddapur 0,469 0,853 Jeyaratnam 0,469 0,853 r 0,7 n 30 α

40 E suffcente l semplce confronto, per verfcare la loro corrspondenza. I calcol sono stat fatt alla quarta cfra decmale per evtare arrotondament e meglo porre a confronto rsultat. I motv della trasformazone e suo effett sono llustrat da Fsher. Sempre n Metod statstc ad uso de rcercator, Torno 948, Unone Tpografca Edtrce Tornese (UTET), 36 p. traduzone d M Gorda, del testo Statstcal Methods for Research Workers d R. A. Fsher 945, nona ed., a pag. 84 e seguent sono spegat motv e gl effett della trasformazone d r n z: Per pccol valor d r, z è quas uguale a r, ma quando r s avvcna all untà, z cresce senza lmt. Per valor negatv d r, z è negatvo. Il vantaggo d questa trasformazone d r n z sta nella dstrbuzone d coteste due quanttà n campon scelt a caso. Lo scostamento (errore standard) d r dpende dal valore effettvo della correlazone ρ, come è rlevato dalla formula (dove n è l numero d coppe d dat) ρ σ r n Poché ρ è un ncognta, dobbamo sostturla con l valore osservato r, l quale, n pccol campon, non sarà però una stma molto accurata d ρ. L errore tpo (errore standard) d z è d forma pù semplce e, coè, approssmatvamente, σ z n 3 ed è pratcamente ndpendente dal valore della correlazone nella popolazone dalla quale s è tratto l campone. In secondo luogo, la dstrbuzone d r non è normale n pccol campon e, per correlazon elevate, essa rmane lontana dalla normale anche ne grand campon. La dstrbuzone d z non è strettamente normale, ma tende rapdamente alla normaltà quando l campone è accrescuto, qualunque possa essere l valore della correlazone. Infne la dstrbuzone d r camba rapdamente forma quando camba ρ;conseguentemente non s può, con ragonevole speranza d successo, tentare d gustfcare (legg: aggustare) l asmmetra della dstrbuzone. Al contraro, la dstrbuzone d z essendo quas costante nella forma, l accuratezza delle prove (legg: la sgnfcatvtà del test) può essere mglorata per mezzo d pccole correzon dello scostamento dalla normaltà. Tal correzon sono, però, troppo pccole per assumere mportanza pratca e no non ce ne cureremo. La semplce assunzone che z è normalmente dstrbuta sarà n tutt cas suffcentemente accurata. 39

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